Kinh nghiệm phát triển một số bài toán vận dụng cao về tích phân để giúp học sinh ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông

Lí do chọn đề tài Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học sinh chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT thường gặp bài toán vận dụng thấp và vận dụng cao cao liên qua

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU……… 2

1.1 Lí do chọn đề tài……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu

2 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2

2 NỘI DUNG ……… 3

2.1 Cơ sở lý luận……… 3

2.2 Thực trạng ……… 4

2.3 Giải pháp……… 4

2.4 Hiệu quả……… 20

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20

3.1 Kết luận 20

3.2 Kiến nghị 20

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học sinh chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT thường gặp bài toán vận dụng thấp và vận dụng cao cao liên quan đến tính tích phân của hàm số thông thường và hàm hợp trên một đoạn

Do yêu cầu của kỳ thi đó dẫn tới việc các giáo viên phải chuẩn bị tốt hệ thống bài tập vận dụng cao giúp học sinh rèn luyện để kết quả trong các kỳ thi cao nhất là yêu cầu cấp bách hiện nay Với những kiến thức về tích phân mà học sinh được làm quen ngay trong chương trình Giải tích 12 sẽ được phát triển một cách phong phú và đa dạng Đó là lí do để tôi chọn đề tài :

“Kinh nghiệm phát triển một số bài toán vận dụng cao về tích phân để giúp

học sinh ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông”.

1.2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học sinh trung học phổ thông khi ôn thi tốt nghiệp THPT có cách nhìn toàn diện hơn về tích phân của hàm số thông thường và hàm hợp thông qua đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán về hàm số thông thường và đặc biệt là hàm hợp

Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Giải tích của trung học phổ thông đặc biệt là hàm số cho bởi nhiều công thức và hàm hợp

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về tích phân Thông qua những

ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng các kiến thức trên từ đó rèn luyện tư duy và kĩ năng để học sinh giải quyết tốt các bài tập vận dụng cao Các ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các tài liệu tham khảo và các đề thi THPT quốc gia các năm gần đây và

có những bài tác giả đã phát triển

1.5 Những điểm mới

Với đề tài này có thể giúp giáo viên định hướng và xây dựng hệ thống bài tập vận dụng, vận dụng cao với số lượng lớn mà chỉ xuất phát từ những bài toán đơn giản

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận

Trong đề tài này sử dụng kết quả sau đây:

- Các tính chất tích phân:

+)  d  d  d

f x x f x x f x x

+)  d  d  0

k f x x kf x x k 

+)  d  d

f x x f x x

b

b a a

f x x F x F b  F a



+)      d  d  d

f x g x x f x x g x x

+)  d  d  d

f x x f t t  f z z

b

b a a

f x x f x f b  f a



- Công thức đổi biến số:

+) f u x u x dx      f u du u u x  ,   

+)        

 

 

 

u b b

f u x u x dx  f u du u u x

- Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây:

+ Cách 1: Giả sử cần tính  

b

a

g x dx

 Nếu ta viết được g x dưới dạng 

 

f u x u x thì    

 

 

u b b

g x dx f u du

  Vậy bài toán quy về tính  

 

 

u b

u a

f u du

trong nhiều trường hợp thì tích phân mới này đơn giản hơn

+ Cách 2: Giả sử cần tính f x dx 





 Đặt x x t   thỏa mãn  x a ,  x b 

thì          

f x dx f x t x t dt g t dt







   , trong đó g t  f x t   .x t  .

2.2 Thực trạng

Nhu cầu ôn thi tốt nghiệp THPT hiện nay cần nhiều bài tập vận dụng cao nhưng trong chương trình phổ thông bài tập SGK chưa nhiều, hệ thống bài tập trắc nghiệm còn hạn chế

2.3 Giải pháp.

Bài toán xuất phát ( Đề MH lần 1 của BGD năm 2020 – 2021)

Cho hàm số

2 2

( )

2 3 khi 2

f x





Tích phân 2

0

(2sin 1)cos d





A 23

23

17

17

3 .

