Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp c / Tính theo R phần diện tích giới hạn bởi cung EF và dây EF khi sđ cung EF bằng 600 d/ Khi cát tuyến AEF quay quanh A Nhưng vẩn đảm bão có giao điểm [r]
Trang 1THCS: NGUYỄN TRỌNG KỶ
GV: TRẦN TRUNG NHÁNH
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 – 2012
TOÁN 9
ĐẠI SỐ:
A HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I/ Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng tổng quát:
ax by c
a ' x b ' y c '
(với a, b, c, a’, b’, c’R và a, b; a, b’ không đồng thời bằng 0)
II/ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
1/ ) Giải hệ phương trình sau :
a)
x y
9
x y
2 35
1 50
x y x y
d/
10
y x
HD
: +Nếu có mẫu thì QĐKM từng PT của hệ
+ Nhân mỗi PT của hệ với số thích hợp để hệ số của một ẩn đối nhau
+ Cộng từng vế hai PT của hệ ta được PT một ẩn Giải PT đó tìm giá trị của ẩn đó
+ Thế giá trị vừa tìm vào một trong hai PT của hệ, tìm giá trị ẩn kia Kết luận
2/Cho ba điểm A(2 ;1) ; B(1 ;-1) ; C(0 ;-3)
a)Lập PT đương thẳng AB ?
b)C/m ba điểm A ; B ; C thẳng hàng
3/ Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn
vị là 6 đơn vị Nếu đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì được một số mới bằng 5
6 số đã cho.
4/Tìm số tự nhiên có hai chữ số Biết tổng hai chữ số của nó bằng 9 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số tự nhiên có hai chữ số lớn hơn số đã cho 45 đơn vị
HD: +Tóm tắt đề tìm hiểu đề cho; hỏi
+Gọi x là chữ số hàng chục, y là chữ số hàng đơn vị (có điều kiện)
+Chú ý : xy10x y ; yx 10y x
5/ Một ô tô dự đinh đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1giờ Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu
HD: Gọi x(km) là quảng đường AB; y(h) là thời gian dự định Ta có HPT
2 35
1 50
x y x y
6/ Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cắch nhau 150km đi ngược chiều và gặp nhau sau 3 giờ Tính vận tốc mỗi xe, biết vận tốc xe đi từ B hơn vận tốc xe đi từ A là 10km/h
7)Tìm a để hệ phương trình
ax+y=a
a x y
có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x +y>0
Trang 28)Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình
ax by
ax by
có nghiệm là (-2;3)
B HÀM SỐ y=ax 2 (a0) Quan hệ giữa (P): y=ax 2 (a 0) và đường thẳng (d): y=mx+n:
Phương trình hồnh độ giao điểm của (P): y=ax2 và đường thẳng (d): y=mx+n là:
ax2= mx+n ax2- mx-n=0 (*) 1/(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt phương trình (*) cĩ hai nghiệm phân biệt >0 (hoặc '>0) 2/(P) tiếp xúc (d) phương trình (*) cĩ nghiệm kép =0 (hoặc'=0)
3/(P) và (d) khơng cĩ điểm chung phương trình (*) vơ nghiệm <0 (hoặc '<0)
B
à i 1: Cho parapol (p): y =2x2 và đường thẳng (d): y = 3x – 1
a/ Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b/ Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
Bài 2:
Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2 ; 4) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): y = (m- 1)x –m + 1 Tìm a; m và tọa độ tiếp điểm
HD: *Thế tọa độ điểm A vào (P) => a = ? => hàm số y = ?
*Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của HPT => PT (*), tính Δ rồi cho Δ=0 =>m=?
* Hoành độ tiếp điểm là nghiệm kép của PT(*), x1 =x2 = ? Thay vào HPT => y = ?
=> tọa độ tiếp điểm là ( )
Bài 3: Cho hàm số y=x2 (P) và y=3x-2 (d)
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Xác định tọa độ của (P) và (d) bằng phương pháp đại số
c) Lập phương trình của đường thẳng (d’), biết (d’)// (d) và (d’) cắt (P) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 3
C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ VÀ HỆ THỨC VIET Bài 1 : Giải các PT sau :
a/ -3x2+2x + 8 = 0 b/ 4x2 -5x+ 1 = 0 c/ x2 4 2x 8 0
HD
: dùng cơng thức nghiệm để giải.
KQ
: a/ (x1 =
4 3
; x2 = 2) b/ (x1=1 2
1 4
x
) c/( x1x2 2 2)
Bài 2 : Cho PT x2- 2(m-1)x + m2 = 0
Định m để PT : a/ Luơn cĩ nghiệm
b/ Cĩ hai nghiệm bằng nhau c/ Vơ nghiệm
HD
: Dùng cơng thức nghiệm để giải ;
Chú ý : Δ> 0 PT cĩ hai nghiệm phân biệt => m ?
Δ = 0 PT cĩ nghiệm kép => m ?
Δ < 0 PT vơ nghiệm => m ?
KQ
: a/
1 2
m
b/
1 2
m
c/
1 2
m
Bài 3 : Chứng minh PT x2- 2mx +m – 1 = 0 luơn cĩ hai nghiệm phân biệt
HD
: *Ta chứng minh Δ> 0 bằng cách tính Δ = ?
* Biến đổi Δ về dạng HĐT Δ =(A± B)2 + M > 0 => PT luơn cĩ hai nghiệm phân biệt
Bài 4: Cho PT: x2 – mx +m – 1 = 0
a/ Giải PT khi m = - 2
b/ C/m PT luơn cĩ nghiệm với mọi m
Trang 3c/ Với giá trị nào của m thì phương trình cĩ nghiệm kép ? Tính nghiệm kép đĩ.
d/ Tìm m để PT cĩ một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm cịn lại e/ Tìm m để PT cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa x1+x2 = 2
Bài 5: Cho phương trình: x2 2 m 1 x 4m 0
a) Xác định m để phương trình cĩ nghiệm kép Tính nghiệm kép đĩ
b) Xác định m để phương trình cĩ một nghiệm bằng 4 Tính nghiệm cịn lại
c) Xác định m để phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu
d) Xác định m để phương trình cĩ hai nghiệm x1và x2 thỏa mãn: x1= 2x2
e) Xác định m để phương trình cĩ hai nghiệm x1và x2 thỏa mãn: x12x22 5
f) Xác định m để phương trình cĩ hai nghiệm x1và x2 sao cho A=2x122x22 x x1 2đạt giá trị nhỏ nhất
IV/ Giải các phương trình quy được về phương trình bậc hai:
1/ Phương trình tích:
( ) 0 ( ) ( ) 0
( ) 0
A x
A x B x
B x
Áp dụng: Giải PT sau: (x2 -4x+3 )(x2 +9x – 10 ) = 0
2/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình (là ĐK của ẩn để tất cả các mẫu đều khác 0)
- Bước 2: Qui đồng và khử mẫu hai vế
- Bước 3: Giải phương trình nhận được trong bước 2
- Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm
Giải PT: a)
x 5 x 5 4 b)
1
x +2 −
1
x −2=
16 7
3/ Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 ( a 0 )
+ Đặt : x2 = y 0 , ta cĩ PT đã cho trở thành : ay2 + by + c = 0 (*) + Giải phương trình (*)
+ Chọn các giá trị y thỏa mãn y 0 thay vào: x2 = y x= y + Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu
Áp dụng : Giải PT sau : a/ x4- 10x2 + 9 = 0 b/ x4 +5x2 – 36 = 0
GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A
DẠNG TỐN CHUYỂN ĐỘNG.
Bài 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km Khi đi từ B trở về A, người đĩ tăng vận tốc
thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ
A đến B
Giải: Gọi x (km/h ) là vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B (ĐK: x > 0)
Khi đĩ: vận tốc của người đĩ khi đi từ B về A là : x + 3 (km/h)
Thời gian người đĩ đi từ A đến B là: 36
x (h); Thời gian người đĩ đi từ B về A là:
36
x +3 (h)
Theo đề bài toán ta có phương trình:
3 5
x x
Biến đổi phương trình trên ta được: x 2 + 3x - 180 = 0
Giải phương trình trên ta được: x 1 = 12 (thoả mãn điều kiện của ẩn)
x 2 = -15 (khơng thoả mãn điều kiện của ẩn)
Vậy vận tốc của người đĩ đi từ A đến B là 12 km/h.
Bài 2: Hai thành phố A và B cách nhau 50km Một người đi xe đạp từ A đến B Sau đĩ 1giờ 30 phút,
một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1giờ Tính vận tốc của mỗi người
biết rằng vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 18km/h
Trang 4Gọi x(km/h) là vận tốc của người đi xe đạp, ta cú phương trỡnh:
18 2
x - x+ =
Bài 3: Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B, sau đó chạy ngợc dòng từ B về A hết tổng thời gian
là 5 giờ Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nớc là 5 km/h Tính vận tốc thực của
ca nô
Gọi x(km/h) là vận tốc của ca nụ, ta có PT:
60 5
x +
60 5
x = 5
Bài 4: Một ngời đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 78 km Sau đó 1 giờ ngời thứ hai đi từ tỉnh B đến tỉnh A
hai ngời gặp nhau tại địa điểm C cách B 36 km Tính thời gian mỗi ngời đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc ngời thứ hai lớn hơn vận tốc ngời thứ nhất là 4 km/h
Gọi x (h) là thời gian của ngời đi từ A đến C (ĐK: x> 0), ta cú phương trỡnh:
36 1
x
-42
x =4
C
DẠNG TOÁN LÀM CHUNG – LÀM RIấNG.
Bài 1: Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đờng trong 4 giờ thì xong Nếu làm riêng thì tổ 1
làm nhanh hơn tổ 2 là 6 giờ Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ?
Giải : Gọi x( giờ ) là thời gian một mình tổ 1 sửa xong con đờng ( ĐK: x >4 )
Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đờng là x + 6 ( giờ )
Trong 1 giờ: tổ 1 sửa đợc: 1
x ( con đờng ) tổ 2 sửa đợc:
1
x +6 (con đờng ) cả hai tổ sửa đợc: 1
4 (con đờng )
Theo bài ra ta có phơng trình: 1
x +
1
x +6 =
1 4
Biến đổi phương trỡnh trờn ta được: x2 2x 24 0
Giải phương trỡnh trờn ta được: x 1 = 6 (thoả món điều kiện của ẩn)
x 2 = -4 (khụng thoả món điều kiện của ẩn)
Vậy: một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày
một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày
Bài 2: Hai vũi nước cựng chảy vào một bể (ban đầu khụng chứa nước) thỡ sau 6 giờ đầy bể Nếu chảy một
mỡnh cho đầy bể thỡ vũi I cần nhiều thời gian hơn vũi II là 5 giờ Hỏi nếu chảy một mỡnh để đầy bể thỡ mỗi vũi cần bao nhiờu thời gian ?
Gọi x( giờ ) là thời gian vũi II chảy một mỡnh đầy bể( ĐK: x >6 ) , phương trỡnh :
1
x 5 +
1
x =
1 6
D
DẠNG TOÁN PHÂN CHIA ĐỀU.
Bài 1: Một đoàn học sinh gồm cú 180 học sinh đợc điều về thăm quan diễu hành Nếu dùng loại xe lớn
chuyên chở một lợt hết số học sinh thì phải điều động ít hơn dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc Biết rằng mỗi xe lớn nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn ?
Giải: Gọi số xe lớn là x (chiếc) (ĐK: x nguyên dơng).
Số xe nhỏ là: x + 2 ( chiếc )
Số học sinh mỗi xe lớn chở đợc là: 180
x ( Hs); Số học sinh mỗi xe nhỏ chở đợc là:
180
x +2 ( Hs).
Vì mỗi xe lớn nhiều hơn mỗi số xe nhỏ là 15 chỗ ngồi, do đó ta có phơng trình: 180
x -
180
x +2 =
15
Biến đổi phương trỡnh trờn ta được: x22x 24 0
Giải phương trỡnh trờn ta được: x 1 = 4 (thoả món điều kiện của ẩn)
x 2 = -6 (khụng thoả món điều kiện của ẩn)
Vậy số xe lớn là 4 chiếc
Bài 2: Trong một buổi lao động trồng cây ,một tổ học sinh đợc trao nhiệm vụ trồng 56 cây Vì có 1 bạn
trong tổ đợc phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây đợc giao ,mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây với dự định lúc đầu Hỏi tổ học có bao nhiêu bạn biết số cây đợc phân cho mỗi bạn đều bằng nhau Gọi x là số học sinh của tổ (x nguyờn và x>1), ta cú phơng trình :
56 56
1 1
x x
Bài 3: Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều nh nhau Nếu số
dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1, thì trong phòng có 400 ghế Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy có bao nhiêu ghế
Trang 5Gọi x(dãy) là số dãy ghế ban đầu, phơng trình:
400 360 1 1 x x Bài 4: Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày
Gọi x là số cụng nhõn của đội (x nguyờn và dương), phơng trình: 420x - 420 x +5 = 7 E DẠNG TOÁN Cể NỘI DUNG HèNH HỌC Bài 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi Bài 2: Một hình chữ nhật có chu vi là 160m và diện tích là 1500m 2 Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ấy Bài 3: Tìm hai cạnh của một tam giác vuông biết cạn huyền bằng 13 cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 17 Giải: Gọi cạnh góc vuông thứ nhất của tam giác là x ( cm ), (ĐK: 0< x < 17 ). Ta có: cạnh góc vuông còn lại là: ( 17 - x ) ( cm) Vì cạnh huyền của tam giác vuông là 13cm, do đó ta có phơng trình: x 2 + ( 17 - x ) 2 = 13 2 x 2 - 17x + 60 = 0 Giải PT trên ta đợc: x 1 = 12, x 2 = 5 ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy độ dài các cạnh góc vuông lần lợt là 12 cm, 5 cm. lúc ban đầu D HèNH HỌC I Quan hệ cung và dõy Gúc với đường trũn: Bài1: Cho hỡnh vẽ:Biết Sđ AC = 700 ; Sđ FD = 300 Tớnh :
sđ ABC = ………
sđBOC = ………
sđCBx = ………
sđCIB = ……….
sđAEC = ………
II Tứ giác nội tiếp: a) Tính chất: Tổng hai góc đối của tứ giác bằng 1800
b) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới hai gúc bằng nhau - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm Bài 2: Từ điểm A cố định ở ngoài đường trũn (O;R), kẻ tiếp tuyến AB và cỏt tuyến AEF (E, F (O)) a/ Chứng minh rằng: ABE BFE => AB2 = AE.AF b/ Gọi I là trung điểm của EF Chứng minh tứ giỏc ABOI nội tiếp được Tỡm tõm của đường trũn ngoại tiếp
c / Tớnh theo R phần diện tớch giới hạn bởi cung EF và dõy EF khi sđ cung EF bằng 600 d/ Khi cỏt tuyến AEF quay quanh A ( Nhưng vẩn đảm bóo cú giao điểm với đường trũn (O)) thỡ điểm I chạy trờn đường nào ? III Độ dài đ ờng tròn - Độ dài cung tròn: - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n0 bán kính R : 180
Rn
l
IV Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn:
- Diện tích hình tròn: S = R2
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:
2
R n lR
Trang 6Áp dụng: Cho (O; 6cm)
a/Tính độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn (O)
b/Trên (O) lấy dây AB = 6cm Tính độ dài cung nhỏ AB và diện tích hình quạt AOB
c/ Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB