Tài liệu ôn thi TN THPT C – NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Yêu cầu – Hs nắm ñược ñịnh nghĩa nguyên hàm và tích phân, bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp, tính chất của nguyên hàm và t[r]
Trang 1TRƯ NG THPT YÊN PHONG S 2
T TOÁN -
NGUY N S AN − NGÔ BÁ GIANG NGUY N TH KIM LIÊN − NGUY N VĂN XÁ
TÀI LI U
ÔN THI T T NGHI P THPT
MÔN TOÁN
֠
THAM KH O N I B
Năm h c 2009 – 2010
Trang 2M C L C
Trang
A – NG D NG ð O HÀM ð KH O SÁT VÀ V ð TH
E – DI N TÍCH HÌNH ðA DI N, HÌNH TRÒN XOAY VÀ TH TÍCH
Trang 3L I NÓI ð U
Vi c biên so n tài li u này là m t n i dung trong k ho ch năm h c
c a t Toán, th hi n m t ph n nh ng n l c c a t Toán trong vi c chu n
b cho kì thi TN THPT s p t i
Rõ ràng tài li u này ch ng có ý nghĩa gì ñ i v i nh ng h c sinh trên
l p không chú ý nghe gi ng và không tham gia tích c c các ho t ñ ng h c theo ch d n c a giáo viên, v nhà không dành th i gian h p lí cho vi c t
h c Nhưng chúng tôi hi v ng, v i các h c sinh v n còn nuôi dư ng ñư c trong trái tim mình khát v ng vươn lên, ñây s là m t ngư i b n nh ñi bên
c nh các em trong su t th i gian các em ôn luy n, chu n b cho thi TN THPT, và mong r!ng nó s ñóng góp m t ph n nào ñ"y vào k t qu mà các
em ñ t ñư c
Chúng tôi v n [trăn tr#] v ch"t lư ng và hi u qu c a tài li u này Hãy cho phép chúng tôi ñư c chia s$ suy nghĩ c a quý th y cô và các em
h c sinh v nh ng ñi u c n phát huy, nh ng ñi u c n kh c ph%c trong tài
li u, và r"t c m ơn v s quan tâm ñó
Chúng tôi chân thành c m ơn ñ&ng chí Hi u trư#ng, ñ&ng chí T trư#ng, và các ñ&ng nghi p trong trư ng ñã giúp ñ chúng tôi hoàn thành tài
li u nh này
Nhóm Toán 12
Trang 4Tài li u ôn thi TN THPT
A – NG D NG ð O HÀM ð KH O SÁT VÀ V ð TH HÀM S
Yêu c u
– N m ñư c sơ ñ kh o sát và v ñ th hàm s
– Bi t kh o sát và v ñ th hàm s c a hàm ña th c b c ba, b c b n trùng phương, phân th c b c nh t trên b c nh t
– Bi t gi i quy t m t s bài toán liên quan: vi t phương trình ti p tuy n, bi n lu n s nghi m c a phương trình, tính di n tích hình ph ng, kho ng ñơn ñi u và c c tr …
– Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s (ñơn gi n), ch y u xét trên m t ño n
– Cho hàm s y = f(x) xác ñ nh và có ñ o hàm trên kho ng K N u f’(x) ≥ 0 ∀x∈K (f’(x) ≤ 0 ∀x∈K),
" ñó d u “=” ch# x y ra v i h$u h n giá tr x∈K, thì hàm s y = f(x) ñ ng bi n (tương ng ngh ch bi n) trên kho ng K
cx + d (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) luôn ñ ng bi n (n u ad – bc > 0) ho&c luôn ngh ch bi n (n u
ad – bc < 0) trên t'ng kho ng xác ñ nh
– Hàm s y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) ñ ng bi n (ngh ch bi n) trên R khi y’ ≥ 0 (tương ng y’ ≤ 0)
v i m(i x∈R
– Xét tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Ta nh l i:
1) f(x) > 0 ∀x∈R ⇔ a > 0
< 0
∆
a > 0 0
∆ ≤
a < 0 < 0
∆
4) f(x) ≤ 0 ∀x∈R ⇔ a < 0
0
∆ ≤
a 0 < 0
≠
∆
Chú ý: ) trên có th* thay ∆ b"i ∆', và n u h s a có ch a tham s thì ph i xét thêm trư ng h p a = 0 6) N u a > 0 thì ax2 + bx + c ≥
4a
∆
2a
7) N u a < 0 thì ax2 + bx + c ≤
4a
∆
2a
8) N u ∆≥ 0 thì f(x) có hai nghi m x = b
2a
− ± ∆
, kí hi u hai nghi m là x1, x2 Ta có
1 2
b
S x x
a
P x x
a
= = Hơn n$a ta còn có th* xét d u ñư c các nghi m x1, x2 c a f(x) 9) N u ∆> 0, ta gi s+ x1 < x2, thì
x – ∞ x1 x2 + ∞
f(x) cùng d u a 0 trái d u a 0 cùng d u a
Ví d 1 Tìm m ñ* hàm s y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – 1 ñ ng bi n trên t p xác ñ nh
Hư ng d n Hàm s ñã cho ñ ng bi n trên t p xác ñ nh D = R khi
y’ = 3x2 – 6mx + m + 2 ≥ 0 ∀x∈R ⇔ △’ = 3(3m2 – m – 2) ≤ 0 ⇔ –2
3≤ m ≤ 1
V y v i –2
3≤ m ≤ 1 thì hàm s ñã cho ñ ng bi n trên t p xác ñ nh
Trang 5Tài li u ôn thi TN THPT
– Cho hàm s y = f(x) xác ñ nh trên kho ng K, x0 ∈K, và f(x) có ñ o hàm trên K\{x0} (t i x0 hàm f(x) ho&c không có ñ o hàm, ho&c f’(x0) = 0) N u f’(x) ñ i d u t' dương sang âm (ho&c t' âm sang dương) khi x ñi qua x0 thì x0 là ñi*m c c ñ i (tương ng ñi*m c c ti*u) c a hàm s y = f(x)
– N u hàm s y = f(x) có ñ o hàm ñ n c p hai trên kho ng K, x0 ∈K, thì:
0
f '(x ) 0
f ''(x ) 0
=
<
0 0
f '(x ) 0
f ''(x ) 0
=
>
– Hàm phân th c y = ax + b
cx + d (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) không có ñi*m c c tr , vì ñ o hàm y’ không ñ i d u
– Hàm ña th c b c ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) ho&c không có ñi*m c c tr (khi y’ có △ ≤ 0) ho&c
có 2 ñi*m c c tr , 1 ñi*m c c ñ i và 1 ñi*m c c ti*u (khi y’ có △ > 0)
– Hàm ña th c b c b n trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) ho&c có 1 ñi*m c c tr (khi y’ có 1 nghi m x = 0), ho&c có 3 ñi*m c c tr , c c c ñ i và c c ti*u (khi y’ có 3 nghi m phân bi t)
Ví d 2 Ch ng minh v i m(i m hàm s y = x4 – (m2 + 12)x2 + m luôn có 3 ñi*m c c tr
Hư ng d n Vì y’ = 4x3 –2(m2 + 12)x = 2x(2x2 – (m2 + 12)) luôn có 3 nghi m phân bi t và ñ i d u khi x
ñi qua m,i nghi m nên hàm s ñã cho luôn có 3 ñi*m c c tr , v i m(i m
Ví d 3 Ch ng minh x = 0 là ñi*m c c ti*u c a hàm s y = ex– sinx
Hư ng d n Ta th y y’= ex– cosx, y’’ = ex+ sinx nên y’(0) = 0, y’’(0) = 1 > 0 V y x = 0 là m t ñi*m
c c ti*u c a hàm s ñã cho
Ví d 4 Cho hàm s y = 1 3x mx2 (2m 3)x 9
a) Ch ng minh hàm s luôn có 2 ñi*m c c tr v i m(i m
b) Tìm m ñ* hàm s ñ t c c ñ i tai x = –2
Hư ng d n a) y’ = x2 – 2mx – 2m –3 là tam th c b c hai có △’ = m2 + 2m + 3 = (m + 1)2 + 2 > 0 v i m(i m∈R, nên y’ có hai nghi m phân bi t và ñ i d u khi x ñi qua m,i nghi m V y hàm s ñã cho luôn
có hai ñi*m c c tr v i m(i giá tr c a tham s m
b) C1 y’’ = 2x – 2m Hàm s ñã cho nh n x = – 2 làm ñi*m c c ñ i khi y '( 2) 0
y ''( 2) 0
− =
− <
1 2m 0
4 2m 0
+ =
− − <
m = –1
2 V y v i m = –
1
2 thì hàm s ñã cho ñ t c c ñ i t i x = – 2
C2 Ta l p ñư c b ng bi n thiên c a hàm s ñã cho
x – ∞ m – 2
m +2m 3+ m + 2
m +2m 3+ +∞
y’ + 0 – 0 +
y
yCð +∞
– ∞ yCT
Hàm s ñã cho có ñi*m c c ñ i x = – 2 khi m – 2
m +2m 3+ = – 2 ⇔ 2
m +2m 3+ = m + 2 ⇔
+ ≥
⇔ m = –1
2 V y v i m = –
1
2 thì hàm s ñã cho ñ t c c ñ i t i x = – 2
Trang 6Tài li u ôn thi TN THPT III ðƯ.NG TI/M C0N
– N u x y ra ít nh t m t trong hai ñi1u ki n
xlim f (x) y
xlim f (x) y
ti m c n ngang c a ñ th hàm s y = f(x) Như v y m,i ñ th hàm s có t i ña hai ti m c n ngang – N u x y ra ít nh t 1 trong 4 ñi1u ki n
0
x x
lim f (x)+
0
x x
lim f (x)+
0
x x
lim f (x)−
0
x x
lim f (x)
−
→ = −∞ thì ñư ng th ng x = x0 là ñư ng ti m c n ñ ng c a ñ th hàm s y = f(x)
– ð th hàm s ña th c b c ba và b c b n trùng phương không có ti m c n
– ð th hàm s y = ax + b
cx + d (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) có ti m c n ngang y =
a
c, ti m c n ñ ng x = –
d
c
Sơ ñ kh o sát và v ñ th hàm s
1) Tìm t p xác ñ nh
2) Xét s bi n thiên
– Tính y’, gi i phương trình y’ = 0, xét d u y’
– K t lu n v1 s bi n thiên và c c tr
– Tìm gi i h n t i vô c c và gi i h n vô c c Tìm ti m c n (n u có)
– L p b ng bi n thiên
3) V ñ th
M t s lưu ý
– Hàm s y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) có t p xác ñ nh D = R, ñ th c t Oy t i A(0; d), nh n
ñi*m I( b
3a
3a
– Hàm s y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có t p xác ñ nh D = R, ñ th c t Oy t i B(0; c), nh n Oy làm tr4c
ñ i x ng
cx + d (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) có t p xác ñ nh D = R\{–
d
c}, không có c c tr , ñ th có
ti m c n ngang y = a
c, ti m c n ñ ng x = –
d
c, và giao ñi*m I(–
d
c;
a
c) c a hai ñư ng ti m c n chính là
tâm ñ i x ng c a ñ th
– Gi s+ y = f(x) (C) xác ñ nh và có ñ o hàm trên kho ng K, x0 ∈K
+ Ti p tuy n c a (C) t i ñi*m M0(x0; f(x0))∈(C) có phương trình y = f’(x0).(x – x0) + f(x0) (M0(x0; f(x0)) là ti p ñi*m, k = f’(x0) là h s góc)
+ N u (d) là ti p tuy n c a ñ th (C) và (d) có h s góc k (k có th* cho tr c ti p, có th* cho gián ti p thông qua (d) vuông góc ho&c song song v i ñư ng th ng cho trư c), ta gi i phương trình
k = f '(x) ñ* tìm hoành ñ ti p ñi*m x0, và phương trình c a (d) là y = k.(x – x0) + f(x0)
+ Cho (d) là ñư ng th ng ñi qua A(xA; yA) và ti p xúc v i (C) Gi s+ M0(x0; f(x0) là ti p ñi*m
c a (C) và (d) Phương trình c a ti p tuy n (d) có d ng y = f’(x0).(x – x0) + f(x0) Do A∈(d) nên
A 0 A 0 0
y = f '(x ).(x −x ) + f(x ), t' ñây tìm ra x0 và suy ra phương trình c a (d)
Ví d 5 Cho hàm s y = x3 + (m + 2)x + m + 7
1) Tìm m ñ* hàm s có ñi*m c c ti*u x = 1
2) Vói m v'a tìm ñư c, hãy kh o sát và v ñ th c a hàm s
3) Bi n lu n theo k s nghi m c a phương trình x3 – 3x = 2k
Trang 7Tài li u ôn thi TN THPT
Hư ng d n 1) y’ = 3x2 + m + 2; y’’ = 6x Hàm s ñ t c c ti*u t i x = 1 khi y '(1) 0
y ''(1) 0
=
>
6 0
+ =
>
m = – 5 V y v i m = – 5 thì hàm s ñã cho có ñi*m c c ti*u x = 1
2) Khi m = – 5 thì hàm s tr" thành y = x3 – 3x +2
* TXð D = R
* S bi n thiên: y’ = 3x2 – 3; y’ = 0 ⇔ x = ± 1
y’ > 0 ⇔ x∈(–∞; – 1)∪(1; +∞) nên hàm s ñ ng bi n trên các kho ng (–∞; – 1), (1; +∞)
y’ < 0 ⇔ x∈(– 1; 1) nên hàm s ngh ch bi n trên kho ng (– 1; 1)
Hàm s ñ t c c ñ i t i x = –1, yCð = y( – 1) = 4
Hàm s ñ t c c ti*u t i x = 1, yCT = y(1) = 0
Gi i h n
x x
3
2 3
y
x x
x x
3
2 3
y
x x
B ng bi n thiên
x – ∞ – 1 1 +∞
y’ + 0 – 0 +
y
4 +∞
– ∞ 0
* ð th
– ð th hàm s có ñi*m c c ñ i (– 1; 4), ñi*m c c ti*u
(1; 0), tâm ñ i x ng (0; 2)
– ð th giao v i Ox t i (1; 0), (– 2; 0), giao v i Oy t i (0; 2), ñi qua ñi*m (2; 4)
3) x3 – 3x = 2k ⇔ x3 – 3x +2 = 2k +2 S nghi m c a phương trình ñã cho b5ng s ñi*m chung c a ñ
th (C) y = x3 – 3x +2 và ñư ng th ng (d) y = 2k + 2 (n5m ngang) T' ñ th ta th y
+ > >
⇔
+ < < −
2k 2 0
+ =
⇔ = ± + =
nên phương trình ñã cho có 2 nghi m
– V i 0<2k+ < ⇔ − <2 4 1 k < 1 thì (C) và (d) có 3 ñi*m
chung nên phương trình ñã cho có 3 nghi m
Ví d 6 1) Kh o sát và v ñ th hàm s y = 1 4 2 3
2) T' ñ th , gi i b t phương trình 1 4 2 3
2 − −2≤ 0
Hư ng d n 1) H(c sinh t làm
2) Nghi m c a BPT − 3≤ ≤x 3
Ví d 7 1) Kh o sát và v ñ th (C) c a hàm s y = 4x + 1
2x −3
Trang 8Tài li u ôn thi TN THPT 2) Vi t PT ti p tuy n c a (C) bi t ti p tuy n song song v i ñư ng th ng 14x + y – 9 = 0
Hư ng d n 1)* TXð: D = R\{3
2}
−
Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng xác ñ nh (–∞;3
2),
(3
2; +∞) Hàm s không có c c tr
Gi i h n:
1 4 x 3 2 x
lim y lim 2
→±∞ →±∞
+
−
3 ( ) 2
4x 1 lim
3
( )
2
4x 1
lim
c n ñ ng x = 3
2
B ng bi n thiên
x –∞ 3
2 +∞
y
2
–∞
2
*ð th : – ð th c t Ox t i ñi*m (–1
4; 0), c t Oy
t i ñi*m (0; –1
3) ð th ñi qua các ñi*m
(–1; 3
5), (–2; 1), (1; 5), (2; 9)
– ð th có tâm ñ i x ng là giao ñi*m I(3
2; 2) c a hai ñư ng ti m c n
2) Vì ti p tuy n song song v i ñư ng th ng 14x + y – 9 = 0 nên ti p tuy n có h s góc k = – 14 V y
ti p ñi*m có t(a ñ là nghi m c a h phương trình
2 2
4x 1
x 2 x 1 2x 3
4x 1
(2x 3)
+
−
Ti p tuy n c a (C) t i ñi*m (2; 9) có phương trình y = –14(x – 2) + 9 ⇔ y = – 14x + 37
Ti p tuy n c a (C) t i ñi*m (1; –5) có phương trình y = –14(x – 1) – 5 ⇔ y = – 14x + 9 Nhưng ñư ng
th ng này l i trùng v i ñư ng th ng ñã cho 14x + y – 9 = 0 nên b lo i
V y có 1 ti p tuy n th a mãn yêu c6u c a bài toán là y = – 14x + 37
– N u ta l p ñư c b ng bi n thiên c a hàm s y = f(x) trên t p D thì có th* k t lu n ñư c v1 GTLN,
NN c a f(x) trên D
– ð* tìm GTLN, NN c a f(x) trên m t ño n [a; b], ta có th* làm như sau:
Trang 9Tài li u ôn thi TN THPT + Tính f’(x), tìm x∈[a; b] sao cho f’(x) = 0 ho&c không xác ñ nh Gi s+ ñư c các giá tr x1, x2, …
+ Tính f(x1), f(x2), …, f(a), f(b)
– Có nh$ng trư ng h p chúng ta k t h p c phương pháp ñ i bi n
Ví d 8 Tìm GTLN, NN c a hàm s trên TXð c a chúng
Hư ng d n 1) TXð D = [–1; 2] Ta th y y’ = 1
2 x 1+ +
1
2 2−x > 0 ∀x∈(–1; 2) Và có y(–1) = – 3,
y(2) = 3 V y
x D
max y
∈ = 3, ñ t ñư c khi x = 2; min yx D
∈ = – 3, ñ t ñư c khi x = – 1
2) TXð D = R Ta bi n ñ i y = 1 – cos2x + cosx ð&t t = cosx, thì – 1 ≤ t ≤ t, và hàm s ñã cho tr" thành
y = f(t) = –t2 + t + 1, v i t∈[–1; 1] D: th y f’(t) = – 2t + 1, f’(t) = 0 ⇔ t = 1
2∈[–1; 1], và f(–1) = –1,
f(1
2) =
5
4, f(1) = 1 Như v y maxx y
∈ ℝ =
[-1; 1]
tmax f(t)
∈ =
5
4, ñ t ñư c khi t =
1
x
miny
∈ ℝ =
[-1; 1]
tmin f(t)
∈ = –1, ñ t ñư c khi t = –1 ⇔ x = (k2 1) , k+ π ∈ℤ.
Bài 1 Cho hàm s y = x4 + 2x2 – 3 (C)
1) Kh o sát và v ñ th (C) c a hàm s
2) Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình x4 + 2x2= 2m
3) Vi t phương trình ti p tuy n c a (C) t i giao ñi*m c a (C) v i tr4c Oy
4) Tìm GTLN, NN c a hàm s trên [–2; 3]
5) V ñ th hàm s y = – x3 – x2 + 2x (C’) trên cùng m t h tr4c t(a ñ v i (C) T' ñó suy ra s nghi m c a phương trình x4 + x3 + 3x2 – 2x – 3 = 0
6) Gi i b t phương trình x4 + 2x2 – 3 > 0
Bài 2 Cho hàm s y = x3 – 3x + 2 (C)
1) Kh o sát và v ñ th (C) c a hàm s
2) Vi t phương trình ti p tuy n c a (C) t i giao ñi*m c a (C) v i tr4c Ox
3) Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình x3 – 3x + 2m = 0
4) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b"i (C) và tr4c hoành
5) Tìm GTLN, NN c a hàm s trên [–1; 1]
Bài 3 Cho hàm s y = x 1
x + 2
− (C)
1) Kh o sát và v ñ th (C) c a hàm s
2) Tìm m ñ* (d) y = x + m c t (C) t i 2 ñi*m phân bi t
3) Tìm GTLN, NN c a hàm s trên [0; 1]
Bài 4 Tìm GTLN, NN c a hàm s
3) y = 1 x− – 3x trên ño n [0; 1] 4) y = x2 – 4ln(x + 1) trên ño n [0; 4]
Trang 10Tài li u ôn thi TN THPT
B – HÀM S LŨY TH A, HÀM S MŨ, HÀM S LOGARIT
Yêu c u
– H(c sinh n m ñư c các tính ch t c a lũy th'a, căn, logarit, các tính ch t c a hàm s lũy th'a, hàm
s mũ, hàm s logarit
– Bi t gi i phương trình, b t phương trình mũ và logarit ñơn gi n N i dung này là tr(ng tâm c a chương
– Các tính ch t c a lũy th'a (v i gi thi t các bi*u th c có nghĩa):
m
x x
x y x y x x x x y x x y xy k m k
y x
– Hàm s y = uα (α là h5ng s ):
+ N u α∈ℕ* thì uα có nghĩa khi u có nghĩa
+ N u α∈ ℕ , α ≤ 0, thì uα có nghĩa khi u ≠ 0
+ N u α∉ℤ thì uα có nghĩa khi u > 0
+ ð o hàm (uα)’ =α.uα−1.u’
+ Nguyên hàm
1
u
1
α
α
+
+
u du ln | u | C
u
– Hàm s s mũ y = ax (h5ng s a > 0, a ≠ 1):
+ ð o hàm (ax)’ = ax.lna; (ex)’ = ex; (au)’ = u’ au.lna; (eu)’ = eu.u’
+ N u a > 1 thì hàm s y = ax ñ ng bi n trên R N u 0 < a < 1 thì hàm s y = ax ngh ch bi n trên R + Nguyên hàm
x a x x u a u u
a dx C; e dx e C; a du C; e du e C
– Hàm s logarit y = logax (h5ng s a > 0, a ≠ 1):
(log x) ' ; (lnx)' = ; (log u) ' ; (lnu)' =
+ N u a > 1 thì hàm s y = logax ñ ng bi n trên kho ng (0; + ∞) N u 0 < a < 1 thì hàm s y = logax ngh ch bi n trên (0; + ∞)
+ Lưu ý: logf(x)g(x) có nghĩa khi
f(x) 0 f(x) 1 g(x) 0
>
≠
>
– N u a > 0, a ≠ 1 thì:
+ af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x)
+ logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x) > 0
+ logaf(x) = g(x) ⇔ f(x) = ag(x)
– N u a > 1 thì:
+ af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x)
+ logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) > g(x) > 0
– N u 0 < a < 1 thì:
+ af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x)
+ logaf(x) > logag(x) ⇔ 0 < f(x) < g(x)