SKKN bài toán số phức dưới góc nhìn hình học

Lý do chọn đề tàiNội dung cuối cùng của chương trình Giải tích lớp 12 là một phần có nhữngkiến thức vô cùng mới mẻ và lạ lẫm với các em học sinh: Số phức.. Tuy nhiên, phương pháp “quy lạ

MỤC LỤC

Trang

1 MỞ ĐẦU .2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Điểm mới của sáng kiến king nghiệm 2

2 NỘI DUNG 3

2.1 Cơ sở lí luận 3

2.2 Thực trạng 4

2.3 Giải pháp 6

2.3.1 Một số bài toán điển hình 6

2.3.2 Một số câu hỏi trắc nghiệm tự luyện 17

2.4 Hiệu quả 20

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 21

3.1 Kết luận 21

3.2 Kiến nghị 21

1 MỞ ĐẦU1.1 Lý do chọn đề tài

Nội dung cuối cùng của chương trình Giải tích lớp 12 là một phần có nhữngkiến thức vô cùng mới mẻ và lạ lẫm với các em học sinh: Số phức Mọi quan niệmquen thuộc trước đây của các em như: bình phương một số bất kì luôn không âm,

có những phương trình bậc hai vô nghiệm, giờ không còn đúng nữa Hầu hết các

em học sinh đều cảm thấy lúng túng, thiếu tự tin Tuy nhiên, phương pháp “quy lạ

về quen” của Toán học luôn là một trong những giải pháp đơn giản và hữu hiệunhất cho giáo viên cũng như học sinh khi tiếp cận một vấn đề mới Nhờ có sự

tương ứng 1-1 giữa mỗi số phức với một điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mà có

rất nhiều bài toán số phức được giải quyết dễ dàng khi đưa về tọa độ phẳng và cũng

có rất nhiều bài toán số phức được sáng tạo từ các bài toán quen thuộc trong tọa độ

phẳng Đó chính là lí do mà tôi lựa chọn đề tài: “ Bài toán số phức dưới góc nhìn hình học ”

Mong muốn của tôi là giúp các em học sinh phát triển tư duy toán: biết đưa

lạ về quen, biết sáng tạo, phát triển một bài toán mới từ những vấn đề quen thuộc;rèn kĩ năng giải toán, có thêm phương pháp xử lí một số câu hỏi về số phức trongcác câu vận dụng, vận dụng cao của đề thi THPT Quốc gia Từ đó các em thấyđược vẻ đẹp của Toán học, thêm tự tin và yêu thích môn học này

1.3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12

Thời gian thực hiện: 4 tiết (tôi thực hiện vào các tiết ôn tập cuối năm)

Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về số phức trong chương trìnhSGK cơ bản môn toán lớp 12

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp “quy lạ về quen” nhờ có sự tương ứng 1-1 giữa mỗi số phức

với một điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mà có rất nhiều bài toán số phức được

giải quyết dễ dàng khi đưa về tọa độ phẳng và cũng có rất nhiều bài toán số phứcđược sáng tạo từ các bài toán quen thuộc trong tọa độ phẳng

1.5 Điểm mới của SKKN

Trong SKKN từ các ví dụ nêu bật được tầm quan trọng của việc khai thácnhững phương pháp và các dạng bài toán từ hình học để giải các bài toán số phức,

giúp học sinh cảm thấy quen thuộc hơn với số phức, từ đó có hướng phân tích bàitoán và tư duy phù hợp để đi tìm lời giải cho bài toán

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận

Trong đề tài này sử dụng các kiến thức cơ bản sau đây

1 Các định nghĩa

- Một số phức là một biểu thức dạng z a bi  với a b,   và i2 1, i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z a bi 

Tập hợp các số phức được kí hiệu là  : a bi a b / , ;i2 1

.Chú ý:

+ Khi phần ảo b  thì 0 z a là số thực

+ Khi phần thực a  thì z bi0  là số thuần ảo

+ Số  0 0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo.

3 Biểu diễn hình học của số phức và những chú ý quan trọng

- Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức

 

z a bi với ,ab được biểu diễn bằng điểm M a b ; 

+ Nếu M là điểm biểu diễn số phức z thì: z OM

+ Nếu M M lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức 1, 2 z z trên mặt 1, 2

phẳng phức thì z1 z2 M M1 2 và số phức z1z2 được biểu diễn bởi điểm

M OM  OM OM

4 Một số tập hợp điểm thường gặp

- Cho hai số phức z z có hai điểm biểu diễn là ,1, 2 A B ; khi đó tập các điểm

M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z z 1  z z2 là đường trung trực của đoạn thẳng AB

- Cho số phức z có điểm biểu diễn là 1 I, khi đó tập các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z z 1 R R, (  cho trước) là đường tròn tâm 0 I bán kính

+ Nếu F F1 2 2c2a thì tập các điểm M biểu diễn cho số phức z là một

Elip có trục lớn là 2a , tiêu điểm là F F và tiêu cự 1, 2 F F1 2 2 ; 2c b là độ dài trục nhỏ ( với b a2  c2 )

5 Bất đẳng thức trong tam giác.

+ z1z2 z1  z2 , dấu ‘’=’’ xẩy ra khi z1kz2với k 0

+ z1 z2 z1  z2 , dấu ‘’=’’ xẩy ra khi z1 kz2với k 0

+ z1z2  z1  z2 , dấu ‘’=’’ xẩy ra khi z1 kz2với k 0

+ z1 z2  z1  z2 , dấu ‘’=’’ xẩy ra khi z1 kz2với k 0.

Lưu ý: Toàn bộ phần kiến thức cơ bản trên đây giáo viên cần dạy kĩ để các em

hiểu và nắm thật vững rồi mới chuyển sang các bài toán điển hình.

2.2 Thực trạng

Trước khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh lớp 12A4thông qua một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 5 câu, thời gian 20’ (mỗi câu 2 điểm).Lúc này, các em đã học xong ba bài đầu của chương Số phức.

Đề bài như sau

Câu 1 Cho hai số phức z ,z thỏa mãn 1 2 | z | | z | | z z | 1  2  1 2  Tính 1 | z z |1 2 ?

A.

3. B 2 3. C 3. D

3.2

Câu 2 Cho ba điểm A,B,C lần lượt biểu diễn ba số phức z ,z ,z với1 2 3

z z ,z  Biết z | z | | z | | z |1  2  3 và z1z2  Mệnh đề nào đúng?0

A Tam giác ABC đều B Tam giác ABC vuông tại C

C Tam giác ABC cân tại A D Tam giác ABC cân tại B

Câu 3 Cho số phức z thỏa mãn | z 4| | z 4 10| . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z | là:

A 10 và 4 B 5 và 4 C 4 và 3 D 5 và 3.

Câu 4 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất sốphức z thỏa mãn z z  1 và z 3 i m Tìm số phần tử của S

A 2 B 4 C 1 D 3

Câu 5 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i  z 2 3 i  17 , gọi M m,

lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z Tính M2m2?

Câu 2 Chọn B.

Cách giải: Ta có OA OB OC  (với O là gốc tọa độ) đồng thời A và B đối xứng

nhau qua O Lại có C không trùng với A hay B nên C nằm trên đường tròn đường kính AB Do đó tam giác ABC vuông tại C

Câu 3 Chọn D.

Cách giải: Gọi F14;0 , F 2 4;0, từ giả thiết suy ra điểm biểu diễn cho số phức z

chạy trên Elip có trục lớn 2a  , trục bé 210 b  Vậy 6 M 5,m 3

Cách giải: Gọi N là điểm biểu diễn cho số phức z, và các điểm A 1;1 ,B2; 3 ,

khi đó theo bài ra ta có

1717

NA NB AB

1

x y

O

A

B H

Kết quả như sau

Chất lượng bài làm của học sinh thấp, kĩ năng giải toán phần này còn rất yếu,

đa phần các em làm theo cách đại số thông thường nên rất mất thời gian, hết giờmới chỉ được 2, 3 câu Chưa kể một số em khoanh “bừa”, khi yêu cầu giải thích lạikhông làm được

2.3 Giải pháp

2.3.1 Một số bài toán điển hình

Bài toán 1

Bài toán hình học gốc

1 Cho đường thẳng  và một điểm A cố định, M chạy trên , khi

2 Cho đoạn thẳng PQ và một điểm A không nằm trên PQ , M là

điểm thay đổi trên đoạn PQ , khi đó:

 TH1: Nếu hình chiếu H của A lên PQ nằm trong đoạn PQthì



maxAM max AP AQ, }; min AM AH

 TH2: Nếu hình chiếu H của A lên PQ nằm ngoài đoạn PQ thì



maxAM max AP AQ, }; min AM min AP AQ, }

TH2 TH1

Q H

A

H Q P P

Từ đó ta có một số bài toán sau:

Bài toán 1.1 Cho số phức z thỏa mãn z 1 i   z 3 3i , tìm min z 4 i

Giả sử z x yi x y  ; ,   , khi đó điểm M x y biểu diễn cho số phức  ;  z chạy trên

đường thẳng   : 2x y   ( là đường trung trực của đoạn thẳng BC với4 0

Ta có IA  17 3 , vậy điểm A nằm ngoài đường tròn ( I ;R ) nên

maxMA  3 17.

Bài toán 1.4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức z1 có điểm

biểu diễn M , số phức z2 có điểm biểu diễn là N thỏa mãn z  ,1 1 z 2 3

và MON  120 Giá trị lớn nhất của 3z12z2  3i là M0, giá trị nhỏnhất của 3z1 2z2 1 2i là m0 Biết M0 m0 a 7 b 5 c 3d,với a b c d , , , Tính a b c d   ?

N1

O 1

M

Gọi M1 là điểm biểu diễn của số phức 3z1, suy ra OM 1 3.

Gọi N1 là điểm biểu diễn của số phức 2z2, suy ra ON 1 6 Gọi P là điểm sao cho

Khi đó 3z12z2  3i AQ1, bài toán trở thành tìm AQ 1 max biết điểm A trên

đường tròn  C Dễ thấy 1 AQ1max OQ1R1 3 3 3

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của 3z1 2z2  1 2i 3z1 2z2   1 2i

Đặt 3z1  2z2 w2  w2  3 7 , suy ra điểm biểu diễn w2 là B thuộc đường tròn

C tâm 2 O0;0 bán kính R 1 3 7 Gọi điểm Q2 là biểu diễn số phức  1 2i.

Khi đó 3z1 2z2    1 2i BQ2, bài toán trở thành tìm BQ2 min biết điểm B

trên đường tròn C Dễ thấy điểm 2 Q2 nằm trong đường tròn C nên2

BQ2min R2  OQ2 3 7  5

Bài toán 2

Bài toán hình học gốc

Cho hai điểm ,A B cố định ; với mỗi điểm M trên mặt phẳng ta luôn có :

 MA MB AB  dấu " " xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng

AB

B M

A

 MA MB AB dấu " " xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đườngthẳng ABnhưng nằm ngoài đoạn thẳng AB

B A

M

M B

A

Đây là một bài toán quen thuộc đối với học sinh, bài toán này đã được phát triển trong hình học tọa độ Do vậy ta tương tự hóa sẽ thu được các bài toán trong sốphức bằng cách coi M A B lần lượt là các điểm biểu diễn cho ba số phức , , z z z ; , ,1 2

trong đó ,A B cố định ( z z là hai số phức cho trước không đổi) còn 1, 2 z là số phức

thay đổi sao cho M có thể chạy trên một đường thẳng, đường tròn, parabol,

Bài toán 2.1 Cho z là một số phức thuần ảo và P z 2 2 i  z2 1i Tìm giátrị nhỏ nhất của P khi z thay đổi ?

1 2 3 4

Gọi A2;2 , 1; 2 B  ta thu được bài toán quen thuộc với học sinh : Tìm M Oy

sao cho MA MB nhỏ nhất Do A,B nằm về cùng một phía so với Oy , ta gọi B1

là điểm đối xứng với B qua Oy thì B (-1 ;-2) và 1 MA MB MA MB   1

Từ đó thu được Pmin AB1  khi 5

20;

3

M   

  hay

23

Xét trên mặt phẳng phức, theo giả thiết nếu M là điểm biểu diễn của số phức z

trên mặt phẳng phức thì M chạy trên đường trung trực của đoạn thẳng EF với

E( ; ), F( ; ) hay M chạy trên đường thẳng có phương trình

 

2x 3y 8 0 

Gọi A 1;1 ; 1;2B  bài toán trở thành tìm M  :PMA MB đạt max hoặcmin

Ta có : 2.1 3.1 8 2.1 3.2 8        suy ra 0 A B, cùng nằm về một phía so với

  Do đó 0 MA MB AB   hay 0 P AB  Từ đó suy ra minP  khi0

3

M  

  nên 2

1013

z   i

.Suy ra 1 2

R 

Gọi A   6; 4 khi đó IA  49 25 5  nên A nằm ngoài  C và OI  2 5

nên O nằm trong  C Bài toán trở thành tìm M  C MO MA:  đạt min

Ta có MO MA OA  nên m OA 2 13 khi M là giao điểm của đoạn thẳng OA

và  C

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

x y

A

O M

I

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z1, M thuộc đường tròn tâm O bán kính

2  OM  2 Gọi N là điểm biểu diễn cho số phức z2, N thuộc đường tròn tâm

 I I1 2 R1R2 thì hai đường tròn ngoài nhau Giả sử hai điểm M ,N

lần lượt chuyển động trên I R và 1; 1 I R2; 2

Khi đó : max MN I I 1 2R1R2 và min MN I I 1 2  R1 R2

Bài toán 3.1 Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương m để tồn tại hai số

 suy ra M là giao điểm của hai đường tròn O;3 và I m Do đó để; 

có đúng hai số phức z thỏa mãn thì hai đường tròn phải cắt nhau tại hai điểm

nguyên dương của m

Bài toán 3.2 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z 3 6 i | 5 và

Vậy M chính là điểm chung của đường tròn tâm I m ;0 bán kính r  và đường1 3tròn tâm K1;0 bán kính r  nhưng bỏ điểm 2 1 A2;0 .