Hướng dẫn Chọn B

Xét 2

0

(2sin 1)cos d



1

t x  t

Đổi cận:

3 2

I  f t t  f x x  x  x x x  x 



2.3.1 Phát triển bài toán ở mức độ vận dụng thấp

Ví dụ 1: Cho hàm số

2 2

e

2

0 ( )

0

f

x

x

khi x x





 





Biết tích phân

1

e ( ) d a

f x x

b c



 

 (a b là phân số tối giản) Giá trị a b c  bằng

Hướng dẫn Chọn C

4

       Vậy a b c  9

Ví dụ 2: Cho hàm số

1

3 ( )

3

1 4

khi x

f x

kh

















Tích phân

4

2

e

e

(ln ) d

f

x

A 40 ln 2

95

ln 2

189

ln 2

189

ln 2

Hướng dẫn Chọn D

Xét

4

2

(ln )

d

e

e

f

x

 Đặt tln x dt1xdx Đổi cận:

2 4

2 2

1

2

4

189

4

x

1

1 1

(

x

khi x

f x

khi

x

x









 

Tích phân

2 3

1

1

n

x







 (m n là

phân số tối giản), khi đó m 2n bằng:

Hướng dẫn Chọn A

1

7

( 1 )d





 Đặt t31 x  3t t2d dx Đổi cận: 7 2

25

12

I  t f t t x f x x  x x x x x 

Ví dụ 4: Cho hàm số f x liên tục trên   ¡ và  

1

0

f x x 

 ,  

3

0

f x x 

 

1

1

2 1 d



A I 3 B I 5 C I 6 D I 4

Hướng dẫn Chọn B

Đặt u 2x1 1

2

  Khi x 1 thì u 1 Khi x 1 thì u 3

3

1

1

d 2



1

2  f u u f u u

1

2  f u u f u u

Xét  

1

0

f x x 

 Đặt xu  dx du Khi x 0 thì u 0 Khi x 1 thì

1

u 

1

0

4f x dx  

1

0

d

f u u



0

1

d

f u u



Ta có  

3

0

f x x 

3

0

f u u

1

2



2

Ví dụ 5: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số   f x   1 x  1 x trên tập ¡

và thỏa mãn F 1 3 Tính tổng F 0 F 2 F3

Hướng dẫn Chọn C

Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:

Ta có:        

2

1

f x x F  F F 

f x x  x

  nên F 2 5

1

0

f x x F  F   F

2 1 0

f x x x x x 

nên F 0 2

0

1



2 0 1

f x x x x x 

nên F  1 3

1

3





nên F  3 7 Vậy F 0 F 2 F3    2 5 7 14

Ví dụ 6: Biết

5

1

d 4 ln 2 ln5

x

x

 

    với a b , ¢ Tính S a b 

A S 9 B S 11 C S 3 D S 5

Hướng dẫn Chọn D

2 khi 2

x



 

   

2 dx 2 dx

       

5ln 2  2 2 3ln  5

3

a b











 S a b  5

Ví dụ 7: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên   ¡ thỏa mãn

f x  x  x , với mọi x ¡ Tích phân  

5

1

d

xf x x

A 31

4

33

49

4 .

Hướng dẫn Chọn C

Từ giả thiết ta có f x 33x1 3x2 nên suy ra f  1 2, f  5 5

5 1

I xf x x xf x   f x x  f x x

Đặt x t 3 3t 1 dx3t2 3 d t.Với x 1 t0;x 5 t1

59

4

f x x f t  t t  t t t  t 

Vậy 23 59 33

Ví dụ 8: Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên ¡ thoả mãn

f x  x  x  x ¡ Tích phân 8  

2 f x dx



Hướng dẫn Chọn B

Đặt x t 5 4t 3 dx5t4 4dt Đổi cận: 2 1

  







Ví dụ 9: Cho hàm số yf x( )xác định và liên tục trên ¡ thỏa mãn

2 f x( ) 3 ( ) 5f x   với x  x ¡ Tính

10

5

( )

I f x dx.

