SKKN giải pháp, kỹ thuật giải nhanh một số dạng câu hỏi vận dụng trong chương trình môn toán lớp 12 góp phần nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT

Lý do chọn đề tài Trong thực tiễn qua trình dạy học và ôn thi THPT QG, nay là kỳ thi tốt nghiệp THPT, tôi thường tâm đắc với các kỹ thuật giải nhanh một số dạng toán có trong cấu trúc đề

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong thực tiễn qua trình dạy học và ôn thi THPT QG, nay là kỳ thi tốt nghiệp THPT, tôi thường tâm đắc với các kỹ thuật giải nhanh một số dạng toán có trong cấu trúc đề thi trắc nghiệm các năm gần đây, cụ thể là dạng toán xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp, dạng toán tính tích phân của biểu thức

có dạng

b

a

udv

 và dạng toán liên quan đến biểu diễn hình học và cực trị của số phức Những kỹ thuật giải nhanh này tôi thường xuyên áp dụng để giảng dạy cho các lớp ban KHTN giúp giúp các em có thêm hứng thú, tư tin khi gặp các vấn đề, các dạng toán khó xuất hiện trong đề thi, điều này giúp các em giải quyết vấn đề nhanh hơn và góp phần nâng cao kết quả thi TN THPT của bộ môn

Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn

đề tài: “Giải pháp, kỹ thuật giải nhanh một số dạng câu hỏi vận dụng trong chương trình môn Toán lớp 12 góp phần nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2020 –

2021 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tài liệu tham khảo nhỏ giúp các em học sinh khá giỏi lớp 12 trong nhà trường có thêm một phương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán trong

đề thi TN THPT, sau đó là khuyến khích các em dựa vào những điều đã đã học được để sáng tạo ra những bài tập hay trong nội dung thi TN THPT, qua đó giúp các em phát triển tư duy logic, tổng hợp các phần, các chương đã học để chọn nhanh được hướng tiếp cận đối với các câu hỏi trắc nghiệm ở mức độ vận dụng trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào ba nội dung:

- Lớp các bài toán xác định tâm và tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

- Lớp các bài toán về tính tích phân từng phần sử dụng hệ số điều chỉnh

- Lớp các bài toán có mối quan hệ giữa số phức với hình học tọa độ trong mặt phẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra, quan sát

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi gặp dạng toán về xác định bán kính của mặt cầu ngoài tiếp tứ diện học sinh, ở một số bài nếu các em sử dụng phương pháp truyền thống là dựng hình thì thường lúng túng khi đi xác định vị trí của tâm mặt cầu và khó khăn khi đi tìm bán kính của mặt cầu

Khi gặp một số bài toán về tích phân từng phần, nếu không sử dụng phương pháp đều chỉnh hệ số thì việc tính toán thường phức tạp, mất nhiều thời gian, dễ sai đáp số

Khi gặp dạng toán cực trị trên tập số phức được phát triển từ bài toán cực trị hình học thường làm các học sinh kể cả những học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát hiện nút thắt mấu chốt cho đến cách xử lý Đa số các em không nhận ra “bẫy” trong đề bài, sa đà vào tính toán, gây mất thời gian mà thường không thu được kết quả mong đợi

Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để biến đổi bài toán Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách phối hợp giữa tư duy hình học và tính toán đại số

Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài toán loại này ở chương hình học thì làm được khá thành thạo nhưng khi ở chương số phức với ngôn từ, giả thiết khác thì các em lại không phát hiện ra vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà rất lúng túng cứ như là gặp những bài toán mới

Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề cũng như cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Trong phần này, tác giả chủ yếu nêu ý tưởng về các cách thiết kế, xây dựng một số chủ đề dạy học và ý tưởng về hướng giải quyết các yêu cầu đặt ra Do khuôn khổ một SKKN bị hạn chế về số trang nên việc chi tiết hóa cách giải quyết từng bài tập xin phép được dành cho bạn đọc quan tâm vận dụng trong quá trình giảng dạy

2.3.1 Đại số hóa bài toán tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Đối với bài toán xác định tâm và tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp, thông thường ta sử dụng phương pháp dựng hình (gọi là phương pháp truyền thống) như sau:

B1) Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (là đường thẳng d đi

qua tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy)

Tâm I của mặt cầu sẽ nằm trên trục d.

B2) Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên nào đó, trong trường

hợp một hình chóp có cạnh bên và trục d cùng thuộc mặt phẳng (P) thì trong (P) chỉ cần dựng trung trực của cạnh bên đó Khi đó tâm I của mặt cầu là giao của trục

d và mặt phẳng trung trực (hoặc là giao của d với đường thẳng trung trực)

B3) Sử dụng mối quan hệ tam giác đồng dạng để tính bán kính của mặt cầu Thực hiện theo phương pháp trên nếu bài toán xuất hiện tình huống có một

cạnh bên và trục d cùng thuộc mặt phẳng (P) thì việc xác tâm và bán kính của mặt

cầu là tương đối thuận lợi Trong trường hợp không có bất kỳ cạnh bên nào đồng phẳng với d, khi đó để xác định tâm bắt buộc phải dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên Việc này không dễ dàng với nhiều học sinh, kể

cả học sinh khá giỏi, từ đó các em có tâm lí e ngại hoặc sợ khi gặp phải bài toán loại này.

Sau đây tác giả trình bày phương pháp đại số hóa để tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trong tình huống không có bất kỳ cạnh bên nào đồng phẳng với d:

Giả sử cần tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có đỉnh là S và một đỉnh của đáy là A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và H là chân đường cao hạ từ đỉnh S xuống mặt đáy Khi đó để xác định vị trí tâm và tìm bán kính của

mặt cầu ta thực hiện theo các bước sau:

B1) Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa

giác đáy là đường thẳng d vuông góc với mặt

đáy tại O Tâm I của mặt cầu sẽ nằm trên d.

Đặt x OI (x 0 nếu I và S cùng phía so với

mặt đáy và x 0 nếu I và S khác phía)

B2) Ta có hệ thức sau

2 2 2 2 ( )2 2 2

IS R IA  IK  SH x x OA

Giải phương trình tìm được x

B3) Kết luận: Bán kính là R x2OA2

x

d R

R

A

O

S

H

I K

Ví dụ 1.1: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính bán kính của

Hướng dẫn

d

O H

D

A

S

Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH (ABCD). Dễ thấy tâm I của mặt cầu nằm trên trục d đi qua tâm O của hình vuông ABCD và vuông góc với mặt phẳng (ABCD), I và S cùng phía so với mp (ABCD).

Đặt x OI thì

2

a

IK OH  và OC2 OI2 R2 IK2 KS2 2

2

2

2

a

x

2 2

 

      

2

a

Ví dụ 1.2: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp

S CMN

6

a

12

a

8

a

12

a

R 

Hướng dẫn

O

H

N M

D

A

S

d I K

Gọi H là trung điểm của AD suy ra SH (ABCD). Dễ thấy tâm I của mặt cầu nằm trên trục d đi qua trung điểm O của MN và vuông góc với mặt phẳng (ABCD), I và

S cùng phía so với mp (ABCD).

Nếu đặt x OI thì 10

4

a

IK OH  và OC2 OI2 R2 IK2 KS2 2

2

2

4

a

x

2

2 2 93

Ví dụ 1.3: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,tam giác SAD

đều và tam giác SCD vuông cân tại S Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A 7 2

2

8

2

5

2

a



Hướng dẫn

d

N

B

C

S

H

I K

Gọi M N, lần lượt là trung điểm AB CD, Do tam giác SAB đều nên SM AB.

Mà MN AB Do đó ABSMN  (ABCD)SMN

Kẻ SH MN H MN    SH ABCD

4

SM SN a SH

MN

Gọi O là tâm ABCD, dựng trục d của ABCD tại  O thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD nằm trên d

Nếu đặt x OI thì

4

a

IK OH  và OA2 OI2 R2 IK2 KS2

2

2

2

a

x

2 2

 

      

2

2 2 21

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: 4 2 7 2

3

S  R  a

Ví dụ 1.4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh 1 Gọi K là trung điểm của AB, M N,

lần lượt là hình chiếu của K lên AD và AC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K CDMN ?

A 3

3 3

2

3 2 8

Hướng dẫn

d K

A

C

D B

E

H N

M

O

F

I

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC khi đó BH ACD Gọi E là trung điểm của

AH, suy ra KE  ACD Từ E hạ EN vuông góc xuống AC, NAC, suy ra

KN AC

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NCD, O AH

Dựng đường thẳng d đi qua O, vuông góc với ACD

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp K MNCD thì I nằm trên trục d , I và S cùng phía so với mp (MNCD).

4

IF OE  ; 6

6

6

12

ON OC OD   Đặt OI x ta có hệ thức IC2 R2 IK2  IO2 OC2 IF2 FK2

2

2 39 3 6

suy ra 6

24

mc

R IK  x  

Ví dụ 1.5: Cho hình chóp tam giác S ABC có mặt bên SBC và mặt đáy ABC là các tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA tạo với mặt đáy (ABC) một góc 600 Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

A

2

13

9

a



B

2

22

9

a



C

2

25

9

a



D

2

11

9

a



Hướng dẫn

d S

A

B

C

H

M O

I K

Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu của S lên AM  SH ABC 

góc giữa SA và mặt phẳng  ABC là  SAH   60

Tam giác SAM có SM AM và có SAM   nên tam giác 60 SAM đều 

đường cao SH cũng chính là đường trung tuyến

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC Qua O dựng đường thẳng d vuông góc với

 ABC  d chính là trục của tam giác ABC Dễ thấy tâm I của mặt cầu nằm trên trục d , I và S cùng phía so với mp (ABC).

Nếu đặt x OI thì HK OI x Ta có 3

3

a

4

a

AH  ; 3

12

a

IK OH AO AH  , 3

4

a

4

a

SK SH HK    x

Ta có hệ thức

2 2 2 2 2

SK IK R IO  AO

2

2

a x

 bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2 2 13

6

a

R AI  OI OA 

Vậy diện tích mặt cầu là

2 2

2 13 13

S  R    

2.3.2 Kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh trong bài toán tính tích phân từng phần

Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng rộng rãi trong chương trình phổ thông và tỏ ra hiệu quả khi tính các tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai hàm số khác nhau ( )

b a

udv uv  vdu

uf x dv g x dx

Suy ra vg x dx  nên v x( ) xác định không duy nhất, các hàm số v x( ) có

thể sai khác một hằng số , v x( )v x0( ) 

Căn cứ vào mỗi bài toán, ta có thể chọn  phù hợp sao cho việc tính tích phân

b

a

vdu

 được dễ dàng hơn Đây chính là kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh 

Ví dụ 2.1: Cho biết  

2

2 1

ln 9 x dx a ln 5bln 2c

Tính S a  b  c

A S 34 B S 13 C S 18 D S 26

Hướng dẫn

2

2

ln 9

9 3

x

x





(Ở đây ta chọn hệ số điều chỉnh  3)

2 2

2 1

3



ln 5 6ln 2 2 6ln 3 ln5 6ln 2 2 6ln 5 12ln 2

5ln 5 6ln 2 2 13

x S

* Phân tích: Làm theo cách thông thường không chọn hệ số điều chỉnh

2

2

ln 9

9

x

x





 

2 2 2

2

2 1

1

9

x

x





Việc tính

2 2

2

1 9

x dx

x 

 sẽ khó khăn hơn so với tính

2

1 3

x dx

x 

Ví dụ 2.2: Cho biết

3

2 1

3 ln

ln 3 ln 2 ( 1)

x

dx a b b x





 , với a b c, , là các số hữu tỉ.

Tính S ac

b

2

4

S  D S 2

Hướng dẫn

Đặt

2

1

3 ln

1

1 1 ( 1)

x

v x



 



(Ở đây ta chọn hệ số điều chỉnh

1

  )

3 3

3 1 1

1

x

3

4

Ví dụ 2.3: Cho biết

1 2

3 0

ln ln 2 ( 1)

x x

dx a b c x



và b là số nguyên tố Tính S a b c  

A 17

2

8

4

8

S 

Hướng dẫn

Đặt

2

2

2 3

1

x

x x

x x













(Ở đây ta chọn hệ số

điều chỉnh  1)

1 1 2

2 2

0 0

x x

Ví dụ 2.4: Cho biết

3

2 0

4

4

 



 , với a b, là các số hữu tỉ ; p q,

là các số nguyên tố và p q Tính S 2ab pq .

2

S 

Hướng dẫn

Đặt

2

4 2

4 4 3

16 4

4

16 4

x

x

v

dv x dx









(Ở đây ta chọn hệ số điều chỉnh

4

 

3 3 2

4

2

1 1

x

x

* Phân tích: Làm theo cách thông thường không chọn hệ số điều chỉnh

Đặt

2

4 2

4 3

16 4

4

4

x

x

x v

dv x dx







3 3

1 1

4

  

Đến đây nhiều học sinh rất lúng túng, thậm chí là “bó tay” khi đi tính

3 5 4

1 16

x dx

x 

Qua ví dụ trên ta thấy hiệu quả “tuyệt vời” khi sử dụng hệ số điều chỉnh.

Ví dụ 2.5: Cho biết 2  

2 4

ln sin cos

ln sin

dx a b c d x







tỉ, clà số nguyên tố Tính S abcd

A 5

2

2

S  D S 1

Hướng dẫn

Đặt

2

cos sin

ln sin cos

sin cos

cot 1









(Ở đây ta chọn hệ số điều chỉnh  1)

3 3

4 1

cos sin cot 1 ln sin cos

sin

x







4

3

4 2

x x







* Phân tích: Kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh áp dụng rất hiệu quả cho các dạng tích phân sau:

1) ( )ln ( )

b

a

P x Q x dx

 với P x Q x( ), ( ) là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ Với dạng này khi tính bằng phương pháp tích phân từng phần ta nên chọn hệ số điều chỉnh sao cho có thể rút gọn được tối đa các nhân tử trong tích phân

b a

vdu

2

ln sin cos

sin

b

a

m x n x

dx x



 , với dạng này ta chọn hệ số điều chỉnh là m

n



Thật vậy

2

cos sin

ln sin cos

sin cos

cot

m x n x

m x n x









2

ln sin cos

cos

b

a

m x n x

dx x



 , với dạng này ta chọn hệ số điều chỉnh là m

n .

2.3.3 Hình học hóa bài toán về cực trị và tìm tập hợp điểm trên tập số phức

a) Mối liên hệ giữa số phức và các yếu tố hình học phẳng

- Biểu diễn hình học của số phức z x yi  với ( ,x y R ) trên mặt phẳng tọa độ là điểm M x y Khi đó z OM ;  

- Biểu diễn hình học của hai số phức z và z là hai điểm đối xứng nhau qua

trục Ox nên nếu quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức z và z lần lượt là các hình

   C , C thì hai hình đó cũng đối xứng nhau qua trục ' Ox

- Nếu điểm biểu diễn của hai số phức z z là 1, 2 A B, thì

1 2

z z AB







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  với M là trung điểm đoạn AB.

- Cho điểm biểu diễn của hai số phức z z là 1, 2 A B, Số phức z thay đổi thỏa

mãn z z 1  z z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là trung trực của đoạn

AB

- Cho điểm biểu diễn của hai số phức z z là 1, 2 A B, Số phức z thay đổi thỏa

mãn z z 1  z z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.

- Cho z là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là 0 I, một số phức z

thay đổi thỏa mãn z z 0  R 0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z chính là

đường tròn tâm I bán kính R

b) Bài toán cực trị số phức

Ví dụ 3.1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thằng

 d : 3x 4y 3 0 Tính giá trị nhỏ nhất của z

A 1

5 B

3

5 C

4

5 D

2

5.

Hướng dẫn

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z  min  

3

; 5

Min z OM d O d 

Ví dụ 3.2: Cho các số phức z w, thỏa mãn z 2 2i  z 4 ,i w iz 1. Giá trị

A 3 2.

2

Hướng dẫn

Gọi A2;2 , B0;4 và M là điểm biểu diễn số phức z Từ đề bài ta có:

MA MB , hay quỹ tích điểm M là đường trung trực đoạn AB  Quỹ tích điểm

M là đường thẳng  d x y:   2 0

Mà w iz 1 i z. 1 z i IM

i

2

Min d I d

Ví dụ 3.3: Cho số phức z không phải số thuần ảo thỏa điều kiện

2 4 2

z  z z i Giá trị nhỏ nhất của z i bằng

A 2 B 1 C 3 D 4.

Hướng dẫn

2 ( )

z i z

z z z i z i z i z z i

z i l





Như vậy bài toán đã trở về dạng giống ví dụ 2

Ví dụ 3.4: Cho các số phức z thỏa mãn z 2 4 i  z 2i Giá trị nhỏ nhất của 7

z   i là

A 4 10

3 10

Hướng dẫn

z i z i z i







Bài toán trở thành: Cho các số phức z thỏa mãn z 2 4 i  z 2i Tìm giá trị nhỏ nhất của z 7 i Như vậy bài toán đã trở về dạng giống ví dụ 2

Ví dụ 3.5: Cho các số phức z thỏa mãn z 1  z 1 Giá trị nhỏ nhất của

z  i  z  i là

Hướng dẫn

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, từ điều kiện z 1 z 1 suy ra được quỹ tích điểm M là trục Oy Đặt A2;4 , B4;6 thì A B, nằm về hai phía trục Oy Khi đó z 2 4i  z 4 6 i MA MB AB  2 10

Ví dụ 3.6: Cho các số phức z thỏa mãn 2z 5 4i 2z 3 4i Giá trị nhỏ nhất của z 1 4i  z 1 i là