Luận văn thạc sĩ rèn luyện kĩ năng suy luận cho học sinh trong dạy học hình học lớp 8

Giả thuyết khoa học Nếu đưa ra được các quan niệm về suy luận, kĩ năng suy luận, xác định đượccác kĩ năng thành phần của kĩ năng suy luận, đề xuất và thực hiện một cách hợp límột số biện

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG TƯ DUY

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SUY LUẬN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 8

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG TƯ DUY

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SUY LUẬN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH

HỌC LỚP 8

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Cao Thị Hà

THÁI NGUYÊN, 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực vàkhông trùng lặp với các đề tài khác đã công bố ở Việt Nam Tôi cũng xin cam đoanrằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái nguyên, 16 tháng 4 năm

2017

Tác giả Luận văn

Xác nhận của khoa chuyên môn

Hoàng Tư Duy

Xác nhận của người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Cao Thị Hà

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ Toán, HS khối 8,trường THCS Quang Sơn đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quátrình thực nghiệm.

Dù đã rất cố gắng, xong Luận văn cũng không tránh khỏi những khiếmkhuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn

Thái nguyên, 16 tháng 4 năm

2017

Tác giả Luận văn

Hoàng Tư Duy

MỤC LỤC

Trang

TRANG BÌA PHỤ

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT iv

DANH MỤC CÁC BẢNG v

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng, khách thể nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Giả thuyết khoa học 3

6 Dự kiến đóng góp của luận văn 4

7 Cấu trúc của luận văn 4

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Suy luận 5

1.1.1 Suy luận 5

1.1.2 Các quy luật suy luận 7

1.1.3 Các loại suy luận 9

1.1.4 Các thao tác tư duy liên quan đến suy luận 27

1.2 Kĩ năng suy luận 33

1.3 Vai trò của suy luận trong dạy học hình học 37

1.3.1 Dùng suy luận để xây dựng giả thuyết khoa học 38

1.3.2 Dùng suy luận trong giải bài tập toán, chứng minh định lí 39

1.3.3 Dùng suy luận để phát hiện và sửa chữa sai lầm của HS 40

1.4 Thực trạng rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS thông qua dạy học toán ở trường THCS 40

1.4.1 Đối với GV 40

1.4.2 Đối với HS 41

1.5 Kết luận chương 1 44

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SUY LUẬN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 8 46

2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho HS kĩ năng suy luận có lí thông qua việc sử dụng khái quát hóa từ một số trường hợp riêng. 46

2.1.1 Mục đích của biện pháp 46

2.1.2 Nội dung của biện pháp 46

2.1.3 Kết luận 52

2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS thông qua quá trình vận dụng phương pháp phân tích đi lên khi dạy hình học 8 53

2.2.1 Mục đích của biện pháp 53

2.2.2 Nội dung của biện pháp 53

2.2.3 Kết luận 64

2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS trong dạy học hình học trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm 64

2.3.1 Mục đích của biện pháp 64

2.3.2 Nội dung của biện pháp 65

2.3.3 Kết luận 75

2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS nhờ hỗ trợ của biểu diễn trực quan động trong môi trường hình học động 75

2.4.1 Mục đích của biện pháp 75

2.4.2 Nội dung của biện pháp 75

2.4.3 Kết luận 81

2.5 Kết luận chương 2 82

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 83

3.1 Mục đích và nội dung thực nghiệm 83

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 83

3.1.2 Nội dung thực nghiệm 83

3.2 Tổ chức thực nghiệm 83

3.2.2 Thời gian thực nghiệm 83

3.2.3 Tiến hành thực nghiệm 83

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 87

3.3.1 Đánh giá định tính 87

3.3.2 Đánh giá kết quả định lượng 87

3.4 Kết luận chương 3 88

KẾT LUẬN 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 1 1 7

Bảng 1 2 8

Bảng 1 3 8

Bảng 1 4 21

Bảng 1 5 39

Bảng 1 6 39

Bảng 1 7: Mức độ thích học môn Toán 41

Bảng 1 8: Phân môn thích học nhất trong môn Toán 42

Bảng 1 9: Hoạt động của HS trong giờ Hình học 42

Bảng 1 10: Cảm nhận của HS trong giờ Hình học 43

Bảng 1 11: Khó khăn khi học Hình học 43

Bảng 3 1: Điểm bài kiểm tra số 1 lớp thực nghiệm 8B 85

Bảng 3 2: Điểm bài kiểm tra số 1 lớp đối chứng 8A 85

Bảng 3 3: Điểm bài kiểm tra số 2 lớp thực nghiệm 8B 87

Bảng 3 4: Điểm bài kiểm tra số 2 lớp đối chứng 8A 87

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết số 29 Trung Ương 8 khoá XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáodục và đào tạo khẳng định: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ,thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năngkhiếu ”, “Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời”,

“Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huytính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học;khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cáchhọc, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mớitri thức, kĩ năng, phát triển năng lực.”

Nghị quyết 88 của Quốc Hội về đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổthông khẳng định lại: “Mục tiêu giáo dục phổ thông là tập trung phát triển trí tuệ,thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năngkhiếu ”, “Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời”,

“Tiếp tục đổi mới phương pháp giáo dục theo hướng: phát triển toàn diện năng lực

và phẩm chất người học; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, bồi dưỡngphương pháp tự học, hứng thú học tập, kĩ năng hợp tác, làm việc nhóm và khả năng

tư duy độc lập”, “Đổi mới căn bản phương pháp đánh giá chất lượng giáo dục theohướng hỗ trợ phát triển phẩm chất và năng lực HS; phản ánh mức độ đạt chuẩn quyđịnh trong chương trình; cung cấp thông tin chính xác, khách quan, kịp thời choviệc điều chỉnh hoạt động dạy, hướng dẫn hoạt động học nhằm nâng cao dần nănglực HS.”

Như vậy việc phát triển năng lực nói chung và năng lực tư duy hay suy luậnnói riêng là một trong những chủ trương quan trọng của Đảng và Nhà nước Chủtrương đó cũng đã được cụ thể hóa trong Luật Giáo dục

Điều 28 của Luật Giáo dục năm 2005 về “Yêu cầu về nội dung, phương phápgiáo dục phổ thông” có nêu rõ “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tínhtích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớphọc, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo

nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS”.

Hoạt động dạy học luôn hướng tới mục tiêu hình thành người học có thói quensuy nghĩ, tìm tòi và tự tìm ra kiến thức một chủ động, tích cực Thông qua bài dạy

từ kiến thức đơn giản đến kiến thức khó GV tập cho HS có khả năng quan sát, khảnăng phân tích từ các trường hợp riêng lẻ rút ra tri thức chung, có tính quy luật từngbước HS tự chiếm lĩnh tri thức và có khả năng khám phá tri thức mới Vì thế suyluận được sử dụng trong dạy học có vai trò không những trong quá trình hình thànhkiến thức mới cho HS mà còn giúp HS học cách học, tìm tòi và khám phá tri thứcđáp ứng mục tiêu dạy học

Thực tế dạy học toán ở trường THCS cho thấy: khi dạy định lý nhiều GV bỏqua việc chứng minh, chỉ cần HS hiểu được định lí và vận dụng để làm bài tập Khidạy học giải bài tập, nhiều GV chủ yếu mới cung cấp cho HS lời giải, chưa chú ýđến việc rèn kĩ năng suy luận cho HS Do đó, HS không hiểu được ý nghĩa của việcchứng minh định lí và kĩ năng lập luận của nhiều HS còn hạn chế Nhiều HS khôngthấy được tầm quan trọng, sự cần thiết của việc lập luận nên lời giải chỉ có con số vàphép tính, không có căn cứ cho việc thực hiện đó Một hiện tượng phổ biến khác lànhiều HS thường chỉ suy luận theo cách làm mẫu của GV mà không hiểu được bảnchất của các lập luận đó Chính vì vậy khi gặp một vấn đề mới HS rất lúng túngtrong việc trình bày diễn đạt cách làm

Với những lí do trên, đề tài được lựa chọn là: “Rèn luyện kĩ năng suy luận

cho học sinh trong dạy học hình học lớp 8”.

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu: Trên cơ sở nghiên cứu về suy luận, về kĩ năng suy luận

đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS thôngqua dạy học Hình học lớp 8

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu cơ sở lí luận về suy luận, về kĩ năng suy luận

- Nghiên cứu thực trạng rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS và thực trạng kĩ năng suy luận của HS lớp 8

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng suy luận cho HSthông qua dạy hình học lớp 8.

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính hiệu quả, khả thi của một số biện pháp sư phạm đã đề xuất

3 Đối tượng, khách thể nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Kĩ năng suy luận, các kĩ năng thành phần của kĩ năng

suy luận

3.2 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học ở môn toán lớp 8.

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy học toán, một số tài liệu thamkhảo về rèn luyện suy luận vào dạy học toán, các cơ sở về tâm lý học, giáo dục học,SGK, sách GV, sách tham khảo về hình học ở trường trung học cơ sở hiện hành

- Nghiên cứu các bài báo về khoa học toán học phục vụ cho luận văn

- Nghiên cứu các công trình các vấn đề liên quan trực tiếp đến luận văn (các luận văn, các luận án, chuyên đề, giáo trình )

4.2 Phương pháp quan sát – điều tra

Tìm hiểu về việc dạy và học hình học ở trường THCS qua dự giờ, điều tra,phỏng vấn GV

4.3 Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường THCS để

xem xét tính khả thi và hiệu quả của một số biện pháp sư phạm đã được đề xuất

4.4 Phương pháp thống kê toán học: Phân tích các số liệu điều tra thực trạng và

số liệu thực nghiệm sư phạm

5 Giả thuyết khoa học

Nếu đưa ra được các quan niệm về suy luận, kĩ năng suy luận, xác định đượccác kĩ năng thành phần của kĩ năng suy luận, đề xuất và thực hiện một cách hợp límột số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS thông qua dạy họchình học lớp 8 thì sẽ phát triển kĩ năng suy luận cho HS nói riêng và kĩ năng toánhọc nói chung, góp phần nâng cao chất lượng dạy toán ở THCS

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

6.1 Những đóng góp về mặt lý luận

Đề xuất được một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng suy luận cho HS thông qua dạy học Hình học ở trường THCS

6.2 Những đóng góp về mặt thực tiễn

- Nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường THCS

- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và học tập ở trường THCS

- Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn đề

có liên quan trong luận văn

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng suy luận cho học sinh thông qua dạy học hình học lớp 8

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Bất kỳ suy luận nào cũng có ba bộ phận hợp thành là tiền đề, lập luận và kết luận.

Tiền đề là các phán đoán có trước được sử dụng để liên kết chúng lại với nhau

nhằm rút ra phán đoán mới Trong mỗi một suy luận, tiền đề của nó có thể chỉmột phán đoán nhưng cũng có thể bao gồm nhiều phán đoán liên kết chặt chẽ vớinhau để rút ra phán đoán mới

Lập luận là cách thức liên kết logic giữa các phán đoán cho trước để rút ra

phán đoán mới Cách thức liên kết logic này không chỉ thể hiện ở trình tự sắp xếpcác phán đoán thuộc tiền đề mà còn bao gồm cả những quy luật và quy tắc logic chiphối trình tự sắp xếp đó để rút ra phán đoán mới một cách tất yếu

Kết luận là phán đoán mới được rút ra từ tiền đề thông qua những lập luận

logic Kết luận có nhiều loại khác nhau: có kết luận phù hợp, có kết luận không phùhợp với hiện thực khách quan; có kết luận là ngẫu nhiên, có kết luận là tất yếu, từnhững lập luận logic của các tiền đề [9, Tr 129-130]

Theo Chu Cẩm Thơ [19, Tr 50 – 51] suy luận hay suy lí là một hình thức cơbản của tư duy đang nhận thức, nó xuất phát từ những phán đoán đã biết để rút raphán đoán mới, phán đoán đã biết gọi là tiền đề, phán đoán mới rút ra gọi là kếtluận của suy luận, cách thức rút ra kết luận từ tiền đề gọi là là lập luận

 Cấu trúc của suy luận: suy luận bao gồm hai thành phần cơ bản: Thứ nhất các phán đoán xuất phát, gọi là tiền đề; thứ hai là

phán đoán mới được rút ra gọi là kết luận.

 Hình thức biểu diễn: Mỗi suy luận được biểu diễn dưới dạng một mệnh đề kéo theo mà tiền đề là một mệnh đề hoặc hội

của nhiều mệnh đề: A 1 , A 2 , , A i ^ B (Các A i là tiền đề (i=1,2, n), B là kết luận)

Điều kiện cần và để suy luận đạt tới kết luận chân thực là phải xuất phát từtiền đề chân thực và quá trình suy luận phải đúng đắn, nghĩa là phải tuân theo quyluật và quy tắc logic hình thức

Theo nhà Toán học người Mỹ, G Polya: Suy luận là sự kết nối những kinhnghiệm và kiến thức đã có để đưa ra các kết luận hợp lý từ các thông tin được chosẵn Suy luận làm nền tảng cho sự thăm dò và khám phá các ý tưởng mới, đồng thờiđóng một vai trò trung tâm trong chứng minh

Theo logic học đại cương của Nguyễn Anh Tuấn [21, Tr 51-52]: Suy luận làhình thức tư duy phản ánh những mối liên hệ phức tạp hơn (so với phán đoán) củahiện thực khách quan Về thực chất, suy luận là thao tác logic mà nhờ đó tri thứcmới được rút ra từ tri thức đã biết

Sự tồn tại của suy luận trong tư duy là do chính hiện thực khách quan quyđịnh Cơ sở khách quan của suy luận là mối liên hệ qua lại, phức tạp hơn của cácđối tượng

Khả năng khách quan của suy luận là ở khả năng có sự sao chép cấu trúc từhiện thực, nhưng ở dạng tư tưởng Còn tính tất yếu khách quan của chúng cũng gắnvới toàn bộ hoạt động thực tiễn của nhân loại, trong đó suy luận như là một hìnhthức chuyển từ những tri thức đã biết sang những tri thức mới

Cấu tạo của suy luận.

Mọi suy luận đều gồm có 3 bộ phận:

Tiền đề là tri thức đã biết, làm cơ sở rút ra kết luận Những tri thức này biếtđược nhờ quan sát trực tiếp; nhờ tiếp thu, kế thừa tri thức của các thế hệ đi trướcthông qua học tập và giao tiếp xã hội; hoặc là kết quả của các suy luận trước đó

Kết luận là tri thức mới thu được từ các tiền đề và là hệ quả của chúng

Cơ sở logic là các quy luật và quy tắc mà việc tuân thủ chúng sẽ đảm bảo rút

ra kết luận chân thực từ các tiền đề chân thực Giữa tiền đề và kết luận là mối quan

hệ kéo theo logic làm cho có thể chuyển từ cái này sang cái kia Chính là do có mốiliên hệ xác định giữa chúng với nhau cho nên, nếu đã thừa nhận những tiền đề nào

đó, thì muốn hay không cũng buộc phải thừa nhận cả kết luận

Trong luận văn chúng tôi lấy quan niệm về suy luận của Polya làm cơ sở lý thuyết

1.1.2 Các quy luật suy luận

Công thức hằng đúng là công thức luôn nhận giá trị 1 dù các biến mệnh đềnhận giá trị bất kì nào Công thức hằng đúng biểu thị các quy luật logic mệnh đề,

mà ta gọi là quy luật suy luận Có nhiều quy luật suy luận nhưng chúng tôi chỉ đềcập đến ba quy luật suy luận cần thiết cho suy luận khi học hình học trung học cơsở

1.2.2.1 Quy luật không mâu thuẫn

Nội dung của quy luật này của hai mệnh đề A và A không thể đồng thờicùng đúng Công thức của quy luật không mâu thuẫn là: A A 1

Dựa theo giá trị của liên kết “_” và “ ” công thức 1 là hằng đúng:

Bảng 1 1

Ví dụ 1.1: A : Hai đoạn thẳng DE và FG bằng nhau.

A : Hai đoạn thẳng DE và FG không bằng nhau

Hai mệnh đề A và A không thể cùng đúng: Nếu A đúng thì A sai và ngược

lại 1.1.2.2 Quy luật bài trung

Nội dung của quy luật bài trung là hai mệnh đề A và A không thể đồng thời cùng sai Quy luật bài trung thể hiện qua công thức: A A 2

7

Bảng 1 2

Ví dụ 1.2: A : Hai tam giác ABC và MNP đồng dạng với nhau

A : Hai tam giác ABC và MNP không đồng dạng với nhau

Hai mệnh đề A và A nhất định phải có một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai

1.1.2.3 Quy luật phản đảo

Công thức phản đảo là: A B B A 3 Dựa vào bảng giá trị của liênkết “ ” và “_” ta thấy rằng vế trái và vế phải của 3 có cùng giá trị, tức là tươngđương với nhau

Ví dụ 1.3: Chứng minh rằng: “ Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường

thẳng thứ ba thì song song với nhau”

Nếu AB và CD cắt nhau tại một điểm I chẳng hạn, thì từ I ta có thể hạ được

8

1.1.3 Các loại suy luận

Theo Polya [8,Tr 4-5] cho rằng toán học tồn tại hai loại suy luận: suy luậnsuy diễn và suy luận có lí Chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận suy diễnnhưng ủng hộ các giả thuyết bằng các suy luận có lí Sự khác nhau giữa hai loại suyluận này hết sức lớn và muốn màu muốn vẻ Suy luận chứng minh là suy luận đángtin cậy không chối cãi được và dứt khoát Suy luận có lí là suy luận còn bấp bênh,phải tranh cãi và có điều kiện Suy luận chứng minh thâm nhập các khoa học vớicùng mức độ như toán học, song tự nó (cũng như tự bản thân toán học) không cókhả năng cung cấp những hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh ta Mọi cáimới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với các suy luận có lí làsuy luận duy nhất mà ta quan tâm trong công việc hằng ngày Suy luận chứng minh

có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành luật và được giải thích bằng logic(logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyết của các suy luận chứngminh Những tiêu chuẩn của các suy luận có lí rất linh động và không một lí thuyếtnào về các suy luận như vậy lại rõ ràng bằng logic chứng minh và có sự nhất quánnhư logic chứng minh

Polya nhấn mạnh “ Hai loại suy luận này không mâu thuẫn nhau, mà trái lại

bổ sung cho nhau Trong suy luận chặt chẽ, điều chủ yếu là phân biệt chứng minhvới dự đoán, chứng minh có căn cứ với dự đoán không căn cứ Trong một suy luận

có lí, điều chủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đoán hợp lí với dự đoán íthợp lí hơn Nếu bạn chú ý tới cả hai sự khác nhau đó, thì cả hai suy luận này có thểtrở thành rõ ràng hơn”

Theo tác giả Nguyễn Như Hải [9, Tr 131] thì căn cứ vào mức độ khái quátgiữa các tri thức ở trong tiền đề so với mức độ khái quát các tri thức ở trong kết luận

mà người ta chia suy luận ra làm ba loại là suy luận quy nạp, suy luận suy diễn vàsuy luận tương tự

Theo Nguyễn Anh Tuấn [21, Tr 51]: “Suy luận là hình thức tư duy phức tạphơn so với khái niệm và phán đoán, suy luận đồng thời cũng có những dạng biểu hiệnphong phú hơn Chúng khác nhau về số lượng các tiền đề - một, hai, hay nhiều hơn, vềcác phán đoán cấu thành - đơn hoặc phức; mức độ chuẩn xác của kết luận - xác thựchay xác suất v.v Do vậy, để phân loại suy luận cần phải xuất phát từ chính bản chất

thức khác, cho nên phụ thuộc vào tính chất của sự kéo theo ấy, vào xu hướng diễnbiến tư tưởng trong suy luận có thể chia ra ba nhóm suy luận cơ bản là suy diễn, quynạp và loại suy”.

Theo Chu Cẩm Thơ [19, Tr 51] “Suy luận có nhiều loại, tùy thuộc vào tínhchất của tiền đề, đặc điểm của quá trình kết luận Chẳng hạn, ta có suy luận suy diễn(gồm trực tiếp và gián tiếp) hoặc suy luận không suy diễn (gồm suy luận quy nạp vàloại suy)”

Theo nhà toán học, triết học và logic học người Mỹ Charles Sanders Peirce(1839-1914) ba loại suy luận ngoại suy, quy nạp và suy diễn

Trong nghiên cứu này, chúng tôi chia thành bốn loại suy luận là suy luận suydiễn, suy luận quy nạp, suy luận tương tự và suy luận ngoại suy

1.1.3.1 Suy luận suy diễn

Theo Chu Cẩm Thơ [19, Tr 51]: Suy diễn hay còn gọi là suy luận suy diễn làloại suy luận có hai thuộc tính cơ bản: Thứ nhất, xuất phát từ những tiền đề kháiquát; thứ hai, kết luận rút ra một cách tất yếu Tùy thuộc vào tính chất của phánđoán tiền đề để phân loại suy diễn nhất quyết, hay có điều kiện hoặc lựa chọn

Suy diễn là loại suy luận trong đó kết luận là tri thức riêng, có tính cụ thểhơn được rút ra từ sự liên kết những tri thức chung hơn, có tính khái quát hơn

Theo Giáo trình tổng quan về logic học đại cương của Nguyễn Như Hải [9,

Tr 142-143]: Suy luận suy diễn là loại suy luận trong đó kết luận là tri thức riêng,

có tính cụ thể hơn được rút ra từ sự liên kết những tri thức chung hơn, có tính kháiquát hơn Quá trình nhận thức diễn ra trong suy luận suy diễn đi từ cái chung, quacái riêng, rồi tới cái cụ thể Vì vậy, mức độ khái quát trong các tiền đề cao hơn mức

độ khái quát trong kết luận

Từ những nghiên cứu trên, chúng ta có thể thấy rằng:

Suy luận suy diễn là loại suy luận có hai thuộc tính cơ bản: thứ nhất, xuấtphát từ những tiền đề khái quát; thứ hai, kết luận rút ra một cách tất yếu Suy luậnsuy diễn là suy luận theo một quy tắc thoả mãn điều kiện: Nếu tiền đề đúng thì kếtluận đúng

Từ đó ta có thể chia suy luận suy diễn thành hai loại:

a) Suy luận suy diễn từ một tiền đề

Các suy luận sau là các suy luận suy diễn từ một tiền đề

Ví dụ 1.4: Tam giác ABC đều AB=BC=CA

Tam giác ABC có AB=BC=CA tam giác ABC đều

b) Suy luận suy diễn từ hai tiền đề

Tam đoạn luận là Suy luận suy diễn từ hai tiền đề, trong đó kết luận được rút

ra từ hai tiền đề

Phép tam đoạn luận khẳng định (xác định)

Nếu các tiền đề là các phán đoán xác định thì có phép tam đoạn luận xác

A B,A

định hay (A ( A B)) B

Tam đoạn luận khẳng định gồm 3 bước:

Bước 1: (Thường gọi là tiền đề lớn – là tiền đề hoặc định lí đã chứng minh

Bước 2: AOC và BOD cùng bù với BOC (có A)

Tuy chúng phân tích các bước của quy tắc tam đoạn luận khẳng định như trên,nhưng trong thực tế ta chỉ trình bày ngắn gọn như sau: vì cùng bù với

Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau

GT ABCD là hình thang cân (AB//CD)

Bước 1: Nếu hai tam giác có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh bằng

nhau từng đôi một thì hai tam giác đó bằng nhau A B

Bước 2: ADC và BCD có chung cạnh CD, ADC BCD, AD BC

Bước 3: ADC = BCD (c.g.c) Từ đó AC = BD (cặp cạnh tương ứng bằng nhau.Tuy chúng ta phân tích các bước suy luận như trên, nhưng trong thực tế tatrình bày như sau:

ADC và BCD có:

CD là cạnh chung(theo định nghĩa hình thang cân)

ADC BCD

AD BC (theo định nghĩa hình thang cân)

Do đó ADC = BCD (c.g.c), suy ra AC = BD.

Phép tam đoạn luận giả định

Sơ đồ của tam đoạn luận giả định được diễn tả như sau:

Nội dung của tam đoạn luận giả định phản ánh tính chất bắc cầu của liên kết.Nếu thì …gồm ba bước:

Bước 2: Nếu tam giác là cân thì hai góc ở đáy bằng nhau (Y Z )

Bước 3: Vậy nếu hai cạnh của tam giác bằng nhau thì hai góc ở đáy bằng nhau ( X Z )

Ví dụ 1.8: Tính chất của hình chữ nhật (SGK Toán 8, tập 1 – Tr 97): Trong hình

chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Bước 1: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, cũng là một hình thang cân ( X Y )

Bước 2: Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau (Y Z )

Bước 3: Hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểmcủa mỗi đường ( X Z )

Tam đoạn luận phủ định

Tam đoạn luận phủ định thể hiện qua sơ đồ sau:

Ví dụ 1.9: Định nghĩa hình thoi (SGK Toán 8, tập 1 – Tr 104): Hình thoi là tứ giác

có bốn cạnh bằng nhau

Bước 1: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau ( A B )

Bước 2: Bốn cạnh của tứ giác ABCD không bằng nhau (có B )

Bước 3: Tứ giác ABCD không phải là hình thoi (có A )

Ví dụ 1.10: Định lí trường hợp đồng dạng thứ nhất (SGK Toán 8, tập 2 – Tr 73): Nếu ba

cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

Bước 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thìhai tam giác đó đồng dạng ( A B )

Bước 2: Nếu ABC không đồng dạng với A ' B ' C ' (có B )

Bước 3: Ba cạnh của ABC không tỉ lệ với ba cạnh của A ' B ' C ' (có A )

Phép tam đoạn luận lựa chọn

Sơ đồ của tam đoạn luận lựa chọn có thể diễn tả như sau:

Bước 2: CD không bằng EF A1

CD không bé hơn EF A2Bước 3: Vậy CD EF A3

1.1.3.2 Suy luận quy nạp

Theo G.Polya: Kinh nghiệm đưa đến sự thay đổi quan niệm của con người.Chúng ta học tập xuất phát từ kinh nghiệm, hay nói đúng hơn chúng ta phải học tập

từ kinh nghiệm”, “ cố gắng rút ra quan niệm đúng đắn nhất từ kinh nghiệm đã biết

và thu thập những kinh nghiệm thích hợp nhất để xây dựng nên quan niệm đúng vềmột vấn đề đặt ra Phương pháp nhờ đó nhà bác học xử lí với kinh nghiệm thườnggọi là phép quy nạp” "Quy nạp là rút ra quy luật chung từ những trường hợp riênghay trình bày những sự kiện để chứng minh một điều khẳng định chung”

Polya cũng khẳng định: Quy nạp đòi hỏi nhiều điều khác và đặc biệt là ba điều sau đấy:

Một là, chúng ta phải sẵn sàng duyệt lại bất kì quan niệm nào của chúng ta.Hai là, chúng ta phải thay đổi quan niệm khi có lí do xác đáng

Ba là, chúng ta không được thay đổi quan niệm một cách tuỳ tiện, không có

cơ sở đầy đủ

Còn theo Nguyễn Như Hải [9, Tr 134]: Suy luận quy nạp là suy luận trong

đó kết luận là tri thức chung hơn, có tính khái quát hơn được rút ra từ sự liên kếtnhững tri thức ít chung hơn, có tính cụ thể hơn

Những điều kiện của suy luận quy nạp đúng đắn

Muốn có suy luận quy nạp mà kết luận rút ra đúng đắn, chân thực đòi hỏiphải tuân theo ba điều kiện sau đây:

Thứ nhất: Các sự vật cụ thể để thực hiện sự khái quát nhằm đưa đến cáichung phải là các sự vật cùng loại Bởi vì, chỉ có các sự vật cùng loại mới chứađựng những cái giống nhau, giúp cho nhận thức tìm ra cái chung trong sự khác biệt

Thứ hai: Việc khái quát phải dựa trên những dấu hiệu bản chất của các sựvật Bởi vì, chỉ có cái bản chất mới là cái làm nên quy luật chung của sự tồn tại vàphát triển của các sự vật, hiện tượng

Thứ ba: Phải khảo sát một số lượng lớn các đối tượng đủ để rút ra kết luận

Vì vậy, trong quá trình sử dụng suy luận quy nạp cần phải luôn luôn quántriệt ba điều kiện cơ bản ấy Có như vậy mới có được những tri thức mới, đúng đắn

và đáng tin cậy

Từ những nghiên cứu trên và căn cứ vào phạm vi đối tượng được phản ánhtrong quá trình khái quát trong suy luận quy nạp, chúng tôi chia suy luận quy nạp ralàm hai loại là suy luận quy nạp hoàn toàn và suy luận quy nạp không hoàn toàn

a, Suy luận quy nạp hoàn toàn là loại suy luận quy nạp trong đó kết luận về

một dấu hiệu chung cho lớp đối tượng nào đó được rút ra dựa trên cơ sở khảo sát tất

cả các đối tượng của lớp ấy

b) Trường hợp điểm H nằm giữa hai điểm B và C (hình 1.3b) Khi đó tam giác ABC

được chia thành hai tam giác vuông BHA và CHA, mà

S BHA

1

BH CH AH 1BC.AH

Trên đây ta xét hết các trường hợp về vị trí chân đường cao có thể xảy ra Từ

đó có thể khẳng định diện tích tam giác bất kì được tình theo công thức: S 1 a.h

2Suy luận quy nạp hoàn toàn thường đưa lại những tri thức mới đáng tin cậy.Bởi vì, chính việc khảo sát tất cả các đối tượng thuộc một lớp đối tượng nào đó cho

phép rút ra những kết luận chắc chắn đó Tuy nhiên, để rút ra được kết luận đúngđắn và đáng tin cậy, đòi hỏi phải khảo sát rất cụ thể, công phu, tỉ mỉ với một thờigian khá dài đủ để bao quát hết các đối tượng, không bỏ sót một đối tượng nào Vì

vậy, suy luận quy nạp hoàn toàn chỉ được sử dụng đối với các lớp đối tượng có ít

các sự vật Còn đối với các lớp đối tượng chứa đựng nhiều sự vật, thậm chí là vô

hạn thì người ta phải sử dụng suy luận quy nạp không hoàn toàn

b, Suy luận quy nạp không hoàn toàn là loại suy luận quy nạp, trong đó kết

luận về một dấu hiệu chung cho lớp đối tượng nào đó được rút ra dựa trên cơ sở

chỉ khảo sát một số đối tượng của lớp ấy

Ví Dụ 1.13: (Bài 8 - SBT Toán 8, tập 1 – Tr 126) Tính tổng số đo góc ngoài

của một đa giác lồi

Tổng số đo góc ngoài của tam giác bằng 3600

Tổng số đo góc ngoài của ngũ giác bằng 360 0

Tam giác, tứ giác, ngũ giác, đều là đa giác lồi

Do đó tổng số đo góc ngoài của đa giác lồi bằng 3600

Đây là suy luận quy nạp không hoàn toàn, bởi vì ở trong suy luận ấy, lớp đagiác lồi có rất nhiều đối tượng khác nhau Song người ta chỉ khảo sát một số đốitượng như “Tam giác”, “Tứ giác”, “Ngũ giác” có dấu hiệu chung là “tổng các gócngoài đều bằng 3600 ” Do đó, rút ra kết luận về dấu hiệu chung đó cho cả lớp “đagiác lồi”

Như vậy, thực chất của suy luận quy nạp không hoàn toàn là chỉ tiến hànhnghiên cứu một dấu hiệu nào đó ở một số đối tượng trong một lớp, rồi rút ra kếtluận chung về dấu hiệu đó cho cả lớp đối tượng đó

Ví dụ như khi quan sát thấy tổng ba góc trong của một vài tam giác cụ thểluôn bằng 1800 , người học có thể tổng quát hóa kết quả này để đưa ra một giảthuyết bằng suy luận quy nạp: Tổng ba góc trong của một tam giác bất kì luôn bằng

1800 Giả thuyết này đã được chứng minh là đúng và trở thành một định lý cơ bảntrong hình học

Trong suy luận quy nạp không hoàn toàn, kết luận rút ra có thể giả dối hoặcchân thực Kết luận sẽ là giả dối khi khái quát vội vàng, tuỳ tiện, chỉ dựa vào nhữngdấu hiệu riêng lẻ, bề ngoài, không bản chất của các sự vật, hiện tượng Còn kết luận

có tính đúng đắn, chân thực với xác suất cao khi khảo sát một số lượng lớn các sựvật của lớp đối tượng, và khi dựa vào những dấu hiệu chung, bản chất có tính quyluật chi phối sự tồn tại, phát triển của các sự vật, hiện tượng ấy Vì vậy mà nhữngkết luận của suy luận quy nạp không hoàn toàn có tính định hướng quan trọng chohoạt động nghiên cứu khoa học và hoạt động thực tiễn của con người Nó trở thành

cơ sở cho các dự báo, các giả thuyết khoa học và là điều kiện tất yếu của quá trìnhnhận thức quy luật của tự nhiên, xã hội

c, Quy nạp toán học

Quy nạp Toán học [22, Tr 46]: Xuất phát từ tiên đề về thứ tự trong tập hợp

số tự nhiên N, người ta đưa ra phương pháp CM một mệnh đề dựa trên nguyên lýquy nạp gồm ba bước:

Bước 1: CM mệnh đề đúng với số tự nhiên nhỏ nhất n0 (đối với mệnh đề đó);Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên k > n0 ;

Bước 3 : CM mệnh đề đúng với số tự nhiên liền sau k

d, Phân biệt giữa suy luận quy nạp và quy nạp toán

đó Vì vậy, nếu ta muốn có kinh nghiệm trong việc nghiên cứu toán học theo quy

nạp thì nên làm quen với kĩ thuật vận dụng quy nạp toán học Ví dụ 1.14: Tính tổng

số đo trong một đa giác lồi n cạnh n3

Đầu tiên ta xét các trường hợp đặc biệt cho tam giác, tứ giác, ngũ giác Hình vẽ Trong trường hợp là tam giác tổng số đo các góc là 180 0 , tứ giác là 360 0 , ngũgiác là 5400

Qua ba trường hợp đặc biệt ta thấy tổng số đo của các góc tăng dần và luôn bằng bội của k nhân 1800

Trường hợp tam giác ứng với k 1 3 2

Trường hợp tứ giác ứng với k 2 4 2

Trường hợp ngũ giác ứng với k 3 5 2

Nhận thấy quy luật của số k bằng số cạnh trừ đi 2, từ đó ta có thể dự đoán tổng số góc = (số cạnh -2) 1800

Vậy từ những trường hợp riêng ta đã khảo sát làm chúng ta nghĩ đến một khẳng định chung là: Tổng số đo góc trong một đa giác lồi n cạnh là (n-2) 1800

e, Mô hình suy luận quy nạp

Mô hình suy luận quy nạp được Polya [10] đề xuất lần đầu gồm bốn bước:1) Quan sát những trường hợp đặc biệt;

2) Hình thành giả thuyết dựa trên những trường hợp đã quan sát;

4) Xác minh giả thuyết với các trường hợp đặc biệt mới

Reid [27] mô tả mô hình này cụ thể hơn gồm năm bước qua những kinh nghiệm của ông khi tiến hành quy nạp với một số trường hợp hữu hạn:

1) Thực hành với các trường hợp đặc biệt;

2) Quan sát quy luật;

3) Dự đoán rằng quy luật đó có thể áp dụng cho trường hợp tổng quát;

5) Tổng quát hóa dự đoán

Cañadas và Castro [24] đưa ra mô hình gồm bảy bước cho quá trình giải quyết các bài toán:

hợp đặc biệt

án khác nhau để sắp xếp, hệ thống hóa các dữ liệu thu thập được, phổ biến nhất là sửdụng bảng, sơ đồ hay danh sách các dữ liệu

lại một cách có quy tắc của các dữ liệu Ở bước này quy luật có thể chỉ dành cho nhữngtrường hợp được quan sát chứ không hẳn phải áp dụng được cho tất cả các trường hợp.Bước này được nhận ra bởi khả năng dự đoán về một trường hợp chưa biết dựa trên việcphân tích các đặc trưng của các trường hợp đã biết

trong các trường hợp cho sẵn

một giả thuyết với sự nghi ngờ, giả thuyết được kiểm chứng trước tiên đối với nhữngtrường hợp cụ thể đã biết

đúng với một vài trường hợp đặc biệt, có thể giả định rằng giả thuyết đó cũng đúng chonhiều trường hợp hơn Tổng quát hóa được Polya xem như một trong những nhân tố cơbản của suy luận quy nạp

tổng quát thì đầu tiên phải xác minh xem giả thuyết đó có đúng với những trường

hợp đặc biệt khác hay không, hơn nữa cần đưa ra những lí do để thuyết phục ngườikhác về tính đúng đắn của giả thuyết tổng quát này.

Mô hình này là hữu ích cho việc phân tích suy luận quy nạp của HS, nhưngkhông phải tất cả các bước đều nhất thiết phải xảy ra và tuân theo thứ tự trên

Ví dụ 1.15: (Bài 6- SBT Toán 8, tập 1 – Tr 126) Tính số đường chéo của đa giác

lồi n cạnh n 3

Đầu tiên ta cũng xét một vài trường hợp riêng: Tứ giác, ngũ giác, lục giác.Đối với tứ giác, từ mỗi đỉnh của tứ giác ta vẽ được 1 đường chéo Có 4 đỉnhnên ta vẽ được 1.4 = 4 đường chéo Trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần, vậy

tứ giác có tất cả 4:2 = 2 đường chéo

Tương tự, ngũ giác có 5 đỉnh nên vẽ được 2.5 = 10 đường chéo, trong mỗi đường chéo được tính 2 lần Vậy ngũ giác có tất cả 5 đường chéo

Tương tự, lục giác có 6 đỉnh nên vẽ được 3.6 = 18 đường chéo, trong mỗi đường chéo được tính 2 lần Vậy lục giác có tất cả 9 đường chéo

Thông qua cách tìm số đường chéo của một số trường hợp riêng, ta có thểtìm được quy luật không? Quy luật ở đây là gì? Để tìm quy luật dễ dàng hơn, ta sắpxếp các đa giác theo thứ tự tăng dần số cạnh và biểu thị mối liên hệ giữa số cạnh và

số đường chéo của đa giác đó

Bảng 1 4

cạnh n 3 số đường chéo = n 3 n

2

1.1.3.3 Suy luận tương tự

Theo Nguyễn Như Hải [9, Tr 195-197]: Suy luận tương tự là loại suy luận

mà trong đó so sánh hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu xác định này đế rút

ra kết luận các đối tượng đó giống nhau ở các dấu hiệu khác

Theo Chu Cẩm Thơ: Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau vềtính chất và quan hệ của những đối tượng toán học khác nhau [19, Tr.22]

Tác giả G Polya cho rằng: "Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thểnói tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn, và ở mức độ được phảnánh bằng khái niệm" Cũng theo G Polya nhận định về vai trò của tương tự nhưsau: "Phép tương tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh"

Ví dụ 1.16: Trong một tam giác, ta thường xét các đường sau đây: trung tuyến,

đường phân giác, đường cao, đường trung trực Các đường này có thể coi là tương

tự với nhau và có thể có những tính chất chung hoặc những tính chất tương tự Do

đó, sau khi chứng minh định lý: “Các đường phân giác của một tam giác đồng quy”

có thể nêu giả thuyết tương tự là: “Các đường trung tuyến (đường cao, đường trungtrực) của một tam giác cũng đồng quy”

Các giả thuyết này đều đúng

Cơ sở khách quan của suy luận tương tự là mối liên hệ lẫn nhau có tính quyluật giữa các đặc tính cơ bản của sự vật, hiện tượng này vối sự vật, hiện tượngkhác Mỗi sự vật, hiện tượng đó có hàng loạt các đặc tính gắn liền với một bản chấtxác định Các đặc tính đó bộc lộ ra ngoài bằng các dấu hiệu Các dấu hiệu đó cóquan hệ với nhau, tác động qua lại lẫn nhau và mang tính tất yếu, phản ánh tính quyđịnh bản chất của đối tượng Trong mối liên hệ và quan hệ ấy, nếu làm thay đổi bất

kỳ một đặc tính bản chất nào đó không thể không đụng chạm đến những đặc tínhkhác của nó Vì thế, nếu các đối tượng có cùng một bản chất được quy định bởi cácđặc tính giống nhau này thì các đối tượng ấy cũng có các đặc tính giống nhau khác

có quan hệ đến tính quy định cái bản chất đó của chúng

Sơ đồ của suy luận tương tự

Suy luận tương tự được thể hiện dưới dạng sơ đồ sau đây:

A có dấu hiệu abcd

B có các dấu hiệu abc

Do đó: B có thể có dấu hiệu d

Điều cần lưu ý trong suy luận tương tự là kết luận rút ra có giá trị xác suất.Nghĩa là nó có thể chân thực hoặc giả dối Bởi vì các đối tượng được so sánh, dùchúng có giống nhau như thế nào đi chăng nữa, bao giờ cũng có những dấu hiệukhác nhau Nếu không như vậy thì các đối tượng này không còn là các đối tượngkhác nhau mà là một Vì vậy, dấu hiệu được rút ra nếu nó phản ánh đúng đặc tínhtồn tại trong B thì có kết luận chân thực Còn nếu dấu hiệu d là dấu hiệu để phânbiệt giữa B và A thì kết luận trên là giả đối

Các loại suy luận tương tự:

Căn cứ vào dấu hiệu được rút ra trong kết luận phản ánh thuộc tính hay dấuhiệu giữa các đối tượng được so sánh mà người ta chia suy luận tương tự ra làm hailoại là suy luận tương tự về thuộc tính và suy luận tương tự về quan hệ

Suy luận tương tự về thuộc tính là suy luận tương tự trong đó dấu hiệu rút ratrong kết luận phản ánh thuộc tính của các đối tượng so sánh

Suy luận tương tự về quan hệ là suy luận tương tự trong đó dấu hiệu rút ratrong kết luận phản ánh quan hệ giữa các đối tượng so sánh

Để nâng cao mức độ xác suất về tính chân thực của kết luận trong suy luậntương tự cần phải tuân theo các điều kiện sau đây:

Một là, phải khảo sát và so sánh các đối tượng ở nhiều dấu hiệu Càng giống

nhau ở nhiều dấu hiệu khảo sát bao nhiêu thì xác suất về tính chân thực của dấu hiệurút ra trong kết luận càng cao bấy nhiêu

Hai là, các dấu hiệu giống nhau càng ở nhiều phương diện so sánh bao nhiêu

thì xác suất về tính chân thực của dấu hiệu rút ra trong kết luận cũng càng cao bấynhiêu

Ba là, các dấu hiệu giống nhau phản ánh cái bản chất và quan hệ càng sâu

sắc bao nhiêu thì xác suất về tính chân thực của dấu hiệu rút ra trong kết luận cũngcàng cao bấy nhiêu

Tuy giá trị rút ra trong suy luận tương tự có tính xác suất, song suy luận nàyvẫn có ý nghĩa rất thiết thực trong hoạt động nghiên cứu khoa học cũng như hoạtđộng thực tiễn Bởi vì, suy luận này là một trong những phương pháp nghiên cứuphổ thông, đơn giản, cụ thể hóa và giải thích khá dễ dàng nội dung tư tưởng Chonên, nó chiếm ưu thế ở giai đoạn đầu của quá trình nhận thức và được xem như mộtthủ thuật bổ trợ đắc lực trong hoạt động nghiên cứu khoa học

1.1.3.4 Suy luận ngoại suy

Nhà toán học, triết học và logic học người Mỹ Charles Sanders Peirce 1914) là người đã phát triển khái niệm ngoại suy và đưa nó vào trong hệ thống cácloại suy luận Nhận thức truyền thống liên quan đến bản chất của suy luận toán họcvẫn giữ quan điểm rằng suy diễn và quy nạp hình thành nên một cặp đôi mà tất cả

(1839-các loại suy luận nếu không phải là suy diễn thì sẽ rơi vào trường hợp còn lại là quy nạp Tuy nhiên, Peirce đề xuất một loại suy luận mới là suy luận ngoại suy: loại suy luận bắt đầu từ các dữ liệu và hướng đến các giả thuyết Mô hình suy luận ngoại suycủa Peirce:

Một sự thật C được quan sát,

Nếu A đúng, C hiển nhiên cũng sẽ đúng;

Vì thế, là hợp lí khi giả thuyết rằng A đúng.

J Josephson và S Josephson [25] kế thừa định nghĩa ngoại suy của Peirce và

bổ sung vào mô hình ngoại suy của ông thêm một giai đoạn: đánh giá giả thuyết nào

là tốt nhất Mô hình mới như sau:

Không có giả thuyết khác có thể giải thích D tốt hơn H (3)

Theo J Josephson và S Josephson, việc đánh giá khả năng xảy ra của một

giả thuyết ngoại suy phụ thuộc vào một vài yếu tố sau:

2) Tự bản thân giả thuyết H tốt như thế nào, việc xem xét này là độc lập với

các yếu tố khác (điều này nói lên rằng chúng ta nên thận trọng trong việc chấp nhận mộtgiả thuyết, ngay cả khi nó rõ ràng là cái tốt nhất mà chúng ta có, nếu bản thân nó không

đủ tính có lí);

3) Mức độ đáng tin cậy của các dữ liệu;

4) Mức độ tự tin khi cho rằng tất cả các giả thuyết có lí khác đã được xem xét

Ngoài bốn yếu tố trên, J Josephson và S Josephson [25, Tr 14] cho rằng cũng

cần xem xét hai điều sau trước khi đưa ra một giả thuyết ngoại suy:

1 Những lợi ích khi giả thuyết đúng mang lại cũng như những thiệt hại khi giả thuyết là sai

2 Nhu cầu đi đến một kết luận tổng quát là cần thiết như thế nào, đặc biệt xem xét khả năng tìm kiếm thêm các bằng chứng trước khi đưa ra giả thuyết cuối cùng

1.1.3.5 Phân biệt suy luận suy diễn, quy nạp, tương tự và ngoại suy trong toán học

Theo Nguyễn Anh Tuấn [21, Tr 64]: Suy luận quy nạp căn bản khác với suy diễn,

và chính qua đó biểu hiện bản chất sâu xa của nó Nếu trong suy diễn, tưtưởng vận động từ tri thức chung hơn đến kém chung hơn, thì trong quy nạp làngược lại: từ ít chung hơn đến chung nhiều hơn Trong suy diễn tri thức được giảđịnh là “có sẵn” Quy nạp lại vạch ra “cơ chế” hình thành lên nó Vì thế, nếu ở suydiễn tri thức chung là khởi điểm của suy luận, thì ở quy nạp nó lại là kết quả

Theo Nguyễn Anh Tuấn [21, Tr 70]: Sự khác biệt chủ yếu của suy luậntương tự với suy diễn và quy nạp là ở chỗ, tri thức kết luận có cùng cấp độ với trithức tiền đề Đồng thời suy luận tương tự cũng gắn liền với suy diễn và quy nạp.Một mặt, nó dựa trên những tri thức được khai thác bằng con đường suy diễn và quynạp Mặt khác, nó cung cấp cho chúng chất liệu để rút ra những kết luận mới

Cấu tạo của suy luận tương tự cũng khá giống với cấu tạo của quy nạp, vìcũng dựa cơ sở trên những phán đoán đơn nhất (mặc dù vẫn có thể trên những phánđoán bộ phận, hay thậm chí toàn thể) Nhưng ở kết luận lại không đề cập đến toàn

bộ lớp, mà chỉ đến đặc điểm riêng của đối tượng hay nhóm đối tượng

Giống nhau và khác nhau giữa suy luận quy nạp không hoàn toàn và suy luận tương tự:

Giống nhau: Kết luận của nó đều không đáng tin cậy, vì thệ không thể sử dụng

để CM mệnh đề Toán học, nhưng nó lại là một trong những cách suy luận có hiệu quả

để sáng tạo phát minh Trong khi dạy Toán chúng ta tận dụng ưu thế này để rèn luyệncho HS biết cách tìm tòi, dự đoán, nêu giả thuyết và sau đó tìm cách CM

Khác nhau: Phép quy nạp không hoàn toàn rút ra kết luận từ đối tượng riêngbiệt, loại riêng biệt trong cùng một loại đối tượng Còn tương tự rút ra kết luận từđối tượng (hay loại đối tượng) này sang đối tượng khác

Qua những nghiên cứu trên ta có thể kết luận như sau: Suy luận suy diễn sửdụng các quy tắc logic toán và các tiên đề đã biết để khẳng định sự đúng đắn của mộtkết quả và thường sử dụng trong quá trình chứng minh toán học Suy luận quy nạp giúptổng quát hóa một kết quả từ các trường hợp riêng tương tự nhau, nhằm mở rộng phạm

vi áp dụng của một tính chất, một tri thức toán cho một nhóm đối tượng

lớn hơn Quy nạp thường được sử dụng trong khám phá các kết quả mang tính tổngquát Quy nạp cũng được dùng để hỗ trợ cho phương án giải quyết vấn đề: giải quyếtmột bài toán đơn giản hơn bằng cách hạn chế lại số trường hợp cần xem xét và sau đódùng suy luận quy nạp để tổng quát hóa kết quả cho bài toán chính Suy luận tương tựnhằm đưa ra một giả thuyết trong quá trình khám phá các tri thức toán Suy luận quynạp, tương tự được dùng để định hướng trong quá trình chứng minh.

Xét về khía cạnh khám phá toán và tính chắc chắn của kết quả

Tính chắc chắn của những kết luận được tạo ra bởi các loại suy luận nàygiảm dần từ suy diễn đến quy nạp, tương tự và cuối cùng là ngoại suy Bản chất “tạo

ra chân lí” của suy diễn luôn luôn tạo ra một kết luận có cơ sở vững chắc vì nhữngtiên đề đúng luôn luôn đưa đến những kết luận đúng Kết luận được suy ra khôngphải là sự tổng quát hóa vì thế không cần có sự xác minh thực nghiệm Trái lại,ngoại suy và quy nạp, tương tự tạo ra các kết luận dựa trên thực nghiệm và có thể làsai

Tuy nhiên, xét về khía cạnh khám phá tri thức mới, những tri thức có được

từ suy luận suy diễn có thể xem như những hệ quả logic được suy ra từ những tiên

đề đúng đã biết trước, do đó chúng không thể mở rộng vốn tri thức sẵn có của conngười Với quy nạp,tương tự thì tri thức mới thu được dưới dạng tổng quát hóa, là

mở rộng phạm vi của những tri thức đã biết theo các xu hướng có thể đoán trướcđược Với ngoại suy, khi những tri thức có sẵn không giải thích được cho quan sát,tri thức mới được hình thành Vì thế, ngoại suy giúp cung cấp các ý tưởng mới và

mở rộng tri thức của chúng ta

1.1.4 Các thao tác tư duy liên quan đến suy luận

Một trong những nhiệm vụ quan trọng của dạy học toán là rèn luyện cho HScác hoạt động trí tuệ: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, so sánh, phân tích, tổnghợp Các hoạt động này giúp cho HS nắm vững, đào sâu kiến thức, phát huy tínhđộc lập, sáng tạo của bản thân các em không những trong học tập môn toán mà còncác môn học khác Chúng còn là cơ sở ban đầu để hình thành những phẩm chất trítuệ cho HS Suy luận rất phổ biến và có mối liên hệ mật thiết, khăng khít với cácthao tác tư duy này

a, Phân tích, tổng hợp

Theo Hoàng Chúng: “Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từngphần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thểđó”; “Tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc kết hợp lạinhững thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể đó” [6, Tr 16]

Theo Từ điển Tiếng Việt: “Phân tích là phân chia thật sự hay bằng tưởngtượng một đối tượng nhận thức, ra thành các yếu tố, trái với tổng hợp; tổng hợp là

tổ hợp bằng tưởng tượng hay thật sự, các yếu tố riêng rẽ nào đó làm thành mộtchỉnh thể, trái với phân tích” [16, Tr 746, 979]

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệthống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ; tổng hợp là liênkết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệthống” [10, Tr 46]

Từ những định nghĩa trên có thể hiểu: phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể

ra thành từng phần (những vật), là chia nhỏ là tách một vật thành những bộ phận riêng

lẻ hoặc tách ra từng thuộc tính từng yếu tố hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toànthể để tìm mối liên hệ giữa các phần, các bộ phận, các yếu tố đó và hiểu được chúng;tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, là kết hợp lại liên kết những

bộ phận riêng lẻ hoặc kết hợp thống nhất các thuộc tính các yếu tố hay các khía cạnhkhác nhau nằm trong cái toàn thể đó để nhận thức được cái toàn thể Ta có thể nêu lênnhững biểu hiện cụ thể của hoạt động phân tích và tổng hợp như sau:

 Những biểu hiện cụ thể của hoạt động phân tích và tổng hợp Phân tích:

- Thao tác chia nhỏ cái toàn thể thành từng phần;

- Tìm mối liên hệ giữa các phần với cái toàn thể để hiểu cái toàn thể sâu sắc hơn Tổng hợp:

- Kết hợp lại, liên kết, thống nhất các phần trong cái toàn thể;

- Nhận thức được cái toàn thể

Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ hữu cơ, chúng là hai mặt đối lập của một quátrình thống nhất: trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồngthời là tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