SKKN bài toán cực trị hàm hợp trong ôn thi tốt nghiệp THPT năm 2021

Bài toán liên quan đến cực trị của Hàm số hợp là một nội dung khá quan trọng trong các đề thi là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định lý, các quy tắc,

MỤC LỤC :

2 Các giải pháp giải quyết vấn đề 4-16

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

1 Lý do chọn đề tài:

Bài toán liên quan đến cực trị của Hàm số hợp là một nội dung khá quan trọng trong các đề thi là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định lý, các quy tắc, các công thức đã học ở lớp dưới, các phương pháp giải mà trong sách giáo khoa Giải tích 12 không có đưa ra

Hiện nay đối với bài toán bài toán cực trị của hàm số hợp thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan,khó khăn lớn nhất là áp lực thời gian, bởi vậy học sinh phải vận dụng cả kiến thức và kỹ năng để tìm ra đáp án đúng trong khoảng thời gian tương đối ngắn, học sinh có nhiều cách làm,không cần trình bày lời giải miễn sao có thể tìm ra đáp án bài toán một cách nhanh nhất

Với mong muốn giúp học sinh có thể tìm ra đáp án bài toán cực trị Số phức một cách nhanh nhất có thể để phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiên

nay Vì thế tôi chọn đề tài: " Bài toán cực trị hàm hợp trong ôn thi tốt nghiệp THPT năm 2021 ”.

2- Mục đích nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng một hệ thống các bài tập nhằm định hướng hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực, kỹ năng sau đây:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán

- Kỹ năng vận dụng các kiến thức về giải tích lớp 12

- Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện hỗ trợ tính toán

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Rèn luyện, bổ xung , định hướng học sinh vào các chủ đề, chủ điểm mà

đề thi minh họa đưa ra

- Tạo thêm kênh bài tập để học sinh thảo luận trao đổi Qua đó nâng cao kiến thức của mình để áp dụng trong các kỳ thi

3- Đối tượng nghiên cứu:

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học toán nói chung và dạy học phân môn Giải tích 12 ở trường THPT Lê Hồng Phong để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc xây dựng hệ thống bài tập trong việc nâng cao chất lượng dạy học

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Trên cơ sở tài liệu phân phối chương trình môn học, chuẩn kiến thức - kỹ năng, sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao và tài liệu về Dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh để xây dựng hệ thống bài tập theo mục đích đã đặt ra

- Đưa ra các dạng bài toán tổng quát tìm tham số thỏa điều kiện bài toán cực trị trong chương trình Toán THPT hiện hành, phân tích và đưa ra công thức giải nhanh Sau đó lấy ví dụ minh họa cụ thể

4- Những điểm mới:

4.1 Điểm mới của đề tài.

Sau khi có đề minh họa và đề chính thức của Bộ Giáo dục & Đào tạo, tôi nhận thấy rằng các câu hỏi ở phần VD-VDC đòi hỏi học sinh cần có nhiều bài tập, tài liệu để làm quen và rèn luyện nhằm phù hợp với đối tượng học sinh khá giỏi học sinh các lớp chuyên chọn

Nguyên nhân khách quan:

- Do hệ thống kiến thức vừa dài lại vừa khó trong khi trong phân phối thời lượng lại quá ngắn

Nguyên nhân chủ quan:

- Khả năng tự học của học sinh còn thấp, số lượng câu hỏi trong Sách giáo khoa phần này còn hạn chế

4.2 Sáng kiến của đề tài.

Sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc giải các câu hỏi mức độ 9 điểm, 10 điểm trong đề thi Tốt nghiệp Từ đó học sinh không

còn áp lực với các bài toán ở mức độ vận dụng - vận dụng cao, các em làm bài

có hiệu quả hơn

4.3 Giải pháp của đề tài.

- Người giáo viên lên lớp phải có sự chuẩn bị chu đáo, công phu trong các tình huống đã được lường trước Muốn làm được điều đó đòi hỏi chúng ta phải bắt tay giải các bài toán đó trước tránh cho chúng ta tính ỷ lại hay sao chép máy móc

- Học sinh được tiếp cận với vấn đề một cách tự nhiên, đặt ra các vấn đề cần giải quyết qua từng ví dụ và định hướng suy luận của giáo viên Từ đó rèn luyện

kỹ năng quan sát phân tích, tìm tòi và nghiên cứu của các em

II NỘI DUNG

1 Thực trạng

1.1 Về phía giáo viên

Sử dụng tương đối tốt các kĩ năng về tình toán và phân dạng các câu hỏi trong mức độ nghiên cứu Tuy nhiên bài toán phần này nhiều nội dung nên việc giải các bài toán đó còn gặp nhiều khó khăn và bao quát được các dạng câu hỏi

Tài liệu thư viện chưa đủ nhiều nên tài liệu tham khảo còn hạn chế

1.2 Về phía học sinh

Đa số học sinh chưa chủ động trong quá trình học tập và tự luyện, các em còn chưa nhận dạng đầy đủ các dạng toán, ngại khó

Điều kiện học tập còn khó khăn các em rất ít bài tập tiếp cận với các kiến thức liên quan

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Dưới đây là một số bài tập của phần mà tôi đã thiết kế và tổ chức dạy học

ở đơn vị công tác:

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số hợp khi biết đồ thị

Bài toán 1 Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y=f x( ).

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

( 1)

y= f x+ +m có 5 cực trị?

Nhận xét:

- Hàm sốy f x( )  có số điểm cực trị bằng số cực trị của hàm yf x( )

và số giao điểm của đồ thị hàm yf x( ) với đường thẳng y  ( không

tính giao điểm là các điểm cực trị)

- Số điểm cực trị của hàm yf x( ) bằng số điểm cực trị của hàm

yf x a

Từ nhận xét trên ta có: Hàm sốyf x( 1) có 3 cực trị

Vậy ta cần đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số yf x( 1) tại 2 điểm khác cực trị

Từ đồ thị ta suy ra:



Do m  * nên m {3,4,5}

Bài toán 2 Cho hàm số yf x  liên tục trên  và đồ thị hàm số yf x  cho bởi hình vẽ bên Đặt    

2

2

x

g x f x 

,   x Hỏi đồ thị hàm số y g x   có bao nhiêu điểm cực trị?

A 0 B 2 C 4 D. 3.

Lời giải

Ta có: g x f x  x

Từ đồ thị hàm số yf x  và đồ thị hàm số y x ta thấy:

f x  x với    x  ;1  2; và f x  x0 với  x 1;2

Ta có bảng biến thiên của g x 

Vậy đồ thị hàm số y g x   có hai điểm cực trị

Bài toán 3. Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  trên khoảng   ;  Đồ thị của hàm số yf x như hình vẽ

Đồ thị của hàm số y f x  2 có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu B 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu

C 1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu D. 1 cực đại, 1 cực tiểu

Lời giải

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đạt tại x 1, đạt cực tiểu tại x x1 ; 2

từ đó ta có:

Bảng biến thiên

Ta có: y f x  2 y2f x f x   0

 

 

0 0

f x

f x





 

Quan sát đồ thị và bảng biến thiên ta có

 

0

3

x

x









 

 

1

2

x x

x x







 

 với x 1 0;1 và x 2 1;3

Ta có: f x  0 x   ;0  3; và f x   0 xx1 ;1  x2 ; 

Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm sốy f x  2:

Suy ra hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

Bài toán 4 Cho hàm số bậc bốn yf x , có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số g x  f x 3  3x2 là

Lời giải

Đặt t x3  3x2, ta có t  3x2  6x

0 0

2

x

t

x





Ta có bảng biến thiên của hàm t x 

 

2

3 2

0

g x





Phương trình 3x2 6x 0 có 2 nghiệm phân biệt là 0 và  2

Từ đồ thị của hàm số yf x  mà đề đã cho

Suy ra phương trình

 

 

3 2

1 1

2 2

3 2

3 3





Dựa vào bảng biến thiên của t x  vẽ ở trên ta xác định được:

Phương trình  1 có 1 nghiệm

Phương trình  2 có 3 nghiệm phân biệt

Phương trình  3 có 1 nghiệm

Các nghiệm này đều khác 0 và  2

Vậy g x  0 có 7 nghiệm đơn phân biệt, tương ứng với 7 điểm cực trị g x 

Bài toán 5 Cho hàm số yf x có đạo hàm trên  và có đồ thị f x  như hình vẽ

y

Hàm số g x  f x 2  2x

có bao nhiêu điểm cực đại

Lời giải

Ta có g x x2 2x f x  2 2x 2x 2 f x 2  2x

Giải phương trình g x  0  2 

x



 



2

2

2

x













1

3 1

x x x x x







 





 







Từ đồ thị f x  ta có  

2 0

3

x

f x

x

 



2 2

2

 1

3

x

x

 





Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số g x  f x 2  2x

có hai điểm cực đại

Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số hợp khi biết bảng biến thiên.

Bài toán 1 Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên  và bảng xét dấu đạo hàm

x

f '(x)

_

Hàm sốy 3f x4  4x2  6 2x6  3x4  12x2

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Lời giải

Xét hàm số y g x    3f x4  4x2  6 2x6  3x4  12x2

có tập xác định D 

g x   x  x f  x  x   x  x  x

Có x44x2 6 x4 4x26 x2 222 

   x2  22 2  2, x

Suy ra  f  x4  4x2  6  x2  1  0

Do đó g x  0  12x x2  2  0

0 2 2

x x x











Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y g x   có hai điểm cực tiểu.

Bài toán 2 Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình vẽ bên Hàm số

3 1

yf x có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Lời giải

Đặtg x f 3x1  g x  3f3x1

2

3 1

3















Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại

1 3

x 

Bài toán 3 Cho f x  là hàm số bậc bốn thỏa mãn f  0 0 Hàm số f x'  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g x   f x 3  6x

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Xét hàm số h x  f x 3  6x có h x'  3x f x2 ' 3  6

Ta có    3  

2

2

x



3 3 2

f x a x x  f x a   x C 

Từ BBT:    

13

4

ta tìm được

,

, từ đó f ' 0   2 0

Với x 0, f x '  0 nên kéo theo f x ' 3 0

mà 2

2 0

x





nên phương trình  * không có nghiệm và h x '  0

Với x 0, f x' là hàm sô nghịch biến, còn 2

2

x



là hàm số đồng biến nên phương trình  * có nhiều nhất 1 nghiệm Ta có h' 0   và h   '  nên phương trình  * có nghiệm duy nhất x c  0

Từ đó ta có BBT của h x 

Do ta có h 0 f(0) 6.0 0  nên h c   0

Từ đó suy ra hàm số g x  h x  có 3 cực trị

Bài toán 4 Cho hàm số f x( ), bảng biến thiên của hàm f x'( ) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số f(4x24 )x là

Lời giải

Ta có

2

x

 





 

 

2

1 2

2 2

3 2

4

1

2

x



















Ta có: 4x24x(2x1)2 1 1

Do đó (1) vô nghiệm, các phương trình (2), (3), (4) mỗi phương trình cho hai nghiệm Các nghiệm này khác nhau và khác

1 2



Tóm lại y ' 0 có 7 nghiệm phân biệt Nên hàm số có 7 cực trị

Bài toán 5 Cho hàm số yf x có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực đại của hàm số yf 3  x2 là

Lời giải

Đặt g x f 3  x2

Ta có: g x   f 3  x23  x2.f3  x2  2 x f3  x2

2

0

x





0

x









   ( các nghiệm này đều là nghiệm bội lẻ)

Ta có bảng biến thiên:

Cách xét dấu

 

g x : Chọn giá trị x0   1 0; 2 g 1  2.f 2  0

( vì f  2 <0) Từ đó có bảng biến thiên trên.Qua bảng biến thiên: Ta thấy hàm số đã cho có 2điểm cực đại

Dạng 3 : Tìm cực trị của hàm số hợp khi biết f x' 

Bài toán 1 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x'   2  x x  2  82021

Hàm số  2  1 4 2

2

có mấy điểm cực trị?