TH1 : Hai đường tròn có hai điểm chung nhưng một điểm là A :

m IK   r r hai đường tròn có đúng 1 điểm chung A (loại).

TH2 : Hai đường tròn có đúng 1 điểm chung khác A Khi đó ta có

Ta có |w  2 3i | 2 | w 2 3i | 2   nên gọi N x y   biểu diễn số phức; 

w x iy   (x', y'  thì ) N thuộc đường tròn C có tâm 2 I22; 3 , bán kính

Mặt khác, iz2  1 2i  4 3z2  6 3 i 12 nên điểm biểu diễn số phức 3z2là

điểm N nằm trên đường tròn  T có tâm 2 I26;3 và có bán kính là R  2 12

Ta thấy 2iz13z2 2iz1   3z2 MN

T lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất, mà hai đường tròn trên ở ngoài nhau.

Vậy giá trị lớn nhất của MN I I 1 2 R1R2  313 16

Bài toán 3.6 Xét các số phức z1, z2 thỏa mãn z 1 4 1 và iz 2 2 1 Giá trị lớn

M x y biểu diễn cho số phức z thì M là điểm chung của đường tròn có phương

trình  1 và hình vuông ABCD có phương trình  2

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi hình vuông và đường tròn có 4 điểm chung phânbiệt hay khi và hình tròn tiếp xúc hoặc đi qua 4 đỉnh của hình vuông

2.3.2 Một số câu hỏi trắc nghiệm tự luyện

Câu 1 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất sốphức z thỏa mãn z z  1 và z 3 i m Tìm số phần tử của S

Câu 2 Biết số phức zcó phần ảo khác0và thỏa mãn z 2i  10 và z z  25.

Điểm nào sau đây biểu diễn số phức z trên?

A P4; 3  B N3; 4  C M3; 4. D Q4; 3.

Câu 3 Cho z1, z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 5 3 i  ,5đồng thời z1 z2  Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức 8 w z 1 z2 trongmặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây?

Câu 7 Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm

biểu diễn lần lượt là M M ; số phức , z4 3 ivà số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là ,N N Biết rằng , , , M M N N là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của z4i 5

Câu 8 Trong mặt phẳng phức, xét số phức zvà số phức liên hợp của nó có

điểm biểu diễn lần lượt là M M ; số phức , z4 3 i có điểm biểu diễn là N

Gọi N là điểm đối xứng với N qua đường thẳng MM  Biết rằng tứ giác

MNM N  là hình thoi Tìm phần ảo của z để z4i 5 đạt giá trị nhỏ nhất.

9625



B.

19225

A min

994511

P 

B P  min 5 2 3.

C min

994513

P 

D P  min 5 2 3.

Câu 10.Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức

z=x−1+ yi , ( , x y   thỏa mãn ) | z|=1 và N là điểm biểu diễn số phức

z0=1−i Tìm điểm M thuộc (C) sao cho MN có độ dài lớn nhất

ảo? A.0 B vô số C.2 D.1

Câu 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  3Trong các số phức w thỏa mãn w z 1i, gọi w và 1 w lần lượt là số phức2

có môđun nhỏ nhất và môđun lớn nhất Khi đó w1w2 bằng

Câu 16 Xét số phức z thỏa mãn z 2 i  z 4 7 i 6 2. Gọi m M, lần lượt

là giá trị nhỏ nhất cả giá trị lớn nhất của z 1 i. Tính P m M  .

A P  13 73. B

5 2 2 73

.2

C P 5 2  73. D

.2

Câu 18 Xét ba điểm A,B,Ccủa mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số

phức phân biệt z ,z ,z thỏa mãn 1 2 3 | z | | z | | z |1  2  3 và z1z2 z3  Mệnh đề nào0sau đây là đúng ?

A Tam giác ABC vuông B Tam giác ABC đều.

C Tam giác ABC có góc 120 D Tam giác ABC vuông cân0

Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn | z |4 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn

số phức w ( 3 4 i)z i là một đường tròn Bán kính của đường tròn đó bằng :

2.4 Hiệu quả của đề tài

Sau khi thực hiện đề tài trên, tôi cho các em học sinh lớp 12A4 làm bài kiểm tra sau ( thời gian 20 phút)

Đề bài