SKKN định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải bài toán tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ CHO TRƯỚC Ở M

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO

ĐỒ THỊ CHO TRƯỚC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Người thực hiện: Phạm Văn Quí Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2021

MỤC LỤC Trang

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

Danh mục: Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng

đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp

cao hơn xếp loại từ C trở lên

22

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Bài toán tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị là bài toán thường xuấthiện ở các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia (từ năm 2019 trở về trước)cũng như các kỳ thi tốt nghiệp THPT, vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệtđối với học sinh cũng như giáo viên Hơn nữa từ năm học 2016 – 2017 Bộ giáodục đã chuyển môn toán sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan nên các bàitoán về tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị càng trở nên đa dạng vàphong phú, đồng thời kiến thức trải rất rộng và có tính phân hóa cao Mặt khác

vì hình thức thi trắc nghiệm khách quan nên phần lớn các bài toán tìm sốnghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cần phải suy luận logic và hầu như ít sửdụng được máy tính cầm tay, đặc biệt hơn trong những năm gần đây các bài tìm

số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị ở mức độ vận dụng thường có xuhướng gắn với đồ thị hàm số cho trước làm cho giáo viên và học sinh gặp khókhăn trong việc tìm tòi lời giải, vì để giải quyết được các bài toán loại này yêucầu đòi hỏi phải có kiến thức tổng hợp về hàm số và đồ thị, kỹ năng đọc đồ thị

và sự tương giao của đồ thị, đồng thời phải linh hoạt trong sự chuyển đổi từphương trình sang sự tương giao của đồ thị Ngoài ra, các tài liệu tham khảocho những dạng toán trên hầu như chưa có và chỉ xuất hiện rời rạc ở những bàitoán đơn lẻ và trong các đề thi thử Do đó việc tổng hợp và đưa ra phương phápgiải nhanh các dạng toán trên là rất cần thiết cho học sinh trong quá trình ôn thi

tốt nghiệp THPT Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm trong quá

trình giảng dạy và tham khảo một số tài liệu, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Định

hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải bài toán tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng” nhằm giúp các em hiểu và

có kỹ năng giải quyết tốt các bài tập để đạt kết quả tốt nhất trong các kì thi

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Kiến thức về hàm số, đồ thị của hàm số và phương trình trong chương trìnhtoán THPT

- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh các bài toán không có tham sốtìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước

- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh các bài toán có tham số tìm sốnghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

- Phương pháp tổng hợp

- Phương pháp thống kê, so sánh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Những kiến thức cơ bản về hàm số, đồ thị của hàm số và phương trình

2.1.1 Sự tương giao của các đồ thị

3 Số giao điểm của hai đồ thị  1

C và C2 là số nghiệm của phương

4 Đồ thị hàm số y b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục

2.1.2 Điều kiện có nghiệm của phương trình

Giả sử hàm số f liên tục trên a b;  Khi đó ta có:

1 Phương trình f x  m có nghiệm trên

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1 Đối với giáo viên

- Trước đây bài toán tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị chotrước trong chương trình thi quốc gia (từ năm 2009 – 2016) chỉ là một bài ápdụng trực tiếp đồ thị đã khảo sát ở câu trước đó vì vậy mức độ nhận thức cũngkhông đòi hỏi quá cao

- Hiện tại với hình thức thi trắc nghiệm và đặc biệt là đề thi THPT Quốcgia các năm gần đây cũng như kỳ thi Tốt nghiệp THPT năm 2020 và các đềtham khảo của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, các đề thi thử của các trường THPT,các câu hỏi tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước đã xuấthiện nhiều hơn, rộng hơn Đặc biệt thường xuyên xuất hiện những câu hỏi tìm sốnghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng Tuynhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu về vấn đề này vì vậy nguồn thamkhảo của giáo viên cũng như học sinh còn hạn chế còn hạn chế

- Các giáo viên chưa có nhiều tài liệu và thời gian nghiên cứu những dạngtoán tích phân thông qua đồ thị cho trước, vì vậy chưa có nhiều kinh nghiệmtrong giảng dạy và định hướng cho học sinh giải những bài toán tìm số nghiệmcủa phương trình dựa vào đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng

2.2.2 Đối với học sinh

- Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn vềkinh tế, khó khăn trong việc học tập vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của các

em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình

- Với lớp bài toán vận dụng, các em thường thụ động trong việc tiếp cận

và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa có ýthức tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bàitoán

- Số lượng tài liệu tham khảo cho các em còn ít

- Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu đúng bản chất bàitoán mà còn phải tìm ra cách giải nhanh nhất để đạt kết quả tối đa

- Học sinh còn lúng túng nhiều vì các dạng bài toán tìm số nghiệm củaphương trình dựa vào đồ thị cho trước các em chưa được tiếp xúc nhiều, đặc biệt

là các bài toán tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước ở mức

độ vận dụng Bên cạnh đó các em còn chưa định hướng được phương pháp đúng

đắn khi tiếp xúc với các bài toán tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thịcho trước nên chưa có nhiều kĩ năng giải loại bài tập này.

Trước tình hình đó tôi muốn đưa ra một ý tưởng giải quyết các bài toántìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước bằng cách “ địnhhướng” cho học sinh cách giải một số bài tập ở dạng này một cách “chính xác”

và “nhanh chóng”, giúp các em phát triển tư duy và kích thích sự ham học tậpcủa các em

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Phương pháp giải nhanh các bài toán không có tham số tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước

Bài 1: Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ Gọi m là

số nghiệm của phương trình f f x     1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

* Phân tích: Bài toán sẽ trở nên đơn giản và quen thuộc đối với học sinh nếu ta

đưa về dạng f  t 1 Vì vậy ta nghĩ ngay đến việc đặt f  x t, nghĩa là ta xem

 

f x là ẩn và từ đồ thị ta sẽ tìm được các nghiệm của phương trình đã cho theo

ẩn f x Tuy nhiên mấu chốt ở chỗ là ta phải giải được các phương trình tiếptheo dạng f  x m với m là nghiệm của phương trình f  t 1 Việc này hoàntoàn giải được dựa vào đồ thị nếu ta biết được miền giá trị của các nghiệmphương trinh f  t 1, chính vì vậy kỹ năng đọc đồ thị là điều kiện tối thiểu đểhọc sinh giải được lớp bài toán này

* Giải:

Do các nghiệm không trùng nhau nên tổng số nghiệm là: m    3 3 1 7.

 Chọn B

* Nhận xét: Đây là bài toán khá cơ bản ở mức độ vận dụng về sự tương giao

của hàm số Bài toán này đòi hỏi về tư duy hàm của học sinh ở mức khá Bàitoán sẽ trở nên dễ dàng nếu học sinh biết tách làm hai công đoạn là giải phươngtrình ban đầu với ẩn f  x và giải các phương trình sau đó với ẩn x, cả hai côngđoạn này đều sử dụng đồ thị hàm số đã cho

Bài 2: Cho hàm số f x  liên tục trên  có đồ thị yf x  như hình vẽ bên.Phương trình f 2  f x    0 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt

* Phân tích: Đây là bài toán hoàn toàn tương tự bài toán 1, tuy nhiên ban đầu

đối với phương trình f 2  f x    0 thì ta xem 2 f x   là ẩn, từ đó sẽ cho ta 3 phương trình dạng f  x  2 m, với m là các nghiệm của phương trình

* a  2; 1   2 a3;4 suy ra phương trình (1) có đúng 1 nghiệm.

* c1;2  2 c0;1 suy ra phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt

Kết luận: Có tất cả 5 nghiệm phân biệt

 Chọn B

* Nhận xét: So với bài 1 thì bài 2 vất vả hơn ở chỗ là ngoài việc xác định miền

giá trị của các nghiệm của phương trình f  x 0 thì tiếp theo ta phải xác địnhđược khoảng giá trị của 2 m (với m là nghiệm của phương trình f  x 0).Đến đây bài toán xem như được giải quyết bằng cách dựa vào đồ thị đã cho

Bài 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2019) Cho hàm số bậc ba yf x  có đồ thịnhư hình vẽ bên

Số nghiệm thực của phương trình:  3  4

* Giải:

Đặt t x3 3x t' 3 x2 3 Ta có bảng biến thiên:

0;1 2 1; 2

b   b

Khi đó ta có phương trình:  

4 3

f t 

, ta thay vào phương trình t x3 3x

để tìm nghiệm x Khi đó ta có:

Với   2 t2   0 phương trình t x 3 3x có 3 nghiệm

Với 0 t3   2 phương trình t x3 3x có 3 nghiệm

* Nhận xét: Bài toán trên đòi hỏi tư duy tổng hợp về đồ thị hàm số Trước hết

học sinh phải biết “quy lạ về quen” bằng cách đặt ẩn phụ t x3 3x, sau đó phải

vẽ được hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Tuy nhiên mấu chốt của vấn đềchính là việc học sinh phải nhận ra được sự tương ứng giữa nghiệm x vànghiệm t, nghĩa là tư duy hàm của học sinh phải ở mức khá vì vậy nếu hiểuđược sự tương ứng giữa x và t thì ta sẽ giải quyết bài toán được chính xác

Bài 4: (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020) Cho hàm số bậc ba yf x( ) có đồthị là đường cong trong hình bên Số nghiệm thực phân biệt của phương trình

 3 ( ) 1 0

f x f x  

là

* Phân tích: Cũng giống như bài 3 ta có thể nhanh chóng đưa về dạng quen

thuộc bằng cách đặt ẩn phụ t x f x 3  , dựa vào đồ thị ta có thể tìm được ngaynghiệm t Tuy nhiên tiếp sau đó để tìm số nghiệm x thông qua số nghiệm t thìlại khó hơn bài 1 nhưng ta vẫn có thể tìm được số nghiệm thông qua sự tươnggiao của 2 đồ thị yf x  và   3

Với k a , dựa vào đồ thị suy ra phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt khác

0 và c

Với k b , dựa vào đồ thị suy ra phương trình  3 có hai nghiệm phân biệt khác

0, c và khác hai nghiệm của phương trình  2

3 3

3

0 ( ) 0 ( ) 0

( ) 0 ( ) (do 0)( ) 0

TH 3: Với x 0, đồ thị hàm f x( ) đồng biến trên  ;0 nên

Do đó: g x ( ) 0 có đúng hai nghiệm trên \ 0 

tương ứng với từng giá trị của k Đây vẫn là bài toán tương giao rất

cơ bản nhưng đòi hỏi mức độ tư duy cao vì đây không đơn thuần là sự tươnggiao của các đồ thị quen thuộc với đường thẳng y m mà là sự tương giao giữamột đồ thị quen thuộc và một đồ thị có vẻ “lạ” Ở bài này tác giả đưa ra cách 2

để bài toán có cách tiếp cận linh động hơn, tuy nhiên cách 2 thiên về tư duy giảitích nhiều hơn, còn cách 1 học sinh có cái nhìn trực quan hơn nhưng học sinhphải nhanh nhạy phác họa được đồ thị dạng 3

k y x



Bài 5: Cho hàm số f x  có đồ thị như hình vẽ Đặt g x( )f f x( ( ) 1) Tìm sốnghiệm của g x '( ) 0.

* Phân tích: Đây là bài toán tìm số nghiệm của phương trình g x '( ) 0 chứ không phải tìm số nghiệm của phương trình g x ( ) 0 như các bài trước Mặt khác g x '( ) 0 sẽ có nghiệm là các điểm cực trị của hàm số y g x ( ) mà các điểm cực trị ta có thể dễ dàng nhận ra trên đồ thị Như vây sau khi tính đạo hàm của hàm số y g x ( ) thì ta cần lưu ý nghiệm của g x '( ) 0 là các điểm cực trị chứ không phải giao của đồ thị và đường thẳng như các bài trước đây, còn việc sau khi đã tìm được nghiệm của phương trình g x '( ) 0 thì phần còn lại tương tựnhư các bài trên

* Giải:

Ta có : g x( )f f x( ( ) 1)  g x'( )f x f f x'( ) '( ( ) 1)

Ta có:

'( ) 0 (1) '( ) 0

Ta xét lần lượt đường thẳng: y a 1 cắt đồ thị f x( ) tại 2 điểm phân biệt

Đường thẳng: y 2 cắt đồ thị f x( ) tại 2 điểm phân biệt

Đường thẳng: y b 1 cắt đồ thị f x( ) tại 2 điểm phân biệt

Nên phương trình (2) có 6 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình g x '( ) 0 có 9 nghiệm phân biệt

* Nhận xét: Như vậy các bài toán ở dạng này đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng

đọc đồ thị thật thành thạo đồng thời biết vận dụng sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số một cách nhuần nhuyễn cũng như biết tổng hợp vận dụng kiến thức một cách linh hoạt

2.3.2 Phương pháp giải nhanh các bài toán có tham số tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước

Bài 1: (Đề khảo sát chất lượng lớp 12 Sở GD & ĐT Thanh Hóa năm 2021)

m) vì vậy ta phải xác định được miền giá trị các nghiệm t của phương trình

+ Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt

+ Mỗi phương trình (1) và (2) có nhiều nhất 4 nghiệm (các nghiệm này khôngtrùng nhau)

Vậy phương trình có nhiều nhất 10 nghiệm  Chọn D

* Nhận xét: Mấu chốt của bài toán là xác định được miền giá trị các nghiệm

của phương trình x4 2m x2 2 3 t, từ đó suy ra số nghiệm tối đa của phươngtrình đã cho dựa vào bảng biến thiên của hàm số quen thuộc y x 4 2m x2 2 3.Đây là bài toán rất cơ bản về sự tương giao của hai đồ thị nhưng ở mức độ tưduy đòi hỏi sự linh động và tổng hợp kiến thưc cao của học sinh

Bài 2: Cho hàm số yf x  có liên tục trên đoạn 2;4 và có đồ thị như hìnhsau

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f 3 x f m  có hai nghiệm thuộc đoạn 1;5

* Phân tích: Đây là bài toán có đồ thị hơi “lạ”, tuy nhiên việc này không còn là

bất ngờ với học sinh vì đề thi tốt nghiệp hay thi THPT Quốc gia trước đây năm nào cũng có bài mà đồ thị có vẻ “lạ” Với bài này ta ban đầu ta xem f m  là một tham số vì vậy bản chất cũng là sự tương giao của đồ thị yf 3 x với đường thẳng song song hoặc trùng với Ox: yf m  vì vậy ta sẽ nhanh chóng tìm được số nghiệm của phương trình f t  f m  với t  3 x Tuy nhiên cần lưu ý rằng miền giá trị của x và t là khác nhau nhưng liên hệ với nhau bởi

3

t   x Điều khó khăn ở đây là sau khi tìm được miền giá trị của f m  thì ta lại tiếp tục sử dụng đồ thị và xem m là ẩn đồng thời phải sử dụng tính đơn điệu của đồ thị hàm số để rút ra được sự tương ứng giữa m và f m 

* Giải:

Đặt t  3 x Với x   1;5 ta suy ra t   2;4

Khi đó, mỗi t   2;4 cho ta một x   1;5

Do đó phương trình f 3 x f m  có hai nghiệm thuộc đoạn 1;5 khi và chỉkhi phương trình f t  f m  (*) có hai nghiệm thuộc đoạn 2;4

Từ đồ thị của hàm số f x  , ta suy ra phương trình (*) có hai nghiệm khi và chỉ khi:

2

m m

* Nhận xét: Đây là bài toán tư duy tổng hợp đòi hỏi học sinh phải có khả năng

đọc đồ thị hàm số một cách linh hoạt và nắm vững về sự tương ứng giữa giá trị hàm số và biến số, bên cạnh đó học sinh phải biết vận dụng tính đơn điệu của hàm số rút ra sự tương ứng giữa giá trị hàm số và biến số và dẫn đến kết quả chính xác của bài toán

Bài 3: Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Số giá trị nguyên của m để phương trình f x  2 m có nghiệm trên đoạn

là dồ thi có vẻ “lạ” nên khi tịnh tiến sẽ rất trừu tượng và dễ dẫn đến nhầm lẫn

Vì vậy ta có thể định hướng cho học sinh xác định miền giá trị của hàm số

yf x trên đoạn 1,5 từ đó coi như bài toán được giải quyết

* Giải: Ta có       1 x 5 3 x 2 3  0 x 2 3

Đặt t  x 2 với t 0;3 Xét hàm số yf t  liên tục trên 0;3

Dựa vào đồ thị ta thấy max ( ) 5  0;3  f t 

* Nhận xét: Mấu chốt của bài toán nằm ở chỗ ta xác định được miền giá trị của

Bài 4: Cho hàm số yf x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ

Hỏi có bao nhiêu số nguyên dươngm để phương trình

3

2 2

* Phân tích: Với bài toán này thì từ phương trình ở đề bài phải rút ra được hàm

số f x  để dựa vào đồ thị Từ định hướng đó ta biến đổi đưa về hàm đặc trưng đơn điệu Đến đây nút thắt bài toán coi như được giải quyết