Mởt số khĂi niằm cỡ bÊn
ành nghắa 1.1.(xem [4]) C°p (H,h,i) trong õ H l mởt khổng gian tuyán tẵnh thỹc v h,i : H ×H →R (x, y) 7→ hx, yi thọa mÂn cĂc iãu kiằn:
4 hx+y, zi = hx, zi+hy, zi,∀x, y, z ∈ H. ữủc gồi l khổng gian tiãn Hilbert.
Khổng gian tiãn Hilbert Ưy ừ ữủc gồi l khổng gian Hilbert.
Vẵ dử 1.1 L 2 [a,b] l khổng gian cĂc h m bẳnh phữỡng khÊ tẵch trản [a,b] vợi f ∈ L 2 [a,b] sao cho b
R a f 2 (x)dx < +∞ l mởt khổng gian Hilbert vợi tẵch vổ hữợng hf, gi b
Trản H cõ hai kiºu hởi tử chẵnh sau: ành nghắa 1.2.(xem [4]) X²t dÂy {x n } n≥0 v x thuởc khổng gian Hilbert thüc H Khi â:
• DÂy {x n } ữủc gồi l hởi tử mÔnh tợi x, kỵ hiằu xn →x, náu nhữ n→+∞lim kx n −xk = 0.
• DÂy {x n } ữủc gồi l hởi tử yáu tợi x, kỵ hiằu x n * x, náu n→+∞lim hω, x n i = hω, xi, ∀ω ∈ H.
Ta nhưc lÔi cĂc kát quÊ trong giÊi tẵch h m (xem [4]) liản quan án hai loÔi hởi tử n y.
• Náu {x n } hởi tử mÔnh án x thẳ cụng hởi tử yáu án x.
• Mồi dÂy hởi tử mÔnh (yáu) ãu bà ch°n v giợi hÔn theo sỹ hởi tử mÔnh (yáu) náu tỗn tÔi l duy nhĐt.
• Náu khổng gian Hilbert thỹc H l khổng gian hỳu hÔn chiãu thẳ sỹ hởi tử mÔnh v sỹ hởi tử yáu l tữỡng ữỡng.
• Náu {x n } n≥0 l mởt dÂy bà ch°n trong khổng gian Hilbert thỹc H thẳ ta trẵch ra ữủc mởt dÂy con hởi tử yáu.
• Náu {x n } n≥0 l mởt dÂy bà ch°n trong khổng gian Hilbert thỹc hỳu hÔn chiãu H thẳ ta trẵch ra ữủc mởt dÂy con hởi tử mÔnh.
Tiáp theo, ta s³ nảu mởt số ành nghắa v kát quÊ cỡ bÊn cừa giÊi tẵch lỗi ữủc phĂt biºu trong [1], [10].
X²t C l têp con khĂc rộng trong khổng gian Hilbert thỹc H. ành nghắa 1.3.(xem [10]) Têp C trong khổng gian Hilbert thỹc H ữủc gồi l mởt têp lỗi náu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0,1] ⇒ λx+ (1−λ)y ∈ C. ành nghắa 1.4.(xem [10]) iºm a ữủc gồi l iºm biản cừa C náu mồi lƠn cên cừa a ãu cõ iºm thuởc C v iºm khổng thuởc C;
Têp C ữủc gồi l têp õng náu C chựa mồi iºm biản cừa nõ;
Têp C ữủc gồi l mởt têp compact náu C l mởt têp õng v bà ch°n. ành nghắa 1.5.(xem [10]) Cho C l mởt têp lỗi cừa khổng gian Hilbert
Nõn phĂp tuyán ngo i cừa C ữủc kỵ hiằu v ành nghắa bði:
N C (x) := {w| hw, y−xi ≤ 0, ∀y ∈ C}. ành nghắa 1.6.(xem [10]) X²t h m f :H → R∪ {+∞} Khi õ:
(i) H m f ữủc gồi l h m lỗi trản H náu f(λx+ (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y), ∀x, y ∈ H,∀λ ∈ (0,1); (ii) H m f ữủc gồi l h m lỗi ch°t trản H náu f(λx+ (1−λ)y) < λf(x) + (1−λ)f(y), ∀x 6= y ∈ H,∀λ ∈ (0,1); (iii) H m f ữủc gồi l h m lỗi mÔnh trản H vợi hằ số η >0 náu f(λx+ (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y)−ηλ(1−λ)
Dữợi Ơy l mởt số vẵ dử quen thuởc vã h m lỗi.
1 H m affine f(x) = a T x+b, trong õ a ∈ R n , b ∈ R l h m lỗi Nõ thoÊ m¢n ¯ng thùc f(λx+ (1−λ)y) = λf(x) + (1−λ)f(y), ∀x, y ∈ H, λ ∈ (0,1).
Do õ nõ khổng lỗi ch°t.
Ta nõi δ C l h m ch¿ cừa C Do C lỗi nản δ C l h m lỗi.
3 H m khoÊng cĂch GiÊ sỷC l mởt têp õng, khĂc rộng H m khoÊng cĂch d C (y) ữủc ành nghắa nhữ sau: dC(y) = inf x∈Ckx−yk.
Khi õ, náu C l têp lỗi thẳ d C l h m lỗi.
Thêt vêy, x²t x, y ∈ H v λ ∈ (0,1) bĐt ký °t z = λx + (1 −λ)y Theo ành nghắa tỗn tÔi cĂc dÂy {x k },{y k } trong C sao cho k→∞lim kx−x k k = d C (x) v lim k→∞ky−y k k = d C (y).
Do C lỗi nản z k := λx k + (1−λ)y k ∈ C Ta cõ d C (z) ≤ kz −z k k
Náu tỗn tÔi π ∈ C sao cho kπ−yk = d C (y) thẳ π ữủc gồi l hẳnh chiáu khoÊng cĂch cừa y trản C Khi õ, π l nghiằm cừa b i toĂn tối ữu miny∈C kx−yk 2
Kỵ hiằu hẳnh chiáu cừa y trản C l P C (y) Khi õ, π = P C (y).
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại của các tính duy nhất của hàm chiếu xuống mởt theo lỗi ông Sau đó, chúng ta sẽ khéo léo mở rộng một số tính chất cỡ bên cửa toán tỷ chiếu được sử dụng trong chứng minh sau cửa luận văn.
Mằnh ã 1.2.(xem [10]) GiÊ sỷ C l lỗi, õng khĂc rộng trong H Khi õ: (i) Vợi mồi y ∈ H, π ∈ C hai tẵnh chĐt sau tữỡng ữỡng:
(ii) Vợi ∀x ∈ H, hẳnh chiáu P C (x) cừa x trản C luổn tỗn tÔi v duy nhĐt. (iii) Náu y /∈ C thẳ hP C (y)−y, x−P C (y)i = 0 l siảu ph¯ng tỹa cừa C tÔi
P C (y) v tĂch h¯n y khọi C, tực l hP C (y)−y, x −P C (y)i ≥ 0, ∀x∈ C; v hP C (y)−y, y−P C (y)i < 0.
(iv) nh xÔ y 7→ P C (y) cõ cĂc tẵnh chĐt sau:
(a) kP C (x)−PC(y)k ≤ kx−yk, ∀x,∀y (tẵnh khổng giÂn);
(b) hP C (x)−P C (y), x−yi ≥ kP C (x)−P C (y)k 2 (tẵnh ỗng bực).
(i) GiÊ sỷ cõ (a), tực l π l hẳnh chiáu cừa y trản C LĐy x ∈ C °t xλ := λx+ (1−λ)π.
Do C lỗi nản x λ ∈ C vợi mồi λ ∈ (0,1) Theo ành nghắa hẳnh chiáu ta cõ kπ −yk ≤ ky−x λ k Hay kπ−yk 2 ≤ ky −x λ k 2
= k(π−y) +λ(x−π)k 2 Khai triºn vá phÊi v giÊn ữợc ta thu ữủc λkx−πk 2 + 2hx−π, π −yi ≥ 0, x ∈ C, λ ∈ (0,1).
Cho λ tián tợi 0 ta thu ữủc bĐt ¯ng thực hπ −y, x −πi ≥ 0 iãu n y úng vợi x ∈ C bĐt ký nản suy ra y −π ∈ N C (π).
GiÊ sỷ cõ (b) tực l giÊ sỷ y −π ∈ NC(π) Khi õ vợi mồi x ∈ C ta cõ ky −xk 2 =k(y −π) + (π−x)k 2
Suy ra π l hẳnh chiáu cừa y trản C.
Chựng minh Thêt vêy, °t d = inf u∈Ckxưuk Khi õ, tỗn tÔi {u n } ⊂ C sao cho kxưu n k ư→ d, nư→ ∞ Tứ õ ta cõ ku n ưu m k 2 = k(xưu n )ư(xưu m )k 2
Khi n và m tiến tới vô cùng, ta có bất đẳng thức ≤ 2(kxưunk 2 + kxưumk 2) - 4d 2 → 0 Điều này cho thấy dãy {u n} là dãy Cauchy trong không gian H, từ đó suy ra tồn tại u = lim n→∞ u n ∈ C Với chuẩn l, ta có kx - uk = d và tồn tại v ∈ C sao cho kx - vk = d Cuối cùng, ta có ku - vk 2 = k(x - u) - (x - v)k 2.
Suy ra u = v Vêy tỗn tÔi duy nhĐt mởt phƯn tỷ P C x ∈ C sao cho kxưPCxk= inf u∈C kxưuk.
Vêy hπ −y, xi = hπ−y, πi l mởt siảu ph¯ng tỹa cừa C tÔi π Siảu ph¯ng n y tĂch y khọi C vẳ y 6= π nản hπ −y, y−πi = −kπ−yk 2 < 0.
(iv) (a) Theo ph¦n (ii) ¡nh x¤ x 7→ P C (x) x¡c ành kh p nìi.
Do z −P C (z) ∈ N C (P C (z)) vợi mồi z, Ăp dửng vợi z = x v z = y, ta cõ hx−P C (x), P C (y)−P C (x)i ≤ 0; v hy −PC(y), PC(x)−PC(y)i ≤ 0.
Cởng hai bĐt ¯ng thực trản, ta ữủc hP C (y)−P C (x), P C (y)−P C (x) +x−yi ≤ 0.
Kát hủp iãu n y v bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz, suy ra kP C (x)−P C (y)k ≤ kx−yk.
(b) p dửng tẵnh chĐt (b) cừa (i), lƯn lữủt vợi P C (x) v P C (y), ta cõ: hP C (x)−x, P C (x)−P C (y)i ≤ 0; hy −P C (y), P C (x)−P C (y)i ≤ 0 Cởng hai bĐt ¯ng thực trản, suy ra hP C (x)−P C (y) +y −x, P C (x)−P C (y)i
Chuyºn vá ta cõ hP C (x)−P C (y), x−yi ≥ kP C (x)−P C (y)k 2
Vêy mằnh ã Â ữủc chựng minh 2 ành nghắa 1.7.(xem [10]) Cho f : H → R ∪ {+∞} Ta nõi x ∗ ∈ H l dữợi Ôo h m cừa f tÔi x náu hx ∗ , z −xi+f(x) ≤ f(z), ∀z.
Kỵ hiằu têp tĐt cÊ cĂc dữợi Ôo h m cừa f tÔi x l ∂f(x).
Khi ∂f(x) 6= ∅ thẳ ta nõi h m f khÊ dữợi vi phƠn tÔi iºm x. f ữủc gồi l khÊ dữợi vi phƠn trản mởt têp náu f khÊ dữợi vi phƠn tÔi mồi iºm trản têp õ.
1 f(x) = kxk, x ∈ R n TÔi iºm x = 0 h m n y khổng khÊ vi, những nõ khÊ dữợi vi phƠn v
2 f = δ C l h m ch¿ cừa mởt têp lỗi C 6= ∅ Khi õ, vợi x 0 ∈ C,
∂δ C (x 0 ) = x ∗ | x ∗ , x −x 0 ≤ δ C (x), ∀x Vợi x /∈ C thẳ δ C (x) = +∞, nản bĐt ¯ng thực n y luổn úng Vêy
Ta cõ mằnh ã sau nõi lản tẵnh khÊ dữợi vi phƠn cừa h m lỗi.
Mằnh ã 1.3 chỉ ra rằng hàm f: H → R có thể không có lỗi thỏa mãn ∂f(x) ≠ ∅ với mọi x ∈ X, hoặc hàm f không bị giới hạn trong không gian Định nghĩa 1.8 nêu rõ rằng hàm f: H → R được gọi là liên tục tại điểm x, nếu với mọi dãy {x_k} không thuộc E và khi x_k tiến tới x, thì giới hạn khi k tiến tới vô cùng của inf f(x_k) phải lớn hơn hoặc bằng f(x).
