SKKN rèn luyện cho học sinh khả năng khai thác bài toán theo nhiều khía cạnh trong dạy học môn hình học lớp 9

Trong quá trình dạy học toán việc tổng hợp các kiến thức lí thuyết một cách có hệ thống và phân chia các bài tập theo từng dạng, loại nếu được là cần thiết.Giúp các em dễ nhớ, dễ thuộc,

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GD&ĐT HOẰNG HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNGPHÂN TÍCH ĐA THỨC

THÀNH NHÂN TỬVÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ

TRONG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 8.

Người thực hiện: Lê Thị Hồng Gấm

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Hoằng Đạt

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

2.3.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 3

2.3.2 Một số ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử 13

Tài liệu tham khảo

Danh mục sáng kiến kinh nghiệm

1 Mở đầu.

1.1 Lí do chọn đề tài.

Toán là bộ môn khoa học có vị thế vô cùng quan trọng trong chương trình phổthông nói chung và chương trình THCS nói riêng Môn Toán là môn học gópphần không nhỏ tới sự hình thành nhân cách, phát triển tư duy, hình thành kỹnăng, kỹ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập của học sinh, Học tốt mônToán là cơ sở để các em học tốt các môn học khác

Trong quá trình dạy học toán việc tổng hợp các kiến thức lí thuyết một cách

có hệ thống và phân chia các bài tập theo từng dạng, loại (nếu được) là cần thiết.Giúp các em dễ nhớ, dễ thuộc, các em dễ dàng nắm vững kiến thức đã học, chủđộng tự mình nhanh chóng tìm ra lời giải và giải trọn vẹn các bài tập thuộc dạng

đã học, làm cở sở để các em khám phá kiến thức mới Do đó trong quá trình bồidưỡng học sinh nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng cần thiết phảidạy theo từng chuyên đề, từng dạng

Trong phân môn Đại số 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là mộttrong những dạng toán hay và khó được vận dụng rất nhiều vào giải các bài toánkhác như rút gọn phân thức, giải phương trình, giải bất phương trình, chứngminh quan hệ chia hết, Để học tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh phải trang bịcho mình rất nhiều kỹ năng, tích hợp nhiều kiến thức Qua nhiều năm dạy toán 8tôi nhận thấy đa số các em chỉ nắm được các một số phương pháp phân tích đathức thành nhân tử đơn giản, việc vận dụng và đi sâu vào các bài toán khác liênquan đến phân tích đa thức thành nhân tử thì hầu như các em rất lúng túng, gặpnhiều khó khăn trong việc tìm lời giải

Năm học 2020-2021, Tôi được phân công dạy môn Toán 8 Bản thân Tôiluôn trăn trở làm thế nào để chất lượng giảng dạy đạt kết quả cao hơn? Tôi mạnhdạn đưa ra một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách có hệthống, nhằm giúp học sinh có kỹ năng giải tốt dạng toán này và các bài toán liênquan, các em thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử tronggiải toán Từ đó, kích thích các em sự tìm tòi sáng tạo, khám phá những kiến

thức mới, say mê trong học tập Chính vì vậy, Tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó trong giải toán”

cho học sinh lớp 8 trường THCS Hoằng Đạt, Hoằng Hóa để nghiên cứu thực tế

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Cung cấp cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử và một số ứng dụng của nó trong giải toán, nhằm giúp các

em học sinh có khả năng giải tốt dạng toán này Đối với học sinh khá, giỏi thìvận dụng dạng toán này vào giải bài tập liên quan một cách linh hoạt, sáng tạo;

- Phát huy khă năng suy luận, phán đoán, tính linh hoạt ở học sinh;

- Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán để

từ đó giáo dục ý thức học tập cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng bộ môn

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó trongchương trình Đại số 8;

- Học sinh lớp 8A, 8B trường THCS Hoằng Đạt, Hoằng Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu lí luận;

- Phương pháp nghiên cứu khảo sát thực tiễn;

- Phương pháp phân tích, tổng hợp;

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1.Cơ sở lí luận của đề tài.

Trước hết giáo viên cần làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhântử” là gì, có những phương pháp nào để phân tích và ngoài những bài tập vềphân tích đa thức thành nhân tử thì những dạng bài tập nào được vận dụng nó vàvận dụng như thế nào?

Nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải bài toán “Phân tích đathức thành nhân tử”

2.1.1 Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa

thức đó thành một tích của những đa thức

2.1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thông thường.

- Đặt nhân tử chung;

- Dùng hằng đẳng thức;

- Phương pháp xét giá trị riêng,

2.2 Thực trạng của đề tài.

Như chúng ta đã biết, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử được sắp xếpngay từ đầu chương I Đại số 8, với thời lượng chỉ có 6 tiết bao gồm 4 tiết líthuyết và 2 tiết bài tập, kiến thức về dạng toán này rất nhiều đa dạng, phong phú.Nhìn chung, đa số các em chỉ làm được các bài tập đơn giản trong sách giáokhoa, còn việc vận dụng và đi sâu vào các bài toán khác liên quan đến phân tích

đa thức thành nhân tử thì hầu như các em lúng túng, đôi khi bế tắc Từ thựctrạng trên, để chất lượng giảng dạy đạt hiệu quả cao hơn tôi mạnh dạn nêu ra cácphương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mang tính hệ thống để giúp các

em có thể tổng hợp được kiến thức, kỹ năng tính toán, kỹ năng tư duy; Giúp các

em có khả năng vận dụng tốt dạng toán này trong giải toán; Thấy được vai tròcủa việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán để từ đó giáo dục ý thứchọc tập cho học sinh

* Kết quả và điều tra thực trạng

Nhìn vào bảng so sánh trên, ta thấy số học sinh chưa thực hiện được phépphân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán còn khá cao so với sĩ số học sinhcủa mỗi lớp Trước những khó khăn và thực trạng trên bản thân tôi luôn trăn trở,suy nghĩ, tìm nhiều giải pháp để nâng cao chất lượng bộ môn, góp phần nângcao chất lượng chung của nhà trường Chính vì vậy, trong khuôn khổ đề tài này,tôi muốn rèn luyện cho học sinh một số phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử và ứng dụng của nó trong giải toán mà bản thân tôi đã tích lũy đượctrong quá trình giảng dạy trong những năm vừa qua.

2.3 Các giải pháp thực hiện

2.3.1.Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp

Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

- Mỗi nhóm đều có thể phân tích được;

- Sau khi phân tích ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích phải được tiếp tục

Chẳng hạn ở ví dụ b, ta có thể phân tích như sau:

Nhận xét: Trên thực tế khi phân tích đa thức thành nhân tử thường phối hợp

nhiều phương pháp, theo các bước sau:

- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung;

-Dùng hằng đẳng thức nếu có;

- Nhóm nhiều hạng tử ( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là hằng đẳngthức), nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước dấu ngoặc và đổi dấu các hạng tử.

Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Phương pháp 4: Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Dùng tam thức bậc hai: f x =ax 2 bx c

Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x2  8x 4

Giải: Đa thức trên không có nhân chung, không có một dạng hằng đẳng thức

đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các hạng tử Ta biến đổi đa thức ấy thành

đa thức có nhiều hạng tử hơn

Nhận xét: Trong cách giải 1, hạng tử -8x được tách thành hai hạng tử -6x và

-2x Trong đa thức 3x2  6x 2x 4, hệ số của các hạng tử là 3; -6; -2; 4.Các hệ

số thứ hai và thứ tư đều gấp -2 lần hệ số liền trước, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung x – 2

Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai ax 2 bx c thành nhân tử,

ta tách hạng tử bxthành b x b x1  2 sao cho 1

2

b c

a b , tức là b b1 2 ac Trong thực hành ta làm như sau:

Bước 1: Tìm tích ac;

Bước 2: Phân tích acra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách ;

Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b

Trong ví dụ trên, đa thức 3x2  8x 4 có a 3,b 8,c 4 Tích ac 3.4 12  Phân tích 12 ra tích của hai thừa số, hai thừa số này cùng dấu ( vì tích của chúngbằng 12), và cùng âm (để tổng của chúng bằng -8):    1  12 ;  2  6 ;  3  4

Chọn hai thừa số mà tổng bằng -8, đó là -2 và -6

Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x2  4x 3

Giải: Cách 1 (Tách hạng tử thứ hai) :

- Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1)

- Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 2)

Chú ý:

- Đa thức dạng ax2bxy cy 2 khi phân tích đa thức thành nhân tử cách làmtương

tự như đa thức bậc hai một biến

Tam thức bậc hai ax 2 bx c sẽ không phân tích tiếp được thành nhân tử trongphạm vi số hữu tỉ nếu:

Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách,không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc

Theo cách 2, sau khi đưa tam thức về dạng ax 2  k thì k không là bìnhphương của một số hữu tỉ

Chẳng hạn tam thức x2  x 6 không phân tích thành nhân tử được nữa (trongphạm vi số hữu tỉ) vì : Theo cách 1, tích ac  6 1.6 2.3  , không có hai thừa sốnào có tổng bằng 1; Còn theo cách 2,

Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức

Khái niệm nghiệm của đa thức: Nếu tại x=a, đa thức f x  có giá trị bằng 0thì ta nói a (hoặc x=a) là một nghiệm của đa thức đó Vậy nếu đa thức f x  cónghiệm x = a thì nó chứa nhân tử x-a

Khi xét nghiệm nguyên của đa thức, nên nhớ các định lí sau:

Định lí 1: Nếu đa thức f x  có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đathức, do đó đa thức chứa nhân tử x–1

Định lí 2: Nếu đa thức f x  có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổngcác hệ số của hạng tử bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa nhân tửx+1

Định lí 3: Nếu đa thức f x  với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên đó phải

là ước của hệ số tự do

Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do không là nghiệm của

là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.

Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3  5x2  3x 9

Giải: Ta thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số là 1+5+3+(-9) = 0, nên x = 1 là

nghiệm của đa thức đó, đa thức chứa nhân tử x-1

Ví dụ 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3  x2  4

Giải: Lần lượt kiểm tra với x   1; 2; 4

Giải: Ta thấy   1; 5 không là nghiệm của đa thức Như vậy, đa thức không cónghiệm nguyên Tuy vậy, đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác Xét các số hữu

tỉ dạng q p với p là ước của -5 và q là ước dương của 3 Ta thấy 1

Phương pháp 5: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.

Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương.

Ví dụ 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x 4 81

Giải: Nhận thấy đa thức đã cho là tổng của hai bình phương  22 2

2x  9 tươngứng với hai số hạng 2 2

A B của hằng đẳng thức 2 2

2

A  AB B còn thiếu 2AB.Vậy cần thêm bớt 2.2 9x2 để làm xuất hiện hằng đẳng thức

Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.

Ví dụ 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: x5  x 1

x x  đều chứa nhân tử x2  x 1

Phương pháp 6: Phương pháp đổi biến.

Ví dụ 16: Phân tích các đa thức thành nhân tử:

Nhận xét: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc

bốn đối với x thành đa thức bậc hai đối với y

Ví dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Dạng phân tích này cũng đúng với x=0

Chú ý: Có thể trình bày lời giải của ví dụ trên như sau:

Giải: Các số   1; 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệmnguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ Như vậy nếu đa thức trên phân tích đượcthành nhân tử thì phải có dạng x2 +ax b x  2 cx d . Phép nhân này cho kết quả

cho, ta được hệ điều kiện:

Vậy đa thức đã cho phân tích thành: x2  2x 3 x2  4x 1

Chú ý: Ta trình bày lời giải của ví dụ trên như sau:

Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị riêng.

Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng của nhân tử chứa biếncủa đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại

Ví dụ 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: P x y z 2  y z x2  z x y2  

Giải:

Thử thay x bởi y thì Py y z2  y z y2    0 Như vậy P chia hết cho x y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi (ta nói đathức P có thể hoán vị vòng quanh x y z x ) Do đó, nếu P đã chia hết cho

x y thì cũng chia hết choy z và z x Vậy P có dạng k x y y z z x        .Tathấy k phải là hằng số (không chứa biến) vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến

x, y, z, còn tích x y y z z x        cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến

, ,

x y z

Vì đẳng thức x y z2  y z x2  z x y2   k x y y z z x         đúng với mọi

x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x 2,y 1,z 0

(Các giá trị của x, y,z có thể chọn tùy ý, chỉ cần chúng đôi một khác nhau để

x y y z z x        0), ta được: 4.1 1 2     0 k.1.1 2 

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

-Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trongviệc đưa một phương trình về dạng phương trình tích Cách đặt ẩn phụ cũng thường được sử dụng để trình bày lời giải được gọn gàng hơn.

