SKKN rèn kĩ năng tính tổng dãy số viết theo quy luật cho học sinh trường THCS lý tự trọng

1.PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 .LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tính tổng dãy số viết theo qui luật là những bài toán khó trong chương trình THCS , khó bởi vì nó đòi hỏi khả năng tư duy, sáng tạo trong cách học..

1.PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Tính tổng dãy số viết theo qui luật là những bài toán khó trong chương trình THCS , khó bởi vì nó đòi hỏi khả năng tư duy, sáng tạo trong cách học Các bài toán

về tính tổng dãy số viết theo qui luật được học sinh tiếp cận từ lớp 6 đến lớp 9, nhưng trong chương trình không có tiết lý thuyết nào đề cập đến mà chỉ ra dưới dạng các bài tập đơn giản.Trong khi đó các kỳ thi HSG , thi vào lớp 10 PTTH và thi vào các trường chuyên trong tỉnh cũng như quốc gia thường có dạng bài này

Thực tế qua theo dõi các kỳ thi HSG cấp huyện, cấp tỉnh , thi vào chuyên có rất nhiều bài toán tính tổng dãy số rất khó ,học sinh không định hướng được cách giải hoặc giải một cách thiếu chặt chẽ và không chính xác Vì vậy mà việc giúp các em định hướng được cách giải bài toán tính tổng dãy số viết theo qui luật và rèn khả năng linh hoạt sáng tạo trong giải toán là việc làm thật sự quan trọng và cần thiết

Với những lí do đã nêu ở trên tôi đã viết đề tài “ Rèn kỹ năng tính tổng dãy

số viết theo qui luật cho học sinh trường THCS Lý Tự trọng - TPTH ” Thông

qua đề tài này tôi muốn góp thêm một cách làm để giúp học sinh phát huy được năng lực tư duy sáng tạo trong học toán, từ một bài toán cụ thể có thể khai thác mới

từ đó giúp các em có thể nắm được bản chất của dạng toán đó và luôn có những ý tưởng sáng tạo trong giải toán, giúp các em càng thêm yêu thích bộ môn toán nhiều hơn

1.2.MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

- Đề tài giúp học sinh nắm được các dạng bài toán về tính tổng các dãy số viết theo

qui luật từ lớp 6 đến lớp 9 từ đó giúp các em có thể định hướng được cách làm các bài toán này

- Đề tài còn giúp học sinh biết xuất phát từ một bài toán cơ bản khai thác nó để có được các bài toán mới

- Đề tài còn giúp bồi dưỡng năng lực phát hiện tìm tòi lời giải bài toán , phát huy khả năng suy luận óc phán đoán của học sinh

- Nghiên cứu đề tài này tôi muốn trao kinh nghiệm dạy “ Tính tổng dãy số theo qui luật” với các đồng nghiệp giúp việc dạy học đạt kết quả tốt hơn

1.3: ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Nghiên cứu về cách tính tổng dãy số viết theo qui luật trong chương trình toán THCS

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

+) Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

+) Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

+) Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2: NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận:

Trong xu thế phát triển ngày càng cao của xã hội thì giáo dục cũng ngày càng phải đổi mới nhiều để tiến kịp với sự phát triển đó Với mục tiêu đào tạo học sinh trở thành những con người phát triển toàn diện về đạo đức ,trí tuệ , thẩm mỹ, các kỹ năng cơ bản , phát triển năng lực cá nhân , tính năng động và sáng tạo Vì vậy trong dạy học cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động , sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng

bộ môn , bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học , khả năng hợp tác rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tế gây hứng thú học tập cho học sinh

Do đó để giúp cho học sinh có phương pháp tự học tốt và chủ động sáng tạo trong việc tiếp thu kiến thức thì việc hình thành cho học sinh kỹ năng giải bài tập , cách phát hiện đường lối giải khi đứng trước một bài toán cụ thể là một việc làm vô cùng quan trong và cần thiết bởi điều đó sẽ làm cho HS vững vàng và tự tin hơn khi làm toán Đối với việc dạy học sinh tính tổng dãy số theo qui luật:

