SKKN kinh nghiệm giải các bài toán về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp theo định hướng thi tốt nghiệp THPT

Bàitoán về sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong đề thi của các kỳ thi không ít khókhăn cho học sinh trong quá trình giải quyết bài toán này chủ yếu là hàm số hợp.Những câu hỏi trong đề

MỤC LỤC - -

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

SGK THPT Sách giáo khoa trung học phổ thông

TN THPT Tốt nghiệp trung học phổ thông

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:

Thực hiện chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà nước, nghị

quyết TW4 khoá VII Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môncủa trường THPT Triệu Sơn 5 năm học 2020-2021

Với xu thế thi trắc nghiệm THPT Quốc gia và giờ được gọi là tốt nghiệp THPT Bàitoán về sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong đề thi của các kỳ thi không ít khókhăn cho học sinh trong quá trình giải quyết bài toán này chủ yếu là hàm số hợp.Những câu hỏi trong đề thi đã làm cho HS lúng túng, hay bỏ qua hoặc đánh xác suấtdẫn đến kết quả không cao

Trong chương trình toán THPT, trong bài dạy, bài học còn hạn chế, tài liệu thamkhảo ít đề cập đến Câu hỏi dạng này đòi hỏi HS phải vận dụng kiến thức đa dạng vềhàm số đạo hàm và kiến thức liên quan để giải quyết Đó cũng là khâu khó khăn khi

mà các em chưa thể phối hợp đồng bộ kiến thức để giải nhanh hoặc vận dụng tìm rakết quả Những bài toán về tính đơn điệu(đồng biến, nghịch biến) của hàm số hợpcũng là những bài tập vận dụng thấp hoặc vận dụng cao trong đề thi Đặc biệt là thiTHPT Quốc gia nay là thi tốt nghiệp THPT Trong thực tế các bài toán về dạng nàyrất phong phú và đa dạng Các em sẽ gặp một lớp các bài toán dễ khó thuận ngược.Chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa đượcgọn gàng, thậm chí còn không có hướng giải quyết Tại sao lại như vậy?

Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK THPT hiện hành kiến thức này chỉgiới thiệu, không đi sâu vào bài tâp, bài dạy Khác xa với đề thi THPT Quốc gia, đề thihọc sinh giỏi, đề thi MTCT Bài tập SGK đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế Mặtkhác do số tiết phân phối chương trình cho phần này ít nên trong quá trình giảng dạy,các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹnăng giải cho học sinh Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác đòi hỏi họcsinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lựcbiến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục Trong quá trình dạy, giáo viên luôn trình bàynhững kiến thức cơ bản và dần hình thành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh

Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta có nhiều vấn đề cần giải quyết cho mỗi phânmôn của toán học phổ thông, trong đó vấn đề giải quyết các câu hỏi về tính đồng biến,nghịch biến của hàm số hợp là tiền đề để làm các bài toán cực trị, min max vận dụngcao trong đề thi tốt nghiệpTHPT

Xuất phát từ thực tế trên, tôi chọn đề tài “Kinh nghiệm giải các bài toán về tính

đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp theo định hướng thi tốt nghiệp THPT”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường THPT Tôi

đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các dạng toán về tính đồng biến nghịchbiến của hàm số hợp, cách giải trong đề thi trắc nghiệm tốt nghiệpTHPT

Học sinh cần nắm chắc định nghĩa và các tính chất có liên quan

Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài tập nhiều khi đã nhớ công thức vận dụng,công thức

Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào các kỳ thi học sinhgiỏi, tốt nghiệp THPT để tuyển sinh đại học cao đẳng.

Học sinh có thể nhớ và khắc sâu thêm kiến thức liên quan đến hàm số ở các dạng toánkhác có liên quan như giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, bài toánphương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa tham số, ứng dụng vật lí, hóa,sinh…

Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số

phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện hướng giải quyết Họcsinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khibiến đổi Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em họcsinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một số các bài vận dụng vàvận dụng cao trong đề thi tốt nghiệp THPT

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Thực hiện trên tất cả đối tượng học sinh khối 12

Trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề tham khảo và các đề thi thử, đề minh họa…củacác trường trên toàn quốc đã và đang khai thác ở mức độ vân dụng và vận dụng caocác câu hỏi về tính đơn điệu của hàm số hợp Vì vậy trong đề tài này tôi chỉ tập trungcung cấp phương pháp và các ví dụ cụ thể có sử dụng bảng xét dấu của đạo hàm củahàm số hợp

Trong đề tài này tôi cố gắng bằng kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học

và ôn thi THPT QG, nay là tốt nghiệp THPT giới thiệu dến độc giả và đồng nghiệpmột số kinh nghiệm định hướng nhằm hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán dạngnày

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu lý luận chung

Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm hàng năm

Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảngdạy Hoàn thiện hệ thống cơ sở lý luận, kiến thức cơ bản, hướng dẫn tiếp cận bài toán,phân tích đánh giá và kết luận liên quan dạng toán này Áp dụng kinh nghiệm này chocác em học sinh thông qua các bài kiểm tra khảo sát chất lượng theo định hướng tốtnghiệp THPT Báo cáo đề tài SKKN trước tổ chuyên môn và được tổ chuyên môngóp ý, nhận xét bổ sung và đánh giá Bản thân tôi có tham khảo một số ý kiến của một

số đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm ôn thi THPT QG, và nay là tốt nghiệp THPT.Đặc biệt đam mê nghiên cứu các dạng toán vận dụng, vận dung cao trong các đề thi

cao Muốn làm tốt dạng toán này các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở

môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bàitập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic

và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn mộtcách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bàitập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho họcsinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán về tính đơnđiệu của hàm hợp trong đề thi, đặc biệt là đề thi tốt nghiệpTHPT

2.2 Thực trạng vấn đề.

Trong thực tế, học sinh thường rất ngại giải quyết các bài toán về tính đơn điệu củahàm hợp, các em rất khó trong việc chọn hướng giải quyết vấn đề vì bài toán thườnghàm hợp tổng hợp lại liên quan đến nhiều kiến thức, nhiều giả thiết, khác với các dạngtoán đơn thuần không phải hàm hợp, thời gian ngắn các em lo không đủ để làm bài,chọn ngẫu nhiên đáp án cho nhanh

Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ lớp 12, các kỳ thi thử THPT QG trước đây, tốtnghiệp THPT, thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh và việc học tập, làm bài tập hàngngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc một số rất ít họcsinh khá giỏi mới làm được bài tập phần này

Nội dung bài học dạng này với thời lượng ít và những dạng đơn giản Đề thi thì lạikhó khăn Nếu không có được phương pháp, đường lối thì HS sẽ không thể giải quyếtvấn đề dạng bài tập này được

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:

2.3.1 Giả sử y=f ( x ) có đạo hàm trên khoảng I = (a; b)

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I gọi là hàm số đơn điệu trên I.

Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó

2.3.2 Quy tắc xét tính đơn điệu

Cho hàm số y=f ( x ) có đạo hàm trên D:

Để xét chiều biến thiên của hàm số y=f ( x ), ta thực hiện các bước sau:

B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến

Nhận xét: Từ đinh lý trên, ta thấy việc xét sự biến thiên của hàm số thực chất là xétdấu của đạo hàm Như vậy ta cần nắm được

2.3.3 Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức : f(x) = ax2 + bx + c

1 Nếu   0thì f(x) luôn cùng dấu với a.

2 Nếu   0thì f(x) có nghiệm 2

b x a



và f(x) luôn cùng dấu với akhi 2

b x a



3 Nếu   0thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a.

2.3.4 Quy tắc xét dấu của một biểu thức.

Giả sử hàm y g x   không xác định hoặc triệt tiêu tại các điểm x1, x2, …, x n đôi mộtkhác nhau và x1 x2   x n Ký hiệu I là một trong các khoảng  ; x1, x x1 ; 2, …,

x n1 ;x n, x  n;  Khi nó nếu g liên tục trên I thì không đổi dấu trên đó

2.3.5 Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y=f(u(x))=f (u) với u=u( x) Khi đó: y xy u u x

2.3.6 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp: ( u = u(x))

(sin ) ' cos (sin ) ' '.cos

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x  u x f u x .   

Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x 

Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách 2:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x  u x f u x .   

Bước 2: Hàm số g x  đồng biến  g x 0; (Hàm số g x  nghịch biến  g x 0)

Bước 3: Giải bất phương trình  * (dựa vào đồ thị hàm số yf x ) từ đó kết luậnkhoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

● f x >'( ) 0 khi

1

x x

Ví dụ 2 Cho hàm số y=f x( ). Đồ thị hàm số y= f x¢( ) như hình bên dưới

Hàm số g x( )=f(3 2- x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Ví dụ 3 Cho hàm số y= f x( ). Đồ thị hàm số y= f x¢( ) như hình bên dưới

Hàm số g x( )=f(1 2- x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Vậy g x( ) đồng biến trên các khoảng

1

;0 2

ê + = êBảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số g x( ) nghịch biến trên (- ¥;0 ) Chọn A.

Ví dụ 5 Cho hàm số y= f x( ). Đồ thị hàm số y= f x¢( ) như hình bên dưới

Hàm số g x( )=f x( )3 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

2.3.7.2 Cho đồ thị f’(x) Tìm khoảng đơn điệu của f[u(x)]+g(x)

Cách 1:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x  u x f u x .    v x 

Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x 

Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách 2:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x  u x f u x .    v x 

Bước 2: Hàm số g x  đồng biến  g x 0; (Hàm số g x  nghịch biến  g x 0)

Bước 3: Giải bất phương trình  * (dựa vào đồ thị hàm số yf x ) từ đó kết luậnkhoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Ví dụ 6 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên ¡ Đồ thị hàm số y=f x¢( ) nhưhình bên dưới

Đặt g x( )=f x( )- x, khẳng định nào sau đây là đúng ?

A g( )2 < -g( )1<g( )1 B g( )- 1<g( )1<g( )2 C g( )- 1>g( )1>g( )2 D g( )1< -g( )1<g( )2 Lời giải Ta có g x¢( )=f x¢( )- ¾¾1 ®g x¢( )= Û0 f x¢( )=1.

Số nghiệm của phương trình g x¢( )=0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f x¢( )

và đường thẳng d y =: 1 (như hình vẽ bên dưới)

Dựa vào đồ thị, suy ra

ê = ëBảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ¾¾®g( )2< -g( )1<g( )1 Chọn C.

Chú ý: Dấu của g x¢( ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2;+¥ ), ta thấy đồthị hàm số nằm phía trên đường thẳng y=1 nên g x¢( )=f x¢( )- 1 mang dấu +

Ví dụ 7 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên ¡ Đồ thị hàm số y=f x¢( ) nhưhình bên dưới

Hàm số g x( )=2f x( )- x2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

Lời giải Ta có g x¢( )=2f x¢( )- 2x¾¾®g x¢( )= Û0 f x¢( )=x.

Số nghiệm của phương trình g x¢( )=0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f x¢( )

và đường thẳng d y x: = (như hình vẽ bên dưới)

Dựa vào đồ thị, suy ra

ê = ëLập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x Î -( 2;2) thì đồ thị hàm số f x¢( ) nằm phía trênđường thẳng y x= nên g x¢ >( ) 0) ¾¾ ® hàm số g x( ) đồng biến trên (- 2;2 ) Chọn B.

Ví dụ 8 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên ¡ Đồ thị hàm số y=f x¢( ) nhưhình bên dưới

Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình ( )

2.3.7.3 Cho bảng biến thiên f’(x) Tìm khoảng đơn điệu của f[u(x)]

Hoàn toàn tương tự dạng trên ta có được kết quả cho dạng này

Ví dụ 9 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biên thiên như hình vẽ

A Hàm số y=g x( )đồng biến trên khoảng  ;0.

B Hàm số y=g x( )đồng biến trên khoảng 1; 2

C Hàm số y=g x( )đồng biến trên khoảng 0;1

D Hàm số y=g x( )nghịch biến trên khoảng 2; 

0 3

x x

x x

Vậy hàm số đồng biến trên 0;1

2.3.7.4 Cho biểu thức f’(x) Tìm khoảng đơn điệu của f[u(x)]

Hoàn toàn tương tự dạng trên ta có được kết quả cho dạng này

Ví dụ 12 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f x¢( )=x2- 2x với mọi x Î ¡. Hàm số

g x = f x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

ê =±

ëBảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.

2.3.7.5 Cho biểu thức f’(x,m) Tìm m để f[u(x)] đồng biến, nghịch biến.

Hoàn toàn tương tự dạng trên ta có được kết quả cho dạng này

Với t 0;1 thì h t   0 h t  nghịch biến trên 0;1.

Do đó (*) a h  1 4 1 1 2.1f    2 3 Vậy có 3 giá trị nguyên dương của a thỏa

y

-1

3 2

– 2

4 1

A

3 1;

A 2028 B 2019 C 2011 D 2020

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Qua nhiều năm giảng dạy ở bậc THPT và luyện thi đại học Từ năm 2017 bộ môn

toán có thay đổi hình thức thi trắc nghiệm HS- GV không tránh được những khókhăn trong việc học, dạy Đặc biệt những câu trắc nghiệm vận dụng và vận dụng caotrong đó có những câu liên quan đến tính đơn điệu của hàm số hợp Tôi đã sử dụngtheo cách đã nêu trên để dạy cho học sinh Các em cảm thấy hào hứng không “ sợ sệt”khi gặp loại câu hỏi này Đó cũng là thành công bước đầu trong công tác giáo dục.Tôi cảm thấy tự tin, HS cũng vậy Qua sáng kiến kinh nghiệm này hy vọng các nămsau có kết quả tốt hơn

Đối với học sinh khối 12, khi các em đã nhận thức một cách đầy đủ về hàm số, cáckiến thức trên thì dạng này có thể áp dụng một cách phổ biến và bài tập ra cho họcsinh mang tính phong phú, đa dạng và khó hơn

Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi, ôn thi tốt nghiệpTHPT nên phát triển thànhchuyên đề rõ ràng với những kiến thức thể loại đa dạng và phong phú Giúp học sinhphát hiện và có hướng giải quyết chính xác

Kết quả nhận thấy số lượng học sinh khá, giỏi, trung bình đều rất hứng thú vớiphương pháp giải toán này và bài tập ra ở dạng này các em giải khá thành thạo Tôithấy học sinh của mình đã và đang hào hứng làm dạng toán này

Kết quả thi thử trắc nghiệm về câu hỏi đồng biến, nghịch biến của hàm số hợp lần 1của lớp 12A7 (Khi chưa ôn luyện nhiều dạng câu hỏi dạng này)

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy và học Toán Qua

thực tế giảng dạy ở trường THPT với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp chohọc sinh có cái nhìn toàn diện hơn về cách giải một số dạng toán trên Thực tế chothấy học sinh khá giỏi, trung bình đều hứng thú và làm được hầu hết các dạng này.Mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều, song đây là dạng toán khó trong đề thi tốt nghiệpTHPT Kinh nghiệm và kết quả chưa tổng hợp được nhiều trong năm học này Nhữngđiều tôi viết ra có thể không tránh khỏi sai sót và hạn chế Tôi rất mong nhận được sựđóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy

và học tập

3.2 Kiến nghị.

Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơnnữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nângcao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ

Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lạicác tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cơ sở nghiêncứu phát triển chuyên đề Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng caochất lượng học tập

Sở giáo dục cần tiếp tục duy trì cho các đơn vị trường viết sáng kiến kinh nghiệmhàng năm để giáo viên nâng cao nghiệp vụ, giao lưu, học hỏi lẫn nhau Những SKKNđạt giải cao, có chất lượng, nên in ấn đưa về các trường để giáo viên chúng tôi họctập, chia sẻ, để nền giáo dục càng phát triển tốt hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!