Ví dụ 3: Giải phương trình: x5  x4  3x3  3x2  x  1 0(1)

Giải:

Ta thấy x 1 là một nghiệm của phương trình (1), vì tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ Biến đổi phương trình (1) thành: x 1 x4  2x3  5x2  2x 1 0

Nghiệm của bất phương trình là:    2 x 4

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: 4x2  4x  1 9

Nghiệm của bất phương trình là: x  1 hoặc x 2

2.3.2.4 Chứng minh quan hệ chia hết.

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n N, hoặc nZ) Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho một số m, ta thường phân tích biểu thức A(n)

thành thừa số, trong đó có một thừa số là m Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành một tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rối chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó Lưu ý trong k số nguyên liên tiếp, bao giờ cũng tồn tại một bội số của k.

Ví dụ: Chứng minh rằng A n n 2 2  72 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n

Giải: Phân tích ra thừa số nguyên tố: 5040 2 3 5.7  4 2

Đây là tích của bảy số nguyên liên tiếp Trong bảy số nguyên liên tiếp:

- Tồn tại một bội số của 5 (nên A chia hết cho 5);

- Tồn tại một bội số của 7 (nên A chia hết cho 7);

- Tồn tại hai bội số của 3 (nên A chia hết cho 9);

- Tồn tại ba bội số của 2, trong đó có một bội số của 4 (nên A chia hết cho 16)

A chia hết cho các số 5; 7; 9; 16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 5.7.9.16 = 5040

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Trên đây là những việc làm mà tôi đã thực hiện ở hai lớp 8A, 8B trườngTHCS Hoằng Đạt trong năm học 2020- 2021, đã có kết quả đáng kể đối với họcsinh Đa số học sinh đã có kỹ năng giải dạng toán phân tích đa thức thành nhân

tử khá tốt, các em không còn mắc sai lầm, lúng túng khi giải dạng toán này nữa.Học sinh khá, giỏi đã biết áp dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học đểgiải quyết triệt để các dạng toán liên quan đến dạng toán phân tích đa thức thànhnhân tử Không những các em tỏ ra sáng tạo hơn trong qua trình giải bài tập màcòn có rất nhiều cách giải đối với một bài toán Điều này đã giúp các em say mêhọc tập và yêu thích môn học Vì vậy, chất lượng bộ môn nói riêng và chấtlượng giáo dục của nhà trường nói chung đã được nâng lên rõ rệt.

Sau khi tiến hành kiểm tra hai lớp với hai bài kiểm tra (trước và sau khi thựchiện đề tài) kết quả cụ thể như sau:

3.2 Kiến nghị:

Để kinh nghiệm này được áp dụng rộng rãi theo tôi cần có các điều kiện sau:

- Nhà trường cần thường xuyên mở các chuyên đề, đề tài kinh nghiệm để giáoviên có điều kiện tham gia trao đổi lẫn nhau Thường xuyên kiểm tra học sinhtheo phương phápmới Giáo viên cần phải đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu bàidạy để đạt được hiệu quả cao

-Bên cạnh đó đối với học sinh phải có đầy đủ phương tiện học đặc biệt là sáchgiáo khoa, sách tham khảo Cần chú ý theo dõi sự hướng dẫn của giáo viên vàhăng hái tham gia nêu những ý kiến của mình Nắm chắc kiến thức từng phần có

liên quan đến dạng toán “Phân tích đa thức thành nhân tử” như quy tắc dấu

ngoặc, hằng đẳng thức, chia đa thức,

Trên đây là một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứngdụng của nó trong giải toán mà tôi đã nghiên cứu và đưa vào áp dụng tại trườngTHCS Hoằng Đạt Mặc dù đã đạt được một số kết quả đáng kể song do thời gianhạn chế và mục đích chính của đề tài là áp dụng cho học sinh đại trà, riêng cácphương pháp 6; 7 và 8 dành cho học sinh khá, giỏi nên lượng bài tập đưa rachưa thực sự đầy đủ, đa dạng Sự phân chia các phương pháp, dạng bài tập chỉmang tính chất tương đối Rất mong các đồng nghiệp tham gia đóng góp xâydựng để đề tài có khả năng áp dụng rộng rãi và có tính thiết thực hơn