A I 0 B I 3 C I 5 D I 6

Hướng dẫn Chọn B

Đặt t f x( ) 2t33t  5 x dx(6t2 3)dt và

3

x   t  t    t x10 2t3 3t 5 10 t 1

Vậy

2

I f x dxt t  dt 

Ví dụ 10: Cho hàm số f x xác định   \ 1 ,

2

 

 

 

¡ thỏa   2 ,  0 1

x

 1 2

f  Giá trị của biểu thức f 1  f  3 bằng

Hướng dẫn Chọn C

Ta có   2

f x

x

1

2

1

ln 2 1

1

2

x









f   C  và f  1  2 C2 2

Do đó  

 

1

2

ln 2 1 2 ;

2

f x

f







 1  3 3 ln15

Ví dụ 11: Cho hàm số

( )

2

i 0

f x

x







Khi đó

2

2

cos sin







A.15

17

2 .

Hướng dẫn Chọn A

Đặt t sinx dt cosxdx Đổi cận

1 2

1 2











   



I f t dt f x dx

Do ( ) khi 0

2

i 0

f x

x





15

2



Ví dụ 12: Cho hàm số

( )

3 h

2

i 2





Khi đó

1

0

3 2

I f  x dxbằng

A.41

41

41

21.

Hướng dẫn Chọn C

2

t   x dt  dx dx dt Đổi cận 0 3





I f t dt f x dx

( )

3 h

2

i 2





2

Ví dụ 13: Cho hàm số

khi

2 ( )

3

2 khi

2

2

f x

x

x

x









 







2

0

sin cos 1



bằng

A.35

19

10

3 .

Hướng dẫn Chọn A

Đặt t cosx 1 dt  sinxdx Đổi cận

1 2

x  t











I f t dt f x dx

khi

2 ( )

3

2 khi

2

2

f x

x

x

x









 







   

3

2 2

2 3 1

2

35

12

Ví dụ 14: Cho hàm số

( )

khi 0

f x

x









2

2

cos sin







A. 2

3

3

3



Hướng dẫn Chọn A

Đặt t sinx dt cosxdx Đổi cận

1 2

1 2











   



I f t dt f x dx

( )

khi 0

f x

x









2

2 3

I xdx x x dx



2.3 2 Phát triển bài toán ở mức độ vận dụng cao

Ví dụ 1: Giá trị của tích phân  

2

0

max sin ,cosx x xd



2.

Hướng dẫn Chọn C

Ta có phương trình sinx cosx 0 có một nghiệm trên đoạn 0;

2



  là

4

x Bảng xét dấu

Suy ra  

4

max sin ,cosx x xd cos dx x sin dx x



0

4







Ví dụ 2:Tính tích phân  

2

3 0

max , d

I  x x x

A 9

17

19

11

4 .

Hướng dẫn Chọn B

Đặt f x  x3 x ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu ta có

1;2 ,   0 3 0 3 max 3,  3

2

3 0

max , d

max x x x, d max x x x, d

2

3 0

max , d

I  x x x

Ví dụ 3: Cho hàm sốy f x liên tục trên ¡ \ 0; 1   thỏa mãn

 

 

1 2ln 2

1

f











Tính a2 b2

A.25

9

5

13

4 .

Hướng dẫn Chọn B

Ta có x x 1  f x   f x  x2 x (1)

Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho x 12 ta được

 

1

x   x x

  

f x





, với  x ¡ \ 0; 1   .  

1

x

f x

x x x







1

x

x      f x  x 1x ln x 1 C

x



Mặt khác, f  1 2ln 2 2 1 ln 2  C 2ln 2  C 1

Do đó f x  x 1x ln x 1 1

x



Với x 2 thì   31 ln3 3 3ln 3

f x     Suy ra 3

2

a  và 3

2

b 

Vậy 2 2 9

2

a b 

Ví dụ 4: Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn

f x y f x f y xy x y







1

0

1 d

f x x

A.1

1 4

7

4.

Hướng dẫn Chọn C

Lấy đạo hàm theo hàm số y

f x y  f y  x  xy,  x ¡

Cho y 0 f x  f 0 3x2 f x   1 3x2

 f x  f x dx x   3  x C mà f  0 1 C 1 Do đó f x  x3  x 1

1

0

1 d

f x x

0

1

d

f x x





0 3 1

1

1 d

4



Ví dụ 5: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên   0;1 thỏa mãn  f  1 0,

 

1

2

0

f x x

 và  

1 2 0

1 d 3

x f x x 

1

0

d

f x x

A.7

7

Hướng dẫn Chọn A

1

2

x f x dx f x   f x dx

0

1

x

f x dx 

Hơn nữa ta dễ dàng tính được

6

0

1 d

x

x 



f x x f x x  x 

1

2 3 0

f x x x

Suy ra f x  7x3, do đó   7 4

4

f x  x C Vì f  1 0 nên 7

4

C 

4

f x x x  x

Ví dụ 6: Xét hàm số f x có đạo hàm liên tục trên   ¡ và thỏa mãn điều kiện

 1 1

f  và f  2 4 Tính 2    

2 1

d

A J  1 ln 4 B J  4 ln 2 C ln 2 1

2

J   D 1 ln 4

2

J  

Hướng dẫn Chọn D

2 1

d

Đặt

2

v f x x v f x



2

2 1

d

2

1

Ví dụ 7: Cho hàm số f x( ) xác định trên ¡ \2;1 thỏa mãn

1

1

x x

f   f  f bằng

A 1ln 20 1

ln 2

1 8

ln 1

3 5 .

Hướng dẫn Chọn B

1

f x

 

1

2

3

ln

1

3

1

3

1

3

x











        











f        C   C  

3 10

f   f   C  C 

Ví dụ 8: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên   ¡ đồng thời thỏa mãn

 

 

2

0,

1 0

2

x

f













¡

¡ Tính giá trị của f ln 2.

A ln 2 1

4

f  B ln 2 1

3

f  C ln 2 ln 2 1

2

f   D ln 2 ln 22 1

2

Hướng dẫn Chọn B

Ta có f x  e f x 2 x  

 

2

x

f x

e

f x



  ( do f x  )  0

 

 

f x

f x



      1 e x C f x  x1



e C

ln 2

x

Ví dụ 9: Cho hai hàm f x và   g x có đạo hàm trên   1;4 , thỏa mãn 

g x xf x

f x xg x













với mọi x 1;4 Tính tích phân    

4

1

I  f x g x dx

Hướng dẫn Chọn D

Từ giả thiết ta có f x  g x   x f x    x g x  

f x x f x g x x g x

         x f x  x g x  0

x f x x g x C f x g x

x

4

x

Ví dụ 10: Cho hai hàm f x( ) và g x( )có đạo hàm trên 1;2 thỏa mãn

f g  và

2

3

2

( ) 2017 ( 1) ( )

( 1)

, 1;2 ( ) ( ) 2018

1

x

x

x x

x







 



 



Tính tích phân

2

1

1

1





A 1

2

I  B I 1 C. 3

2

I  D. I 2

Hướng dẫn Chọn A

2

2

( 1)

, 1;2 1

( ) ( ) 2018 1

x

x x







 



 



 

 Suy ra

Mà (1)f g(1) 0  C 1





Ví dụ 11: Cho hàm số

3 2 khi 1 ( )

f x





Tính tích phân 2  2 

0

3sin 1 sin 2 d





A 21

13

20

5

6.

Hướng dẫn Chọn A

0

3sin 1 sin 2 d



Đặt 3sin2 1 3sin 2 d d sin 2 d 1d

3

x  t x x t x x t

Với x  0 t 1

2

x  t 2

3

Ví dụ 12: Cho hàm số

2

2 1 khi 1 ( )

f x





Tính tích phân  

4

1

1

e

x



A 16

11

6

11.

Hướng dẫn Chọn C

4

1

1

e

x

Đặt 4 lnx t 4 lnx t2 1dx 2 dt t

x

       Với x  1 t 2

4

I t f t t x f x x x f x x x f x x

11

6

Ví dụ 13: Cho hàm số ( ) khi 0

khi 0

f x

x









Khi đó

2 2



A.7

8

10

3 .

Hướng dẫn Chọn D

2 2



Đặt t sinx dt cosxdx Đổi cận

1 2

x  t









1

2

I f t dt f t dt f x dx

( )

khi 0

f x

x









2 1

2 3



2

t   x dt  dx dx dt Đổi cận 0 3





  

2

I f t dt f x dx

( )

khi 0

f x

x









2 2

4



3

I  I I 

Ví dụ 14: Cho hàm số ( ) khi 2

2 12 khi

4

2

x

f x





2

2

1 1

x f x

x





Hướng dẫn Chọn A

Ta có:  

2

2

1 1

x f x

x





Đặt t  x2  1 t2 x2  1 2tdt2xdx xdx tdt Đổi cận 0 1





1

I f t dt f t dt f x dx

2 12 khi

4

2

x

f x







2

1

1

2

t  e  dt  e dx e dx dt Đổi cận





2

I f t dt f x dx

2 12 khi

4

2

x

f x







10 2 5

1

4 75 2

    Vậy I  I1 I2 84

2.4 Hiệu quả của đề tài

Sau khi các bài toán này được thực hành trên lớp và kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu và vận dụng tốt Khi sử dụng vào các đề ôn tập cho học sinh thì hệ thống bài tập này đã nâng cao kĩ năng tính tích phân bằng nhiều phương pháp cho học sinh

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Qua các ví dụ trên ta, cho thấy ưu điểm của việc đổi biến số trong việc giải quyết các bài toán về tích phân của hàm số, có thể vận dụng để phát triển hệ thống bài tập mới đa dạng dùng cho học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT một cách hiệu quả

3.2 Kiến nghị

Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm khi viết đề tài, đồng thời kết hợp với cả giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, tuy nhiên trong quá trình viết

sẽ khó tránh khỏi các khiếm khuyết rất mong được sự đóng góp của đồng nghiệp để

đề tài này có ý nghĩa thiết thực và bổ ích hơn trong nhà trường Giúp các em học sinh

có thêm hệ thống bài tập ôn luyện và đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT sắp tới./

XÁC NHẬN CỦA

HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 18 tháng 5 năm 2021

CAM KẾT KHÔNG COPY

Giáo viên

Danh sách sáng kiến kinh nghiệm đã được xếp loại cấp nghành

Tên sáng kiến kinh nghiệm Năm cấp Xếp loại Cơ quan ban hành quyết định

Kinh nghiệm soạn giảng tiết ôn

tập chương Hình học lớp 12 – cơ

bản

2014 B Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hoá

Sử dụng yếu tố phụ để tạo các bài

toán chứng minh bất đẳng thức và

cực trị tạo hứng thú trong học tập,

ôn luyện phần bất đẳng thức cho

học sinh trường THPT Đào Duy

Từ

2018 C Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hoá

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Các đề thi THPT quốc gia từ năm 2016 đến 2019

2 Báo Toán học và tuổi trẻ

3 SGK, sách Bài tập và giải tích lớp 12 - NC

4 Các đề thi THPT Quốc gia năm 2018, 2019, 2020