Lời giải

Xét hàm số    2  1 4 2

2

;

 

0

x

g x





  



Để giải phương trình (*) ta đặt t x 2 2

2021 2

2021 2

3

t t







Suy ra

2

2

2

2 2

5

x x

x x









Vậy g x '  0 có 5 nghiệm (đều không phải nghiệm bội chẵn) nên hàm số đã cho có 5 cực trị

Bài toán 2 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x'  4x32x và f  0 1 Số điểm cực tiểu của hàm sốg x  f3x2  2x 3

là

A 0 B 1 C 2 D. 3

Lời giải Chọn C

Ta có f x'   0 4x32x x0

Ta có f x  x4x2C và f  0 1 nên f x x4x2 1 0,x

Lại có g x'   3 2 x 2  f x' 2  2x 3  f2x2  2x 3

 

1

3

x

x





Ta có bảng biến thiên:

Từ BBT suy ra hàm số yg x  có 2 cực tiểu

Bài toán 3 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x'  x2  x x  2  4x 3 ,   x .

Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x  f x 2 m có

3 điểm cực trị

Lời giải

Ta có

    2   

0

3

x

x









 

 (x0,x3 là nghiệm đơn;

1

x  là nghiệm bội chẵn)

Mặt khác

 

 

 

2 2

2

0 0

1

x x

















Do  2 có nghiệm luôn là nghiệm bội chẵn; các phương trình    1 , 3 không

có nghiệm chung và m  3 m.

Hàm số g x  có 3 điểm cực trị  g x' 0 có ba nghiệm bội lẻ

0

m

m m



Vì m m0;1;2 .Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m bằng 3

Bài toán 4 Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên  có

   2  5  1

f x  x x x và f  2 1 Hàm số g x   f x 2 2

  có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải

Từ giả thiết ta có

         

2

1

x

x









 



Bảng biến thiên của yf x 

Từ bảng biến thiên suy ra f x  0,  x 0 nên f x 2  0,   x

Xét hàm số g x   f x 2 2

Xét  

0 0

2

x

g x

x









Bảng biến thiên của

   2 2

2 0

∞

g(x)

∞

∞

0

+ +

g'(x)

Từ bảng biến thiên trên suy ra hàm số g x   f x 2 2

  có ba điểm cực trị

III.KẾT LUẬN

1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài.

Việc phân loại các dạng bài toán đã đem lại hiệu quả cao trong việc học tập và rèn luyện của học sinh

Học sinh đã nắm được các dạng cơ bản, rèn luyện nhiều các kĩ năng làm bài tập

và ứng dụng

Áp dụng trong ôn tập các câu vận dụng - vận dụng cao trong quá trình ôn thi tốt nghiệp năm 2020- 2021

Qua điều tra tôi nhận thấy rằng: Sau khi áp dụng việc phân dạng học sinh đã

học tập tiến bộ

2 Kiến nghị, đề xuất

Sau khi thực nghiệm đề tài này tôi xin đưa ra một số kiến nghị sau:

Cần phát huy tốt việc phân loại các dạng bài tập để học sinh học tập dễ dàng và hứng thú hơn

Cần cung cấp và cho học sinh làm quen nhiều với dạng toán nâng cao

Do khả năng và thời gian có hạn, kết quả của sáng kiến chỉ dừng lại ở bước đầu, nhiều vấn đề chưa được đi sâu, không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong được góp ý để hoàn thiện đề tài

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 19 tháng 5 năm 2021

(Ký và ghi rõ họ tên)

Trần Lưu Giang

IV Tài liệu tam khảo

[1] Giải tích 12.

[2] Đề minh họa môn toán 2020.

[3] Đề minh họa môn toán 2021.

[4] Đề minh thi môn toán 2020.