H mf ữủc gồi l nỷa liản tửc trản tÔi mởt iºm x, náu−f nỷa liản tửc dữợi tÔi mởt iºm x Hay l vợi mồi dÂy x k ⊂E;x k →x thẳ lim k→∞supf(x k ) ≤ f(x);
H m f ữủc gồi l liản tửc tÔi mởt iºm x náu nhữ nõ vứa nỷa liản tửc trản v nỷa liản tửc dữợi tÔi x.
Khi E l tôn khổng gian, ta nói đến những khía cạnh quan trọng của sự sống, bao gồm cả những yếu tố liên quan đến môi trường Điều này có thể được thể hiện qua các mô hình số học và các phương pháp phân tích dữ liệu Mở rộng các hệ thống số học có thể giúp hiểu rõ hơn về các lỗi và sự liên kết trong không gian.
{x ∈ C|ϕ(x) ≤ γ} lỗi Tữỡng tỹ, h m mởt h m ϕ ữủc gồi l tỹa lóm trản C, náu −ϕ l h m tỹa lỗi trản C.
Nếu ϕ là hàm lồi trên tập C, thì với mọi x, y thuộc C và λ trong khoảng [0,1], ta có ϕ(λx + (1−λ)y) ≤ max{ϕ(x), ϕ(y)} Ngược lại, nếu ϕ là hàm lõm trên tập C, thì với mọi x, y thuộc C và λ trong khoảng [0,1], ta có ϕ(λx + (1−λ)y) ≤ min{ϕ(x), ϕ(y)} Các định nghĩa và tính chất của hàm lồi và hàm lõm được sử dụng trong việc phân tích bài toán tối ưu trong toán học.
Trong cĂc ành nghắa sau x²t C l têp khĂc rộng, õng, lỗi trong khổng gian Hilbert thüc H. ành nghắa 1.10.(xem [7]) GiÊ sỷ f :C ìC → R Ta nõi
(i) f ỡn iằu mÔnh trản C vợi hằ số β > 0, náu f(x, y) +f(y, x) ≤ −βkx−yk 2 , ∀x, y ∈ C; (ii) f ỡn iằu ch°t trản C, náu f(x, y) +f(y, x) < 0, ∀x, y ∈ C, x 6= y;
(iii) f ỡn iằu trản C, náu f(x, y) +f(y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C; (iv) f giÊ ỡn iằu trản C, náu f(x, y) ≥ 0⇒ f(y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
(v) f liản tửc cõ tẵnh chĐt kiºu Lipschitz trản C vợi hơng số c 1 > 0v c 2 > 0, náu f(x, y) +f(y, z) ≥ f(x, z)−c 1 kx−yk 2 −c 2 ky −zk 2 , ∀x, y ∈ C.
Tứ ành nghắa ta cõ (i) ⇒(ii) ⇒(iii) ⇒ (iv).
1 f(x, y) := h(x)−h(y) l ỡn iằu những khổng ỡn iằu ch°t.
2 g(x, y) := h(x)−h(y)−1l ỡn iằu ch°t những khổng ỡn iằu mÔnh.
Thêt vêy, x²t g(x, y) + g(y, x) = −2 < 0 vợi mồi x, y ∈ H nản g ỡn iằu ch°t.
GiÊ sỷ tỗn tÔi hằ số β > 0 thọa mÂn iãu kiằn ỡn iằu mÔnh, suy ra βkx−yk 2 ≤2 ∀x, y ∈ H.
Chồn x = 0 v y = tv vợi v l mởt v²c-tỡ khĂc 0 trong H, ta ữủc β ≤ 2
Khi t tiến tới vô cùng, hiện tượng kiềm trần xảy ra khi β ≤ 0, được gọi là mẫu thuẫn Các khái niệm về ẩn dụ và hình ảnh liên quan chặt chẽ đến các khái niệm này trong bối cảnh toán tỷ, điều này rất quen thuộc trong giới tách phi tuyến Định nghĩa 1.11 (xem [1-7]) mô tả hàm số F: C → H, được sử dụng trong nghiên cứu này.
