Một số phương pháp giải phương trình hàm với đối số biến đổi và áp dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI ĐỐI SỐ BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI ĐỐI SỐ

BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI ĐỐI SỐ

BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Tính trù mật 3

1.2 Tính chất cơ bản của hàm số 3

1.2.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 3

1.2.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính 3

1.2.3 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính 4

1.3 Một số đặc trưng hàm của hàm số sơ cấp 4

1.4 Phương trình hàm Cauchy 5

1.5 Một số phương pháp giải phương trình hàm 7

1.5.1 Phương pháp thế 7

1.5.2 Phương pháp chuyển qua giới hạn 9

1.5.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng 10

1.5.4 Phương pháp quy nạp 12

2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CÁC PHÉP BIẾN HÌNH SƠ CẤP 14 2.1 Biểu diễn một số lớp hàm bất biến với các phép biến hình 14

2.1.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính 14

2.1.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính 20

2.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 22

2.1.4 Hàm số sinh bởi phép nghịch đảo 24

2.2 Phương trình hàm với dịch chuyển bậc nhất và phân tuyến tính 26

2.2.1 Phương trình dạng f (αx + β) = af (x) + b 26

2.2.2 Phương trình dạng f ax + b

cx + d = αf (x) + β 29

2.2.3 Phương trình dạng a (x) f (x) + b (x) f (ω (x)) = c (x) 32

2.3 Một số lớp phương trình hàm với đối số biến đổi 36

3 MỘT SỐ ÁP DỤNG 42 3.1 Phương trình hàm trong lớp hàm đa thức 42

3.1.1 Một số bài toán xác định đa thức cơ bản 42

3.1.2 Phương trình dạng P (f )P (g) = P (h) 45

3.1.3 Phương trình dạng P (f )P (g) = P (h) + Q 50

3.2 Phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác 53

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâusắc tới GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy đã truyền đạt cho tôi những kiến thức,kinh nghiệm quý báu trong học tập và là thầy trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thànhluận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin của trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớpCao học toán K7A

- Sở giáo dục & Đào tạo tỉnh Tuyên Quang, Ban giám hiệu trường THPT ChuyênTuyên Quang, bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã quan tâm động viên, tạo điềukiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu

MỞ ĐẦU

Phương trình hàm là một trong những chuyên đề quan trọng thuộc chương trìnhchuyên toán trong các trường THPT chuyên Trong các kỳ thi Olympic toán quốcgia, khu vực và quốc tế thường xuất hiện các dạng toán khác nhau có liên quanđến phương trình hàm Chúng được xem như là những bài toán khó và mới mẻ đốivới học sinh THPT Những tài liệu tham khảo dành cho học sinh về lĩnh vực nàykhông nhiều Đặc biệt trong các tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPTthì phương trình hàm với đối số biến đổi chưa được trình bày một cách hệ thống

và đầy đủ

Xuất phát từ thực tế đó, trong luận văn này tác giả trình bày một cách hệ thốngnhững lớp phương trình hàm với đối số biến đổi và phương pháp giải chúng Đồngthời nêu ra một số áp dụng của phương pháp giải phương trình hàm với đối sốbiến đổi vào lớp các phương trình hàm đa thức đại số và lượng giác

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:

- Một số phương pháp giải phương trình hàm

Phương trình hàm với các phép biến hình sơ cấp

- Biểu diễn một số lớp hàm bất biến với các phép biến hình

- Phương trình hàm với dịch chuyển bậc nhất và phân tuyến tính

- Một số lớp phương trình hàm với đối số biến đổi

Một số áp dụng

- Phương trình hàm trong lớp hàm đa thức

- Phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Phương Anh

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Tính trù mật

Tập hợp A ⊂ R được gọi là trù mật trong R nếu và chỉ nếu với mọi x, y ∈ R,

x < y đều tồn tại a ∈ A sao cho x < a < y.

b) Cho f (x) là một hàm tuần hoàn cộng tính trên M Khi đó T (T > 0) đượcgọi là chu kì cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kì T mà không là hàmtuần hoàn cộng tính với bất cứ chu kì nào bé hơn T.