- Cần giúp cho học sinh xác định được phương pháp tính tổng dãy số viết theo qui luật trên thuộc những dãy quen thuộc nào từ đó giúp học sinh định hướng được cách giải

- Học sinh cần được hiểu bản chất của việc tính tổng dãy số viết theo qui luật thông qua hệ thống bài tập

- Cần giúp học sinh biết tính tổng dãy số theo qui luật ở các dạng bài các nhau

- Học sinh biết đưa các dạng toán khác về bài toán tính tổng dãy số viết theo qui luật

2.2 Thực trạng việc dạy tính tổng dạy số viết theo qui luật ở trường phổ thông.

2.2.1 Về phía giáo viên :

- Đây là phần toán khó không có tiết lí thuyết nào trong chương trình mà chỉ đưa ra ở

các dạng bài tập đơn giản trong sách giáo khoa toán 6 vì vậy giáo viên hầu hết chỉ dạy qua và không chú trọng đến nhiều

- Đối với việc ôn thi học sinh giỏi thì cũng được giáo viên đề cập nhưng cũng chưa có nhiều tài liệu viết nhiều về vấn đề này và mỗi lớp chỉ đề cập đến một số bài vì vậy việc dạy ôn HSG cũng gặp nhiều khó khăn

2.2.2 Về phía học sinh :

- Chưa có phương pháp giải các bài toán dạng này nên còn sợ và lười suy nghĩ

- Chưa nắm được bản chất của việc tính tổng dãy số

- Việc tự học của các em còn nhiều hạn chế

Xuất phát từ yêu cầu thực tế trên tôi đã mạnh dạn viết những kinh nghiệm mà bản thân

đã tích luỹ được trong nhiều năm giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi ở

các khối lớp dưới dạng đề tài: “ Kinh nghiệm rèn kỹ năng tính tổng dãy số viết

theo qui luật cho học sinh THCS ”

2.3.NHỮNG GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:

Để dạy học sinh tính tổng dãy số trước tiên ta cho học sinh tiếp cận một số các phương pháp tính tổng thường dùng sau đây

1.1.Phương pháp 1: Nhóm các số hạng để tạo thành các nhóm có giá trị bằng nhau

Ví dụ 1: Tính tổng các số nguyên x thoã mãn :  x x Z x/  ;  50

Ta có x   50; 49; 48; ; 2; 1;0;1;2; ;48;49;50     

Gọi tổng các số nguyên x là A ta có :

A = -50 + (-49)+(-48)+ +(-2)+(-1) + 0 + 1 + 2+ + 48 + 49 + 50

Đối với tổng này học sinh có thể thấy ngay nhóm các số đối nhau để tạo thành từng nhóm có giá trị bằng 0

A = -50 + (-49)+((-48)+ +(-2)+(-1) + 0 + 1 + 2+ + 48 + 49 + 50

A = (-50+ 50) + (-49 +49) + (-48+48) + .+ (-2 +2) + (-1+ 1) + 0

A = 0 + 0 + 0 + + 0 = 0

1.2.Phương pháp 2: Phương pháp khử liên tiếp

Để tính tổng dãy số ta biến đổi mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số hạng của một dãy khác sao cho các số liên tiếp là những số đối nhau , từ đó ta có thể rút gọn để được kết quả đơn giản

Chẳng hạn muốn tính tổng :

S = x1 x2 x3  x k

Ta biến đổi

1 1 2 ; 2 2 3 ; 3 3 4 k k k 1

x y  y x y  y x y  y x y  y 

khi đó S = (y1  y2 ) (  y2  y3 ) (  y3  y4 ) (   y k y k1 ) y1  y k1

Ví dụ 2 : Tính tổng sau :

1.2 2.3 3.4   99.100

Bằng cách tách mỗi số hạng của tổng bằng hiệu của hai phân số có tử số là 1 , mẫu số là các số tự nhiên nằm dưới mẫu chúng ta sẽ tính được tổng trên

1 2 2 3 3 4      99 100 1 100 100   

1.3 Phương pháp 3: Đưa về phương trình chứa ẩn là tổng cần tính

Ví dụ 3 : Tính tổng :

A = 1 3 3   2  3 3  3  29

Đối với bài toán này ta biến đổi về phương trình mà ẩn là A bằng cách nhân hai vế với cơ số 3.

2 3 4 30 2 3 4 29 30

30

3 3 3 3 3 3 (1 3 3 3 3 3 ) 3 1

A

A A

Giải phương trình (*) ta được A = 330 1

2



1.4.Phương pháp 4: Phương pháp qui nạp

Đôi khi trong quá trình giải toán tính tổng bằng cách thử với những giá trị cụ thể ta

có thể dự đoán được kết quả của tổng sau đó bằng phương pháp chứng minh ta chứng minh được kết quả đó là đúng

Ví dụ 4 : Tính tổng : S = 1 3  2 3  3 3  100  3

Nhận xét

3 2

 

Dự đoán S = 1 3  2 3  3 3  100  3= (1 2 3 100)     2

Ta chứng minh 3 3 3 3 ( 1) 2

2

n n

     (*)bằng phương pháp qui nạp:

- Với n = 1, vế trái của (*) bằng 13 = 1, vế phải của (*) bằng

2

1(1 1)

1 2





Vế trái bằngvế phải Vậy (*) đúng với n = 1

- Giả sử (*) đúng với n = k (kN, k1) , tức là:

2

3 3 3 3 ( 1)

1 2 3

2

k

k k

S     k   

Ta phải chứng minh

1

k

S  

2

3 3 3 3 1

( 1)( 2)

1 2 3 ( 1)

2

k

k k

S       k    

Thật vậy

1

k k



Vậy mệnh đề (*) đúng với mọi số nguyên dương n

Áp dụng kết quả vừa chứng minh ở trên thì S =

2

2

100(100 1)

5050 2





Sau khi đã được trang bị các phương pháp tính tổng dãy số ta nên cho học sinh tiếp cận với các dạng toán tính tổng dãy số để học sinh được rèn luyện kỹ năng và phát huy tính linh hoạt sáng tạo trong giải toán

2

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍNH TỔNG DÃY SỐ :

2.1.Tống của dãy số nguyên:

2.1.1.Tổng của đãy cách đều :

Dãy cách đều là dãysố mà hai số hạng liên tiếp hơn kém nhau cùng một hằng số không đổi thường gọi là khoảng cách

Phần này cần trang bị cho học sinh các công thức cần nhớ sau đây:

Số số hạng dãy = (số cuối – số đầu ): khoảng cách +1

Tổng của dãy cách đều = (số đầu + số cuối ) Số số hạng : 2

Ví dụ 1: Tính S = 3 + 7+ 11+ + 83 + 87 (Lớp 6)

Số số hạng của tổng : (87-3):4 +1= 22

S = (3 87).22 990

2





Ở bài toán trên các số hạng đều là các số tự nhiên , nếu thay các số hạng này bằng các

số nguyên viết theo một qui luật nào đó về dấu thì việc tính tổng sẽ được tính như thế nào?

Ví dụ 2: Tính tổng S = 1- 2 +3 - 4 +5 – 6 +7 - +999 - 1000

Phân tích tìm lời giải:

Rõ ràng tổng trên không thể thực hiện theo công thức tính tổng của dãy số cách đều vì vậy cần hướng cho học sinh cách kết hợp các số hạng sao cho các nhóm phải có cùng một giá trị bằng , đó là kết hợp theo qui luật dấu Trong ví dụ này dấu của các số hạng thay đổi theo qui luật: “ + ; -“ vì vậy có thể nhóm như sau:

S = (1- 2) +(3 - 4 )+(5 – 6) +(7 - 8)+ + (999 - 1000) và tổng có 1000 số hạng

S = (-1)+(-1)+(-1)+ +(-1) (có 1000: 2 = 500 số (-1))

S = -500

Ví dụ 3: Tính tổng :

S = 1-2 - 3+4 +5- 6 -7+8+9 – 10 – 11+12+ +101- 102 – 103 +104+105

Trước tiên cho HS tính số số hạng của tổng là: 105 số hạng và qui luật về dấu của các

số hạng này là : “ +; - ;- ;+” do đó có thể nhóm:

S = (1-2 - 3+4) +(5- 6 -7+8)+(9 – 10 – 11+12)+ +(101- 102 – 103 +104)+105

S= 0 + 0 + 0 + + 0 + 105 = 105

Nhận xét : Đối với dãy mà các số hạng là các số cách đều nhau hoặc dấu tuân theo

một qui luật nào đó thì nên hướng cho học sinh dùng phương pháp thứ nhất “Nhóm

các số hạng để tạo thành các nhóm có giá trị bằng nhau” để tính tổng.

2.1.2.Tổng có các số hạng là tích của các số nguyên:

Ví dụ 4: a) Chứng minh rằng: với n là số tự nhiên khác 0 thì :

n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) = 3n(n+1)

b) Tính tổng : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100

Phân tích tìm lời giải:

- Học sinh dễ dàng chứng minh được câu a bằng các biến đổi vế trái : dùng phương pháp đặt thừa số chung để có kết quả bằng vế phải

- Ta thấy mỗi số hạng của tổng có dạng như vế phải vì vậy để sử dụng câu a ) cần phải làm xuất hiện hệ số là 3 đứng trước mỗi số hạng , để ý rằng các thừa số của mỗi số hạng trong tổng hơn kém nhau 1 đơn vị và hệ số 3 chính là 3 lần khoảng cách giữa các thừa số đó

3 A = 3.1.2 + 3.2.3 + 3.3.4+ + 3.99.100

3A = 1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 +3.4.5 – 2.3.4 + + 99.100.101- 98.99.100

3A = 99.100.101- 0.1.2 = 99.100.101

A = 99.100.101: 3 = 30300

Ví dụ 5: TÝnh : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99

Phân tích tìm lời giải:

Ta nhận thấy mỗi số hạng của tổng hơn kém nhau 2 đơn vị vì vậy có thể áp dụng làm

tương tự như ví dụ 4 bằng cách nhân hai vế với 3.2 = 6

6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + + 97.99.6

= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + + 97.99(101 - 95)

= 1.3.5 + 1.3.1 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 = 3 + 97.99.101

A

2



 = 161 651

Nhận xột: khi tớnh tổng cỏc số

1

n

n n k

 với n= 1; 2; 3 ta nhõn 2 vế với 3.k rồi

sử dụng cụng thức 3k n(n + k) = n(n + k)(n + 2k) - (n - k) n (n + k) để tớnh tổng

Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toỏn:

Vớ dụ6: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100

Phõn tớch tỡm lời giải:

Ở vớ dụ 4 ta thấy rằng mỗi số hạng gồm hai thừa số hơn kộm nhau 1 đơn vị thỡ ta nhõn

cả 2 vế với 3 = 2+1( bằng số số hạng cộng 1) Do đú để tớnh tổng ở vớ dụ 6 ta để ý rằng cỏc số hạng của tổng là một tớch gồm 3 thừa số , mỗi thừa số hơn kộm nhau 1 đơn

vị vỡ vậy ta sẽ nhõn với 2 vế với 4 = 3+1 (bằng số số hạng cộng 1)

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4

= 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + … + 98.99.100(101 - 97)

= 1.2.3.4 + 2.3.4.5 1.2.3.4 + 3.4.5.6 2.3.4.5 + … + 98.99.100.101 -97.98.99.100

= 98.99.100.101

 A = 98.99.25.101

= 24 497 550

Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở vớ dụ 6 ta được bài toỏn:

Vớ dụ 7: Tính A = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 95.97.99

Phõn tớch tỡm lời giải:

Trong Vớ dụ 6 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách) , ở vớ dụ này khoảng cỏch là 2 do

đú ta nhõn hai vế với 4.2 = 8

8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8

= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93)

= 1.3.5.7+ 15 + 3.5.7.9 -1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + + 95.97.99.101-

93.95.97.99

= 15 + 95.97.99.101

 15 95.97.99.101

A

8





= 11 517 600

Nhận xột: Nh vậy để giải bài toán dạng

n

n 1

n(n k)(n 2k)



khoảng cách) sau đó tách

4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k)

Tương tự như cỏc vớ dụ trờn trong quỏ trỡnh dạy giỏo viờn cú thể cho HS làm những bài tập cú số thừa số ở mỗi số hạng là 4; 5;6 thừa số và thay đổi khoảng cỏch giữa cỏc thừa số một cỏch tuỳ ý để được cỏc bài toỏn mới cú cỏch giải tương tự

Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong Vớ dụ 4 ta được bài toỏn mới

Vớ dụ 8 :Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100

Phõn tớch tỡm lời giải:

Trong bài toán này ta không nhân A với một số hạng mà tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính đợc Làm tơng tự với các bài toán:

A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 + + (98 + 1).100

= 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + ….+ 98.100 + 100

= (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 + … + 100)

= 98.100.102 : 6 + 102.50:2

= 166600 + 2550 = 169150

Cách khác

A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + ….+ 99(101 - 1)

= 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + … + 99.101 - 99

= (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + … + 99)

= 171650 – 2500 = 169150

Vớ dụ 9: Tính A = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002

Phõn tớch tỡm lời giải:

Thực chất bài toỏn trờn chớnh là bài toỏn tớnh tổng:

A = 1.1 + 2.2 + 3.3 + 4.4 +….+ 100.100 do đú cú thể thực hiện theo cỏch làm của

vớ dụ 8 đú là tỏch trực tiếp mọt thừa số trong mỗi số hạng để đưa về dóy quen thuộc

A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1)

= 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + … + 99.100 + 100

= (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 + … + 100)

= 333300 + 5050 = 338350

Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong vớ dụ 9 ta có vớ dụ 10:

Vớ dụ 10: Tính A = 12 + 32 + 52 + … + 992

Tương tự như vớ dụ 10:

A= 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + + 99(2 + 97)

= 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + + 2.99 + 97.99

= 1 + 2(3 + 5 + 7 + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99)

= 1 + 4998 + 161651

= 166650

Trong Vớ dụ 7 và Vớ dụ 9: ta có thể sử dụng : (n - a) ((n + a) = n2 - a2

 n2 = (n - a)(n + a) + a2

a là khoảng cách giữa các cơ số

Vớ dụ 11 : Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + ….+ 98.99.100

Phõn tớch tỡm lời giải:

Ta nhận thấy mỗi số hạng của tổng là một tớch gồm 3 thừa số trong đú cú 2 thừa số

lẻ , một thừa số chẵn vỡ vậy gợi ý cho ta tỏch thừa số chẵn bằng hiệu của hai số lẻ để đưa bài toỏn về dạng quen thuộc

A = 1.3.( 5 - 3) + 3.5.( 7 - 3) + 5.7.( 9 -3) + … + 99.101.( 103 - 3)

= ( 1.3.5 + 3.5.7 +….+ 5.7.9 +… + 99.101.103 ) - ( 1.3.3 +3.5.3 + … + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101)

= 13517400 - 3.171650 = 13002450

Vớ dụ 12: Tính A = 1.22 + 2.32 + 3.42 +… + 99.1002

Phõn tớch tỡm lời giải:

Ta cú thể viết lại biểu thức A = 1.2.2 + 2.3.3 + 3.4.4 + ….+ 99.100.100

Bài toán này có thể đưa về ví dụ 8 và ví dụ 11 bằng cách tách thừa số cuối cùng của

mỗi số hạng như sau:

A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + + 99.100.(101 - 1)

= 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + + 99.100.101 - 99.100

= (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100)

= 25497450 – 333300

= 25164150

Ví dụ 13: TÝnh A = 13 + 23 + 33 + + 1003

Phân tích tìm lời giải:

Viết lại tổng A = 1 1 2 2 3 3 100 100 2  2  2   2

Để sử dụng được ví dụ 10 và ví dụ 12 thì cần phải tách các số hạng cuối

A = 1 2  2 (1 1) 3 (2 1) 100 (99 1) 2   2    2 

A = 1 2  2 1 2 2  2  3 2 3 2  2  100 99 100  2  2

A = (1.22 + 2.32 + 3.42 +… + 99.1002) + (12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002)

A= 25502500

Nhận xét: các bài toán tính tổng ở phần này thường sử dụng việc tách một thừa số

thích hợp trong các số hạng ta được các số hạng mới đối nhau để rút gọn hoặc tách

ra thành 2 tổng mà có thể sử dụng được những bài toán đã biết.

Bài tập tương tự :

1 TÝnh A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50

2 TÝnh B = 1.3 +5.7+9.11+ ….+ 97.101

3 TÝnh C = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + 7.9.11 + ….+ 97.99.101

4 TÝnh D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51

5 TÝnh E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513

6 TÝnh F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512

7,G = 2+ 6 +10 + 14 + + 100

8, H = 7 + 10 + 13 + + 76

9, K = 49 +64 + 81+ + 169

10, P = 1.4 + 2 5 + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,

2.3.Tổng có chứa các số hạng ở dạng phân số.

Ví dụ 14: a) Chứng minh rằng với x 0;xa thì x x a( a ) 1a x a1

b) Áp dụng tính tổng : A = 2 2 2 2

1.3 3.5 5.7   97.99

Phân tích tìm lời giải:

Đối với câu a) học sinh chỉ cần biến đổi vế phải bằng cách qui đồng mẫu số các phân

số sẽ được điều phải chứng minh

Từ kết quả câu a) GV cần chỉ ra cho học sinh thấy rằng nếu phân số có mẫu là tích của hai thừa số mà hiệu của chúng bằng tử số thì bao giờ cũng viết dưới dạng hiệu

hai phân số đều có tử số là 1 và mẫu là các thừa số của tích

b) theo kết quả câu a) ta đễ dàng tính được tổng trên:

A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 98

1 3 3 5 5 7      97 99 1 99   99

Ví dụ 15: Tính tổng M = 3 3 3 3

2.4 4.6 6.8   98.100

Phân tích tìm lời giải:

Các số hạng của M có hiệu hai thừa số dưới mẫu là 2 nhưng tử số là 3 vì vậy không

có dạng tổng quát như công thức ở ví dụ 14 vì vậy để sử dụng được nó thì cần phải

biến đổi để được các số hạng mới có tử là 2 bằng cách nhân cả tử và mẫu với 2 và đặt thừa số chung là 3

2ra ngoài

2.2.4 2.4.6 2.6.8 2.98.100 2 2.4 4.6 6.8 98.100

M

M

Ví dụ 16: Tính tổng : N = 32 32 32 32

2.5 5.8 8.11   2009.2012

Phân tích tìm lời giải:

Mỗi số hạng của tổng trên có hiệu 2 thừa số dưới mẫu số là 3 vì vậy phải biến đổi để tử

số cũng phải bằng 3 ,do đó ta đặt 3 là thừa số chung ra ngoài sẽ xuất hiện dạng bài

như ví dụ 14:

2 2012 2012

N

N

Thay đổi số thừa số dưới mẫu số ta được bài toán mới

Ví dụ 17: a Chứng minh rằng: 1 1( 1 1 )

n n n  n n  n n (n N *)

Để ý rằng khoảng cách giữa hai thừa số liên tiếp ở mẫu số của vế phải là 1, khi tách thành hiệu của hai hạng tử ở vế trái thì phải chia cho 2 lần khoảng cách đó là 2.1 = 2

b Áp dụng tính tổng S = 1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5   98.99.100

2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 98.99 99.100

2 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100

2 1.2 99.100 19800

Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số ta có bài toán mới: