SKKN một số định hướng giải phương trình vô tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán cấp THCS

Để khắc phục những tồn tại trên, khi dạy cho học sinh giải phương trình vô tỉ, giáo viên cần trang bị cho các em các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và các kiến thức mở rộng thì mớ

1 MỞ ĐẦU ……… 1

1.1 Lí do chọn đề tài ……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu ……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu ……… 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu ……… 2

1.5 Những điểm mới của SKKN ……… 2

2 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI ……… 3

2.1 Cơ sở lí luận ……… 3

2.2 Thực trạng của vấn đề ……… 3

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề … ……… 4

2.3.1 Một số định hướng sử dụng các phương pháp cơ bản ………… 4

2.3.1.1 Định hướng giải lớp bài toán sử dụng phương pháp nâng lên luỹ thừa ……… 4

2.3.1.2 Định hướng sử dụng phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối … ……… 5

2.3.1.3 Định hướng sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích 6

2.3.1.4 Định hướng sử dụng phương pháp vận dụng hằng đẳng thức 6

2.3.1.5 Định hướng giải lớp bài toán sử dụng phương pháp đánh giá 6

2.3.1.6 Định hướng sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ…… 9

2.3.2 Một số định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy tính Casio FX570plus, FX580VN……… 12

2.3.2.1 Định hướng phương pháp liên hợp 1 nghiệm hữu tỉ đơn …… 12

2.3.2.2 Định hướng phương pháp liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ …………. 13

2.3.2.3 Định hướng phương pháp liên hợp nghiệm xấu (nghiệm vô tỉ) 14

2.3.3 Một số định hướng giải một số lớp phương trình vô tỉ………… 14

2.3.3.1 Định hướng giải lớp phương trình có dạng: ………. 14

2.3.3.2 Định hướng giải lớp phương trình có dạng: ………… 15

2.3.3.3 Định hướng giải một số phương trình vô tỉ chứa căn bậc ba…. 18 2.4 Hiệu quả của đề tài ……….… 19

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ………. 20

3.1 Kết luận ……… 20

3.2 Kiến nghị ……… ………… 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO ………

1 MỞ ĐẦU.

1.1 Lí do chọn đề tài.

Phương trình vô tỷ là một đề tài lý thú của đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng phong phú

và tối ưu Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỷ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy

Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù hợp Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo Bên cạnh đó, các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các

kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp THCS Khi gặp các phương trình có chứa

dấu căn phức tạp, học sinh thường lúng túng, không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm khi giải Nhiều phương trình vô tỉ không thể giải được ngay bằng các phương pháp quen thuộc thông thường là nâng lên luỹ thừa hai vế để làm mất dấu căn Có một số phương trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến những phương trình bậc cao mà việc nhẩm nghiệm để đưa về phương trình bậc nhất và bậc hai để giải là rất khó khăn Để khắc phục những tồn tại trên, khi dạy cho học sinh giải phương trình vô tỉ, giáo viên cần trang bị cho các em các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và các kiến thức mở rộng thì mới hình thành được cho các em các phương pháp cũng như định hướng cho các em các

kĩ thuật giải cụ thể cho từng loại phương trình Với mỗi dạng phương trình, giáo viên cần để cho học sinh phát hiện ra cách giải và tìm ra cách giải phù hợp nhất Qua mỗi dạng phương trình, từ cách giải tổng quát, hướng dẫn học sinh đặt ra các đề toán tương tự, từ đó khắc sâu cách giải cho học sinh Nếu biết phân dạng, chọn các ví dụ tiêu biểu, hình thành lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao kỹ năng thực hành giải toán cho các em Chính vì thế nên tôi chọn đề tài:

“Một số định hướng giải phương trình vô tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán cấp THCS” để nghiên cứu.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Nghiên cứu về “Một số định hướng giải phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS” giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần phương trình vô tỉ trong bồi dưỡng học sinh giỏi, từ đó định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán

Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công về phương trình vô tỉ Thấy được vai trò của việc tư duy giải phương trình vô tỉ từ đó có ý thức rèn luyện và phát triển kỹ năng tư duy lôgic của bản thân, tăng sự hứng thú và niềm đam mê toán học

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Nghiên cứu về mặt lý luận các khái niệm, phương pháp và định hướng một số kĩ thuật giải phương trình vô tỉ

- Tìm hiểu mối quan hệ giữa kỹ năng giải phương trình vô tỉ và kết quả học tập môn Toán, kết quả thi học sinh giỏi đội tuyển toán Từ đó rút kinh nghiệm, lựa chọn và sử dụng các phương pháp cũng như kĩ thuật giải phương trình vô tỉ sao cho hiệu quả nhất

- Nghiên cứu trên đối tượng giáo viên giảng dạy và học sinh THCS Học sinh lớp 9A0, đội tuyển HSG cấp Huyện, cấp tỉnh của huyện Như Xuân

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để hoàn thành đề tài tôi đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp cụ thể là:

* Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu về mặt lý luận khái niệm, các phương pháp, kĩ thuật giải phương trình vô tỉ

* Phương pháp thực nghiệm

- Nghiên cứu qua việc giảng dạy thực tế ở trường THCS TT Yên Cát

- Qua việc đánh giá kết quả học tập của học sinh, đội tuyển học sinh giỏi

* Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Một số giải pháp phù hợp, hiệu quả trong việc phát triển kỹ năng giải toán thông qua giải phương trình vô tỉ

1.5 Những điểm mới của SKKN.

Trong quá trình áp dụng đề tài “Một số định hướng giải phương trình vô tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán cấp THCS” vào thực tiễn công tác giảng dạy

và ôn thi học sinh giỏi cấp huyện, tỉnh trong hai năm gần đây đã đạt được kết quả tương đối khả quan, học sinh đã hiểu bản chất của vấn đề, nhận dạng được các phương trình và có định hướng sử dụng phương pháp phù hợp vào giải quyết vấn đề

Tuy nhiên, trong thực tế ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh, các em học sinh khi gặp các bài toán lạ và khó thì thường hay lúng túng không nhận diện được dạng toán hoặc khó biến đổi để có thể áp dụng các phương pháp giải

từ đó không tìm được hướng đi đúng đắn dẫn đến nản và bỏ qua

Ngày nay, trong cuộc sống máy tính Casio đã được ứng dụng rộng rãi, đặc biệt ứng dụng trong giải toán đối với nhà trường phổ thông, nó đem lại hiệu quả thiết thực giúp người học tìm ra đáp số nhanh chóng, chính xác của những bài toán khá phức tạp, trong đó có dạng toán về phương trình vô tỉ

Là người trực tiếp đứng đội tuyển bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều làm sao

để các em có thể tiếp cận một cách chính xác và hiệu quả khi đứng trước các bài toán vô tỉ đặc biệt là các bài toán hay, lạ và khó

Từ những cơ sở trên, bên cạnh định hướng các phương pháp tối ưu, bản thân tôi cũng luôn trăn trở, tìm tòi, học hỏi các phương pháp mới để tạo sự tự tin trong quá trình giải toán của các em học sinh Trong đề tài này tôi đã điều chỉnh, cải tiến các phương pháp truyền thống phù hợp và dễ tiếp cận hơn đồng thời bổ sung một số phương pháp tiếp cận mới đặc biệt là phương pháp giải toán phương trình vô tỉ bằng máy tính Đây là phương pháp khá hiệu quả khi mà các

em có thể nhẩm tìm được nghiệm của phương trình để từ đó có định hướng giải phù hợp đặc biệt với các bài toán khó thì đây là một phương án khá tối ưu từ đó giúp các em đam mê hơn với nội dung này, đồng thời phát huy tư duy và sự sáng tạo của các em

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Như chúng ta biết phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình toán phổ thông Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vô tỉ Phương trình vô

tỉ là một đề tài thú vị của đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê, tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng phong phú và tối ưu Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỉ vẫn luôn là đối tượng mà những người đam mê Toán học luôn tìm tòi, học hỏi và phát triển tư duy

Mỗi loại bài toán về phương trình vô tỉ có những cách giải riêng phù hợp Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo Bên cạnh đó, các bài toán giải phương trình vô tỉ thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán ở các cấp THCS, thi tuyển sinh vào lớp 10 Vì vậy, việc trang

bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỉ là rất quan trọng Trong đề tài, tôi đưa ra một số phương pháp giải, cũng như định hướng giải một số lớp phương trình vô tỉ hay và khó,chọn lọc một số bài tập hay, phù hợp cho từng phương pháp giải, cách biến đổi Vận dụng giải các bài toán có liên quan đến phương trình vô tỉ Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho học sinh

ở trường THCS TT Yên Cát nói riêng các trường THCS nói chung trong việc học và giải phương trình trong đó có giải phương trình vô tỉ Qua đó các em có phương pháp giải đúng, tránh được tình trạng định hướng giải bài toán sai hoặc còn lúng túng trong việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực hơn đạt kết quả cao trong các kì thi

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Qua nhiều năm giảng dạy cũng như ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi cấp Huyện, Tỉnh môn toán thì đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh cũng như đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên thì phương trình vô tỉ luôn có và khá khó Tuy nhiên, thời lượng dành cho phần này này rất ít, học sinh không được tiếp cận nhiều dạng toán khác nhau Trong thực tế phương trình vô tỉ rất đa dạng và phong phú lên khi gặp phải những bài toán về phương trình vô tỉ, đa số học sinh lúng túng, giải sai và thậm chí không biết cách giải Vì vậy, tích hợp kỹ năng giải phương trình vô tỉ là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay

Trên thực tế, với kinh nghiệm bản thân trong nhiều năm giảng dạy toán 9,

ôn thi học sinh giỏi, ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên tôi thấy học sinh thường không giải được hoặc mắc một số sai lầm khi giải phương trình vô tỉ như:

- Khi bình phương hai vế của phương trình để làm mất căn bậc hai thường các

em không tìm điều kiện để cả hai vế đều dương

– Ở dạng phức tạp hơn thì kĩ năng giải còn rất hạn chế, các em thường không có

cơ sở kiến thức cũng như định hướng phương pháp giải

- Không đồng đều về nhận thức trong một lớp nên việc phát triển kiến thức về phương trình vô tỉ trong các tiết dạy là rất khó

Cụ thể kết quả khảo sát học sinh lớp 9 năm học 2018 – 2029 được mô tả trong bảng thống kê sau:

Lớp

Tỉ lệ HS nắm vững

kiến thức và tư duy

đúng trong giải toán

Tỉ lệ HS hiểu và tư duy sai bản chất trong giải toán

Tỉ lệ HS giải được các phương trình trong đề HSG cấp Huyện, tỉnh

Nhận thức được tầm quan trọng của phương trình vô tỉ trong bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như thi vào lớp 10 chuyên, cùng với những tồn tại hạn chế

nêu trên, bản thân tôi mạnh dạn nêu ra đề tài: “ Một số định hướng giải phương trình vô tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán cấp THCS” giúp học sinh nâng

cao kết quả học tập và phát triển tư duy lôgic

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

* Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn

thức

2.3.1 Một số định hướng sử dụng các phương pháp cơ bản.

2.3.1.1 Định hướng giải lớp bài toán sử dụng phương pháp nâng lên luỹ thừa

a) Định hướng phương pháp giải: Thông thường khi phương trình vô tỉ mà hai

vế có cùng bậc Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả hai vế của phương trình lên luỹ thừa bậc n Nếu n chẵn thì ta chỉ thực hiện được khi cả hai vế không âm Ví

dụ như các phương trình dạng (với n = 2;3;…)

b) Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)

Lời bàn: Phương trình có dạng Ta tiến hành lập phương hai vế:

và ta sử dụng phép thế ta được phương trình:

Lời giải: ĐKXĐ: Lập phương hai vế của phương trình ta được:

(1) 25 + x + 3 - x + 3 (2)

Vì (theo 1) nên

(2) 28 + 12

12 (3)

Lập phương hai vế của (3) ta được: (25 + x)(3 - x) = 27

- x2 - 22x + 75 = 27 x2 + 22x - 48 = 0 x1 =2; x2 = -24

Vậy nghiệm của phương trình là x1 =2; x2 = -24

Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) (ĐKXĐ: )

Lời giải: Ở phương trình (2), VP 0 , nhưng vế trái chưa chắc đã không âm, vì

vậy ta nên chuyển vế để đưa phương trình về dạng có cả hai vế đều không âm (2)

Bình phương hai vế ta được:

Đến đây, học sinh có thể sẽ tiếp tục bình phương hai vế của phương trình

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

a) b)

2.3.1.2 Định hướng sử dụng phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

a) Định hướng phương pháp giải: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn

có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức để làm mất dấu căn và đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

b) Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Giải phương trình: (1)

Lời giải: ĐKXĐ:

(1)

(Thoả mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = 15

Ví dụ 2 Giải p.trình: (2)

Lời giải: ĐKXĐ: Ta có:

(2) + = 5

+ = 5

+ = 5 (*)

Vì 1 luôn dương chỉ cần xét dấu

- Nếu

thì

Giải ra ta có ( không thỏa mãn điều kiện)

- Nếu

thì

Vậy phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

a);

b

2.3.1.3 Định hướng sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích:

a) Định hướng phương pháp giải: Khi các căn trong phương trình có xuất hiện

nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức ta có thể khéo léo chuyển về phương trình tích hoặc dùng hằng đẳng thức Và thông thường ta hay sử dụng các đẳng thức: u + v = 1 + uv (u – 1)(v – 1) = 0

au + bv = ab +uv (u – b)(v – a) = 0 b) Ví dụ minh họa: Giải phương trình:

(1) (ĐKXĐ: x ≥ 1)

Hướng dẫn: Ta thấy: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1) Như vậy:

(1) ⇔ x = 2

Bài tập tương tự: Giải phương trình:

a) b)

c)

2.3.1.4 Định hướng sử dụng phương pháp vận dụng hằng đẳng thức:

a) Định hướng phương pháp giải: Đối với các phương trình vô tỉ không mẫu

mực mà chứa nhiều ẩn số thì một trong các cách giải hay sử dụng là biến đổi để đưa về dạng tổng bình phương của nhiều biểu thức chứa ẩn A2 + B2 + C2 = 0

b) Ví dụ minh họa:

Ví dụ (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2009-2010)

Giải phương trình: + + = (2)

Lời giải: ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 Ta có:

(2) x + y + z = 2 +2 +2

(- 1)2 + (- 1)2 + (- 1)2 = 0

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là ( x; y; z) = ( 3; -2008; 2011)

Bài tập tương tự: Tìm x ,y, z thỏa mãn:

a) x + y + z + 4 = 2

b)

2.3.1.5 Định hướng giải lớp bài toán sử dụng phương pháp đánh giá.

a) Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc.

* Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:

Cho hai bộ số : (a, b), (x, y) thì ta có: (ax + by)2

Dấu ‘‘=’’ xảy ra

* Bất đẳng thức côsi:

- Với hai số a, b 0 thì ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ra

- Với ba số a,b,c 0 thì ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy ra = c

- Với a,b,c,d 0 thì: Dấu ‘‘=’’ xảy ra = c = d

- Với n số a1, a2,…, an 0 thì ta có:

Dấu ‘‘=’’ xảy ra

* Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Giải phương trình: ĐK:

Hướng dẫn: Ta biến đổi phương trình:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

Dấu bằng

Ví dụ 2 Giải phương trình: (Tác giả: AD Page “Tài liệu toán học”

03/12/2017)

Lời giải: Với ab ≥ 1 ta có:

Thật vậy, biến đổi tương đương (*) ta được: ( ) ( )2

ab− a b− ≥ Đẳng thức xảy ra khi a = b hoặc ab = 1 Bất đẳng thức này đúng với mọi ab Biến đổi và áp dụng BĐT (*) ta được:

Dễ thấy > 1với mọi x nên phương trình có nghiêm khi và chỉ khi Giải phương trình này ta được nghiệm

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

a) b)

b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:

* Định hướng phương pháp giải: Dự đoán giá trị của biến để hai vế xảy ra dấu

bằng với một số hoặc biểu thức Khi đó ta sẽ chứng minh: ( với m là hằng số)

=> VT = VP = m rồi nhận định kết quả để trả lời

* Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Giải phương trình: (1) Lời giải: ĐKXĐ: Ta có:

(1)

Vế trái ≥ Vế phải ≤ 5 Dấu “=” xảy ra x = –1 (t/m ĐKXĐ) Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1

Ví dụ 2 Giải phương trình:

Lời giải: ĐKXĐ: Áp dụng bất đẳng thức: ta có:

VT =

VP = 3x2 -12x + 14 = 3( x2 – 4x + 4) +2 = 3( x - 2)2 + 2 2

Hai vế cùng bằng 2 khi và chỉ khi x – 2 = 0  x = 2( Thỏa mãn điều kiện) Vậy, nghiệm của phương trình là x = 2

c) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm:

* Định hướng phương pháp giải: Nhận định ban đầu hai vế của phương trình

lớn hơn (bé hơn) một số, một biểu thức, từ đó ta sẽ chứng minh: ( với m là hằng số) => VT > VP (hoặc VT < VP) suy ra tập nghiệm của hai vế rời nhau hay phương trình vô nghiệm

* Ví dụ minh họa: Giải phương trình

Lời giải: ĐKXĐ: x ≥ 1 Với điều kiện này ta có:

Xét vế trái: =>

Xét vế phải: ≥ 1 Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất).

* Định hướng phương pháp giải: Nhẩm được một ngiệm của phương trình Lấy

các giá trị tùy ý lớn hơn (nhỏ hơn) nghiệm đó và chỉ ra không phải là nghiệm

Từ đó ta sẽ chứng minh nghiệm tìm được đó là duy nhất

* Ví dụ 1: Giải phương trình:

Lời giải: (1)

Nhận thấy là nghiệm của phương trình (1)

+)

Phương trình vô nghiệm

+)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x =1

Ví dụ 2 Giải phương trình:

(2)

Lời giải: Ta có:

(2)

Nếu 3x = – (2x + 1) ⇔ x = thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau Vậy x = là một nghiệm của phương trình Hơn nữa nghiệm của (2) nằm trong khoảng Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất

Với thì 3x < –2x – 1 < 0

(3x)2 > (2x + 1)2 ⇒

Suy ra:

(2) không có nghiệm trong khoảng này

Tương tự, ta cũng có kết luận (2) không có nghiệm khi

2.3.1.6 Định hướng sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

a Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường.

* Định hướng phương pháp giải:

- Nếu bài toán có chứa và thì khi đó đặt t = ( với t ≥ 0)

- Nếu bài toán có chứa , và = k ( hằng số), khi đó có thể đặt t =

- Nếu bài toán có chứa ; và f(x) + g(x) = k (k là hằng số), khi đó có thể đặt: suy ra

- Nếu bài toán có chứa thì ta đặt với hoặc

- Nếu bài toán có chứa thì ta đặt với

* Ví dụ minh họa: Giải phương trình:

Hướng dẫn: Điều kiện:

Đặt thì Thay vào ta có phương trình sau:

Ta tìm được bốn nghiệm là:

Do nên chỉ nhận các gái trị

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l:

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

a) b)

b Định hướng đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến.

* Định hướng: Chúng ta đã biết cách giải phương trình:

Xét phương trình trở thành: ( thử trực tiếp)

* Phương trình dạng :

Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu:

Ví dụ 1 Giải phương trình : (ĐKXĐ: ).

Hướng dẫn: Đặt

phương trình trở thành : Tìm được:

Ví dụ 2 Giải phương trình : (*)

Dễ thấy:

Ta viết

Đồng nhất vế trái với (*) ta được :

Đặt:

Phương trình trở thành :-3u+6v = - Từ đây ta sẽ tìm được x

* Phương trình dạng:

Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện’’ hơn dạng trên, nhưng nếu

ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên

Ví dụ 1 Giải phương trình sau :

Hướng dẫn: Đk Bình phương 2 vế ta có:

Ta có thể đặt : khi đó ta có:

Do

Ví dụ 2 Giải phương trình :

Hướng dẫn: ĐKXĐ: Chuyển vế bình phương ta được:

Nhận xét: Không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt :.

Nhưng may mắn ta có:

Ta viết lại phương trình:

Đến đây bài toán được giải quyết

c Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

* Định hướng: Việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành

một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn ẩn ban đầu

* Ví dụ minh họa: Giải phương trình :

HD: Đặt ;,ta có:

d Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

* Định hướng phương pháp giải: Xuất phát từ đẳng thức

Ta có

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba

* Ví dụ minh họa: Giải phương trình sau:

Ta đặt : , khi đó ta có :

Bài tập tương tự: Giải phương trình sau:

e Đặt ẩn phụ đưa về hệ:

* Định hương phương pháp giải: Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm

được hệ theo u,v

* Ví dụ minh họa: