Một số bài toán cực trị trong không gian oxyz

Lí do chọn đề tài Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là cáchọc sinh chuẩn bị thi TN THPT quốc gia thường gặp bài toán vận dụng cao liên quan đến các bài toán cự

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU……… 2

1.1 Lí do chọn đề tài………

2 1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2

2 NỘI DUNG ……… 3

2.1 Cơ sở lý thuyết………

2.2 Một số bài toán thường gặp……….

3 3 2.3 Các ví dụ minh họa………

2.4 Hiệu quả của đề tài………

9 19 3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20

3.1 Kết luận 20

3.2 Kiến nghị 20

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là cáchọc sinh chuẩn bị thi TN THPT quốc gia thường gặp bài toán vận dụng cao

liên quan đến các bài toán cực trị trong không gian Oxyz Khi giảm tải

chương trình thì các dạng toán này chưa được đề cập đầy đủ, do đó học sinhrất khó rèn luyện tốt phần này Với việc sử dụng các kết quả đánh giá hìnhhọc và đại số , học sinh sẽ được phát triển một cách phong phú và được giảiquyết một cách rất tự nhiên, ngắn gọn và dễ hiểu các dạng toán này Đó là lí

do để tôi chọn đề tài :

“ Một số bài toán cực trị trong không gian Oxyz”.

1.2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các emhọc sinh trung học phổ thông khi ôn thi TN THPT quốc gia có cái nhìn toàn

diện hơn về cách tiếp cận các bài toán về cực trị trong không gian Oxyz.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán vềđánh giá GTLN và GTNN của một số bài toán cực trị

Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số, giải tích vàhình học của chương trình trung học phổ thông

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết về giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất, cách đánh giá cực trị bằng đại số và hình học Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làmcho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng các kiến thức trên

từ đó rèn luyện tư duy và kĩ năng để học sinh giải quyết tốt các bài tập vậndụng cao Các ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các tài liệu thamkhảo và các đề thi THPT quốc gia các năm gần đây

1.5 Những điểm mới

Với đề tài này có thể giúp giáo viên định hướng và xây dựng hệ thốngbài tập vận dụng cao với số lượng lớn mà chỉ xuất phát từ các các bài toánđơn giản

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý thuyết.

Kết quả 1 Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn

Kết quả 2 Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm

ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất Như trong hình vẽ ta luôn có AM AH

Kết quả 3 Với ba điểm A B C, , bất kì ta luôn có bất đẳng thức AB BC AC.

Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với nđiểm

Kết quả 5 Với hai véc tơ a b,

 

ta luôn có a b. a b.

Đẳng thức xảy ra khi,

a kb k   

2.2 Một số bài toán thường gặp

Bài toán 1 Cho điểm A cố định và điểm M di động trên hình  H (  H là đường thẳng, mặt phẳng) Tìm giá trị nhỏ nhất của AM

Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của Alên hình  H Khi đó, trong tam giác AHM vuông tại M ta có AM AH.

Đẳng thức xảy ra khi M H Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của Alên  H

Bài toán 2 Cho điểm A và mặt cầu  S có tâm I, bán kính R M, là điểm di

động trên  S Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM

Lời giải Xét A nằm ngoài mặt cầu ( ).S Gọi M M1 , 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI với mặt cầu ( )S AM 1 AM2 và ( ) là mặt phẳng đi qua M

và đường thẳng AI. Khi đó ( ) cắt ( )S theo một đường tròn lớn ( ).C Ta có

Vậy minAM |AI R |, maxAM  R AI

Bài toán 3 Cho măt phẳng ( )P và hai điểm phân biệt A B, Tìm điể M thuộc( )P sao cho

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( )P

- TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( )P Gọi A

2 Ta xét các trường hợp sau

- TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( )P Khi đó

|MA MB | AB

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( )P

- TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( )P Gọi A'đối xứng với Aqua

Do đó  P là mặt phẳng đi qua Avuông góc với AB

Bài toán 5 Cho các số thực dương  , và ba điểm A B, , C Viết phương trình măt phẳng ( )P đi qua C và T  d( , ( ))A P  d( , ( ))B P nhỏ nhất

Lời giải.

1 Xét A B, nằm về cùng phía so với ( )P

- Nếu AB/ /( )P thì

2 Xét A B, nằm về hai phía so với ( )P Gọi I là giao điểm của AB và ( ),P B

là điểm đối xứng với B qua I Khi đó

d( ,( )) d , ( )

Đến đây ta chuyển về trường hợp trên

So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất

Bài toán 6 Trong không gian cho n điểm A A1 , , , 2  A n và diểm A. Viết

phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm

( 1,

i

A i n ) lớn nhất

Lời giải.

- Xét n điểm A A1 , , , 2  A n nằm cùng phía so với ( ).P Gọi G là trọng tâm của n

điểm đã cho Khi đó

Đến đây ta chuyển về bài toán trên

Bài toán7.Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua đường thẳng  và cách A

một khoảng lớn nhất

Lời giải Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( )P và đường thẳng  Khi đó

d( ,( ))A P AH AK

Do đó ( )P là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK.

Bài toán 8 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A A1 , , , 2  A n Xét véc tơ

w   MA                           M A                  M A

Trong đó   1 ; 2 nlà các số thực cho trước thỏa mãn  1   2   n  0 Tìm điểm

M thuôc măt phẳng ( )P sao cho | |w có đô dài nhỏ nhất

Lời giải Gọi G là điểm thỏa mãn

Bài toán 9 Trong không gian Oxy z, cho các diểm A A1 , , , 2  A n Xét biểu thức:

Vì  1GA12  2GA22   n GA n2 không đổi nên

• với  1   2  n  0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất

• với  1   2  n  0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất

Mà M( )P nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( )P

Bài toán 10 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )P

cắt nhau Viết phương trình của mặt phẳng ( )Q chứa d và tạo với mặt phẳng( )P một góc nhỏ nhất

Lời giải Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( )P và lấy điểm Md M, I Gọi H K, lầ lượt là hình chiếu của M lên ( )P và giao tuyến  của ( )P và ( )Q

Chú ý Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đai số như sau:

- Goi n( ; ; ),a b c a2b2 c2 0 là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ).QKhi đó n u d 0 từ đây ta rút được a theo b c, (hoặc b theo a c, hoặc c theo,

Khảo sát f t( ) ta tìm được max của f t( )

Bài toán 11 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d

chéo nhau Viết phương trinh mặt phẳng ( )P chứa d và tạo với d

một góc lớn nhất

Lời giải Trên đường thẳng d, lấy điểm M và dựng đường thẳng  đi qua M

song song với d

Khi đó góc giữa  và ( )P chính là góc giữa d

Chú ý Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đại số như sau:

- Goi n( ; ; ),a b c a2b2 c2 0 là một véc tơ pháp tuyến của măt phẳng ( ).PKhi đó n u d 0 từ đây ta rút được a theo b c, (hoặc b theo a c, hoặc c theo,

Khảo sát f t( ) ta tìm được max của f t( )

Bài toán 12 Trong không gian Oxyz, cho n +2 điểm A A1, , ,2 A n , A, B và

đường thẳng  Tìm điểm M trên  thỏa mãn:

thể dùng bất đẳng thức véc-tơ)ta sẽ tìm được GTNN của Q và suy ra điểm M

d Ta gọi tọa độ M theo tham số t, ta tính được

x y z

x y z

6 25 6

Do đó

13

9 2 9 16

Cho biết MA MB đạt giá trị lớn nhất khi điểm M

Đường thẳng ABcó véc tơ chỉ phương AB (10;0;2)và qua điểm B(2;1;3) nên

có phương trình

2 5 1 3

Ví dụ 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với

= + uur uur+uur+uur + + +

Chọn điểm I sao cho 2IA+IB +IC =0

uur uur uur r

2IAuur+IBuur+ICuur = Û 0r 4IA ABuur+uuur+ACuuur = 0r Suy ra tọa độ điểm I là I (0;1;2)

.Khi đó S =4NI2+2IA2+IB2+IC2, do đó S nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên mặt phẳng ( )P

Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng ( )P là

Ví dụ 6 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz

cho A4; 2;6 , B2;4;2,M  :x2y 3z 7 0 sao choMA MB  . nhỏ nhất Tọa độ của M bằng

Gọi I là trung điểm AB I3;1;4 Gọi H là hình chiếu của I xuống mặtphẳng  

Suy ra NI cắt  S tại hai điểm phân biệt N14;6; 2 ,   N20; 2;0

Vì NN1 NN2 nên MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M N2 Vậy M0;2;0 là điểm cần tìm

B thuộc giao tuyến của mặt cầu  S và mặt phẳng  P : 2x3y4z107 0 Khi điểm M di động trên đường thẳng d giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A 5 30 B 27 C 5 29 D 742.

Lời giải

d

M K I

B A

Mặt cầu  S có tâm I    3; 4; 5và bán kính R 27

Đường thẳng d có 1 véc-tơ chỉ phương là u2;3; 4 d  P



.Gọi K là giao điểm của mặt phẳng  P và đường thẳng d Vì Id nên K là tâm của đường tròn giao tuyến và KBd

Do M di động trên đường thẳng d (trục của đường tròn giao tuyến) và B

thuộc đường tròn giao tuyến nên biểu thức MA MB nhỏ nhất khi và chỉ khi

M ABd

Khi đó, ta có

3 2

MK KB và MI MK IK 5 29.Suy ra MI 3 29, MK 2 29

.Vậy giá trị nhỏ nhất của MA MB là AM BM  3 30 2 30 5 30  

Cách2:

Ví dụ 9 (THPT Chuyên Thái Bình 2018) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, cho mặt phẳng  P x y z:   1 0 , đường thẳng

12 9 3 5



và hai điểmA1; 2; 5 , B  1;0; 2 Biết điểm M

thuộc  sao cho biểu thức MA MB đạt giá trị lớn nhất Tmax Khi đó,Tmax bằngbao nhiêu?

A Tmax  57 B Tmax  3 C Tmax  2 6 3 

và v 3 ;t  6

ngược hướng hay t 1

2.4 Hiệu quả của đề tài.

Sau khi các bài toán này được thực hành trên lớp và kiểm tra, đa sốhọc sinh tiếp thu và vận dụng tốt Khi sử dụng vào các đề ôn tập cho họcsinh thì hệ thống bài tập này đã nâng cao kĩ năng ứng dụng các đánh giá vào

việc xử lý các bài toán cực trị trong không gian Oxyz.

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Qua các bài toán vừa nêu trên ta thấy được ưu điểm của việc ứng dụngcác đánh giá cơ bản vào hệ thống bài tập mới và đa dạng sử dụng cho họcsinh ôn thi TN THPT quốc gia

3.2 Kiến nghị

Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm khi viết đề tài, đồngthời kết hợp với cả giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, tuy nhiêntrong quá trình viết sẽ khó tránh khỏi các khiếm khuyết rất mong được sựđóng góp của đồng nghiệp để đề tài này có ý nghĩa thiết thực và bổ ích hơntrong nhà trường Giúp các em học sinh có thêm hệ thống bài tập ôn luyện

và đạt kết quả cao trong kì thi TN THPT quốc gia

Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA HIỆU

TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2021

CAM KẾT KHÔNG COPY

Giáo viên

Nguyễn Văn Chinh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Các đề thi THPT quốc gia từ năm 2016 đến 2021

2 Báo Toán học và tuổi trẻ

3 Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán-hình giải tích Tác giả: Trần Phương-Lê Hồng Đức