SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài tập trắc nghiệm số phức bằng cách sử dụng phương pháp hình học nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT của trường THPT quảng xương 4

Các dạng bài tập về tìm tập hợp cácđiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức cho trước hoặcthỏa mãn thêm một số điều kiện thường ở mức độ nhận biết,thông hiểu.. Và thông qua các bài to

5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 3

1.2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức 5

Dạng 1 Tìm tọa độ điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu

Dạng 2 Một số bài tập tìm tập hợp điểm biểu diễn số

phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Danh mục các đề tài SKKN đã được hội đồng SKKN

ngành giáo dục và đào tạo huyện, tỉnh và các cấp cao

hơn xếp loại từ C trở lên

25

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Số phức là nội dung mới được đưa vào dạy ở chương trình lớp 12

và thực sự gây không ít khó khăn cho các em học sinh lớp 12bởi nguồn tài liệu hạn chế, đôi khi chủ quan vì cho rằng nộidung này quá đơn giản Bên cạnh đó các bài tập về số phứctrong các đề thi THPT Quốc gia ngày càng đa dạng có cả các bàitập ở mức độ nhận biết, thông hiểu, và cả các bài tập ở mức độvận dụng và vận dụng cao Các dạng bài tập về tìm tập hợp cácđiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức cho trước hoặcthỏa mãn thêm một số điều kiện thường ở mức độ nhận biết,thông hiểu Các em chỉ cần nắm vững được kiến thức cơ bản về

số phức, phần thực, phần ảo, môđun của số phức, các phéptoán về số phức kết hợp với kiến thức về các phương trìnhđường thẳng, đường tròn, elíp, hypecbol, thì các em sẽ giảiquyết tốt hệ thống các bài tập về tìm tập hợp điểm trên mặtphẳng tọa độ biểu diễn số phức Và thông qua các bài toán nàycác em biết vận dụng, khai thác, kết hợp với nhận xét đánh giámột cách linh hoạt để làm giải các bài tập ở mức độ vận dụng,vận dụng cao nhằm giải quyết một cách triệt để các bài tập về

số phức trong các đề thi THPT Quốc gia

Từ năm học 2016- 2017 đến nay đã áp dụng hình thức thi trắcnghiệm vào môn Toán, đây là một khó khăn đối với học sinh vàvới cả các thầy cô giáo Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi các em phảitìm được phương pháp giải quyết bài toán một cách nhanh gọn

và chính xác Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài tập trắc nghiệm số phức bằng cách sử dụng phương pháp hình học nhằm nâng cao kết

quả thi tốt nghiệp THPT của Trường THPT Quảng xương 4” để viết sáng kiến kinh nghiệm trong năm học 2020- 2021

này

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu: một số bài tập trắc nghiệm số phứctrong các đề thi minh họa, và đề thi chính thức của BGD nhữngnăm gần đây, một số đề thi tham khảo,… cùng quá trình ôn tậpcho học sinh, tôi mong muốn học sinh trang bị được những kiếnthức cơ bản, từ đó phát triển tư duy logic, linh hoạt vận giảiquyết các bài tập trắc nghiệm số phức bằng cách vận dụng nộidung biểu diễn hình học của số phức,… một cách chính xác vàhiệu quả, giúp các em đạt kết quả cao hơn trong kỳ thi THPTQuốc gia và nâng cao hơn nữa chất lượng dạy học Toán ởTrường THPT Quảng xương 4 nói riêng và THPT nói chung

3 Đối tượng nghiên cứu

Dùng phương pháp hình học giải một số bài tập trắc nghiệm về

số phức

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

+ Nghiên cứu sách giáo khoa về cấu trúc và chương trình giảitích 12 ( Chương số phức)

+ Nghiên cứu các tài liệu, chuyên đề tham khảo trên internet

4.2 Phương pháp thực tập sư phạm:

Thực nghiệm sư phạm ở Trường THPT Quảng xương 4, tiến hànhtheo quy trình của đề tài sáng kiến kinh nghiệm để đánh giáhiệu quả của đề tài nghiên cứu

4.3 Phương pháp thống kê

Sử dụng phương pháp này để xử lý thống kê, xử lý, đánh giá kếtquả thu được

5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Số phức là chủ đề mới đối với học sinh phổ thông, đặc biệt làhọc sinh trung bình của trường THPT Quảng xương 4 vẫn còn làđiều mới mẻ Chính vì thế, sáng kiến kinh nghiệm này có thểgiúp học sinh tiếp cận các bài toán số phức dễ dàng hơn theocác trình tự từ dễ đến khó bằng phương pháp hình học Bêncạnh đó qua các dạng bài tập có suy luận từ bài toán cơ bản, cụthể là tính mới trong sáng kiến của tôi

II NỘI DUNG

z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 a 0

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

 Hai số phức bằng nhau:

' ' ' ( , , ', ' )

biểu diễn số phức z, u a b' '; '



biểu diễn sốphức z' thì u u u u                           ',               '

lần lượt biểu diễn số phức z z ' và z z '

 Chú ý: Có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân hai

số phức một cách tương tự như các phép cộng, trừ, nhân trêntập số thực

1.2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức

Đối với các bài toán biểu diễn hình học của số phức haycòn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó sốphức z thoả mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liênquan đến môđun của số phức) Khi đó ta giải bài toán này nhưsau:

Giả sử z a bi a b  , ( ,  ) Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt

2 Thực trạng vấn đề

Số phức là nội dung hoàn toàn mới đối với học sinh bậc trunghọc phổ thông hiện nay Vì chương trình mới đưa vào Sách giáokhoa nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và giáo viêntham khảo Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bàitập về số phức còn nhiều hạn chế Chính vì vậy mà việc giảngdạy của giáo viên và học tập của học sinh gặp không ít khókhăn Các bài tập liên quan đến số phức trong các đề thi trunghọc phổ thông quốc gia những năm gần đây tương đối đa dạng

và phức tạp ở cả bốn mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng

và vận dụng cao nên tìm hiểu các dạng bài tập về số phức đangrất cần thiết với hầu hết học sinh lớp 12 nói chung và học sinhlớp 12 Trường THPT Quảng xương 4 nói riêng Vì vậy tôi chọn

nghiên cứu một vấn đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải

một số bài tập trắc nghiệm số phức bằng cách sử dụng phương pháp hình học nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT của Trường THPT Quảng xương 4”, nhằm giải

quyết một số hạn chế trên và thay đổi tư duy về số phức củamột bộ phận học sinh lớp 12 vẫn thấy mới mẻ và ngại học

1 Phương pháp: Số phức z a bi  , a b  ,  được biểu diễn bởi điểm M a b ; 

tọa độ, điểm biểu diễn số phức 3 2i có tọa độ là

Hướng dẫn giải

Điểm biểu diễn số phức z  3 2i có tọa độ là 3; 2 

trong mặt phẳng tọa độ Mệnh đề nào sau đây đúng?

trong mặt phẳng tọa độ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A z1  z2 OM ON                            

B z1  z2 MN

2.1 Tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng 2.1.a Phương pháp:

Nhận dạng tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z z 1  z z2 là một đường thẳng

Cách 1: Sau đó chuyển sang ngôn ngữ hình học: Gọi A B, lần

lượt là các điểm biểu diễn z z1 , 2, M là điểm biểu diễn số phức z

thỏa mãn z z 1  z z2 Khi đó ta có: MA MB , hay tập hợp điểm

M là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Cách 2: Ngoài ra các em vẫn có thể giải bằng phương pháp biếnđổi đại số thông thường bằng cách gọi M x y ;  biểu diễn số phức

z

Sau đó dự vào giả thiết suy ra mối liên hệ giữa x y; suy ra đườngchứa tập hợp điểm cần tìm

2.1.b Ví dụ

biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 3 i  z i làđường thẳng có phương trình nào sau đây?

C. x 2y0. D. x 2y 3 0.

Hướng dẫn giải

Đối với bài tập này tôi hướng dẫn học sinh làm bằng hai cách sau:

Cách 1: Gọi số phức A B, lần lượt là các điểm biểu diễn số phức

2 3i và i, ta suy ra A2; 3 ,  B0;1 Điểm M x y ;  là điểm biểu diễn

, trung điểm củaAB là I1; 1 

Vậy tập hợp điểm M x y ;  là đường thẳng có phương trình:

biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện iz 2 3i   z 1 i làđường thẳng có phương trình axby11 0. Tính a+b

A 10. B 12. C  10. D  12.

Hướng dẫn giải

Tương tự như bài tập 1, ta giải bài tập trên như sau:

Ta suy ra tập hợp điểm M x y ;  là đường trung trực của đoạn thẳng AB với A3; 2 ; B  1;1 và có phương trình là 8x2y 11 0 Các em có thể thấy khi ta dùng các phép biến đổi cơ bản sẽ đưabài toán về dạng quen thuộc

Như vậy các em có thể giải quyết bài tập trắc nghiệm này một cách đơn giản sau khi xác định được tọa độ các điểm A B, Ngoài

ra còn các em còn có thể dùng các phép biến đổi thông thường

để suy ra tập hợp điểm biểu diễn sô phức thỏa mãn điều kiện cho trước, và tổng hợp cách giải cho hệ thống các bài tập tương

tự mà không phải mò mẫn cách giải đồng thời giảm bớt những sai lầm trong quá trình biến đổi nhằm đạt kết quả cao hơn trongcác kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc gia

diễn số phức zlà một đường thẳng có phương trình nào sau đây?

Vậy tập hợp biểu diễn số phức zlà một đường thẳng: x y 2 0

điểm M biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức là hình:

Nhìn vào đồ thị (Sử dụng phương trình đoạn chắn) ta viết ra được phương trình đường thẳng của các đáp án

A y x 2 B yx C y x 2 D.

2

y x 

Ở câu này đòi hỏi các học sinh cần phải nhớ lại các dạng

phương trình đường thẳng và cách viết phương trình đường thẳng nhanh nhất khi nhìn vào đồ thị (có thể sử dụng phương trình đoạn chắn hoặc phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm).

biểu diễn số phức z là đường thẳng 5x by c  0. Tính c b

suy ra tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB

với A B, có tọa độ hoàn toàn xác định hoặc từ giả thiết ta dùng

các phép biến đổi để tìm mối liên hệ giữa x y, suy ra đường

z Khi đó ta có: MI R, khi đó tập hợp điểm M là đường tròn

tâm I , bán kính bằng R

2.2.b Ví dụ

điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm và bán kính là

Tuy nhiên tùy từng bài tập khả năng lĩnh hội của mỗi, để các

em học sinh chọn cách trình ở bài tập này

phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w z  3i là một đường tròn.Tính bán kính đường tròn đó

Câu 3 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phứcbiểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: |z 1 i| 1

A. Đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính R = 1

Khi học sinh thực theo dõi và ghi nhận kiến thức từ hai bài tập

trên, học sinh tự lập biến đổi suy luận và kết luận cho bài tập 3

Gọi M x y ,  là điểm biểu diễn của số phức z x yi  trên mặt

phẳng phức Theo đề bài ta có |z 1 i| 1 | (x1) (  y1) | 1i 

x 12 y 12 1 x 12 y 12 1

( Hình tròn tâm I(-1;-1) bán kính R = 1 và kể cả đường tròn đó )

Tôi chỉ cần lưu ý lại cho học sinh cách xác định tọa độ tâm

đường tròn và thỏa mãn dấu bằng sảy ra thì học sinh sẽ chọn

đáp án chính xác

thỏa 1  z 1 i 2 là hình vành khăn Chu vi P của hình vành khăn

Gọi A  1,1 là điểm biểu diễn số phức Khi đó ta có:  1 i

1   z 1 i  2   1 MA 2 Tập hợp điểm biểu diễn là hình vành khăn giới hạn bởi 2 đường tròn đồng tâm có bán kính lần lượt là

1 2, 2 1

R  R   P P P  1 2  2 R1  R2 2 

Phần này tôi lưu ý các em công thức tính chu vi hình vành khăn.

biểu diễn các số phức w thỏa mãn điều kiện (3 4 ) i z 1 i 5.làmột đường tròn Tìm bán kính của đường tròn đó

A 10. B 5. C 15. D 1.

Hướng dẫn giải

Ở bài tập này ngay từ đề bài ta ko thể suy ra ngay tâm bán kínhđường tròn là tập hợp các điểm M x y ,  biểu diễn số phức z, mà phải dùng phép biến đổi sau:

25 25

A 

 , có bán kính lần lượt là R 1

Như vậy bằng cách làm nào các em sử dụng phương pháp hình học cũng đều giải quyết được bài toán nhanh gọn và chính xác khi các em nắm vững phương pháp cơ bản ban đầu

điểm biểu diễn

các số phức w z  2i là một đường tròn Tâm của đường tròn đó

Như vậy sau các ví dụ này tôi có thể tổng quát cho học sinh nhận dạng tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn nếu số phức z thỏa mãn: z z 0 R tâm I , bán kính bằng R ( với

I là điểm biểu diễn số phức z0)

2.3 Tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường elip

Như vậy sau các ví dụ này tôi có thể tổng quát cho học sinh nhận dạng tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường elip nếu số phức z thỏa mãn: z c  z c 2a ; a c, là hằng số cho trước

và elíp có độ dài trục lớn bằng 2a

2.3.a Phương pháp

Nhận dạng tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2a là một đường elip

Sau đó chuyển sang ngôn ngữ hình học: Gọi F F1 , 2 lần lượt là

các điểm biểu diễn số phức c c; , M là điểm biểu diễn số phức z

thỏa mãn z c  z c 2a Khi đó ta có: MF1 MF2  2a, hay tập hợp điểm M là đường elíp có tiêu điểm là F F1 , 2, tiêu cự 2c, độ dài

trục lớn 2a

2.3 b Ví dụ

hợp điểm biểu diễn số phức z là đường elip có phương trình là

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, F F1 , 2 lần lượt là các điểmbiểu diễn số phức z1  3,z2  3 Khi đó ta có MF1 MF2  10 Vậy tậphợp điểm M là đườg Elip có tiêu điểm là F13;0 , F 2 3;0, và độ dàitrục lớn 2a 10, suy ra c3,a 5 b 25 9 4 Vậy phương trình

điểm biểu diễn số phức z là đường elip có độ dài tiêu cự bằng

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường elip có độ dài trụclớn bằng

A 4 B 8 C 16 D 5

Hướng dẫn giải

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z, F F1 , 2 lần lượt là các điểmbiểu diễn số phức z1   1 3 ,i z2  2 i Khi đó ta có MF1 MF2  8 Vậytập hợp điểm M là đường Elip có tiêu điểm là F11; 3 ,   F2 2;1, và

độ dài trục lớn 2a 8 Vậy độ dài trục lớn là 2a 8

Dạng 3 Vận dụng giải một số bài tập tìm cực trị số phức 3.1 Phương pháp

Từ giả thiết vận dụng các bài tập dạng 2 tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Sử dụng kiến thức về hình học suy

ra cực trị của số phức ztheo yêu cầu bài toán

Gọi M x y ,  là điểm biểu diễn số phức z x yi x y R   ,  

Gọi E1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1 2i

Gọi F0, 1  là điểm biểu diễn số phức i

Ta có : z2 1i   z i ME MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục EF x y:   2 0

Để MA ngắn nhất khi MAEF tại M  M3,1  z  3 i

Như vậy bài toán số phức chuyển sang ngôn ngữ hình học trở thành bài toán tìm khoảng cách ngắn nhất từ một điểm đến mộtđường thẳng.

, z2 thỏa mãn z 1 4  1

và iz 2 2 1 Giátrị nhỏ nhất của z1  2z2 bằng

Phương trình đường thẳng AB: 3x y 6

+ Gọi N là điểm biểu diễn số phức v:

Khi đó theo đề bài ta có : MA MB  10 2 và AB 4 2 10 2  Vì A, B

là các điểm cố định nên quỹ tích các điểm M thõa mãn các điềukiện trên là elip E có độ dài trục lớn 2a 10 2, 2 tiêu điểm là A,

Mặt khác N là điểm biểu diễn cho số phức z2 thỏa mãn

z   i  là đường tròn  C tâm I6; 6 , bán kính R  2

Dễ thấy B, A, I nằm trên đường thẳng yx

Xét điểm P nằm trong đoạn BI thỏa mãn IP 2 P5; 5 

- Qua quá trình thực tế cho thấy những kiến thức cơ bản nhấtphải được trang bị, khắc sâu cho các em ngay từ năm lớp 10.

- Qua sáng kiến này tôi muốn gửi gắm thêm niềm say mê họcToán của cả Thầy và Trò, kết hợp với yếu tố về kiến thức các

em còn được rèn luyện kĩ năng tính toán và phát triển tư duylôgic, tư duy trìu tượng của học sinh giúp các em phát triển toàndiện

- Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai và ứng dụng rộngrãi cho toàn bộ học sinh khối 12 Các quý đồng nghiệp và các

em học sinh có thể dùng sáng kiến này như một tài liệu ôn tậpnội dung số phức trong kỳ thi THPT Quốc gia

Tôi đã đưa ra bài kiểm tra kiến thức phần này cùng một đề cho

2 lớp có lực học tương đương là lớp 12E ( lớp đối chứng ) và lớp 12K ( lớp thực nghiệm) và kết quả thu được là khả quan

Lớp đối chứng (Lớp 12E) Lớp thực nghiệm ( Lớp 12K)

Sĩ số:

43

Số lượng(HS)

Tỉ lệ (%)

III Kết luận và kiến nghị

1 Kết luận

Qua một thời giảng dạy, nghiên cứu về số phức và việc vậndụng phương pháp hình học vào giải bài tập số phức Một sốkhó khăn, vướng mắc của học sinh do thiếu các kĩ năng cơ bản

về việc thực hiện các phép biến đổi, đánh giá, nhìn nhận Có thểnói sáng kiến của tôi là thực sự cần thiết và hữu ích cho họcsinh và giáo viên Đặc biệt là học sinh lớp 12 đang ôn thi THPTQuốc gia và những thầy cô giáo trẻ mới ra trường

Tôi có thể khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quảcủa quá trình học tập, nghiên cứu về số phức Đồng thời là là sựtích lũy kinh nghiệm của quá trình dạy học với nhiều đối tượnghọc sinh, học hỏi từ các bạn đồng nghiệp Đa số bài tập nêucách giải đơn giản nhất để học sinh tiếp cận hiệu quả Do yếu tố

về thời gian, cũng như kiến thức và cách trình bày vẫn còn hạnchế Rất mong nhận được ý kiến nhận xét, góp ý của đồngnghiệp và các em học sinh để sáng kiến này được hoàn thiệnhơn Hy vọng rằng tài liệu này có thể giúp ích cho quý đồngnghiệp và các em học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập

để đơn giản hóa các bài tập về số phức trên phương diện hìnhhọc hóa số phức

3.2 Kiến nghị

Có thể dùng sáng kiến của tôi như một tài liệu tham khảo khithầy cô và các em học sinh giảng dạy và học tập về nội dung sốphức Xin chân thành cảm ơn