De chon doi tuyen HSG Tinh Ha Tinh Loc Ha

- Nếu ba điểm liên tiếp hoặc một đỉnh cùng hai đỉnh cách nhau hai đỉnh cùng có màu xanh thì bài toán được chứng minh - Nếu không như vậy ta xét các trường hợp sẽ tỉm được tam giác thỏa m[r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

——————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

————————————

Câu 1 (3,0 điểm).

1 Cho  

3 2

x

f x



  Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

1

P

Tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.

Câu 2 (1,5 điểm).

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương  

;

x y thỏa mãn    

6

Câu 3 (1,5 điểm).

Cho a b c d, , , là các số thực thỏa mãn điều kiện:

2012

abc bcd cda dab a b c d       

Chứng minh rằng: a2  1 b2  1 c2  1 d2  1 2012

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho ba đường tròn   O1 , O2 và  O (kí hiệu  X chỉ đường tròn có tâm là điểm X) Giả sử

  O1 , O2 tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và   O1 , O2lần lượt tiếp xúc trong với  O tại

1 , 2

M M Tiếp tuyến của đường tròn  O1 tại điểm I cắt đường tròn  O lần lượt tại các điểm

, '

A A Đường thẳng AM1 cắt lại đường tròn  O1 tại điểm N1, đường thẳng AM2 cắt lại đường tròn O2 tại điểm N2

1 Chứng minh rằng tứ giác M N N M1 1 2 2 nội tiếp và đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng N N1 2

2 Kẻ đường kính PQ của đường tròn  O sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm trên cung AM1 không chứa điểm M2) Chứng minh rằng nếu PM1 , QM2 không song song thì các đường thẳng AI PM, 1 và QM2 đồng quy

Câu 5 (1,0 điểm)

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

Bài 3:

Ta có:

ab 12 a b2 cd 12 c d2

Bài 5:

Cách 1: Vẽ 7 - giác đều ABCDEFG: Vì có 7 điểm mà được tô bởi ba màu nên tồn tại ít nhất 3 điểm được cùng được tô bởi cùng một màu, giả sử màu xanh

- Nếu ba điểm liên tiếp hoặc một đỉnh cùng hai đỉnh cách nhau hai đỉnh cùng có màu xanh thì bài toán được chứng minh

- Nếu không như vậy ta xét các trường hợp sẽ tỉm được tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài

Cách 2: Vẽ lục giác đều BCDEFG nội tiếp đường tròn (A)

Do

Do

Xanh

Xanh Xanh

Tím

Tím

E

D C

F

B

A G

Do có 7 điểm được tô bởi ba màu nên sẽ có ít nhất 3 điểm cùng màu, giả sử là màu xanh

- Nếu 3 điểm đó là A và hai điểm khác trong số các điểm là đỉnh của lục giác thì bài toán được chứng minh

- Nếu ba điểm liên tiếp của lục giác cùng tô màu xanh => btđcm

- Nếu chỉ có hai đỉnh liên giả sử là B, C Ta xét các TH:

+ Nếu E tím; F xanh.; A đỏ thì xong

+ Nếu E tím, F xanh, A tím thì D phải đỏ => xong

Các TH còn lại đi xét nốt.