TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Giới thiệu về bộc lọc số
Tín hiệu là biểu diễn vật lý của thông tin, được mô tả toán học qua hàm của một hoặc nhiều biến độc lập Chúng được chia thành hai nhóm lớn: tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc Tín hiệu liên tục được xác định tại mọi thời điểm trong suốt thời gian tồn tại, bao gồm tín hiệu tương tự và tín hiệu lượng tử hóa Ngược lại, tín hiệu rời rạc chỉ được xác định tại các thời điểm cách biệt, bao gồm tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số.
Tín hiệu số và tín hiệu tương tự đều có thể được biểu diễn dưới dạng hàm của tần số, được gọi là phổ tần số Phổ tần số cung cấp một mô tả rõ ràng về ý nghĩa tần số của tín hiệu.
Lọc tín hiệu là quá trình biến đổi và xử lý phổ tần số của tín hiệu, nhằm phục hồi hình dạng hoặc đáp ứng các chỉ tiêu nhất định Trong quá trình này, các thành phần tần số có thể được khuếch đại, làm suy giảm, tách ra hoặc loại bỏ Mục tiêu chính của bộ lọc là chỉ cho phép tín hiệu có ích đi qua, đồng thời loại bỏ các tín hiệu nhiễu phát sinh từ sự xâm nhập hoặc trong quá trình xử lý.
Bộ lọc số là hệ thống dùng để xử lý và lọc các tín hiệu rời rạc, với nguyên lý hoạt động được thể hiện rõ trong sơ đồ hình 1.1.
Hình 1.1: Sơ đồ khối của hệ thống lọc số
Tín hiệu vào x(t) được lấy mẫu theo tần số Ts, tạo ra tín hiệu rời rạc x(nTs) Tín hiệu này sau đó được chuyển đổi qua bộ biến đổi tương tự số (ADC), nơi mỗi mẫu được lượng tử hoá và chuyển thành mã nhị phân Độ dài của từ mã càng lớn thì độ chính xác của phép lấy mẫu càng cao Dãy mẫu mã hóa sẽ được gửi đến bộ lọc số (DF) để xử lý tiếp.
Các từ mã được xử lý qua thuật toán lọc, tạo ra tín hiệu số đã được lọc y(n) ở đầu ra của bộ lọc số DF Tín hiệu này sau đó được lưu trữ và xử lý trên máy tính, hoặc chuyển qua bộ biến đổi số sang tương tự DAC (Digital to Analog Converter) Cuối cùng, tín hiệu sẽ được lọc qua mạch lọc thông thấp để khôi phục lại tín hiệu tương tự y(t).
Tín hiệu vào chịu tác động từ nhiều yếu tố, trong đó tín hiệu tự nhiên mang bản chất là tín hiệu tương tự Như hình 1.1 đã chỉ ra, tín hiệu tương tự được chuyển đổi thành tín hiệu số để phân tích và xử lý, sau đó được tái tạo thành tín hiệu tương tự Vì vậy, mối quan hệ giữa tín hiệu số và tín hiệu tương tự trong hệ thống lọc cần được xác định một cách hài hòa và đồng nhất.
Các loại bộ lọc số
Bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn FIR (Finite Impulse Response):
Phương trình sai phân của bộ lọc số FIR:
Bộ lọc số FIR, hay còn gọi là bộ lọc số không đệ quy, có đặc điểm là đáp ứng ra y(n) chỉ phụ thuộc vào tín hiệu kích thích tại thời điểm hiện tại và quá khứ.
Có thể biểu diễn bộ lọc FIR dưới dạng:
Bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài vô hạn IIR (Infinite Impulse Response) Phương trình sai phân của bộ lọc số IIR:
Bộ lọc số IIR có đặc điểm là đáp ứng ra y(n) không chỉ phụ thuộc vào tín hiệu kích thích tại thời điểm hiện tại và quá khứ, mà còn liên quan đến đáp ứng ra ở các thời điểm trước đó Do đó, bộ lọc này còn được gọi là bộ lọc số đệ quy.
Các chỉ tiêu thiết kế của bộ lọc số
Ta đã biết các bộ lọc số lý tưởng không thể thực hiện được về mặt vật lý vì h(n) không nhân quả và có chiều dài vô hạn
Với bộ lọc số thực tế đáp ứng biên độ thỏa mãn: jω p p jω s
(1.6) Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp thực tế được thể hiện ở hình sau:
Hình 1.2: Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp
Các bộ lọc số thực tế được đặc trưng bởi các tham số kỹ thuật trong miền tần số liên tục ω có 4 tham số chính là [1]:
- δ p : độ gợn sóng ở dải thông;
- δ s : độ gợn sóng ở dải chắn;
- ω p : tần số giới hạn (biên tần) dải thông;
- ω s : tần số giới hạn (biên tần) dải chắn;
- Ngoài ra còn có tham số phụ là: Δω ω s ω p bề rộng dải quá độ
Để thiết kế bộ lọc hiệu quả, cần tối ưu hóa độ gợn sóng của dải thông và dải chắn ở mức thấp (khoảng vài phần trăm) và tần số giới hạn của chúng phải gần nhau để giảm bề rộng dải quá độ Tuy nhiên, thực tế cho thấy các tham số này thường mâu thuẫn, tạo ra thách thức trong quá trình thiết kế.
4 Đối với bộ lọc số thông cao, thông dải và chắn dải cũng có các tham số kỹ thuật tương ứng
Nguyên tắc thiết kế bộ lọc số dựa vào hàm đáp ứng tần số, yêu cầu về độ gọn sóng, độ rộng dải quá độ và độ suy giảm ở dải chắn Từ những yếu tố này, chúng ta áp dụng phương pháp thiết kế để tính toán các hệ số h(n).
Khi thiết kế các bộ lọc số cần đáp ứng các yêu cầu chính sau đây:
1 Tính các hệ số đáp ứng xung h(n): Các mẫu đáp ứng tần số của bộ lọc sao cho đường đặc tuyến tần số nhận được gần với đường đặc tuyến lý tưởng, nghĩa là tối ưu hoá các hệ số
2 Xây dựng cấu trúc hàm truyền đạt H(z) sao cho thời gian là nhanh nhất mà không bị méo pha, méo biên độ, nghĩa là đảm bảo tính tái xây dựng hoàn chỉnh.
Tổng hợp bộ lọc số IIR
Phương pháp trình bày trong phần này liên quan đến việc chuyển đổi từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số thông qua các phép ánh xạ Để tổng hợp bộ lọc số IIR, chúng ta bắt đầu bằng cách xác định hàm truyền đạt H a (s) trong miền tương tự, sau đó tiến hành biến đổi sang miền số.
Ta có thể mô tả bộ lọc tương tự bằng hàm hệ thống của nó như sau:
(1.7) Ở đây {α k } và {β k } là các hệ số lọc, hoặc bằng đáp ứng xung liên quan với
H a (s) thông qua biến đổi Laplace: st
Bộ lọc tương tự có hàm hệ thống hữu tỷ H a (s) cũng có thể được mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: k r
5 Ở đây x(t) là tín hiệu vào và y(t) tín hiệu ra của bộ lọc
Một trong ba đặc trưng của bộ lọc tương tự là khả năng biến đổi bộ lọc sang miền số khác nhau Hệ thống tuyến tính bất biến tương tự với hàm hệ thống H a (s) được coi là ổn định nếu tất cả các điểm cực nằm bên trái mặt phẳng s (với s là biến số phức, s=σ +jΩ) Nếu phép biến đổi đạt kết quả, nó sẽ sở hữu các tính chất nhất định.
1 Trục jΩ trong mặt phẳng s sẽ ánh xạ lên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng z Như vậy sẽ có quan hệ trực tiếp giữa hai biến tần số trong hai miền
2 Nửa trái của mặt phẳng s sẽ ánh xạ vào phía trong đường tròn đơn vị thuộc mặt phẳng z Như vậy một bộ lọc tương tự ổn định sẽ được biến đổi thành bộ lọc số ổn định
Cần lưu ý rằng bộ lọc IIR ổn định không thể có pha tuyến tính, vì để đạt được pha tuyến tính, hàm hệ thống của bộ lọc phải thỏa mãn một điều kiện nhất định.
Bộ lọc IIR có đặc điểm là không ổn định do các điểm cực ánh xạ gương ngoài đường tròn đơn vị, dẫn đến độ trễ N đơn vị thời gian Hệ thống này không thể có pha tuyến tính và có chiều dài đáp ứng xung L[h(n)] = ∞.
Có 4 phương pháp để chuyển từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số tương đương là [2]:
- Phương pháp bất biến xung;
- Phương pháp biển đổi song tuyến;
- Phương pháp tương đương vi phân;
- Phương pháp biến đổi z tương ứng
Với điều kiện đã tổng hợp được H a (s) Để tìm được hàm truyền đạt tương tự
H a (s), người ta có 3 phương pháp tổng hợp là [2]:
1.4.2 Phương pháp bất biến xung
Trong phương pháp bất biến xung, mục tiêu là tổng hợp bộ lọc IIR với đáp ứng xung đơn vị h(n) được lấy mẫu từ đáp ứng xung của bộ lọc tương tự Cụ thể, h(n) tương đương với h(nT), trong đó T là khoảng lấy mẫu Bộ lọc số với đáp ứng xung đơn vị h(n) tương ứng với h a (nT) có đáp ứng tần số H a (F).
Bộ lọc số với đáp ứng tần số H(e jω) sẽ có đặc tuyến tương ứng với bộ lọc tương tự nếu khoảng lấy mẫu được chọn đủ nhỏ để tránh hiện tượng alias Việc chọn T nhỏ giúp tối thiểu hóa ảnh hưởng của lẫn mẫu Tuy nhiên, phương pháp bất biến xung không phù hợp cho bộ lọc thông cao do sự lẫn phổ trong quá trình xử lý lấy mẫu.
Để hiểu mối liên hệ giữa mặt phẳng z và mặt phẳng s thông qua quá trình lấy mẫu, ta sử dụng công thức tổng quát hóa (1.13) để liên kết biến đổi z của h(n) với biến đổi Laplace của h a (t) Mối quan hệ này được thể hiện bằng công thức: st a z e k.
Khi s = jΩ, phương trình (1.14) trở thành (1.13) do thừa số j trong H a (ω) bị bỏ qua Đặc tính của ánh xạ z = e^(sT) có thể được hiểu rõ hơn khi thay thế s = σ + jΩ và biểu diễn biến phức z theo tọa độ cực z = re^(jω) Sau sự thay thế này, phương trình (1.16) được chuyển thành (1.17) với jT và r được biểu diễn qua các biến số mới.
Rõ ràng, ta có: re T và T (1.18)
Khi σ < 0, điều này cho thấy rằng 0 < r < 1, trong khi σ > 0 chỉ ra rằng r > 1 Khi σ = 0, ta có r = 1 Như vậy, nửa trái của mặt phẳng s được ánh xạ vào trong đường tròn đơn vị thuộc z, còn nửa phải của mặt phẳng s được ánh xạ thành các điểm nằm ngoài đường tròn đơn vị thuộc z Đây là một trong những đặc tính có lợi của ánh xạ đang được xem xét.
Như đã chỉ ở trên, trục jΩ cũng được ánh xạ lên đường tròn đơn vị trong z
Sự ánh xạ từ tần số tương tự Ω sang biến tần số ω không phải là một - một, do ω chỉ duy nhất trên khoảng (−π, π) Điều này dẫn đến việc khoảng −π/T ≤ Ω ≤ π/T ánh xạ vào các giá trị tương ứng của −π ≤ ω ≤ π Thêm vào đó, khoảng tần số π/T ≤ Ω ≤ 3π/T cũng ánh xạ vào khoảng −π ≤ ω ≤ π, và nói chung, khoảng (2k −1)π/T ≤ Ω ≤ (2k +1)π/T, với k là số nguyên, cũng có sự ánh xạ tương tự Do đó, ánh xạ này cho thấy sự phản ánh ảnh hưởng của chồng phổ khi lấy mẫu Hình 1.3 minh họa sự ánh xạ từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z.
Hình 1.3: Sự ánh xạ ze sT của khoảng 2π/T (với σ < 0) trong mặt phẳng s lên các điểm trong đường tròn đơn vị thuộc mặt phẳng z
Để khám phá ảnh hưởng của phương pháp bất biến xung đến đặc tuyến bộ lọc, chúng ta cần biểu diễn hàm hệ thống của bộ lọc tương tự dưới dạng phân thức tối giản Giả sử rằng các cực của bộ lọc là phân biệt, chúng ta có thể trình bày như sau:
(1.19) Ở đây {spk} là các cực của bộ lọc tương tự và {Ak} là các hệ số của khai triển phân thức Bởi vậy: pk
Nếu lấy mẫu h a (t) một cách tuần hoàn tại t = nT , ta có: pk
Thay (1.21) vào, hàm hệ thống bộ lọc số IIR sẽ là:
Tổng phía trong của (1.22) là hội tụ, vì spk 0 sao cho với ts> r+1, thì hệ mô tả bởi phương trình (2.17) sẽ có một phân hệ cân bằng nội bậc r Từ đó, ta có thể xây dựng mô hình bậc r hoặc mô hình giảm bậc, mô hình này cũng thỏa mãn điều kiện cân bằng nội Mô hình được mô tả bởi các phương trình trong (2.17), với Ar là ma trận khối kích thước (r x r) ở phía trên bên trái của A*, Br chứa các hàng từ 1 đến r của B*, và Cr gồm các cột từ 1 đến r của C* Do A là ma trận ổn định, nên Ar cũng đảm bảo tính ổn định.
Theo phương pháp cân bằng nội, mô hình giảm bậc được xây dựng bằng cách loại bỏ các trạng thái khó điều khiển và quan sát từ phương trình Kết quả là các biến trạng thái của mô hình giảm bậc gần đúng với r biến trạng thái đầu tiên của phương trình So sánh giữa phương pháp cân bằng ma trận và phương pháp ghép hợp cho thấy mô hình giảm bậc từ phương pháp ghép hợp có thể đạt mức độ tiện lợi tương tự như phương pháp cân bằng nội, với điều kiện các trị riêng của mô hình gốc bậc cao có tính trội Phân tích sai số trong trường hợp xấu của phương pháp cân bằng nội cho thấy việc tính toán các giá trị giới hạn của sai số được đơn giản hóa khi mô hình gốc được cân bằng nội toàn bậc.
Năm 1989, Prakash và Rao đã điều chỉnh phương pháp cân bằng nội của Moore bằng cách tìm mô hình giảm bậc thông qua việc gần đúng trạng thái của các phân hệ yếu, đảm bảo cân bằng quanh trục tần số bằng 0 Điều này giúp giảm chuẩn phổ và cải thiện độ chính xác của mô phỏng ở tần số thấp.
Một vài ví dụ về giảm bậc theo phương pháp cân bằng nội
Mục đích chính của bài viết là minh họa cụ thể các bước tính toán theo phương pháp cân bằng nội đồng, đồng thời đánh giá sai số của mô hình giảm bậc trong miền tần số.
Ví dụ 1: Cho một mô hình hệ động học tuyến tính bậc 5 được mô tả trong không gian trạng thái: x C y u B x A x
(2.18) có các tham số như sau:
Chuyển sang cấu trúc dạng hàm truyền ta có:
Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống gốc bậc 5 Định thức của A5 là det(A5) = -1.024
Các giá trị riêng của A5 là: -2.8302;
Như vậy A5 là ma trận ổn định, hệ (2.18) điều khiển được và quan sát được
Hệ thống gốc trong hệ cân bằng nội là:
Kết quả giảm bậc được cho trong bảng sau:
Bảng 2.1: Tham số của các hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái và mô hình hàm truyền của các hệ giảm bậc
Tham số hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái
Mô hình hàm truyền của hệ giảm bậc
Hình 2.1: Sơ đồ mô phỏng hệ gốc và các hệ giảm bậc trong Simulink
Hình 2.2: Đáp ứng bước nhảy hệ gốc và các hệ giảm bậc
Hình 2.3: Đặc tính tần số hệ gốc và hệ giảm bậc
Từ kết quả mô phỏng của các ví dụ cho ta các nhận xét như sau:
Phương pháp cân bằng nội thực hiện đơn giản và do ma trận hệ gốc A5 ổn định, tất cả các ma trận Ar cũng đảm bảo tính ổn định, dẫn đến việc các hệ giảm bậc đều giữ được tính ổn định.
Hệ giảm bậc có đặc tính bước nhảy tương đồng với hệ gốc, đặc biệt là khi hệ gốc có bậc 5, hệ giảm bậc sẽ thấp hơn 2 bậc Điều này cho phép hệ giảm bậc được sử dụng để thay thế cho hệ gốc trong thiết kế hệ thống điều khiển.
Đặc tính bước nhảy của các hệ giảm bậc thấp hơn hệ gốc từ 2 bậc trở lên, và đặc biệt là trong trường hợp hệ gốc bậc 5 với hệ giảm bậc thấp hơn 3 bậc, có sự sai khác đáng kể so với đặc tính của hệ gốc Do đó, việc sử dụng các hệ này để thay thế hệ gốc trong thiết kế hệ thống điều khiển là không nên.
- Phân tích và so sánh đặc tính hệ gốc và các hệ giảm bậc trong miền tần số thấy rằng:
Trong miền tần số thấp, đặc tính biên tần của các hệ giảm bậc trùng khít với hệ gốc Khi bậc của hệ giảm bậc càng thấp, miền tần số mà đặc tính biên tần được duy trì sẽ càng thay đổi.
Trong miền tần số cao, sai lệch giữa hệ gốc và hệ giảm bậc tăng theo tần số, với các hệ giảm bậc có bậc nhỏ hơn sẽ có sai lệch lớn hơn Để thay thế hệ gốc trong miền tần số thấp, có thể sử dụng các hệ giảm bậc thấp hơn một bậc, ngoại trừ hệ bậc 5 có thể thấp hơn hai bậc Tuy nhiên, để áp dụng các hệ giảm bậc trong miền tần số cao, cần nghiên cứu thêm để hiệu chỉnh phương pháp nhằm giảm thiểu sai lệch với hệ gốc.
Đặc tính pha tần của các hệ giảm bậc lệch pha 360 độ so với hệ gốc Ở miền tần thấp, đặc tính của hệ giảm bậc gần như song song với hệ gốc Tuy nhiên, ở miền tần cao hơn, đặc tính pha tần giữa các hệ giảm bậc và hệ gốc không còn song song, mà xuất hiện sai lệch, và sai lệch này tăng lên khi tần số tăng.
Như vậy: Trong miền tần số thì các hệ giảm bậc có bậc thấp hơn hệ gốc 1 bậc
Hệ gốc bậc 5 đến 2 bậc có khả năng thay thế hệ gốc trong miền tần thấp Tuy nhiên, để áp dụng trong miền tần cao, cần tiến hành thêm các nghiên cứu nhằm giảm thiểu sai lệch giữa các hệ giảm bậc và hệ gốc.
Ví dụ 2: Cho một mô hình hệ động học tuyến tính bậc bốn được mô tả trong không gian trạng thái: x C y u B x A x
Ta có các tham số như sau:
Chuyển sang cấu trúc dạng hàm truyền ta có hàm truyền hệ bậc bốn có dạng sau:
Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống gốc bậc 4
Ta có định thức A4 là det(A4) = 150
Các giá trị riêng của A4 là: -1;
Như vậy A4 là ma trận ổn định, hệ (2.20) điều khiển được và quan sát được
Hệ thống gốc trong hệ cân bằng nội là:
Kết quả giảm bậc được cho trong bảng sau:
Bảng 2.2: Tham số của các hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái và mô hình hàm truyền của các hệ giảm bậc
Bậc của hệ giảm bậc
Tham số hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái
Mô hình hàm truyền của hệ giảm bậc
Hình 2.4: Sơ đồ mô phỏng hệ gốc và các hệ giảm bậc trong Simulink
Hình 2.5: Đáp ứng bước nhảy hệ gốc và các hệ giảm bậc
Hình 2.6: Đặc tính tần số hệ gốc và các hệ giảm bậc
Ví dụ 3: Giả thiết là đối tượng của hệ thống được mô hình hóa với các thông số được mô tả bằng mô hình toán học như sau:
Chuyển mô hình đối tượng sang dạng không gian trạng thái
có các tham số như sau:
Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống gốc bậc 3 Định thức của A3 là det(A3) = -740.5568
Các giá trị riêng của A3 là: -33.3318 + 0.3847i;
Như vậy A3 là ma trận ổn định, hệ điều khiển được và quan sát được
Hệ thống gốc trong hệ cân bằng nội là:
Kết quả giảm bậc được cho trong bảng sau:
Bảng 2.3: Mô hình không gian trạng thái và mô hình hàm truyền của các hệ giảm bậc
Bậc của hệ giảm bậc
Tham số hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái
Mô hình hàm truyền của hệ giảm bậc
Hình 2.7: Sơ đồ mô phỏng hệ gốc và các hệ giảm bậc trong Simulink Đánh giá chất lượng quá độ của hệ giảm bậc
Sau khi tìm ra mô hình giảm bậc, để đánh giá chất lượng quá độ, ta sử dụng MATLAB/SIMULINK và vẽ các đáp ứng h(t) như hình 2.8
Hình 2.8: Đáp ứng h(t) hệ gốc và các hệ giảm bậc
Kết quả mô phỏng cho thấy đáp ứng h(t) của hệ giảm bậc 2 tương đồng với hệ gốc, trong khi hệ giảm bậc 1 có sự sai khác Để đánh giá chất lượng hệ giảm bậc trong miền tần số, chúng ta khảo sát đặc tính biên tần của hệ gốc và các hệ đã giảm bậc, như thể hiện trong hình 2.9.
Hình 2.9: Đặc tính biên tần hệ gốc và hệ giảm bậc
Kết quả cho thấy rằng trong miền tần thấp A() của hệ gốc và các hệ giảm bậc có sự khác biệt rất nhỏ Tuy nhiên, sai số A() sẽ tăng lên khi tần số gia tăng.
Kết luận chương
Trong chương này, tác giả trình bày cơ sở toán học cho phương pháp cắt giảm cân bằng trong hệ tuyến tính Phương pháp này được mô tả qua các bước cụ thể, bao gồm phân tích các thành phần và cách tính toán liên quan Qua đó, chúng ta có thể xác định các giá trị và thành phần chính trong mô hình, từ đó giảm bậc mô hình, điều này sẽ được xem xét chi tiết trong chương 3.
ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH CHO BÀI TOÁN TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR
Thiết kế bộ lọc số từ bộ lọc tương tự Butterworth
Để thiết kế bộ lọc số từ bộ lọc tương tự thông thường người ta sử dụng hai phương pháp đó là:
Phương pháp chuyển đổi từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số là một kỹ thuật phổ biến, trong đó chúng ta thiết kế bộ lọc tương tự trước, sau đó áp dụng các phương pháp chuyển đổi gần đúng giữa miền tương tự và miền số để tạo ra bộ lọc số.
Phương pháp tối ưu hóa thứ hai sử dụng máy tính điện tử để tìm ra các thủ tục tối ưu, nhằm giảm thiểu sai số trong việc xấp xỉ các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc cần thiết kế Phương pháp này tìm kiếm các tiêu chuẩn gần đúng bằng cách so sánh với một bộ lọc khác Tuy nhiên, phương pháp này ít được áp dụng trong thực tế.
Trong chương này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp đầu tiên để thiết kế bộ lọc số từ bộ lọc tương tự Butterworth Việc này sẽ dựa trên các kiến thức đã được trình bày ở chương 1, nhằm thực hiện thiết kế bộ lọc số một cách hiệu quả Chúng ta sẽ xem xét một bài toán cụ thể để minh họa cho quá trình này.
Để thiết kế bộ lọc số thông thấp từ bộ lọc tương tự thông thấp Butterworth, cần xác định các chỉ tiêu kỹ thuật như: tần số cắt ωp = 0.25π (rad), tần số dừng ωs = 0.4π (rad), độ suy giảm tại tần số cắt Rp = 1 (dB) và độ suy giảm tại tần số dừng As = 40 (dB) Phương pháp biến đổi song tuyến sẽ được áp dụng để thực hiện quá trình thiết kế này.
Các bước thiết kế như sau:
- Bước 1: Xác định các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số
Theo đề bài ta có các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số như sau:
+ Tần số giới hạn dải thông: ωp = 0.25π (rad)
+ Tần số giới hạn dải chắn: ωs = 0.4 π (rad)
+ Độ gợn dải thông: Rp = 1 (dB)
+ Độ suy hao giải chắn: As = 40 (dB)
Bước 2: Cần xác định lại các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc tương tự, dựa trên các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số tương ứng, thông qua phương pháp biến đổi song tuyến.
Chuẩn hóa bằng tần số lấy mẫu F s ta được:
- Bước 3: Tổng hợp bộ lọc Butterworth
+ Xác định bậc của bộ lọc:
Ta có bậc của bộ lọc được tính theo công thức sau:
+ Xác định H 0 và các điểm cực của H(s):
- Bước 4: Tìm hàm truyền H(z) của bộ lọc số
Khi áp dụng phương pháp biến đổi song tuyến, các tần số của bộ lọc được chuẩn hóa theo tần số lấy mẫu, do đó cần chuẩn hóa s bằng tần số lấy mẫu.
Chuẩn hóa bởi F s ta được:
Thay vào H(s) ở trên ta tìm được hàm H(z):
Sau khi biến đổi ta thu được hàm H(z) như sau:
Ứng dụng thuật toán giảm bậc mô hình thiết kế bộ lọc số IIR
Xét một bộ lọc số IIR pha tuyến tính bậc thứ n được định nghĩa trong miền n:
Khi sử dụng thuật toán giảm bậc mô hình đề xuất với phương pháp cân bằng nội, kỹ thuật biến đổi tuyến tính (z = s + 1) được áp dụng để xác định hàm truyền trong miền s.
Xét bộ lọc số IIR với hàm truyền dưới dạng H(z) sau:
Thực hiện áp dụng kỹ thuật biến đổi tuyến tính (thay z = s + 1 vào hàm truyền H(z)), khi đó hàm truyền H(z) sẽ trở thành H(s):
Để giảm bậc hàm truyền H(s) theo phương pháp cân bằng nội, trước tiên cần chuyển đổi hệ thống từ dạng hàm truyền sang mô tả trong không gian trạng thái Việc này áp dụng các kiến thức đã trình bày trong chương 2.
Với các tham số A10, B10, C10 và D như sau:
Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống gốc bậc 10 Định thức của A10 là det(A10) = 0.0172
Các giá trị riêng của A10 là: -0.2792 + 0.6278i;
Như vậy A10 là ma trận ổn định, hệ điều khiển được và quan sát được Để thực hiện giảm bậc với H(s) chúng ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tính toán các Gramian điều khiển được Wc, Gramian quan sát được
Wo từ 2 phương trình Lyapunov:
A T Wo + WoA = -C T C Thực hiện tính toán ta thu được được kết quả sau:
- Bước 2: Xác định ma trận trực giao Vc và ma trận đường chéo c sao cho:
(Vc) T WcVc = (c) 2 Thực hiện tính toán ta có kết quả sau:
- Bước 3: Xác định ma trận trực giao P và ma trận đường chéo với:
P T WP = Thực hiện tính toán ta có kết quả sau:
- Bước 4: Xác định ma trận T không suy biến thỏa mãn: c c
Thực hiện tính toán ta có kết quả sau:
- Bước 5: Xác định các ma trận A*, B*, C* và D* sao cho:
Thực hiện tính toán ta có kết quả sau:
D* e Sau khi tiến hành giảm bậc hàm H(s) ta thu được kết quả như bảng sau:
Bảng 3.1: Kết quả giảm bậc hàm truyền H(s) theo thuật toán cân bằng nội
s Đánh giá sai số giảm bậc theo chuẩn H ∞ ta được kết quả như bảng sau:
Bảng 3.2: Sai số giữa hàm truyền gốc với các hàm giảm bậc
Bậc Sai số hệ gốc và hệ giảm bậc
1 0.5171 Để đánh giá kết quả giảm bậc, ta tiến hành mô phỏng đặc tính pha, biên tần của hệ gốc và các hệ giảm bậc như hình 3.1
Hình 3.1: Đặc tính biên tần, pha của hệ gốc và hệ giảm bậc
Kết quả mô phỏng cho thấy đặc tính biên tần và pha của hệ giảm bậc 7 và 6 tương đồng với hệ gốc, trong khi các hệ giảm bậc khác có sự sai khác rõ rệt Điều này cho phép chúng ta sử dụng hàm truyền của hệ giảm bậc 7 và 6 làm thay thế cho hàm truyền của hệ gốc.
Sai số của hệ gốc và hệ giảm bậc 7, 6 lần lượt là: 1.4303e-006, 2.9136e-005 Đáp ứng đối với yêu cầu của chuẩn H ∞
Kết luận chương
Trong chương này, tác giả trình bày quy trình tính toán và thiết kế bộ lọc số từ bộ lọc tương tự Butterworth, đồng thời ứng dụng phương pháp cân bằng nội để giảm bậc mô hình Qua việc so sánh đặc tuyến tần số và pha giữa hệ gốc và hệ giảm bậc, kết quả cho thấy rằng với các bài toán tổng hợp bộ lọc số IIR, có thể đạt được bậc thấp hơn bậc ban đầu nhờ vào thuật toán cân bằng nội.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Luận văn đã nghiên cứu được một số vấn đề sau:
Nghiên cứu lý thuyết cơ bản về bộ lọc số và các yêu cầu kỹ thuật trong thiết kế bộ lọc số là rất quan trọng Bài viết trình bày các phương pháp tổng hợp bộ lọc IIR từ bộ lọc tương tự, giúp hiểu rõ hơn về quy trình này Tác giả đã đưa ra các bước cụ thể để tính toán và thiết kế bộ lọc số IIR, từ đó cung cấp hướng dẫn chi tiết cho việc áp dụng trong thực tế.
Nghiên cứu lý thuyết về thuật toán giảm bậc mô hình bằng phương pháp cân bằng nội là rất quan trọng trong lĩnh vực này Phương pháp cân bằng nội của Moore giúp tối ưu hóa các mô hình phức tạp, và việc áp dụng nó có thể được minh họa qua các ví dụ cụ thể Các bước tính toán trong phương pháp này cần được làm rõ để người đọc có thể nắm bắt và áp dụng hiệu quả trong thực tiễn.
Ứng dụng giảm bậc mô hình theo phương pháp cân bằng nội, do Moore đề xuất, được áp dụng trong thiết kế bộ lọc số IIR Bài viết đánh giá các kết quả mô phỏng thông qua một bài toán cụ thể để minh chứng hiệu quả của phương pháp này.
Quá trình đánh giá kết quả mô phỏng cho thấy phương pháp giảm bậc mô hình có thể áp dụng hiệu quả cho thiết kế bộ lọc số Ví dụ minh họa cho thấy hệ bậc thấp có thể thay thế hệ bậc cao mà vẫn duy trì các đặc tính cần thiết của hệ gốc Mặc dù chất lượng của hệ giảm bậc có phần giảm so với hệ gốc, nhưng mức độ sai số vẫn nằm trong giới hạn chấp nhận được Điều này rất hữu ích cho việc thiết kế hệ thống và nâng cao hiệu quả tính toán, đảm bảo khả năng xử lý tín hiệu trong thời gian thực.
- Cần nghiên cứu thêm một số phương pháp giảm bậc mô hình khác để so sánh với phương pháp cân bằng nội
- Xây dựng mô hình bộ lọc IIR thực tế đánh giá các kết quả thực tế và mô phỏng