Luận văn thạc sĩ phương pháp runge kutta và thuật toán tính số mũ luyapunov của hệ động lực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG NGUYỄN QUANG HUY PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA VÀ THUẬT TOÁN TÍNH SỐ MŨ LYAPUNOV CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN QUANG HUY

PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA VÀ THUẬT TOÁN TÍNH SỐ MŨ LYAPUNOV CỦA HỆ ĐỘNG LỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUYÊN, 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA VÀ THUẬT TOÁN TÍNH SỐ MŨ LYAPUNOV CỦA HỆ ĐỘNG LỰC

Chuyên ngành: Khoa học máy tính

Mã số: 60 48 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Người hướng dẫn khoa học: TS TRƯƠNG HÀ HẢI

Học viên thực hiện: Nguyễn Quang Huy

THÁI NGUYÊN, 2017

L˝I CAM OAN

Tæi xin cam oan: Lu“n v«n th⁄c sÿ chuy¶n ng nh Khoa håc m¡y t

‰nh, t¶n • t i Ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta v thu“t to¡n t‰nh sŁ môLyapunov cıa h» ºng lüc l cæng tr…nh nghi¶n cøu, t…m hi”u v tr…

nh b y do tæi thüc hi»n d÷îi sü h÷îng d¤n khoa håc cıa TS Tr÷ìng HH£i, Tr÷íng ⁄i håc Cæng ngh» Thæng tin v Truy•n thæng - ⁄i håc Th¡iNguy¶n

K‚t qu£ t…m hi”u, nghi¶n cøu trong lu“n v«n l ho n to n trung thüc,khæng vi ph⁄m b§t cø i•u g… trong lu“t sð hœu tr‰ tu» v ph¡p lu“tVi»t Nam N‚u sai, tæi ho n to n chàu tr¡ch nhi»m tr÷îc ph¡p lu“t.T§t c£ c¡c t i li»u, b i b¡o, khâa lu“n, cæng cö phƒn m•m cıa c¡c t¡cgi£ kh¡c ÷æc sß döng l⁄i trong lu“n v«n n y •u ÷æc ch¿ d¤n t÷íngminh v• t¡c gi£ v •u câ trong danh möc t i li»u tham kh£o

Th¡i Nguy¶n, ng y 18 th¡ng 5 n«m 2017

T¡c gi£ lu“n v«nNguy„n Quang Huy

L˝IC MÌN

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn TS Tr÷ìng H H£i, tr÷íng ⁄i håc Cængngh» thæng tin v truy•n thæng - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n, l gi¡o vi¶n h÷îngd¤n khoa håc ¢ h÷îng d¤n t¡c gi£ ho n th nh lu“n v«n

n y, xin ÷æc c£m ìn c¡c thƒy, cæ gi¡o tr÷íng ⁄i håc cæng ngh» thængtin v truy•n thæng nìi t¡c gi£ theo håc v ho n th nh ch÷ìng tr…nh caohåc ¢ nhi»t t…nh gi£ng d⁄y v gióp ï

Xin c£m ìn tr÷íng Cao flng Kinh t‚ - T i ch‰nh Th¡i Nguy¶n nìi t¡cgi£ cæng t¡c ¢ t⁄o måi i•u ki»n thu“n læi ” t¡c gi£ ho n th nh ch÷ìngtr…nh håc t“p

V cuŁi còng xin c£m ìn gia …nh, b⁄n b–, çng nghi»p ¢ ºng vi¶n,gióp ï t¡c gi£ trong suŁt thíi gian håc t“p, nghi¶n cøu v ho n th nh lu“nv«n n y

Xin ch¥n th nh c£m ìn

Th¡i Nguy¶n, ng y 18 th¡ng 5 n«m 2017

T¡c gi£ lu“n v«nNguy„n Quang Huy

DANHS CHHNHV

1.1 Vòng hót Lorenz

1.2 Vòng hót Rossler

1.3 Vòng hót Rabinovich-Fabrikant

1.4 Vòng hót M⁄ch Chua

1.5 Mæ t£ v• sü ph¥n t¡ch quÿ ⁄o

1.6 Mæ t£ v• sü thay Œi cıa h…nh cƒu i•u ki»n ban ƒu qua ¡nh x⁄

1.7 Vòng Œn ành cıa ph÷ìng ph¡p RK4 1.8 Bi”u ç hºi tö cıa ph÷ìng ph¡p Euler v ph÷ìng ph¡p RK4

2.1 Mæ t£ qu¡ tr…nh ph¥n t¡ch quÿ ⁄o khi câ nhi„u nhä ban ƒu 32 3.1 Khæng gian pha cıa h» Rabinovich - Fabrikant vîi a =

0:1, b = 0:98 v gi¡ trà ban ƒu [0:1; 0:1; 0:1] H» l hØn lo⁄n 41

3.2 Khæng gian pha cıa h» Rabinovich - Fabrikant vîi a =

0:1, b = 0:2715 v gi¡ trà ban ƒu [0:1; 0:1; 0:1] H» khæng

l hØn lo⁄n 41 3.3 Khæng

gian pha cıa h» Rabinovich - Fabrikant vîi a =

0:1, b = 0:5 v gi¡ trà ban ƒu [0:1; 0:1; 0:1] H» khæng l

hØn lo⁄n 42 3.4 Khæng

gian pha cıa h» Rabinovich - Fabrikant vîi a =

1, b = 0:1 v gi¡ trà ban ƒu [0:1; 0:1; 0:1] H» l hØn lo⁄n 42

MÖC LÖC

Líi cam oan iLíi c£m ìn iiDanh s¡ch h…nh v‡

iiDanh s¡ch b£ng iiiDanh möc kþ hi»u, tł vi‚t t›t v

Mð ƒu

1Ch÷ìng 1 M¸T S¨ KI N THÙC CHU N BÀ 6 1.1 HØnlo⁄n 6 1.2 C¡c

h» ºng lüc sß döng 101.3 SŁ mô Lyapunov 131.4 Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa ph÷ìng ph¡p gi£i sŁ 16 Ch÷ìng

2 PH×ÌNG PH P RUNGE-KUTTA V THU T TO N

T NH S¨ MÔ LYAPUNOV 22 2.1 Ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta 22

2.2 C¡c thu“t to¡n t‰nh sŁ mô Lyapunov 30 Ch÷ìng

3 C I T 36 3.1 K‚t

qu£ t‰nh to¡n vîi h» Lorenz 373.2 K‚t qu£ t‰nh to¡n vîi h» Rossler 393.3 T‰nh to¡n sŁ mô Lyapunov cıa h» RK 403.4 K‚t qu£ t‰nh to¡n sŁ mô Lyapunov cıa m⁄ch Chua 41 K‚t lu“n

chung 43

vi

T i li»u tham kh£o 44 PHÖ LÖC 48

M— U

Vîi sü hØ træ cıa m¡y t‰nh, r§t nhi•u c¡c b i to¡n trong l¾nh vückhoa håc k¾ thu“t ¢ ÷æc nghi¶n cøu gi£i quy‚t, ÷a ra líi gi£i sŁ trongthíi gian phò hæp v º ch‰nh x¡c cao Nâi ri¶ng vîi h» ph÷ìng tr…nh

vi ph¥n th÷íng, vi»c nghi¶n cøu t…m nghi»m sŁ l⁄i c ng trð n¶n quantrång i•u n y b›t nguçn tł hai lþ do: Thø nh§t, tł khi ÷æc ph¡t minh bði

nh to¡n håc Newton, ph†p t‰nh vi t‰ch ph¥n nâi chung

v ph÷ìng tr…nh vi ph¥n nâi ri¶ng l cæng cö chı y‚u ” mæ h…nh hâato¡n håc c¡c b i to¡n thüc t‚ Khæng ch¿ gi£i quy‚t c¡c b i to¡n cì håcNewton nh÷ giai o⁄n ƒu, ng y nay c¡c b i to¡n v“t lþ v• qu¡ tr…nhkhuy‚ch t¡n, truy•n nhi»t ‚n c¡c b i to¡n dü b¡o thíi ti‚t, kinh t‚, sinhhåc, , •u cƒn ‚n ph÷ìng tr…nh vi ph¥n Nâi mºt c¡ch ng›n gån, måiqu¡ tr…nh bi‚n Œi li¶n töc theo thíi gian cıa Łi t÷æng nghi¶n cøu

•u cƒn ‚n ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ” mæ h…nh hâa to¡n håc Thø hai, vi»c t…m nghi»m gi£i t‰ch cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n khæng h• ìn gi£n Ch¿ mºt sŁ ‰t c¡c ph÷ìng tr…nh vi ph¥n câ d⁄ng °c bi»t mîi câ th” t…m nghi»m rª vîi c¡c ph÷ìng ph¡p, kÿ thu“t d nh ri¶ng cho d⁄ng â Trong khi â c¡c b i to¡n xu§t ph¡t tł nhu cƒu thüc t‚, sau qu¡ tr…nh ¡p döng c¡c ành lu“t,

mæ h…nh hâa, nh“n ÷æc h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n mæ t£

b i to¡n th÷íng r§t phøc t⁄p C¡c k‚t qu£ gi£i t‰ch v• h» nh“n ÷æc câ th”

l t‰nh tçn t⁄i, duy nh§t nghi»m, sü Œn ành cıa nghi»m,v.v nh÷ngmuŁn câ nghi»m ta ph£i b›t tay v o gi£i sŁ V… c¡c lþ do â, nghi¶n cøugi£i sŁ h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ¢ sîm ÷æc quan t¥m bði r§t nhi•u nhto¡n håc v cÆn ti‚p töc ph¡t tri”n Mºt sŁ thu“t to¡n hi»u qu£,

câ º ch‰nh x¡c cao, ÷æc ¡p döng rºng r¢i nh÷: Ph÷ìng ph¡p Newton,ph÷ìng ph¡p Euler, ph÷ìng ph¡p Runge Kutta.

Gƒn ¥y khoa håc v• hØn lo⁄n (Chaos theory) ¢ thu hót ÷æc sü quan t¥m lîn cıa c¡c nh nghi¶n cøu Sü tçn t⁄i mºt h nh vi ký l⁄ cıa h» t§t ành ngo i c¡c h nh vi quen thuºc nh÷ Œn ành, tuƒn ho n, tüa tuƒn

ho n vîi sŁ chu ký lîn, thüc ra ¢ thu hót sü chó þ cıa nhœng nh to¡n håc lîn, câ t÷ duy v÷æt thíi ⁄i nh÷ Henry Poincare tł ƒu th‚ k 20 Khi nghi¶n cøu b i to¡n ba v“t th” nŒi ti‚ng, æng ¢ nh“n th§y nhœng d§u hi»u cıa hØn lo⁄n Nh÷ng ph£i ‚n n«m 1963 hØn lo⁄n mîi thüc sü trð

th nh Łi t÷æng nghi¶n cøu ÷æc quan t¥m Edwat Lorenz, nh to¡n håc v kh‰ t÷æng håc nŒi ti‚ng cıa MIT, ¢ ph¡t hi»n h» 12 ph÷ìng tr…nh vi ph¥n dòng ” mæ t£, dü b¡o kh‰ t÷æng cıa æng câ mºt

h nh vi ký l⁄ Mºt sü thay Œi væ còng nhä cıa i•u ki»n ban ƒu ¢ d¤n

‚n sü ph¥n t¡ch væ còng lîn cıa nghi»m Ng y nay chóng ta ¢ bi‚t â l

sü phö thuºc nh⁄y c£m v o i•u ki»n ban ƒu, hi»n t÷æng æng ph¡t hi»n

÷æc gåi l hi»u øng c¡nh b÷îm Lþ thuy‚t hØn lo⁄n ¢ câ nhi•u øngdöng trong vi»c mæ t£ ch‰nh x¡c tü nhi¶n công nh÷ c¡c l¾nh vückhoa håc M°c dò câ nhi•u ành ngh¾a kh¡c nhau v• hØn lo⁄n songt§t c£ c¡c ành ngh¾a â •u câ chung mºt i”m l tçn t⁄i sü phö thuºc nh⁄yc£m v o i•u ki»n ban ƒu cıa nghi»m SŁ mô Lyapunov l mºt kh¡i ni»m

” o sü phö thuºc nh⁄y c£m n y Mºt h» ºng lüc n‚u tçn t⁄i sŁ môLyapunov d÷ìng chøng tä sü ph¥n t¡ch theo thíi gian h m mô cıa quÿ

⁄o nghi»m vîi nhœng thay Œi r§t nhä cıa i•u ki»n ban

ƒu, hay tçn t⁄i sü phö thuºc nh⁄y c£m v o i•u ki»n ban ƒu Nâ l d§u hi»ucho th§y h» hØn lo⁄n Vîi þ ngh¾a quan trång â cıa sŁ mô Lyapunov, vi»c nghi¶n cøu t‰nh to¡n sŁ mô Lyapunov r§t ÷æc quan t¥m C¡c thu“t to¡n nŒi ti‚ng nh÷ t‰nh sŁ mô Lyapunov chuØi thíi gian

cıa Gencay hay t‰nh sŁ mô Lyapunov khi bi‚t h» ph÷ìng tr…nh viph¥n mæ t£ h» ºng lüc cıa Wolf.

Vîi hai v§n • n¶u ð tr¶n, lu“n v«n n y s‡ nghi¶n cøu thu“t to¡nRunge-Kutta gi£i sŁ h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ” tł â øng döng t‰nh

sŁ mô Lyapunov cıa h» ºng lüc ÷æc mæ t£ bði h» ph÷ìng tr…nh viph¥n Hai thu“t to¡n t‰nh sŁ mô Lyapunov s‡ ÷æc nghi¶n cøu c i °ttr¶n cì sð sß döng ph÷ìng ph¡p Runge Kutta l : Ph÷ìng ph¡p ph¥nt¡ch quÿ ⁄o dòng ” t‰nh sŁ mô Lyapunov lîn nh§t; Ph÷ìng ph¡p trücchu'n hâa li¶n töc Gram Schmidt t‰nh t§t c£ sŁ mô Lyapunov cıah» Vi»c nghi¶n cøu th nh cæng lu“n v«n, x¥y düng ÷æc ch÷ìng tr…

nh t‰nh sŁ mô Lyapunov ¢ gióp cho t¡c gi£ ÷æc bŒ sung th¶m ki‚nthøc cì sð to¡n håc cho chuy¶n ng nh khoa håc m¡y t‰nh v n¥ngcao ki‚n thøc cho b£n th¥n, âng gâp th¶m mºt cæng cö hœu ‰chtrong qu¡ tr…nh kh£o s¡t h nh vi h» ºng lüc, mºt Łi t÷æng r§t ÷æcquan t¥m nghi¶n cøu hi»n nay

Nºi dung cıa lu“n v«n gçm 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà

Ch÷ìng n y tr…nh b y c¡c ki‚n thøc chu'n bà cho vi»c nghi¶n cøu â lc¡c kh¡i ni»m li¶n quan ‚n hØn lo⁄n nh÷ phö thuºc nh⁄y c£m v o i•u ki»nban ƒu, sŁ mô lyapunov; C¡c ki‚n thøc mang t‰nh ch§t giîi thi»u v• c¡ch» ºng lüc ÷æc sß döng trong lu“n v«n nh÷ h» Lorenz, h» Chua, h»Rossler, h» Ranbikovich-Fabrikant; C¡c t‰nh ch§t cıa ph÷ìng ph¡p gi£i

sŁ nh÷ t‰nh Œn ành, º phøc t⁄p, º khâ, º ch‰nh x¡c cıa ph÷ìng ph¡p.C¡c nºi dung n y ÷æc tr…nh b y trong c¡c phƒn sau:

1.1 HØn lo⁄n

1.2 C¡c h» ºng lüc sß döng

1.3 SŁ mô Lyapunov

‰ Ngo i ra vi»c øng döng cıa h» hØn lo⁄n trong m¢ hâa £nh sŁcông ÷æc n¶u ra v ph¥n t‰ch trong ch÷ìng n y.

ƒu cho tr÷îc công s‡ ÷æc ch¿ ra Phƒn mæ t£ øng döng công câmºt sŁ ph¥n t‰ch cho th§y hi»u qu£ m¢ hâa b£o m“t thæng tin £nhcıa h» hØn lo⁄n

Phƒn k‚t lu“n: Tr…nh b y k‚t qu£ m lu“n v«n ⁄t ÷æc v h÷îng ph¡ttri”n Ngo i ra, c¡c h m v ch÷ìng tr…nh l“p tr…nh sß döng ngæn ngœMatlab s‡ ÷æc tr…nh b y trong phƒn phö löc.

CH×ÌNG 1M¸T S¨ KI N THÙC CHU N BÀ

Tr…nh b y ki‚n thøc chu'n bà, c¡c kh¡i ni»m li¶n quan ‚n hØn lo⁄nnh÷ phö thuºc nh⁄y c£m v o i•u ki»n ban ƒu, sŁ mô Lyapunov; C¡cki‚n thøc mang t‰nh ch§t giîi thi»u v• c¡c h» ºng lüc ÷æc sß döngtrong lu“n v«n nh÷ h» Lorenz, h» Chua, h» Rossler, h» Rabinovich-Fabrikant; C¡c t‰nh ch§t cıa ph÷ìng ph¡p gi£i sŁ nh÷ t‰nh Œn ành,

º phøc t⁄p, º khâ, º ch‰nh x¡c cıa ph÷ìng ph¡p

1.1 HØn lo⁄n

Lþ thuy‚t hØn lo⁄n l mºt nh¡nh cıa to¡n håc, ÷æc bi‚t ‚n rºng r¢i hi»nnay nhí sü khâ dü o¡n cıa mæ h…nh dü b¡o thíi ti‚t [6] v mæ h…nht«ng tr÷ðng cıa quƒn th” sinh håc [13] Mºt t‰nh ch§t quan trång cıah» hØn lo⁄n l nh⁄y c£m vîi c¡c i•u ki»n ban ƒu

ành ngh¾a 1.1.1 Sü phö thuºc nh⁄y c£m v o i•u ki»n ban ƒu: Süthay Œi r§t nhä trong i•u ki»n ban ƒu cıa h» s‡ d¤n tîi sü thay Œi tolîn trong nghi»m

Kh¡i ni»m n y câ ngh¾a l nhœng lØi r§t nhä s‡ t«ng theo thíi gian

v cuŁi còng l m nghi»m sai l»ch ho n to n, væ gi¡ trà Nhœng lØi væcòng nhä khæng th” tr¡nh khäi khi dòng d§u ph'y ºng thay th‚ cho ƒu

v o ch‰nh x¡c, s‡ ph¡t tri”n theo thíi gian v l m mæ h…nh mæphäng khæng cÆn ch‰nh x¡c nœa

Khæng câ ành ngh¾a phŒ qu¡t ÷æc ch§p nh“n cho sü hØn lo⁄n,m°c dò hƒu h‚t c¡c ành ngh¾a •u nh›c ‚n sü phö thuºc nh⁄y c£m v oi•u ki»n ban ƒu Mºt sŁ t¡c gi£ ch¿ y¶u cƒu i•u ki»n nh⁄y c£m vîi kban ƒu [5], trong khi mºt sŁ kh¡c l⁄i y¶u cƒu mºt sŁ i•u ki»n kh¡c nœa[12], [27], [4] Lu“n v«n n y t…m hi”u v• sŁ mô Lyapunov cıa h»,

dòng ” o sü ph¥n t¡ch cıa nghi»m düa tr¶n sü thay Œi nhä cıa i•uki»n ban ƒu SŁ mô Lyapunov l mºt ph÷ìng ph¡p ” nghi¶n cøu sü nh⁄yc£m vîi i•u ki»n ban ƒu T‰nh to¡n sŁ mô Lyapunov cho ph†p chóng

ta x¡c ành ÷æc h» l hØn lo⁄n düa tr¶n ành ngh¾a cıa Alligood

[5].Tr÷îc khi th£o lu“n v• sŁ mô Lyapunov v c¡c ph÷ìng ph¡p ” t‰nh to¡n nâ, mºt sŁ ki‚n thøc li¶n quan ÷æc tr…nh b y

Mºt H» ºng lüc l mºt h» ph÷ìng tr…nh mæ t£ sü bi‚n Œi theo thíigian Nâ câ th” l h» c¡c ph÷ìng tr…nh sai ph¥n ríi r⁄c ho°c c¡c ph÷ìngtr…nh vi ph¥n li¶n töc H» ºng lüc câ th” mæ t£ c¡c hi»n t÷æng thüct‚ nh÷ mæ h…nh thíi ti‚t hay sü t«ng tr÷ðng cıa c¡c quƒn th” theo thíigian [23], [28], [2] C¡c ph÷ìng tr…nh sai ph¥n mæ t£ sü bi‚n Œi tr⁄ngth¡i theo thíi gian cÆn ÷æc gåi l c¡c ¡nh x⁄ (map) v c¡c ph÷ìng tr…nh

vi ph¥n gåi l c¡c luçng (flow) Quÿ ⁄o hay ÷íng i mæ t£ sü

ph¡t tri”n theo thíi gian cıa tr⁄ng th¡i (nghi»m) cıa h» ºng lüc Mºtquÿ ⁄o vîi v†c tì ban ƒu v0 cıa h» ºng lüc F câ nghi»m sŁ ft (vi)

t⁄i thíi gian ti, t0 ti tF inal, l :

OF = fft (v0) : t 2 [t0; tF inal]g

Måi h» ºng lüc chóng ta x†t s‡ l c¡c h» phi tuy‚n, ch¿ nhœng h» phi

tuy‚n mîi câ th” xu§t hi»n hi»n t÷æng hØn lo⁄n

Theo ti‚n tr…nh thíi gian, quÿ ⁄o câ th” ti»m c“n ‚n mºt gi¡ trà hœuh⁄n, bà giœ trong mºt vòng cö th” hay dƒn tîi væ còng V‰ dö, vîiph÷ìng tr…nh sai ph¥n (1.1.2),

x

n+1 = x

nQuÿ ⁄o xu§t ph¡t vîi x0 = 2 s‡ t«ng, khæng bà ch°n; Nh÷ng vîi i•uki»n ban ƒu x0 = 0:5, quÿ ⁄o t÷ìng øng s‡ hºi tö v• 0, bà giœ trongvòng giœa 0 v 0:5 vîi måi thíi gian Mºt i”m xi ÷æc gåi l i”m

b§t ºng (cŁ ành) n‚u nâ ¡nh x⁄ v o ch‰nh nâ, ngh¾a l f (xi) = xi Vîiph÷ìng tr…nh sai ph¥n (1.1.2) ta câ x = 0 l mºt i”m b§t ºng Mºt chutr…nh tuƒn ho n câ ngh¾a t÷ìng tü nh÷ i”m b§t ºng, mºt t“p hæp c¡ci”m x0; x1; :::; xn l chu tr…nh tuƒn ho n cıa h» F n‚u

F (x0) = x1; F (x1) = x2; :::; F (xn) = x0

Trong [27], [4], Strogatz ành ngh¾a mºt vòng hót l mºt t“p hæp mt§t c£ nhœng quÿ ⁄o l¥n c“n •u hºi tö ‚n nâ i”m x = 0 ch‰nh l i”m hótcıa (1.1.2) Mºt vòng hót l⁄ câ th” hi”u ìn gi£n l t“p hæp kh¡c vîi t“p c¡ci”m cŁ ành hay chu tr…nh tuƒn ho n Khi nghi»m cıa h» ÷æc v‡ rath… ta câ th” nh…n th§y trüc quan vòng hót l⁄ Vòng hót Lorenz l mºtv‰ dö kinh i”n v• vòng hót l⁄ (h…nh 1.1) Qua â ta câ th” th§y h nh vikhæng tuƒn ho n trong d i h⁄n cıa h» Lorenz: Quÿ ⁄o bà ch°n nh÷ngkhæng hºi tö v• b§t ký mºt i”m cŁ ành hay mºt chu tr…nh tuƒn ho n no

H…nh 1.1: Vòng hót Lorenz vîi c¡c tham sŁ = 10; = 8 ; = 28 v vîi i•u ki»n ban ƒu 3

Strogatz ÷a ra mºt ành ngh¾a vòng hót l⁄ kh›t khe hìn vîi ba phƒn:Mºt vòng hót l⁄ l mºt t“p b§t bi‚n, thu hót mºt t“p mð c¡c i•u ki»n ban

ƒu v ph£i l tŁi ti”u Mºt t“p b§t bi‚n A l mºt t“p m måi quÿ ⁄o hay ÷íng ixu§t ph¡t tł trong nâ s‡ m¢i ð trong nâ theo thíi gian, ngh¾a l f (A) A.T‰nh ch§t thu hót mºt t“p mð c¡c i”m i•u ki»n ban ƒu câ ngh¾a l tçnt⁄i mºt t“p mð B chøa A thäa m¢n måi quÿ ⁄o hay ÷íng i OF xu§t ph¡ttrong B s‡ câ kho£ng c¡ch k‚ ti‚p nhau c¡c i”m tr¶n quÿ ⁄o ‚n A dƒn tîi

0 theo ti‚n tr…nh thíi gian CÆn kh¡i ni»m tŁi ti”u ngh¾a l â l t“p lînnh§t thäa m¢n ành ngh¾a Kh¡i ni»m v• hØn lo⁄n câ nhi•u ànhngh¾a kh¡c nhau theo h÷îng ch°t ch‡ dƒn ành ngh¾a cıa Strogatz[27] nh÷ sau:

ành ngh¾a 1.1.2 Mºt h» ºng lüc ÷æc gåi l hØn lo⁄n n‚u nâ bi”u lº

sü khæng tuƒn ho n trong d i h⁄n v nh⁄y c£m vîi i•u ki»n ban ƒu

Mºt h» tçn t⁄i vòng hót l⁄ v nh⁄y c£m vîi i•u ki»n ban ƒu l mºt h» hØnlo⁄n theo ành ngh¾a cıa Strogatz

Devanley [12] ành ngh¾a sü hØn lo⁄n cho ¡nh x⁄ ch°t ch‡ hìn,nh÷ng cƒn hi”u th¶m mºt sŁ kh¡i ni»m mîi Mºt bao âng cıa t“p A l t“pgçm c¡c phƒn tß cıa A v c¡c i”m giîi h⁄n cıa A Mºt t“p con B cıa t“p C

÷æc gåi l trò m“t trong C n‚u C l bao âng cıa B Mºt

hm g ÷æc gåi l hÆa trºn tæ pæ n‚u måi c°p A; B ríi nhau sau hœuh⁄n lƒn l°p A s‡ câ £nh giao nhau kh¡c rØng vîi B, gk (A) \ B 6= ; T

‰nh ch§t nh⁄y c£m vîi i•u ki»n ban ƒu ÷æc Devanley ành ngh¾a l

sü tçn t⁄i cıa > 0 thäa m¢n vîi måi i”m trong mi•n v vîi måi l¥n

c“n cıa nâ, tçn t⁄i i”m trong l¥n c“n thäa m¢n sau hœu h⁄n lƒn l°p, haii”m s‡ ph¥n t¡ch lîn hìn i•u n y ÷æc th” hi»n trong h…nh 3.1 v l cì

sð cho vi»c nghi¶n cøu ph¥n t¡ch quÿ ⁄o ành ngh¾a hØn lo⁄n cıaDavenley nh÷ sau:

ành ngh¾a 1.1.3 Mºt ¡nh x⁄ f : A ! A ÷æc gåi l hØn lo⁄n n‚u nâ hÆatrºn tæ pæ, nh⁄y c£m vîi i•u ki»n ban ƒu v t“p c¡c i”m tuƒn ho n cıa f ltrò m“t trong A

Lu“n v«n sß döng ành ngh¾a cıa Alligood [5]:

ành ngh¾a 1.1.4 Mºt h» ºng lüc ÷æc gåi l hØn lo⁄n n‚u nâ câ sŁ

lþ sŁ li»u li¶n quan ‚n h» mæ phäng thíi ti‚t ” dü b¡o, æng ¢ l m trÆn

‚n 3 chœ sŁ th“p ph¥n c¡c dœ ki»n ƒu v o thay v… ” ch‰nh x¡c 6 sŁ

v nh“n th§y sü sai kh¡c r§t lîn ð k‚t qu£ ¥y ch‰nh l °c t‰nh nh⁄yc£m vîi i•u ki»n ban ƒu m æng ¢ ghi nh“n ÷æc tł h» ph÷ìng tr…nhcıa m…nh [26], [19], [4] Mæ h…nh ÷æc ìn gi£n hâa th nh h» ph÷ìngtr…nh vi ph¥n th÷íng nh÷ sau:

x = (y

y = x (

z = xyvîi; ; l c¡c tham sŁ thüc Mºt bº tham sŁ th÷íng ÷æc sß döng

l = 10; = 28; = 83 , v… ¥y ch‰nh l c¡c gi¡ trà cho ta vòng hótLorenz nŒi ti‚ng (h…nh 1.1) H nh vi khæng tuƒn ho n trong thíi gian

d i v nh⁄y c£m vîi i•u ki»n ban ƒu l m cho h» Lorenz thäa m¢n

ành ngh¾a 1.1.2 v• hØn lo⁄n

H…nh 1.2: Vòng hót Rossler vîi a = 0:2; b = 0:2; c = 5:7 v i•u ki»n ƒu [0:1; 0:1; 0:1]

H…nh 1.3: Vòng hót Rabinovich - Fabrikant vîi a = 1; b = 0:1 v c¡c gi¡ trà ban ƒu [0:1; 0:1; 0:1]

trong â ; l c¡c tham sŁ thüc v

khóc v li¶n töc ÷æc cho bði

f (x) =

cıa mºt m⁄nh i»n tß Vîi c¡c gi¡ trà tham sŁ = 9, =

7H…nh 1.4 th” hi»n h…nh £nh pha cıa vòng hót n y

H…nh 1.4: Vòng hót m⁄ch chua vîi c¡c tham sŁ = 9, =

ƒu [0:1; 0:1; 0:1]

1.3 SŁ mô Lyapunov

SŁ mô Lyapunov cıa h» dòng ” x¡c ành mºt th nh phƒn ÷æc nâi ‚n

i•u ki»n ban ƒu Nâ cung c§p mºt º o v• sü ph¥n t¡ch theo ti‚n tr…nhthíi gian cıa nhœng quÿ ⁄o xu§t ph¡t ð nhœng gi¡ trà ban

13

ƒu gƒn nhau Hai quÿ ⁄o vîi gi¡ trà ban ƒu r§t gƒn nhau nh÷ng câ sŁ

mô lyapunov d÷ìng s‡ ph¥n t¡ch r§t nhanh Nghi»m nh“n ÷æc s‡ ho

n to n kh¡c nhau H…nh 1.5 mæ t£ v• sü ph¥n t¡ch n y Mºt quÿ ⁄o y

÷æc l m nhi„u bði Sau mºt lƒn l°p, y1 v nghi»m bà nhi„u y1 c¡chnhau mºt kho£ng d1 SŁ mô Lyapunov d÷ìng s‡ £m b£o cho sü ph¥nt¡ch n y lîn l¶n theo nhœng lƒn l°p sau Mºt h» câ t§t c£ sŁ môLyapunov •u ¥m s‡ hºi tö v• i”m cŁ ành hay mºt chu tr…nh tuƒn ho n

v khæng câ h nh vi hØn lo⁄n

Mºt h m trìn l h m kh£ vi væ h⁄n lƒn T§t c£ c¡c v‚ ph£i trong c¡c h»x†t ð tr¶n •u l h m trìn Alligood v çng t¡c gi£ ¢ ÷a ra ành ngh¾a sŁ

mô Lyapunov cıa h m trìn nh÷ sau [5], [3]

ành ngh¾a 1.3.1 Vîi k = 1; 2; :::; m; rkn l º d i cıa tröc trüc giao d inh§t thø k cıa JnU, vîi Jn l ành thøc Jacobian t⁄i lƒn l°p thø n cıa f v U

l cì sð trüc giao cıa Rm

C¡c bi‚n rkn o sü thay Œi cıa h…nh cƒu l¥n c“n xung quanh x0 C¡c ⁄o

h m trong Jacobian o sü ph¥n t¡ch cüc nhä H…nh cƒu nhi„u gi¡ trà ban

ƒu n‹m trong Rm t÷ìng tü nh÷ kho£ng c¡ch thflng ÷æc mæ t£ trong v‰

dö h…nh 1.5.V‰ dö v• sü thay Œi cıa h…nh cƒu i•u ki»n ban ƒu ÷æccho trong h…nh 1.6 Ta ành ngh¾a sŁ Lyapunov thø k cıa f l

H…nh 1.5: Hai quÿ ⁄o sai kh¡c r§t nhä ban ƒu s‡ ph¥n t¡ch xa khi sŁ lƒn l°p t«ng l¶n n‚u sŁ mô Lyapunov d÷ìng.

h» th” hi»n t‰nh ch§t nh⁄y c£m vîi i•u ki»n ban ƒu V khi â sŁ môLyapunov t÷ìng øng s‡ d÷ìng i•u n y d¤n tîi ành ngh¾a (1.1.4), mºth» l hØn lo⁄n n‚u câ sŁ mô lyapunov d÷ìng

” t‰nh sŁ mô Lyapunov cho h» ºng lüc li¶n töc, mºt ph÷ìng ph¡pgi£i sŁ ÷æc ¡p döng tł thíi i”m ban ƒu ‚n thíi i”m k‚t thóc sß döng b÷îcthíi gian cŁ ành Thæng th÷íng kho£ng thíi gian c ng nhä th… º ch

‰nh x¡c c ng cao Nghi»m sŁ ríi r⁄c nh“n ÷æc vîi quÿ ⁄o ti‚n theo thíigian s‡ cho th§y mºt sŁ h nh vi cıa h» C¡c ph÷ìng ph¡p thay Œi b÷îcl÷îi khæng ÷æc • c“p ð ¥y v… sü phøc t⁄p cıa nâ

H…nh 1.6: Mæ t£ v• sü thay Œi cıa h…nh cƒu i•u ki»n ban ƒu qua ¡nh x⁄

1.4 Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa ph÷ìng ph¡p gi£i sŁ

Vi»c t‰nh to¡n sŁ mô Lyapunov y¶u cƒu gi£i sŁ c¡c h» ph÷ìng tr…

nh vi ph¥n th÷íng (ODEs) R§t nhi•u ODEs xu§t ph¡t tł thüc t‚ n¶nchóng khæng câ nghi»m gi£i t‰ch (nghi»m âng), c¡c nh khoa håc ph£it…m c¡ch gi£i sŁ nâ sao cho ⁄t º ch‰nh x¡c mong muŁn Xu§t ph¡t tł t“phæp i•u ki»n ban ƒu, câ nhi•u ph÷ìng ph¡p ” ÷a ra líi gi£i sŁ Nh÷ng ” sos¡nh, ¡nh gi¡ c¡c ph÷ìng ph¡p sŁ ta cƒn düa v o c¡c t‰nh ch§t chungcıa chóng, â l t‰nh ch‰nh x¡c (th” hi»n bði b“c), t‰nh Œn ành (bòng

nŒ sai sŁ hay khæng), v º phøc t⁄p t‰nh to¡n (câ hi»u qu£ v d„ thüchi»n khæng? Thíi gian t‰nh to¡n ÷îc l÷æng l bao l¥u?) Vi»c lüa chånph÷ìng ph¡p ph£i £m b£o c¥n b‹ng giœa c¡c y‚u tŁ tr¶n [1]

1.4.1 T‰nh Œn ành

T‰nh Œn ành cıa ph÷ìng ph¡p l t‰nh ch§t chŁng l⁄i sü bòng nŒ sai

sŁ lan truy•n Khi ph÷ìng ph¡p khæng Œn ành, mºt lØi t‰nh to¡n r§tnhä xu§t hi»n s‡ l m líi gi£i sŁ nhanh châng ti‚n ‚n væ h⁄n T‰nh Œnành phö thuºc trüc ti‚p v o ph÷ìng ph¡p hìn l phö thuºc v o h» ang x†t.V… v“y chóng th÷íng ÷æc o theo c¡ch giŁng nhau T‰nh Œn ành

cıa ph÷ìng ph¡p th÷íng ÷æc mæ t£ b‹ng mºt vòng tr¶n m°t phflngphøc, ÷æc gåi l vòng Œn ành Vòng Œn ành cıa ph÷ìng ph¡p ÷æcx¡c ành tł b i to¡n gi¡ trà ban ƒu:

x = zx z 2 C; t 0 x0 = 1D„ th§y b i to¡n n y câ nghi»m gi£i t‰ch

x (z; t) = ezt

Ta câ ành ngh¾a sau:

ành ngh¾a 1.4.1 Vòng Œn ành l t“p hæp c¡c gi¡ trà z m h nh vi bàch°n cıa nghi»m thüc t‚ công th” hi»n trong nghi»m sŁ T“p hæp n y

£m b£o cho nghi»m sŁ x^n (z; t) cıa ph÷ìng tr…nh (1.4.1) thäa m¢n:

lim x^n (z; t) = 0n!1

Vîi z 2 C câ phƒn thüc ¥m, giîi h⁄n cıa nghi»m (1.4.2) b‹ng 0 khi t !

1 N‚u z câ phƒn thüc d÷ìng, giîi h⁄n b‹ng 1 V… v“y sŁ phøc z vîi phƒnthüc ¥m n‹m trong vòng Œn ành

C¡c ph÷ìng ph¡p sŁ mong muŁn chøa to n bº nßa tr¡i cıa m°tphflng phøc trong mi•n Œn ành v… trong mi•n n y giîi h⁄n cıa nghi»mgi£i t‰ch b‹ng 0 [17], [1] N‚u i•u n y thäa m¢n, ph÷ìng ph¡p ÷æc gåi

l Œn ành tuy»t Łi Tuy nhi¶n ch¿ nhœng ph÷ìng ph¡p 'n mîi câ th”

Œn ành tuy»t Łi

ành ngh¾a 1.4.2 Gåi i l gi¡ trà ri¶ng cıa ma tr“n Jacobian cıa h»ODEs Nghi»m sŁ l Œn ành n‚u ih n‹m trong vòng Œn ành cıaph÷ìng ph¡p, vîi h l b÷îc l÷îi

T‰nh Œn ành cıa nghi»m sŁ phö thuºc c£ ph÷ìng ph¡p sŁ v h»ph÷ìng tr…nh bði v… vòng Œn ành phö thuºc v o ph÷ìng ph¡p sŁ cÆn

c¡c gi¡ trà ri¶ng cıa ma tr“n Jacobian l⁄i phö thuºc v o h» ODEs.Trong thüc t‚, nghi»m sŁ ÷æc cho l Œn ành n‚u cÆn bà ch°n vkhæng Œn ành n‚u nâ bi”u hi»n t‰nh khæng bà ch°n.

Cƒn chó þ r‹ng, þ t÷ðng v• t‰nh Œn ành ÷æc düa tr¶n h» tuy‚n t‰nh.

V vi»c chuy”n tł h» tuy‚n t‰nh vîi nghi»m ch‰nh x¡c sang h» phi tuy‚n vîi nghi»m khæng ch‰nh x¡c l khæng ho n h£o [17] M°c dò v“y, t‰nh

Œn ành tuy‚n t‰nh l mºt ti¶u chu'n tŒng qu¡t ÷æc sß döng ” mæ t£

º tin c“y cıa mºt ph÷ìng ph¡p sŁ H…nh 1.7 th” hi»n vòng Œn ànhcıa ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta b“c 4 (RK4) D„ th§y r‹ng RK4 khæng

l t‰nh ch§t mæ t£ sü khâ kh«n cıa vi»c t…m nghi»m sŁ cıa h» Thæng

th÷íng nghi»m Œn ành cıa h» khâ th÷íng y¶u cƒu b÷îc l÷îi h nhä hìn.

º khâ th÷íng ÷æc o bði t sŁ khâ (stiffness ratio) - l t sŁ giœa

gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t v nhä nh§t cıa ma tr“n Jacobian Vi»c t‰nh to¡n

bao gçm c£ sŁ lƒn r§t lîn v r§t nhä công nh÷ lØi chøa d§u ph'y ºng

B£ng 1.1 cung c§p c¡c t sŁ khâ cıa c¡c h» ph÷ìng tr…nh nghi¶n cøu

trong lu“n v«n Vîi h» Lorenz, Rossler v Rabinovich - Fabrikant t¡c gi£

sß döng ph÷ìng ph¡p Runge - Kutta b“c 4 vîi l÷îi •u h = 0:01, thíi gian

tend = 1000 v t‰nh trung b…nh k‚t qu£ tł 1000 t“p gi¡ trà ban ƒu

ng¤u nhi¶n Ta nh“n th§y m°c dò h» Rossler ìn gi£n hìn h» Lorenz

nh÷ng t sŁ khâ l⁄i cao M⁄ch Chua câ th” câ hai ma tr“n Jacobian vîi

c¡c h» sŁ h‹ng sŁ n¶n d¤n tîi k‚t qu£ t sŁ khâ ch¿ b‹ng 2:4861

B£ng 1.1: T sŁ khâ trung b…nh cıa c¡c h» nghi¶n cøu trong lu“n v«n

º ch‰nh x¡c cıa mºt ph÷ìng ph¡p gi£i sŁ ÷æc mæ t£ bði b“c cıa

nâ Mºt ph÷ìng ph¡p sŁ ÷æc gåi l câ º ch‰nh x¡c b“c n‚u sai sŁ cıanghi»m sŁ x^ t l» vîi h , hay nâi c¡ch kh¡c º l»ch x(tn+1) x^(x(tn))

19

thäa m¢n:

x(tn+1) x^(x(tn)) = O(h )

Rª r ng vîi b÷îc l÷îi h c ng nhä th… º l»ch nghi»m l mºt væ còng b†t÷ìng ÷ìng vîi h s‡ c ng nhä Nh÷ng º ch‰nh x¡c phö thuºc v oph÷ìng ph¡p Vîi hai ph÷ìng ph¡p Euler v RK4, vîi còng b÷îc l÷îi h =

10 2 ta câ º ch‰nh x¡c t÷ìng øng lƒn l÷æt l 10 2 v 10 8 V vîi ph÷ìngph¡p IRK8 º ch‰nh x¡c cÆn cao hìn nœa

Tuy nhi¶n º ch‰nh x¡c c ng cao th… chi ph‰ t‰nh to¡n bao gçmthíi gian, chi ph‰ bº nhî, º khâ trong vi»c l“p tr…nh thüc hi»n côngs‡ t«ng cao t÷ìng øng V… v“y ta ph£i c¥n nh›c giœa º ch‰nh x¡cch§p nh“n ÷æc v chi ph‰ t‰nh to¡n

L§y logarit hai v‚ ta câ:

log(x(tn+1) x^(x(tn))) logh + logC

Tr¶n h» tröc vîi hai tröc thang logarit, bi”u ç n y l mºt ÷íng thflng V‰

dö v• bi”u ç hºi tö cıa ph÷ìng ph¡p Euler v RK4 ÷æc cho trong h…nh1.8, câ ÷æc theo c¡ch nh÷ sau: B›t ƒu bði t“p hæp c¡c sŁ mô ƒu v o

dŁc cıa ph÷ìng ph¡p Euler v RK4 ÷æc th” hi»n nh÷ mong æi.

H…nh 1.8: Bi”u ç hºi tö cıa ph÷ìng ph¡p Euler v ph÷ìng ph¡p RK4.

CH×ÌNG 2PH×ÌNG PH P RUNGE-KUTTA V THU T TO N T NH S¨ MÔ

â ” câ ÷æc líi gi£i sŁ cıa mºt b÷îc thíi gian Chi ti‚t câ th” tham kh£otrong [1], [7], tâm t›t ph÷ìng ph¡p nh÷ sau:

Nghi»m x§p x¿ t⁄i b÷îc thíi gian n + 1 l

X i

yn+1 = yn + h biki

=1Vîi yn lnghi»m sŁ cıa b÷îc tr÷îc, bi l c¡c h» sŁ trång sŁ cıa giai o⁄n ki,

ki l c¡c sŁ gia, ÷æc t‰nh nh÷ sau:

0 1

ki = fC¡c h» sŁ aij ¡nh gi¡ c¡c h m phö trong suŁt b÷îc l÷îi, i; j = 1; 2; :::;

N‚u c¡c gi¡ trà sŁ gia k cıa ph÷ìng ph¡p ÷æc cho b‹ng c¡c ph÷ìngtr…nh hi»n, nâ ÷æc gåi l ph÷ìng ph¡p hi»n N‚u ÷æc cho b‹ng c¡cph÷ìng tr…nh 'n th… nâ ÷æc gåi l ph÷ìng ph¡p 'n Vîi c¡c ph÷ìngph¡p hi»n, gi¡ trà c¡c sŁ gia ð (2.1.3) ÷æc t‰nh trüc ti‚p v (2.1.2) câth” gi£i ÷æc ngay Ph÷ìng ph¡p 'n y¶u cƒu sß döng ph÷ìng ph¡pNeuton:

y

n+1 = y

n

” gi£i h» phi tuy‚n c¡c sŁ gia ki.

Mºt c¡ch quen thuºc ” li»t k¶ c¡c h» sŁ cıa ph÷ìng ph¡p Runge Kutta l

sß döng b£ng Butcher [1], [8] D⁄ng tŒng qu¡t cıa b£ng Butcher nh÷b£ng 2.1 Trong â ci l trång sŁ thíi gian t trong giai o⁄n k C¡c

ìn gi£n nh§t- Ph÷ìng ph¡p Euler câ b£ng butcher nh÷ sau

B£ng 2.2: B£ng butcher cıa ph÷ìng ph¡p Euler.

0 0 1

2.1.2 Ph÷ìng ph¡p Runger Kuttar hi»n b“c 4

Ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta hi»n b“c 4 phŒ bi‚n (RK4) nh÷ sau:

l v… ngo i º ch‰nh x¡c b“c 4 trong 4 giai o⁄n, nâ cÆn d„ mæ t£ v

thüc hi»n Nh÷ ¢ n¶u trong [1], [8], c¡c ph÷ìng ph¡p hi»n b“c n > 4

khæng th” thüc hi»n vîi sŁ giai o⁄n b‹ng n Tł â nâ ph£i sß döng c§u

tróc c¥y ph¥n nh¡nh, v… v“y s‡ ÷æc bä qua ð ¥y

B£ng 2.3: B£ng Butcher cıa ph÷ìng ph¡p RK4

0 1

2 1