1.3 Một số đặc trưng hàm của hàm số sơ cấp

Trong phần này ta nêu những đặc trưng của một số hàm số sơ cấp thường gặptrong chương trình phổ thông Nhờ các đặc trưng hàm này mà ta có thể dự đoánkết quả của các phương trình hàm tương ứng cũng như có thể đề xuất những dạngbài tập tương ứng với các đặc trưng hàm đó

Các hàm số được xét trong phần này thoả mãn điều kiện liên tục trên toàn miềnxác định của hàm số

1 Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b(a 6= 0, b 6= 0) có tính chất

fx + y2



= 1

2 [f (x) + f (y)], ∀x, y ∈R.

Lời giải Từ phương trình (1.1), suy ra f (0) = 0, f (−x) = −f(x) và với y = x thì

Thử lại, ta thấy hàm f (x) = ax thỏa mãn phương trình (1.1)

Kết luận: f (x) = ax, a ∈R tùy ý

Nhận xét 1.1

1) Từ điều kiện (1.1), ta thấy chỉ cần giả thiếtf (x) là hàm liên tục tại một điểm

x 0 ∈R cho trước là đủ Khi đó, hàm f (x) thỏa mãn (1.1) sẽ liên tục trên R Thậtvậy, theo giả thiết thì lim

1.5 Một số phương pháp giải phương trình hàm

Trong lí thuyết cũng như trong thực hành, không có những định lí cũng như cácthuật toán chung để giải phương trình hàm Bởi vậy, để giải phương trình hàm taphải nghiên cứu kỹ các tính chất đặc thù của hàm số cần tìm, đơn giản hóa bằngcác phép thế các giá trị đặc biệt của biến, đặt ẩn phụ, đổi biến hoặc tìm nghiệmriêng, để đưa về các phương trình hàm cơ bản đã biết cách giải Sau đây ta sẽnghiên cứu một số phương pháp giải phương trình hàm với đối số biến đổi

1.5.1 Phương pháp thế

a) Thế ẩn tạo phương trình hàm mới

Nhận xét 1.2 Đối với phương trình hàm dạng f (A) = B với A, B là các biểuthức chứa x, trong đó A có hàm ngược, ta thường sử dụng cách đặt: Đặt A = t,suy ra biểu thức x theo t Tiếp theo, thay các giá trị này vào các biểu thức A, B.Đối với phương trình hàm dạng hàm hợpf (g (x)) = h (x), nếu g (x)có hàm ngược,người ta thường đặt ẩn phụ g (x) = t để xác định hàm số f (t)

Ví dụ 1.1 Tìm hàm số f : R\ {2} →R thỏa mãn điều kiện

Thử lại thấy đúng

Vậy hàm số cần tìm có dạng f (x) = 3x

2 − 3 (x − 2)2.

Ví dụ 1.2 Tìm hàm số f : (−∞; −1] ∪ (0; 1] →R thỏa mãn điều kiện

f (x −px 2 − 1) = x +px 2 − 1, ∀ |x| ≥ 1 (1.7)Lời giải Đặt t = x −√x 2 − 1 ⇔ √x 2 − 1 = x − t

Hệ có nghiệmx ⇔ t2+ 1

2t ≥ t ⇔ t ∈ (−∞; −1] ∪ (0; 1] Với t = x −√x 2 − 1 thì x + √

x 2 − 1 = 1t ⇒ f(t) = 1t thỏa mãn (1.7)

Vậy f (x) = 1

x là hàm số cần tìm

b) Thế ẩn tạo ra hệ phương trình hàm mới

Ví dụ 1.3 Tìm hàm số f : R\ { 0, 1 } →R thỏa mãn điều kiện

số nguyên dươngk sao cho

Giả sử miền xác định của hàm số cần tìm là D (f ), với mỗi x ∈ D (f) ta xét dãy{x n } xác định bởi biểu thức

x 1 = g (x) ; x n+1 = g (x n ) , n ∈N∗.Nếu dãy {xn } tuần hoàn chu kì k, ta sẽ đưa (1.10) về hệ k phương trình k ẩn.Giải hệ này ta tìm được f (x)

Ví dụ 1.4 Tìm hàm số f : R\ { −1 ; 0 ; 1 } →R thỏa mãn điều kiện

Vậy hàm số cần tìm là f (x) = 4x

2 − x + 1 5x (x − 1) .1.5.2 Phương pháp chuyển qua giới hạn

Cơ sở của phương pháp này là dựa trên phương pháp thế tạo thành hệ phươngtrình hàm trong trường hợp các hàm đặt không tuần hoàn Sau đó sử dụng giớihạn để tìm ra hàm số

Ví dụ 1.5 Tìm hàm số f : R→R liên tục, thỏa mãn điều kiện

3 Từ (1.12) suy ra f (x 1 ) + f (x 2 ) = 3

5x1.Đặt x n+1 = 2xn

3 , n ∈N∗ Từ (1.12) suy ra f (x n ) + f (x n+1 ) = 3

5xn

f (x n ) + f (x n+1 ) = 3

5xn (n + 1)Nhân dòng phương trình thứ (i) với (−1)i+1 rồi cộng lại ta được

= 9x

25.Thử lại thấy đúng

Vậy f (x) = 9x

25 là hàm số cần tìm

1.5.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng

Tìm nghiệm riêng của phương trình hàm đã cho, nghiên cứu các tính chất củanghiệm riêng đó Hiển nhiên, nghiệm cần tìm cũng phải có những tính chất đó Từ

đó, ta có được hướng giải phương trình đã cho

Trước hết nên tìm nghiệm riêng trong lớp các hàm hằng, hàm số bậc nhất, hàm

số đa thức Nói chung, nên tìm nghiệm riêng trong lớp các hàm số sơ cấp, bắtđầu từ các hàm đơn giản nhất Nên chú ý đến các đặc trưng của các hàm số sơcấp Sau khi tìm được nghiệm riêng dạng f 0 (x) ta thường xét đến hàm số phụ

g (x) = f (x) − f 0 (x) và xét phương trình hàm mới thu được đối với g (x)

Khi tìm nghiệm riêng, nên chú ý đến một số nhận xét sau

Cho đa thức P (x) ∈R[x] , deg P ≤ n Khi đó

a) Nếu P (x) có nhiều hơn n nghiệm thì P (x) = 0, ∀x ∈R hay P (x) ≡ 0.

b) Nếu ∃a ∈R, a 6= 0 sao cho P (x + a) = P (x) , ∀x ∈R thì

P (x) = C, ∀x ∈R hay P (x) ≡ C

Ví dụ 1.6 Cho a, b ∈ R; a 6= 0 Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điềukiện

f (x + a) = f (x) + b, ∀x ∈R. (1.14)Nhận xét rằng hàm f có tính chất biến đổi “tổng thành tổng” Hàm tuyến tính

f (x) = ax (a 6= 0) có đặc trưng hàm là f (x + y) = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R nên tatìm nghiệm riêng dưới dạng f 0 (x) = kx.

Lời giải

Nghiệm riêng có dạng f 0 (x) = kx Để thỏa mãn (1.14) ta phải có

k (x + a) = kx + b ⇔ k = b

a.Đặt f (x) = kx + g (x) Thay vào (1.14) ta được

k (x + a) + g (x + a) = kx + g (x) + b, ∀x ∈R

⇔ g (x + a) = g (x) , ∀x ∈R.Suy ra g (x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì |a|

Kiểm tra được mọi hàm số dạngf (x) = g (x) +b

ax,trong đóg (x) là hàm tuần hoàncộng tính chu kì |a|, đều thỏa mãn yêu cầu đề bài

Vậyf (x) = g (x) +b

ax, trong đó g (x)là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì |a|, là hàm

số cần tìm

Ví dụ 1.7 Cho a, b, m ∈R, m 6= 1, am 6= 0 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏamãn điều kiện

f (x + a) = mf (x) + b, ∀x ∈R. (1.15)Lời giải

Ta sẽ tìm nghiệm riêng dưới dạng f 0 (x) = C

Thay vào (1.15) ta được C = b

1 − m.Đặt f (x) = C + g (x) Thay vào (1.15) ta được

C + g (x + a) = mC + mg (x) + b, ∀x ∈R

⇔ g (x + a) = mg (x) , ∀x ∈R. (1.16)Nhận xét rằng hàm có tính chất biến đổi “tổng thành tích” nên ta chọn nghiệmriêng dưới dạng g 0 (x) = d x

Thay vào (1.16) ta được dx+a= mdx⇔ da = m ⇔ d = m1a

Đặt g (x) = mxa ϕ (x) Thay vào (1.16) ta được

Thay x = 0 vào (1.17) ta được f (0) = 0

Thay x = 0 vào (1.18) ta được f (1) = f (0) + 1, mà f (0) = 0 nên f (1) = 1

x + 1nên từ (1.19) ta có

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CÁC PHÉP BIẾN HÌNH SƠ CẤP

2.1 Biểu diễn một số lớp hàm bất biến với các phép biến hình

2.1.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính

Trong mục này ta xét một số bất biến với phép tịnh tiến

Bài toán 2.1 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện

f (x + 1) = f (x) , ∀x ∈R. (2.1)Lời giải

Từ (2.1), ta cóf (x + n) = f (x) , ∀x ∈ R, ∀n ∈Z.

Do đó

f (x) = f ([x] + {x}) = f ({x}) , ∀x ∈R. (2.2)Gọi g là hàm số như sau: g : [0; 1) → R, x 7→ g (x) = f (x) , (g là thu hẹp củahàm f trên [0; 1)) Do (2.1) nên f (x) = g ({x}) , ∀x ∈R.

Ngược lại, nếu f (x) = g ({x}) , ∀x ∈ R, trong đó g là hàm số tùy ý xác định trênnửa khoảng [0; 1) thì

f (x + 1) = g ({x + 1}) = g ({x}) = f (x) , ∀x ∈R. (2.3)Vậy f (x) = g ({x}) , ∀x ∈R, trong đó g là hàm số tùy ý xác định trên [0; 1)

Bài toán 2.2 Cho a 6= 0 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện

f (x + a) = f (x) , ∀x ∈R. (2.4)Lời giải

(2.4)⇔ f (ax + a) = f (ax) , ∀x ∈R. (2.5)

Đặt f (ax) = g (x) hay f (x) = gx

a

, thay vào (2.5) ta được

g (x + 1) = g (x) , ∀x ∈R.Theo kết quả của bài toán 2.1, ta cóg (x) = h ({x}) , ∀x ∈R, trong đó h là hàm sốtùy ý xác định trên [0; 1)

Vậy f (x) = hnx

a

o

, ∀x ∈R.Bài toán 2.3 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện

f (x + π) − f (x) = cos x, ∀x ∈R. (2.6)Lời giải

2 cos x = g (x) , ∀x ∈R, thay vào (2.7) ta được

g (x + π) = g (x) , ∀x ∈R.Theo kết quả của bài toán 2.2, ta có g (x) = hnx

π

o

, ∀x ∈R trong đó là hàmtùy ý xác định trên [0; 1)

Vậy f (x) = hnx

π

o

− 12cos x, ∀x ∈R.Bài toán 2.4 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện

f (x + 2π) − f (x) = sin x, ∀x ∈R. (2.8)Lời giải

Ta có sin x = 1

2π2π sin x =

1 2π (x + 2π − x) sin x = 2π1 (x + 2π) sin x − 2π1 x sin x.

2π sin x, ∀x ∈R, với g là hàm tuần hoàn chu kì 2π

Ta có bài toán tổng quát sau

Bài toán 2.5 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện

f (x + a) − f (x) = h (x) , ∀x ∈R. (2.9)Trong đóh là hàm số tuần hoàn cộng tính chu kì a trên R

a (x + a) h (x + a) = f (x) − 1axh (x) , ∀x ∈R.

⇔ g (x + a) = g (x) , ∀x ∈R, trong đó g (x) = f (x) − 1

axh (x) Vậy f (x) = g (x) +1

a xh (x) , ∀x ∈R, trong đó g là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì

a

Bài toán 2.6 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện

f (x + 1) = −f (x) , ∀x ∈R. (2.10)Lời giải

Thật vậy, nếu f thỏa mãn (2.6) thì thỏa mãn (2.10)

Nếu f thỏa mãn (2.10) thì do (2.11) nên f có dạng (2.6)

Vậy (2.10) tương đương với (2.6)

Kết luận f (x) = 1

2 [g (x) − g (x + 1)] , ∀x ∈R, trong đó g là hàm số tuần hoàn cộngtính chu kì 2 trên R, tùy ý

Ta có bài toán tổng quát

Bài toán 2.7 Cho a là một hằng số dương Tìm tất cả các hàm số f xác địnhtrên R sao cho f (x + a) = −f (x) , ∀x ∈R.

Lời giải

Lập luận tương tự như bài toán 2.6, ta tìm được

f (x) = 1

2 [g (x) − g (x + a)] , ∀x ∈R,trong đó g là hàm số tuần hoàn cộng tính chu kì 2a trên R, tùy ý

Bài toán 2.8 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện

f (x + 2013) = f (x) − 2015, ∀x ∈R.Lời giải

f (x) = −20152013x + g (x) , ∀x ∈R. (2.12)Thay vào (2.12) ta được

−20152013(x + 2013) + g (x + 2013) = −20152013x + g (x) − 2015, ∀x ∈R.

⇔ g (x + 2013) = g (x) , ∀x ∈R.Vậy g là hàm tuần cộng tính hoàn chu kì 2013

Kết luận f (x) = −2015

2013x + g (x) , trong đó g là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì

2013 trên R, tùy ý

Ta có bài toán tổng quát sau

Bài toán 2.9 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn điều kiện

f (x + a) = f (x) + b, ∀x ∈R, a 6= 0, b ∈R. (2.13)Lời giải

Đặt f (x) = b

a x + g (x) , ∀x ∈R.(2.13) trở thành g (x + a) = g (x) , ∀x ∈R.

2014x+20132013 h (x + 2013) = 2014.2014 2013x h (x) , ∀x ∈R.

⇔ h (x + 2013) = h (x) , ∀x ∈R.Vậy f (x) = 2015

2013 + 2014

x

2013 h (x) , ∀x ∈R, trong đó h là hàm số tuần hoàn cộngtính chu kì 2013 trên R, tùy ý

Bài toán 2.11 Tìm tất cả các hàm sốf : R→R thỏa mãn điều kiện

f (x + 2013) = −2014f (x) − 2015, ∀x ∈R. (2.16)Lời giải

Đặt f (x) = −1 + g (x) Thay vào (2.16) ta được

−1 + g (x + 2013) = −2014 [−1 + g (x)] − 2015, ∀x ∈R.

⇔ g (x + 2013) = −2014g (x) , ∀x ∈R. (2.17)Đặt g (x) = 2014 2013x h (x) Thay vào (2.17) ta được

2014x+20132013 h (x + 2013) = −2014.2014 2013x h (x) , ∀x ∈R.

⇔ h (x + 2013) = −h (x) , ∀x ∈R ⇔

(h(x) = 1

Ta có bài toán tổng quát sau

Bài toán 2.12 Tìm tất cả các hàm sốf : R→R thỏa mãn điều kiện

f (x + a) = bf (x) + c, ∀x ∈R, a, b, c ∈R, a 6= 0, b 6= 1. (2.18)Lời giải

⇔ g (x + a) = bg (x) , ∀x ∈R. (2.19)

- Nếu b > 0, đặt g (x) = bxa h (x), thay vào (2.19) ta được

bx+aa h (x + a) = b.bxa h (x) , ∀x ∈R.

⇔ h (x + a) = h (x) , ∀x ∈R.Vậyf (x) = c

⇔ h (x + a) = −h (x) , ∀x ∈R.

⇔

(h(x) = 1

[k (x) − k (x + a)] , ∀x ∈R, trong đó k là hàm số tuầnhoàn cộng tính chu kì 2a trên R, tùy ý

Bài toán 2.13 Tìm các hàm sốf tuần hoàn cộng tính chu kỳ 3 trên R và thỏamãn điều kiện

f (x) + f (x + 1) + f (x + 2) = 0, ∀x ∈R. (2.20)Lời giải

Từ giả thiết của bài toán, ta có

Thật vậy, giả sử f có dạng (2.22) Khi đó với mọi x ∈R ta có

Giả sử f (x) thỏa mãn (2.20), do (2.21) nên f (x) có dạng (2.22)

Vậy (2.20) tương đương với (2.22)

Kết luận

f (x) = 1

3 [2g (x) − g (x + 1) − g (x + 2)] , ∀x ∈R,trong đó g là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì 3 trên R, tùy ý

2.1.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính

Trong mục này ta xét một số bất biến với phép vị tự

Bài toán 2.14 Tìm tất cả các hàm sốf : R→R thỏa mãn điều kiện

f (2015x) = f (x) , ∀x ∈R. (2.23)Lời giải

Bài toán 2.15 Tìm tất cả các hàm sốf : R→R thỏa mãn điều kiện

f (−2015x) = f (x) , ∀x ∈R. (2.24)Lời giải

c, x = 0,

g 2

1

2log2015(−x), x < 0.

trong đó g 1 , g 2 là các hàm số tuần hoàn cộng tính chu kì 1 trên R, tùy ý

Tổng quát, ta giải được bài toán

Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn f (ax) = f (x) , ∀x ∈ R,

(a là hằng số, a / ∈ {0; −1; 1})

h (5x) = h (x) , ∀x 6= 0. (2.31)Theo kết quả của bài toán tổng quát, ta có

h1(log5x) +p{log 5 x}log 5 x, x > 0

h 2 (log5|x|) +p{log 5 |x|}log 5 |x| , x < 0 , trong đó h 1 , h 2 là các hàmtuần hoàn cộng tính chu kì 1 trên R, tùy ý

2.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Trong mục này ta xét một số bất biến với phép phản xạ (lấy đối xứng)

Bài toán 2.18 Tìm tất cả các hàm sốf : R →R thỏa mãn điều kiện

f (x) = f (−x) , ∀x ∈R. (2.32)Lời giải

Thật vậy, nếuf (x) có dạng (2.34), ta cóf (−x) = 1

2 [g (−x) + g (x)] = f (x) , ∀x ∈R,suy ra f (x) thỏa mãn (2.32)

Ngược lại, nếuf (x) thỏa mãn (2.32) thì ta có (2.33), chọnf (x) = g (x), suy raf (x)

có dạng (2.34)

Vậy hàm số cần tìm có dạng f (x) = 1

2 [g (x) + g (−x)] , ∀x ∈ R, trong đó g là mộthàm số tùy ý trên R

Bài toán 2.19 Tìm tất cả các hàm sốf : R →R thỏa mãn điều kiện

f (−x) = −f (x) , ∀x ∈R. (2.35)Cách giải

Lập luận tương tự như bài toán 2.19, ta có kết quả

f (x) = 1

2 [g (x) − g (−x)] , ∀x ∈R, trong đó g là một hàm số tùy ý trên R

Bài toán 2.20 Tìm tất cả các hàm sốf : R →R thỏa mãn điều kiện

f (x) − f (−x) = 2014 sin x√

x 2 + 1 , ∀x ∈R. (2.36)Lời giải

(2.36) tương đương với

Theo bài toán 2.19, ta cóg (x) = 1

Bài toán 2.21 (THTT-T4/2013) Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãnđiều kiện

f x2− y
= xf (x) − f (y) , ∀x, y ∈R. (2.38)Lời giải

Tóm lại f (x + y) = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈R.

Đây là phương trình hàm Cauchy nên ta có f (x) = ax, ∀x ∈R.

Thử lại thấy hàm f (x) = ax thỏa mãn phương trình hàm đã cho.

Vậy f (x) = ax, ∀x ∈R.

Bài toán 2.22 (USAMO 2000) Tìm tất cả các hàm sốf : R →Rthỏa mãn điềukiện

f x2− y2
= xf (x) − yf (y) , ∀x, y ∈R. (2.39)Lời giải

Cho x = y, từ (2.39) suy ra f (0) = 0.

Cho x = 0, từ (2.39) suy ra f −y2

= −yf (y) , ∀y ∈R.Cho y = 0, từ (2.39) suy ra f x2
= xf (x) , ∀x ∈R.

Do đó phương trình (2.39) trở thành

f x2− y2
= f x2
+ f −y2
, ∀x, y ∈R,suy ra

f (x + y) = f (x) + f (y) , ∀x ≥ 0, ∀y ≤ 0. (2.40)Thay x = −y vào (2.40) ta được 0 = f (0) = f (−y) + f (y) , ∀y ≤ 0,

suy ra f (−y) = −f (y) , ∀y ≤ 0.

Vậy f (−y) = −f (y) , ∀ ∈R, chứng tỏ f là hàm lẻ

Lại có f (x − y) = f (x + (−y)) = f (x) + f (−y) = f (x) − f (y) , ∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0,suy ra f ((x − y) + y) = f (x − y) + f (y) , ∀x ≥ 0, y ≥ 0,

suy ra

f (x + y) = f (x) + f (y) , ∀x ∈R, ∀y ≥ 0. (2.41)Kết hợp (2.40),(2.41) và hàmf lẻ suy ra

f (x + y) = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈R.Đây là phương trình hàm Cauchy, ta có f (x) = ax, ∀x ∈R.

2.1.4 Hàm số sinh bởi phép nghịch đảo

Tiếp theo ta xét các bất biến đối với phép nghịch đảo

Bài toán 2.23 Tìm tất cả các hàm sốf : R∗ →R thỏa mãn điều kiện

trong đó g là hàm số tùy ý trong R∗.

Khi đó dễ thấy f thỏa mãn (2.42) Ngược lại nếu hàm f thỏa mãn (2.42) thì fthỏa mãn (2.43), do đó f có dạng (2.44)

f (x) = −f x1, ∀x ∈ R∗. (2.45)Lời giải

Phương trình (2.45) tương đương với

Khi đó dễ thấy f thỏa mãn (2.45) Ngược lại nếu hàmf thỏa mãn (2.45) thìf thỏamãn (2.46), do đó f có dạng (2.47)

Với mọi x ∈R, ta có √4x 2 + 1 ≥ |2x| ≥ ±2x ⇒√4x 2 + 1 ± 2x > 0.

Đặt √4x 2 + 1 + 2x = t

Do √4x 2 + 1 + 2x
√

4x 2 + 1 − 2x
= 1nên√4x 2 + 1 − 2x = 1

t.Khi đó, t − 1

Theo kết quả của bài toán 2.24, phương trình (2.49) tương đương với

h

h (x) + h1

x

ikhi x > 0, trong đó h là hàm số xác định trêntrên (0; +∞), tùy ý

2.2 Phương trình hàm với dịch chuyển bậc nhất và phân tuyến

tính

2.2.1 Phương trình dạng f(αx + β) = af(x) + b

Bài toán 2.26 Xác định tất cả các hàm f :R→R thỏa mãn điều kiện

f (2x + 3) = 5f (x) − 7, ∀x ∈R. (2.50)Lời giải

Giả sử f là hàm số thỏa mãn đề bài, khi đó ta có (2.50)

Đặt f (x) = 7

4 + g (x) , ∀x ∈R.Thay vào (2.50) ta được

hay

h (2t) = 5h (t) , ∀t ∈R, (2.52)với h (t) = g (−3 + t) , ∀t ∈R.

Trong đóω, ψ là các hàm tuần hoàn cộng tính chu kì 1 trên R.

Bài toán 2.27 Xác định tất cả các hàm f :R→R thỏa mãn điều kiện

f (−5x + 4) = 3f (x) − 8, ∀x ∈R. (2.54)Lời giải

Giả sử f là hàm số thỏa mãn đề bài, khi đó ta có (2.54)

Đặt f (x) = 4 + g (x) , ∀x ∈R.

Thay vào (2.54) ta được

4 + g (−5x + 4) = 3 [4 + g (x)] − 8, ∀x ∈R

⇔ g (−5x + 4) = 3g (x) , ∀x ∈R. (2.55)Đặt x = 2

3+ t, thay vào (2.55) ta được g−5t + 2

3+ t

, ∀t ∈R.

⇔ h (25t) = 9h (t) , ∀t ∈R. (2.56)

- Khi t = 0, từ (2.56) ta có h (0) = 0

- Khi t 6= 0, đặt h (t) = |t|log53

.ϕ (t) , ∀t 6= 0.Thay vào (2.56) ta được

|25t|log5 3

.ϕ (25t) = 9.|t|log5 3

.ϕ (t) , ∀t 6= 0

⇔ ϕ (25t) = ϕ (t) , ∀t 6= 0. (2.57)