Dap an HSG mon Toan Tinh Hai Duong nam 20122013

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Nội dung 3.[r]

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

I 1 : (1,0)

1) Cho hàm số y = x - 3x + mx + 23 2 Tìm m để hàm số đồng biến trên (2;+  ).

TXĐ:D= 

y’=3x2-6x+m

0,25

y”=6x-6; y”=0<=>x=1

bảng biến thiên

m

+

+

2

y' y"

x

0,25

Từ bảng biến thiên =>nếu hàm số đông biến trên (2;+  ) =>y’ 0   x 2 m0 0,25

ngược lại ta thấy m  0  y' 0    hàm số đồng biến trên (2;+ ) x 2

KL:m 0

0,25

I 2 :(1,0)

2) Cho hàm số y3sinx 4cosx mx . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x= 2

 TXĐ:D= 

y’= 3cosx+4sinx+m( x )

0,25

Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x = 2



=> y’( 2

 ) = 0<=>m=-4

0,25

Ngược lại: nếu m = - 4 => y’ = 3cosx + 4sinx – 4; y’( 2

 ) = 0;y’’= -3sinx + 4cosx

0,25

=>y’’( 2

 )=-3<0 nên hàm số đạt cực đại tại x= 2



=> m=-4 loại

0,25

II 1 :(1,0)

1) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số

y cos x sin  cosx  sin

với trục hoành

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

y cos x sin  cosx  sin

với trục hoành là nghiệm phương trình

cos x sin cosx  sin 

os x-1-sin (1 ) 0 (1 )( osx-1-sin ) 0

0,25

2 3 osx=1+sin

4

x c

Do

(2)

x

2

osx=1 3

4

c x





 





0,25

2

4 4

3

x k

x m l

x

















(m ) KL: A k(k2 ;0), B m m( 4 ;0) ( , k m )

0,25

II 2 :(1,0)

2) Giải hệ phương trình

3 3 ( 1)3 9( 1) (1)





(1) x  3x( y1)  3 y1 (3) Xét hàm số f(x)=3x2-3 0  x 1; ( ) 0f x   x 1 [1;+ ) => f(x) đồng biến trên [1;+ ) mà

0,25

(3) có

, 1 [1;+ )

f x f y

x y





0,25

Với x y1thay vào (2) giải được x=1và x=2

,

0,25

III 1 :(1,0) 1) Rút gọn biểu thức

2012 2 2012 3.2 2012 4.2 2012 2011.2 2012 2012.2 2012

1x2012 C20120 xC12012x C2 20122  x C k 2012k  x2012C20122012 (1) (x) 0,25

Đạo hàm 2 vế của (1) ta có

2012 1 x C 2xC kx C k k 2012x C (2)

0,25

Chọn x=-2 thay vào (2)

2012 1 2 C 2( 2) C  k( 2) k C k  2012( 2)  C (2)

0,25

2012 C 2 C 3.2 C 4.2 C 2011.2 C 2012.2 C A 2012

III 2 :(1,0)

Chứng minh bất đẳng thức:

3 2

sinx

os



0;

2

x  

 

2

2

x  cosx cosx cos x

.Ta chứng minh

3

sinx

os (0; ) (1)



0,25

(1) sin x cos x x x (0; ) sin x cos x x 0 x (0; )

=>f’(x) đồng biến trên [0; 2

 ) nên x [0; )2



 

ta có '( )f x f '(0) 0

=>f(x) đồng biến trên [0; 2

 ) nên x (0; )2



 

ta có ( )f x  f(0) 0

2

x cos x x x 

0,25

IV 1 :(1,5) Gọi I là trung điểm SE => DI là đường trung bình của tam

giác SAE =>DI//AE và DI=AE/2 do BD  AE nên BD  DI

0,25

Đăt x=AB theo công thức đường trung tuyến trong tam giác SAB ta có

BD      AE BE  DI  

Tương tự

16 4

a x

BI  

0,25

Do BD  DI => tam giác BDI vuông tại D

3

a

BI BD DI x

Gọi H là tâm tam giác ABC, do S.ABC là tam giác đều nên SH  (ABC)=>SH là đường cao của

hình chóp; diện tích tam giác ABC là

0

.sin 60

ABC

0,25

0

2

AH   AH   SH  SA  AH 

Thể tích khối chóp S.ABC là

3

SABC ABC

a

V  SH S 

0,25

x

a

H

I

E D

C

B A

S

IV 2 :(1,5) 2)Gọi J là giao điểm của SG và BC => J là trung điểm

BC=>

1 2

ABJ ACJ ABC

1

S ABJ S A S ABC

V

0,25

.

.

S AMG

S AMG

S ABJ

V

0,25

2

S AGN S AMG S AGN

(1)

0,25

1

1

0,25

Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có x y 2 xy

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y

0,25

Từ (*) ta có

4

9

xy xy  xy

; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=

2 3

0,25

1

4

V

V xy  dấu “=” xảy ra x=y=

2

3 => giá trị lớn nhất của 1

V

V bằng94

0,25

V:(1,0 ) Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

a b b c c a

P

đặt

, , 0

yz=1

x y z

x







0,25

M G N

J C

B A

S

2 2

y z

yz y z yz

dấu “=” xẩy ra khi z=y=1

2

1

x x P

x

 

Xét

x x

đồng biến trên [1;+  )

3

4

0,25

=>

3 ( )

4

Pf x 

khi a=b=c thì P=

3

4 nên GTNN của P bằng

3 4

0,25