Chuyên đề ôn tập toán 9 - PT bậc hai một ẩn

Bộ chuyên đề ôn tập toán lớp 9 giành cho các bạn học sinh lớp 9 hệ thống lại kiến thức và chuẩn bị ôn thi vào lớp 10.

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

A KIẾN THƯC CƠ BẢN:

I Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng  

ax  bx   c 0  Trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước  gọi là các hệ số và a  0 

II Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Phương trình bậc hai  2

ax  bx c   0(a  0) có  2

b 4ac

    

*) Nếu   0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b ; x2 b

*) Nếu   0 phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b

2a



*) Nếu   0 phương trình vô nghiệm. 

III Công thức nghiệm thu gọn:

Phương trình bậc hai  2

ax  bx c   0 (a  0)và b  2b ' có  2

' b ' ac

    

*) Nếu   ' 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt:x1 b ' '; x2 b ' '

*) Nếu   ' 0 phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b '

a



IV Hệ thức Vi - Et và ứng dụng:

1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình  2

ax  bx c   0(a  0) thì: 

1 2

1 2

b

x x

a c

x x a



  







2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình: 

x  Sx  P  0  (Điều kiện để có u và v là  2

S  4P  0) 

3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình  2

ax  bx c   0(a  0) có hai nghiệm: x1 1; x2 c

a

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình  2

ax  bx c   0(a  0) có hai nghiệm:  

c

x 1; x

a

     

4 Phương trình quy về bậc hai:

a) Phương trình trùng phương:  4 2

ax  bx   c 0(a  0)  Đặt t = x2 (t  0) đưa PT về dạng :  2

at  bt   c 0  b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:   

- Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình. 

- Bước 2:  Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu.  

- Bước 3:  Giải phương trình vừa nhận đươc.  

- Bước 4: Trong các giá trị nhận được của PT trên, giá trị nào thỏa mãn ĐKXĐ 

là nghiệm của phương trình đã cho.  

c) Phương trình tích:       

 

0

0

A x

A x B x

B x





  





d) Phương trình chứa căn thức:  

  - Bước 1: Tìm ĐKXĐ. 

  - Bước 2: Làm mất dấu căn thức bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế sau 

đó giải phương trình.  

  - Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm.  

B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai, phương trình quy về bậc hai:

Phương pháp giải:

+) PT khuyết c c  0, phương trình trở thành:   

2

0 0

0

x x

a













+) Phương  trình khuyết b b  0, phương trình trở thành: ax2 c 0 x2 c

a

      

- Nếu  c 0

a

   thì phương trình vô nghiệm.  

- Nếu  c 0

a

  thì phương trình đã cho có nghiệm x c

a

     +) Phương trình bậc hai dạng đầy đủ:  

- Cách 1: Dùng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn.  

- Cách 2: Nhẩm nghiệm nếu có thể.  

*) Ví dụ 1: Chọn đáp án đúng:  

Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn ? 

A.  2

2x  4y  1 0.  B.  2

0x  3x  1 0.  C.  3x  5 0.  D.  2

3 5 0.

Câu 2: Phương trình  2

x  x   có biệt thức bằng 

A. 41.    B. 21.     C. 9.      D.41. 

Câu 3: Phương trình  2  

x  m x   có một nghiệm x 1, nghiệm còn lại là 

A. 4.      B. 5.      C.  2.     D. 2. 

Câu 6: Giải sử phương trình  2

16 55 0

x  x  có hai nghiệm là x x1 ; 2 x1 x2. Khi đó 

1 2 2

x  x  bằng 

A. 1.      B. 24.

     C. 13.     D. 17. 

Câu 7: Phương trình nào sau đây có tổng hai nghiệm bằng 3 ? 

A.  2

2x  6x  1 0.        B.  2

2x  6x  1 0.   

C.  2

3 4 0.

3 2 0.

Câu 8: Nếu hai số có tổng S  8 và tích P  10 thì hai số đó là nghiệm của phương  trình.  

  A.  2

8 10 0.

8 10 0.

C.  2

8 10 0.

8 10 0.

Câu 9: Phương trình nào sau đây có nghiệm kép.  

  A.  2

4 6 0.

6 9 0.

  C.  2

10 25 0.

8 8 0.

*) Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:  

a)  2

4x 25  0  c)  2

49 50 0

5x  3x 7  0  e)  2

6 1 0

2  3 x  2 3x  2 3  0 

Giải:

a) Xét phương trình: x2  5x 0 ( 5) 0 0

5

x

x x

x







  Vậy, nghiệm của phương trình là: x 0;x 5. 

x    x   x  x   

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:  5

2

x    

Cách 1: Dùng công thức nghiệm:  

4 49 4.1 50 2601 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:  

1

( 49) 51

1

b

x

a

( 49) 51

50

b x

a

Cách 2: Ứng dụng của định lí Viet:  

Do a b c    1 49 50   0 nên phương trình có nghiệm:  

50

1

c

a



        

d) Xét phương trình:  2

5x  3x 7  0 

4 3 4.5 7 149 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:  

1

3 149

b

x

a

    

3 149

b x

a

    

e) Xét phương trình:  2

6 1 0

x  x   

Ta có:  2  2

' b' ac 3 1.1 8 0

            Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:  

 

1

3 2 2;

1

b

x

a

  

  

1

3 2 2 1

b x

a

  

  

f) Xét phương trình:   2

2  3 x  2 3x  2 3  0 

Cách 1: Dùng công thức nghiệm: ( a 2  3;b 2 3;c   2 3) 

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:  

1

1;

b

x

a

1

7 4 3

b

x

a

Cách 2: Ứng dụng của định lí Viet:  a b c    2 3  2 3    2 3 0 

c

a

*) Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: 

  a) x3  3x2  2x  6 0      b)  2 3 6

x



 

5x  2x  16  10 x       d)   2   2 

3 x x  2 x x   1 0    e) x 2 x  3 0        f) x 4 x   1 6 0 

Giải:

a) Giải PT:  3 2

x  x  x   

3 2

2

2

2

3 0

2 0

3

2

x

x

x

x

 



 

 



 



 

 



Vậy, nghiệm của phương trình là: x  3; x   2 

b) Giải PT:  2 3 6

x



 

    (ĐKXĐ: x 2;x 5)  Quy đồng, khử mẫu ta được phương trình:  

  x 2 2 x 3x 5 2 x 6x 5 2

4x 15x 4 0

Ta có:  2

15 4.( 4).4 225 64 289 0

PT trên có hai nghiệm phân biệt:  

1

b

a

2

15 289

4

b

a

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là:  1 1

4

x   ; x 2 4  c) Giải PT: 5x4  2x2  16  10 x2  5x4  3x2  26  0 

Đặt  2

0

x  t , phương trình đã cho trở thành:  2

5t  3t 26  0 

4 3 4.5 26 529 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:  

1

( 3) 529 13

b

a

     

2

( 3) 529

2

b

a

     

1

t  x  x   Vậy nghiệm của PT đã cho:  13

5

d) Giải PT:   2   2 

3 x x  2 x x   1 0 

Đặt x2 xt, phương trình đã cho trở thành: 3t2  2t  1 0 

Do a b c      3 2 1 0nên phương trình có hai nghiệm:  1 1; 2 1

3

t  t    

t   x x x   x  PT này có nghiệm:  1 1 5; 2 1 5

x   x    

2

t   x x   x  x   Phương trình này vô nghiệm.  

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là:  1 1 5; 2 1 5

x   x      e) Giải PT: x 2 x  3 0 (ĐKXĐ: x 0) 

Đặt  x  t 0, Phương trình đã cho trở thành:  2

2 3 0

t  t      Phương trình này có nghiệm:   0   

t   K Tm t  TM   Với t2   3 x  3 x 9TM 

Vây, nghiệm của phương trình đã cho là x 9.  

f) Giải: x 4 x   1 6 0(ĐKXĐ: x 1).  Đặt    2 2

x t t x t xt    Phương trình đã cho trở thành:  2 2

t   t  t  t      Phương trình này có nghiệm:   0   

t   K Tm t  TM  

t   xt      

Dạng 2: Tính toán các biểu thức liên quan đến tổng và tích hai nghiệm

Phương pháp: - Tính    ' để chỉ ra phương trình có hai nghiệm x x1; 2

- Viết hệ thức Viet theo hệ số a,bc

- Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện tổng và tích hai nghiệm

*) Ví dụ 1: Cho phương trình 2

7 1 0

x  x   Gọi x x1; 2là hai nghiệm của phương trình.  Không giải phương trình, hãy tính: A 5x1 5x2x x1. 2 

Giải:

Ta có:    72 4.1.( 1)   49  4  53  0 

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt, Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  

1 2 b 7

x x

a



    ; x x1. 2 c 1

a

    

Do đó: A 5x1  5x2 x x1 2  5x1 x2x x1 2  5.7   1  36 

*) Ví dụ 2: Cho phương trình  2

4 1 0

x  x    a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt và tìm các nghiệm đó.   b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tính giá trị của các biểu thức  sau:  2 2

1 2

Ax x  ; 

1 2

1 1

B

x x

1 2

C

1 2

Dx x  ;  5 5

1 2

Ex x  

Giải:

a) Ta có:    '  22 1.1  3  0, vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.  

Các nghiệm của phương trình là: x1,2  2  3 

b) Vì PT có hai nghiệm phân biệt, nên theo định lí Viet ta có: x1x2 4; x x1 2  1 

1 2 1 2 2 1 2 4 2.1 14

Ax x  x x  x x     

1 2

1 2 1 2

4 1

x x B



2 2

1 2 2

2 2

1 2 1 2

14 1

C



1 2 1 2 3 1 2 1 2 4 3.1.4 52

Dx x  x x  x x x x     

Ta có:  3 3 2 2 5 3 2 2 3 5 5 5 2 2    2 

     2 

Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng hoặc lập phương trình bậc hai một ẩn khi biết hai nghiệm x 1 và x 2

Phương pháp giải:  

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Nếu hai sốu v;  có 

.

S u v

P u v

 









thì u v;  là nghiệm của phương  trình  2

0

x SxP  Điều kiện để tồn tại hai số đó là  2

*) Ví dụ 1: Tìm hai số u và v biết:  

a) u v  3và u v  2      b) u v   5và u v   3 

Giải:  

a) Ta có: u v  3và u v  2 nên u v; là nghiệm của hệ phương trình  2

Vì a b c      1 3 2 0nên phương trình có nghiệm x1 1;x2 c 2

a

2

u

v











hoặc  2

1

u v











b) HS tự làm.  

*) Ví dụ 2: Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là

  a)  2và 3 2        b) 5và  3 

Giải: 

a) Ta có:  2 3 2 4 2

2.3 2 6

S

P







Vậy,  2và 3 2 là nghiệm của phương trình  2

4 2 6 0

b) HS tự làm.  

*) Bài tập liên quan đến phương trình chứa tham số:

Dạng 4: Các bài toán về giải và biện luận phương trình chứa tham số   Yêu cầu chung:  

+) Giải được phương trình với giá trị cụ thể của tham số:  

  - Thay được giá trị của tham số m vào phương trình

- Giải được phương trình theo công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

+) Bài toán biện luận phương trình bậc hai:  

- Tính được   ' theo m

- Chứng minh được phương trình luôn có nghiệm hoặc tìm được điều kiện để phương trình có nghiệm

- Viết được hệ thức Vi-ét

- Biểu diễn được các hệ thức theo tổng và tích hai nghiệm

1 Chứng minh phương trình luôn có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt,

- Tính biệt thức    ' của phương trình

- Nếu chứng minh phương trình có nghiệm, ta viết    ' thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu Khi đó   0   ' 0 m

- Nếu chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, ta viết    '

thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu cộng với một số dương Khi đó

*) Ví dụ 1:

a) Chứng minh rằng phương trình  2

1 0

x mx m    luôn có nghiệm với mọi m.  b) Chứng minh rằng phương trình  2

x  m x m  luôn có hai nghiệm phân biệt  với mọi m. 

c)  Chứng  minh  rằng  phương  trình  2  

x  m xm  luôn  có  hai  nghiệm  phân  biệt với mọi m 

Giải:

a) Xét phương trình  2

1 0

Ta có:  b2  4ac  m2 4.m 1m2  4m 4 m 22 0, m 

Vậy, phương trình dã cho luôn có nghiệm với mọi m. 

b) Xét phương trình:  2

Ta có:  m 32 4.1. 2m 1 

2

2

2

1 4 0,

Vậy, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 

c) Xét phương trình: x2  2m 1xm 2  0 

2

Vậy, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 

2 Tìm điều kiện của tham số để phương trình luôn có nghiệm, hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

- Phương trình hệ số a chứa tham số, xét cả trường hợp a 0 và a 0

- Khi a 0 Tính biệt thức    ' của phương trình

  - Vận dụng điều kiện :

+) Phương trình có nghiệm    0   ' 0

    +) Phương trình có hai nghiệm phân biệt    0   ' 0

    +) Phương trình có nghiệm kép    0   ' 0

+) Phương trình vô nghiệm    0   ' 0

*) Ví dụ 1: Cho phương trình: x2  2m 1xm2   1 0(*) (mlà tham số) 

a) Tìm giá trị của m để phương trình (*) luôn có nghiệm. 

  b) Tìm giá trị của m để phương trình (*) có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó. 

  c) Tìm giá trị của m để phương trình (*) vô nghiệm.  

Giải: 

Xét phương trình:  2   2

x  m xm    

' m 1 1. m 1 m 2m 1 m 1 2m 2

a) Để phương trình có nghiệm thì   ' 0  2m  2 0 m  1 

Vậy, với m  1 thì phương trình (*) có nghiệm.  

b) Để phương trình có nghiệm kép thì   ' 0  2m   2 0 m  1 

Khi đó nghiệm kép của phương trình là: x1 x2 b' m 1 0

a

        Vậy, với m  1 thì phương trình (*) có nghiệm kép x1x2 0 

c) Để phương trình vô nghiệm thì    ' 0 2m   2 0 m  1 

Vậy, với m  1 thì phương trình (*) vô nghiệm.  

*) Ví dụ 2: Cho phương trình: mx2  2m 2xm 4  0 (**) (mlà tham số) 

  a) Tìm giá trị của m để phương trình (**) có nghiệm.  

  b) Tìm giá trị của m để phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt.  

Giải: 

Xét phương trình:  2  

mx  m xm   (**)   a) Nếu m 0 phương trình (**) trở thành: 4x  4 0Phương trình có nghiệm x  1      Nếu m 0 ta có:   2   2 2

' m 2 m m 4 m 4m 4 m 4m 8m 4

    Để phương trình có nghiệm thì  ' 0 8 4 0 1

2

Vậy, với  1

2

m   thì phương trình (**) có nghiệm.  

b) Vớim 0ta có:    ' 8m 4

   Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  ' 0 8 4 0 1

2

Vậy, để phương trình có hai nghiệm phân biệt  1, 0

2

3 Giải và biện luận hệ phương trình:

- Phương trình hệ số a chứa tham số, xét cả trường hợp a 0 và a 0

+) Khi a = 0, thay giá trị của m vào phương trình, rồi biện luận

+)Khi a 0 Tính biệt thức    ' của phương trình

  - Vận dụng điều kiện có nghiệm, công thức nghiệm để chỉ ra nghiệm của phương trình

*) Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau:  2   2

Giải:

Xét phương trình:  2   2

x  m x m    (*)  

' b' a c. m 1 1. m 2 m 2m 1 m 2 2m 1

2

        thì phương trình (*) vô nghiệm:  

2

        thì phương trình (*) có nghiệm kép: 

a

2

        thì phương trình (*) có nghiệm phân biệt: 

1

1

a

2

1

a

4 Viết biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x 2 không phụ thuộc vào m

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số m dể phương trình có hai nghiệm x x1; 2

- Bước 2: Viết hệ thức Vi-et biểu diễn x1x2 và x x1. 2theo tham số m

- Bước 3: Sau đó, sử dụng phương pháp cộng hoặc thế để khử m trong hệ thức

*) Ví dụ: Cho phương trình x2  2m 1xm 2  0 (m là tham số).  

Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không 

phụ thuộc vào m

Giải: 

2

Vậy, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 

Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình, theo hệ thức Vi-ét, ta có:  

 

1 2

1 2

2( 1) 2 2 1

I

x x m





 



Cách 1: Biến đổi hệ (I), ta có:  1 2

1 2

I



 



  Trừ từng vế hai PT của hệ (I) ta được:  

1 2 2 1 2 2( 1) 2 4 2 2 2 4 6

x x  x x  m  m  m  m   (**) 

Biểu thức (**) là hệ thức liên hệ giữa x x1; 2 mà không phụ thuộc vào m. 

Cách 2: Sử dụng PP thế Từ PT (2) ta có: m = x 1 x 2 + 2 rồi thế vào PT (1) của hệ, khi

đó ta cũng được hệ thức (**)

5 Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

- Phương trình hệ số a chứa tham số, xét cả trường hợp a 0 và a 0

- Khi a 0:

+) Tính biệt thức    ' của phương trình

+) Tìm m để PT có nghiệm   0   ' 0

+) Viết hệ thức Vi-ét Kết hợp với điều kiện của hai nghiệm để tìm m

a) Phương trình 2

0

ax bx c chứa tham số m biết một nghiệm cho trước, tìm nghiệm còn lại

Thay giá trị của nghiệm vào phương trình, giải tìm m Từ đó suy ra nghiệm còn lại.  

*) Ví dụ 1: Cho phương trình  2   2

x  m x m   (m là tham số) 

Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có một nghiệm bằng 4. Tìm nghiệm còn lại.  

Giải: 

Vì x 4là nghiệm của phương trình đã cho, nên ta có:  

4  2 m 1 4 m   1 0 m  8m  7 0 

Phương trình trên có a b c      1 8 7 0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

1 1; 2 7

m  m   

+) TH 1: m 1 khi đó phương trình (*) trở thành:  2   0

4

x

x







  +) TH 2: m 7 khi đó phương trình (*) trở thành:  2

16 48 0

x  x   

  Ta có:    '  8 2 1.48 16   0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  

Vậy, với m 1, phương trình đã cho có một nghiệm bằng 4, nghiệm còn lại bằng 0.           Với m 7, phương trình đã cho có một nghiệm bằng 4, nghiệm còn lại bằng 12.   

b) Phương trình 2

0

ax bx c  chứa tham số m có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

về dấu

- ĐK để phương trình có hai nghiệm trái dấu:

1 2

0 0

x x

 









- ĐK để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:

1 2

0 0

x x

 









- ĐK để phương trình có hai nghiệm dương: 1 2

1 2

0 0 0

x x

x x

 









  



- ĐK để phương trình có hai nghiệm âm: 1 2

1 2

0 0 0

x x

x x

 









  



*) Ví dụ: Cho phương trình: x2 2m 3xm2  2m 0 (*) 

Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dương.  

Giải: 

2m 3 4.1. m 2m 4m 12m 9 4m 8m 4m 9

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi  0 4 9 0 9

4

        (1) 

1 2 2 3; 1 2 2

x x  m x x m  m  Phương trình (*) có hai nghiệm cùng dương khi và chỉ khi: