SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên để giải bài toán về nghiệm của phương trình chứa hàm số hợp

Một trong những bàitoán khó là bài toán về hàm số hợp như: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số hợp,tìm số điểm cực trị của hàm số hợp, tìm số nghiệm của phương trình chứa hàm sốhợp, bài toán

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Từ năm 2017 đến nay, đã có 4 năm môn Toán được Bộ Giáo dục và Đào tạo

tổ chức thi THPT Quốc gia và thi Tốt nghiệp THPT bằng hình thức trắc nghiệm.Trong 4 năm qua, thầy và trò trên cả nước đã dần làm quen và thích nghi với đề thitrắc nghiệm môn Toán Trong quá trình học tập và giảng dạy, các thầy cô và các

em học sinh đã gặp rất nhiều khó khăn khi gặp phải nhiều bài toán trắc nghiệmhay, lạ và khó, đa dạng về hình thức, phong phú về nội dung Một trong những bàitoán khó là bài toán về hàm số hợp như: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số hợp,tìm số điểm cực trị của hàm số hợp, tìm số nghiệm của phương trình chứa hàm sốhợp, bài toán tương giao giữa đồ thị của các hàm số hợp v.v…

Hôm nay tôi xin trao đổi cùng đồng nghiệp về một trong các bài toán này

qua đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên để

giải bài toán về nghiệm của phương trình chứa hàm số hợp”.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài tập trung vào nghiên cứu các dạng toán và lời giải một số bài toán vềnghiệm của phương trình có chứa hàm số hợp trong đề thi THPT Quốc gia và Tốtnghiệp trung học phổ thông môn Toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp khảosát thực tế, thu thập thông tin và phương pháp thống kê, xử lý số liệu Cụ thể cácbước nghiên cứu được tiến hành như sau:

Bước 1: Tìm hiểu, thu thập thông tin các bài toán về hàm số hợp có trongcác đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng như các đề thi thử của các trườngTHPT trên toàn quốc

Bước 2: Xây dựng nguồn đề và cho học sinh lớp 12 làm thử nghiệm

Bước 3: Hướng dẫn cho học sinh các phương pháp giải

Bước 4: Tổ chức thực nghiệm và kết luận về tính hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Khái niệm “Hàm số hợp” đã được học trong chương trình Đại số và Giảitích lớp 11 vì vậy học sinh đã biết khái niệm và đạo hàm của hàm số hợp; chính vìvậy các em có thể tính được đạo hàm của hàm số hợp và xét được tính đơn điệucủa hàm số hợp Về đồ thị của hàm số, các em học sinh đã được học khái niệm,cách vẽ, các phép biến đổi đồ thị cơ bản trong chương trình Đại số lớp 10 và cácbước khảo sát vẽ đồ thị của một số hàm cơ bản trong chương trình Đại số và Giảitích lớp 12 Vì vậy về cơ sở lý thuyết, các em học sinh lớp 12 đã có đủ kiến thứccăn bản để giải các bài toán về đồ thị và về nghiệm của phương trình có chứa hàm

số hợp

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Sau khi khảo sát học sinh lớp 12 về kiến thức hàm số hợp; làm bài khảo sát

về đồ thị hàm số hợp thì kết quả thu được rất đáng báo động Đa số các em khôngnhớ khái niệm về hàm số hợp, nhầm lẫn khi tính đạo hàm của hàm số hợp, khôngphác họa được đồ thị của một số hàm số hợp đơn giản và hầu hết gặp khó khăn khigiải các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao về tương giao của đồ thị hàm

số hợp với trục hoành hoặc với đồ thị hàm số khác

Kết quả khảo sát 43 học sinh lớp 12A2 và 40 học sinh lớp 12 A3 trườngTHPT Triệu Sơn 1 như sau:

Nội dung câu hỏi

Số lượng học sinh trả lời đúng

Câu 2 Nhắc lại công thức tính đạo hàm của hàm số hợp 25

Câu 3 Nhắc lại các phép biến đổi đồ thị cơ bản 08

Câu 4.(Câu 35 Mã 101 đề thi THPT Quốc gia năm học

2018-2019)

Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x'  như sau:

Hàm số yf 3 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 5.(Câu 49 Mã 104 đề thi THPT Quốc gia năm 2017)

Cho hàm số yf x  Đồ thị của hàm số yf x  như hình bên

Đặt g x  2f x   x12 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A g 1 g 3 g 3 B g 1 g 3 g 3

02

Qua đây cho thấy việc hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập lại lý thuyết vàluyện tập kỹ năng giải các bài toán về hàm số hợp là hết sức cần thiết và cấp bách.Chính vì vậy tôi đã đề xuất với tổ chuyên môn và bản thân là người tiên phongtrong việc biên soạn và sưu tầm một số dạng toán về hàm số hợp để giảng dạy chohọc sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp trung học phổ thông; trong đó có bài toán vềnghiệm của phương trình có chứa hàm số hợp.

2.3 Các sáng kiến đã áp dụng để giải quyết vấn đề

A Kiến thức căn bản.

1 Khái niệm hàm số hợp

Cho hai hàm số yf u và u u x   Thay thế biến u trong biểu thức f u bởi biểu thức u x , ta được biểu thức f u x ( )với biến x Khi đó, hàm số yg x với g x( )f u x ( ) được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u ; hàm u gọi là

hàm số trung gian [1]

2 Cách tính đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số yf u vàu u x   Đạo hàm của hàm số hợp g x( )f u x ( ) được tínhtheo công thức: g x'( )f u x u x' ( ) '( )  [2]

3 Một số phép biến đổi đồ thị cơ bản

Cho hàm số yf x  có đồ thị là đường (C) Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị của cáchàm số sau:

: Thực hiện liên tiếp các bước như trên hai đồ thị trên

+ yf x a  : Tịnh tiến đồ thị (C) sang trái (khi a 0) hoặc sang phải (khi a 0)theo trục Ox a đơn vị

+ yf x a: Tịnh tiến đồ thị (C) lên trên (khi a 0) hoặc xuống dưới (khi a 0)theo trục Oy a đơn vị

+ yf kx : Co hoặc dãn đồ thị (C) theo trụcOx k lần

+ y kf x  : Co hoặc dãn đồ thị (C) theo trụcOy k lần [3]

4 Số nghiệm của phương trình

+ Số nghiệm của phương trình f x   0 là số điểm chung của đồ thị hàm số

+ Số nghiệm của phương trình f u x  ( ) 0 là tổng số nghiệm của các phương trình:

  i

u x t với t i (i 1, 2, ) là nghiệm của phương trình f t   0

B Giải bài toán nghiệm của phương trình có chứa hàm số hợp bằng cách sử dụng đồ thị hoặc bảng biển thiên.

1 Dạng 1: Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số yf x  Tìm số nghiệm của phương trình f u x ( ) m.

Cách giải:

-Bước 1: Đặt u x( )t, tìm miền giá trị của t và mối tương quan của t với x (với

mỗi t sẽ cho ta bao nhiêu giá trị x thuộc miền xác định)

- Bước 2: Từ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số yf x , ta tìm được sốnghiệm và miền xác định của nghiệm t

- Bước 3: Với mỗi nghiệm t vừa xác định được ta suy ra số nghiệm x tương ứng

Ví dụ 1: [4] Cho hàm số bậc ba yf x( ) có đồ thị là đường cong trong hình bên Số nghiệmthực phân biệt của phương trình f x f x   3 ( ) 1 0

3

0 ( ) 0 ( ) 0

 g x ( ) 0 có duy nhất nghiệm trên  ;0.

Tóm lại g x ( ) 0 có đúng hai nghiệm trên \ 0 

Suy ra hai phương trình ( ) 3

có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác

c Vậy phương trình f x f x   3 ( ) 1 0 có đúng 6 nghiệm

Ví dụ 2 Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình f sinx  4 là

1;0 0;1

So sánh với điều kiện ta lấy nghiệm t t  2 (0;1)

- Với t t  2 (0;1) ta có phương trình sin x t 2 ; dễ thấy phương trình này có 2nghiệm x0; Vậy chọn đáp án C.

Ví dụ 3 Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ Gọi m là

số nghiệm của phương trình f f x     1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

+) Xét f x  t2 0;1, ta có đường thẳng y t 2 cắt đồ thị hàm số yf x  tại 3điểm phân biệt nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

+) Xét f x   t3 2, ta có đường thẳng y t 3 cắt đồ thị hàm số yf x  tại 1 điểmnên phương trình có 1 nghiệm

Do các nghiệm không trùng nhau nên tổng số nghiệm là: m    3 3 1 7

Ví dụ 4 Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình vẽ

Phương trình f 1 3 x 6 có bao nhiêu nghiệm âm?

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f 1 3 x 6 có một nghiệm âm Vậy chọn A.

Nhận xét: Dạng 1 là một dạng toán rất phổ biến và cũng rất thú vị; đây không

phải là một dạng toán quá khó, chỉ cần học sinh chịu khó rèn luyện một chút thìcác em hoàn toàn có thể giải quyết được bài toán này Sau đây là một số bài tậptương tự

Bài 1 Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau: [5]

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 5f x 2  4x m có ítnhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0; 

Bài 2 Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình bên

Số nghiệm phân biệt của phương trình f f x     1 là

A 3;0 B 3;3 C 0;3 D  3;0

Bài 5 Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Cóbao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f2log 2x m có nghiệm duy nhấttrên

Bài 6 Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số giá trị nguyên của tham số mđể phương trình 8f e x m2  1

có hai nghiệm thựcphân biệt là

Bài 7 Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình vẽ sau

+0

0

0

x y' y

+

+0

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x  m0 có 4 nghiệmphân biệt

- Bước 3: Với mỗi nghiệm t vừa xác định được ta suy ra số nghiệm x tương ứng

Ví dụ 1 Cho đồ thị hàm số yf x  xác định và có đạo hàm trên  Hàm số

Bước 2 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình f x  m có tối đa hai nghiệmdương.

Bước 3 Từ đó suy ra phương trình f x 2 mcó tối đa 4 nghiệm

Ví dụ 2 Cho hàm số yf x  ax4bx3cx2dx e với ( , , , ,a b c d e ) Biết hàm số

Để phương trình f  x2  2x m  e có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) và

(2) lần lượt có 2 nghiệm phân biệt



 m 

Nhận xét: Dạng 2 là một dạng toán rất thú vị và khá khó đối với nhiều học sinh;

vì vậy học sinh cần phải có tư duy hàm tốt và rèn luyện nhiều thì mới có thể giảiquyết được bài toán này Sau đây là một số bài tập tương tự

Bài 1 Cho hàm số yf x  Đồ thị của hàm số yf x  như hình vẽ bên

Tìm điều kiện của m đề phương trình f x( )mcó nghiệm x   2;6 ?

O

1

 2

 3

y

4 2

2



A f 2 m f  0 B f 2 m f  5 .C f  5  m f  6 D f  0  m f  2 Bài 2 Cho hàm sốyf x( ). Hàm số yf x( ) có bảng biến thiên như sau:

Phương trình f x( ) cos x 2m0 có nghiệm x  o (2;3) khi và chỉ khi

Biết phương trình f x 1 m có nghiệm x   1;1 khi và chỉ khi ma b; 

Khi đó a b bằng

A

1 5

Lời giải

Ta có đồ thị hàm số y f x 

Dựa vào đồ thị, phương trình f x  m

có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ

Ví dụ 2 Cho hàm hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốmđể phương trình f x 2  1 m

có 6nghiệm phân biệt

Lời giải

Đặt t x2  1, điều kiện t 1, từ đó phương trình trở thành f t  m, t 1

Do t 1 nên ta xét bảng biến thiên của hàm yf t  trên 1; như sau:

Bảng biến thiên của hàm số y f t  trên 1;là

Cứ mỗi nghiệm t 1 cho được hai nghiệm x, do vậy để phương trình f x 2  1 m

có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình f t  m cần có 3 nghiệm t 1 Dựa bảng biến thiên của hàm y f t  ở trên ta có điều kiện 3m10, mặt khác mnguyên nên m4;5;6;7;8;9

Vậy có 6 giá trị nguyên mthỏa mãn bài toán

Ví dụ 3 Cho hàm số yf x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 sin 

2

m

f x  f 

  cóđúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn    ;2 ?

Do m nguyên nên m1;2 Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn bài toán

Nhận xét: Dạng 3 là một dạng toán khó đối với nhiều học sinh vì các em phải xử

lý bài toán liên quan đến đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối; vì vậy họcsinh cần phải tư duy tốt và thành thạo các phép biến đổi đồ thị của hàm chứa dấutrị tuyệt đối Để giải quyết được dạng toán này học sinh cần rèn luyện nhiều hơnnữa các bài tập tương tự như các bài tập sau

Bài 1 Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới.Phương trình

f x  m  m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi tham số m thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?

Bài 2: Cho hàm số yf x( ) có bảng biến thiên sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x( 2017) 2018 m

có đúng 4 nghiệm phân biệt?

A 4034 B 4035 C 4036 D 4037

Bài 3 Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị mđể phương trình

2 2

và có bảng biến thiên như sau:

Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình f x  m

có 4 nghiệm phân biệt

 

chí tổ viên tiếp tục nghiên cứu và mở rộng đề tài theo các hướng khác nữa để giúphọc sinh tiếp cận các bài toán về hàm số hợp một cách đa dạng hơn.

Về phía học sinh nhất là các em học sinh khá giỏi, thì đa số các em rất hứngthú với chuyên đề này; vì đây là một nội dung khó và được đề cập rất ít trong sáchgiáo khoa nhưng lại xuất hiện nhiều trong các đề thi thử và đề thi chính thức của

Bộ Giáo dục và Đào tạo

Sau khi áp dụng đề tài này cho lớp thực nghiệm 12A2, tôi đã cho các em làmmột bài kiểm tra 90 phút với 30 câu về các dạng toán đã đề cập đến trong đề tàivới cấu trúc mức độ đề là 5-3-2-1 thang điểm 10 thì kết quả thu được như sau:Mức điểm đạt được Số lượng học sinh đạt được Phần trăm

Mỗi thầy (cô) giáo phải luôn phấn đấu là một tấm gương tự học và sáng tạo

để học trò noi theo, vì vậy trong quá trình giảng dạy và đặc biệt là trong giai đoạnđổi mới giáo dục hiện nay thì người thầy càng phải luôn nỗ lực trong việc học hỏi,đổi mới phương pháp, tìm tòi cái hay cái mới để truyền thụ cho học trò Đây có lẽcũng là tiêu chí của một người thầy mà xã hội đang mong muốn Ý thức được điều

đó nên bản thân tôi và đồng nghiệp ở trường THPT Triệu Sơn 1 luôn phấn đấukhông ngừng để ngày càng là điểm tựa vững trãi cho học trò vươn xa hơn; ngàycàng giảng dạy được cho các em nhiều những bài toán hay, giúp các em tự tin hơnkhi bước vào các kì thi quan trọng của cuộc đời học sinh

3.2- Kiến nghị.

Trên đây là sáng kiến của tôi đã áp dụng cho lớp chủ nhiệm 12A2 của trườngTHPT Triệu Sơn 1 trong năm học 2020-2021 và bước đầu đã có kết quả rất khảquan, rất mong được sự quan tâm của đồng nghiệp

Rất mong các cấp lãnh đạo của nhà trường, của ngành tổ chức thêm các buổichuyên đề để giáo viên trao đổi về các phương pháp giảng dạy hay nhằm nâng caochất lượng giáo dục học sinh trong thời gian tới

Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Người viết

Vũ Đoàn Kết

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]- Đại số và Giải tích lớp 12 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

[2]- Đại số và Giải tích lớp 12 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

[3]- Đại số lớp 10 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

[4]- Đề thi Tốt nghiệp THPT của Bộ GD&ĐT năm 2020 lần 1.

[5]- Đề thi Tốt nghiệp THPT của Bộ GD&ĐT năm 2020 lần 2.

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Vũ Đoàn Kết

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Toán– trường THPT Triệu Sơn 1

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A,

B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Kinh nghiệm dạy học sinh

yếu kém môn Toán

Sở GD&ĐT

1 2 Tạo hứng thú cho học sinh

khi học giới hạn và đạohàm

Sở GD&ĐT

2 3 Tạo hứng thú cho học sinh

lớp 10 khi học phương pháptọa độ phẳng

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 12.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

1 Dạng 1 : Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của

hàm số yf x  Tìm số nghiệm của phương trình

 ( )

f u x m

3

2 Dạng 2: Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của

hàm số yf x'  Giải bài toán liên quan đến phương

trình f u x ( ) m

10

3 Dạng 3: Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của

hàm số yf x  Giải bài toán liên quan đến phương

trình f u x ( )m f u x;  ( ) m

13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt

động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà

TÀI LIỆU THAM KHẢO

DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT

CÔNG NHẬN