(i) ỡn iằu mÔnh trản C vợi hằ số β > 0, náu hF(x)−F(y), x−yi ≥ βkx−yk 2 , ∀x, y ∈ C;
(ii) ỡn iằu ch°t trản C, náu hF(x)−F(y), x−yi > 0, ∀x, y ∈ C;
(iii) ỡn iằu trản C, náu hF(x)−F(y), x−yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C; (iv) giÊ ỡn iằu trản C, náu hF(y), x −yi ≥ 0 ⇒ hF(x), x−yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C; (v) liản tửc L -Lipschitz trản C náu kF(x)−F(y)k ≤ Lkx−yk, ∀x, y ∈ C.
Tứ ành nghắa ta cõ (i) ⇒(ii) ⇒(iii) ⇒ (iv).
Vẵ dử 1.5 Cho C l têp lỗi, h m f : C →R Khi õ:
• Náu f l h m khÊ dữợi vi phƠn, lỗi trản C thẳ ∂f l ỡn iằu trản C.
Thêt vêy, lĐy tũy ỵ x, y ∈ C v u ∈ ∂f(x), v ∈ ∂f(y) theo ành nghắa cừa dữợi vi phƠn nản f(x) ≥ f(y) +hu, x−yi, f(y) ≥ f(x) +hv, y−xi. Cởng hai bĐt ¯ng thực trản vợi nhau, suy ra hv −u, y −xi ≥ 0, ∀x, y ∈ C.
• Náu f l khÊ dữợi vi phƠn, lỗi mÔnh trản C thẳ ∂f l ỡn iằu mÔnh trản C.
• Náu f l h m khÊ dữợi vi phƠn, lỗi ch°t trản C thẳ ∂f l ỡn iằu ch°t trản C.
Náu F l L - Lipschitz trản C thẳ vợi mội x, y ∈ C, f(x, y) = hF(x), y−xi cõ tẵnh chĐt liản tửc kiºu Lipschitz vợi hơng số c 1 = c 2 = L
=hF(x), y−xi +hF(y), z −yi − hF(x), z −xi
Do vêy, f l liản tửc cõ tẵnh chĐt kiºu Lipschitz trản C 2
Sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa b i toĂn cƠn bơng 14
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá một số khái niệm quen thuộc trong thế giới tách phi tuyến Các khái niệm này là cổng cửa sức bền của nghiản cựu, đặc biệt là chứng minh sự tồn tại nghiêm ngặt của bi toán cơn bống.
Ta nhưc lÔi b i toĂn cƠn bơng (cỏn ữủc gồi l bĐt ¯ng thực Ky Fan) là một khái niệm quan trọng trong không gian Hilbert C là tập hợp các lỗi, và f : C → R∪ {+∞} là một hàm số Khi đó, b i toĂn cƠn bơng được định nghĩa rõ ràng trong bối cảnh này.
Têp nghiằm cừa b i toĂn cƠn bơng ữủc kỵ hiằu l Sol(C, f).
Dưới đây là một số thông tin quan trọng về hàm bậc hai: Hàm f(x, x) luôn có giá trị bằng 0 với mọi x thuộc tập số phức C Một hàm số được gọi là hàm bậc hai khi nó thỏa mãn các điều kiện nhất định Hàm này thường được dùng trong các lĩnh vực toán học và ứng dụng thực tiễn.
Để chứng minh sự tồn tại của bài toán cơn bông, cần phải áp dụng các định lý trong giới hạn hàm liên tục Brouwer Tiếp theo, ta sẽ rút ra các định lý này trong không gian Euclide hữu hạn, mặc dù các định lý này cũng được chứng minh trong không gian vô hạn chiều.
Bài viết này đề cập đến các khái niệm trong lý thuyết tập hợp và tối ưu hóa Cụ thể, cho hai không gian tổ hợp X và Y, hàm F: X → 2^Y được định nghĩa để ánh xạ các phần tử trong X tới các tập hợp con compact trong Y Đồng thời, F(X) cũng được yêu cầu là compact Hàm số f: X × X → R là một hàm liên tục trên không gian X Khi tối ưu hóa hàm g(x) = max{f(x, y) : y ∈ F(x)}, chúng ta tìm kiếm giá trị lớn nhất của f trong tập hợp F(x), từ đó đạt được ánh xạ tối ưu trong không gian X.
S(x) là tập hợp các phần tử y thuộc F(x) sao cho f(x, y) = g(x) Theo định lý Brouwer, cho C là một tập hợp compact trong không gian R^n và F là một hàm liên tục từ C vào C Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm x* trong C thỏa mãn x* = F(x*).
Dỹa v o ành lỵ iºm bĐt ởng Brouwer v ành lỵ cỹc Ôi Berge, ta cõ mằnh ã sau nõi vã sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn cƠn bơng.
Mằnh ã 1.4 Cho C l mởt têp lỗi, compact khĂc rộng v song h m cƠn bơng f : C x C →R∪ {+∞} cõ cĂc tẵnh chĐt:
(i) f(., y) nỷa liản tửc trản vợi mồi y ∈ C;
(ii) f(x, ) lỗi, nỷa liản tửc dữợi v khÊ dữợi vi phƠn trản C vợi mồi x ∈ C.
Khi õ, b i toĂn EP(C, f) cõ nghiằm.
Chựng minh Vợi mội x ∈ C, ta gồi S(x) l têp nghiằm cừa b i toĂn min{f(x, y) : y ∈ C} (CO)
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các tính chất của hàm f(x, ) trên tập hợp C, nơi C là một không gian compact theo định lý Weierstrass Đặc biệt, hàm f(x, ) cũng có tính compact, và tập S(x) cũng thỏa mãn điều này Dựa trên định lý Berge, tập S là một tập hợp mở trong không gian C Hơn nữa, theo định lý Brouwer, tồn tại một điểm x* thuộc C sao cho x* cũng thuộc S(x*).
Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét xử lý nghiêm cấm của bài toán còn bớt EP(C, f) Thực vậy, do f(x, ) lỗi, không giữ được vi phân tràn C, theo điều kiện cần và đủ tối ưu của quy hoạch lỗi, ta có.
Theo ành nghắa cừa dữợi vi phƠn v nõn phĂp tuyán, tứ Ơy ta cõ v ∗ thuởc
Vêy f(x ∗ , y) ≥ 0,∀y ∈ C iãu n y chựng tọ x ∗ l nghiằm cừa EP(C, f).
Hằ quÊ 1.1 Cho C l mởt têp lỗi, õng (khổng cƯn compact) v song h m cƠn bơng f nhữ ð mằnh ã trản GiÊ sỷ iãu kiằn bực (C1) sau Ơy ữủc thoÊ m¢n
Tỗn tÔi têp compact B sao cho
Khi õ, b i toĂn EP(C, f) cõ nghiằm.
Chựng minh Theo mằnh ã trản, b i toĂn cƠn bơng trản têp compact
C ∩ B vợi h m cƠn bơng f cõ nghiằm, tực l tỗn tÔi x ∗ ∈ C ∩B Tứ iãu kiằn bực (C1) v tẵnh lỗi cừa têp C, ta suy ra nghiằm x ∗ cụng l nghiằm cừa b i to¡n EP(C, f) 2
Mằnh ã trản l mởt trữớng hủp riảng cừa ành lỵ sau Ơy cừa Ky Fan. ành lỵ (Ky Fan) Cho f : C ìC →R∪ {+∞} l mởt song h m cƠn bơng cõ cĂc tẵnh chĐt sau:
(i) f(., y) nỷa liản tửc trản vợi mồi y ∈ C;
(ii) f(x, ) tỹa lỗi trản C vợi mồi x ∈ C.
Khi õ, b i toĂn cƠn bơng EP(C, f) cõ nghiằm, náu nhữ C compact, ho°c iãu kiằn bực (C1) thoÊ mÂn.
BƠy giớ ta x²t tẵnh duy nhĐt nghiằm cừa b i toĂn cƠn bơng.
Mằnh ã 1.5 Cho C l têp lỗi, õng khĂc rộng v f : CìC →R∪ {+∞} l song h m cƠn bơng Khi õ:
(i) Náu f l ỡn iằu ch°t trản C, thẳ b i toĂn cƠn bơng EP(C, f) cõ nhiãu nhĐt mởt nghiằm;
(ii) f(., y) nỷa liản tửc trản vợi mồi y ∈ C v f(x, ) lỗi, nỷa liản tửc dữợi vợi mội x ∈ C v f ỡn iằu mÔnh trản C, thẳ b i toĂn EP(C, f) luổn cõ v cõ duy nhĐt nghiằm.
(i) GiÊ sỷ EP(C, f) cõ hai nghiằm x ∗ v y ∗ Khi õ f(x ∗ , y ∗ ) ≥ 0 v f(y ∗ , x ∗ ) ≥0 Thá những, náu f(x ∗ , y ∗ ) ≥0, thẳ theo tẵnh ỡn iằu ch°t, ta phÊi cõ f(y ∗ , x ∗ ) < 0 iãu n y mƠu thuăn vợi f(y ∗ , x ∗ ) ≥ 0.
LĐy x 0 ∈ C bĐt ký, với điều kiện f(x 0 , ) nỷa liản tửc và f(x 0 , x 0 ) = 0 Để tồn tại một giá trị a sao cho f(x 0 , v) ≥ a, với mọi v ∈ B(x 0 ,1)∩C, trong vùng B(x 0 ,1) cần đảm bảo rằng x 0 là điểm cực tiểu, và bậc của hàm f phải thỏa mãn điều kiện (C1).
Thêt vêy, vợi bĐt ký x ∈ C\B(x 0 ,1), thẳ λ = 1 kx 0 −xk < 1. Vêy v = λx+ (1−λ)x 0 ∈ C ∩B(x 0 ,1).
Theo tẵnh lỗi cừa f(x 0 , ) ta cõ f(x 0 , v) ≤ λf(x 0 , x) + (1−λ)f(x 0 , x 0 ) =λf(x 0 , x).
Vẳ λ = 1 kx 0 −xk, nản tứ Ơy suy ra f(x 0 , x) ≥ à x 0 −x Tứ Ơy v Ăp dửng tẵnh chĐt ỡn iằu mÔnh (vợi hằ số β) cừa f, ta cõ f(x, x 0 ) ≤ −f(x 0 , x)−β x−x 0
Bối giới lý thuyết compact U được định nghĩa là giao của tập C và đĩa B(x₀, ε) với ε lớn hơn max{1, -à/β} Khi đó, ta có f(x, x₀) < 0 cho mọi x thuộc C\U Điều này cho thấy tính bậc của hàm f liên quan đến sự tồn tại nghiệm Theo Mệnh đề 1.4, bài toán EP(C, f) có nghiệm duy nhất, được suy ra từ tính liên tục của hàm f theo biến x.
B i toĂn cƠn bơng EP(C, f) cõ mối liản hằ ch°t ch³ vợi b i toĂn sau, ữủc gồi l b i toĂn ối ngău cừa EP(C, f).
Ta kỵ hiằu têp nghiằm cừa b i toĂn ối ngău l DS Mối quan hằ giỳa hai b i toĂn n y ữủc thº hiằn ð mằnh ã dữợi Ơy.
Mằnh ã 1.6 GiÊ sỷ f : C ìC → R∪ {+∞} l song h m cƠn bơng Khi â:
(i) Náu f(x, ) l lỗi trản C vợi mồi x ∈ C thẳ têp nghiằm DS lỗi;
(ii) Náu f giÊ ỡn iằu trản C, f(., y) l nỷa liản tửc trản theo mội tia (bĂn liản tửc) vợi mội y ∈ C v f(x, ) lỗi vợi mội x ∈ C thẳ
(i) Theo ành nghắa cừa b i toĂn (DEP), ta thĐy
Do C lỗi v f(x, ) lỗi vợi mồi x ∈ C, nản DS l giao cừa mởt hồ vổ hÔn cĂc têp lỗi, do õ nõ cụng l mởt têp lỗi.
(ii) Do tẵnh giÊ ỡn iằu cừa f, ta cõ Sol(C, f) ⊆ DS Ta ch¿ cƯn chựng minh chiãu ngữủc lÔi.
GiÊ sỷ x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn ối ngău, tực l f(x, x ∗ ) ≤ 0 vợi mồi x ∈ C Náu x ∗ khổng phÊi l nghiằm cừa b i toĂn gốc (EP), thẳ s³ tỗn tÔi y ∗ ∈ C sao cho f(x ∗ , y ∗ ) < 0.
LĐy yt := ty ∗ + (1−t)x ∗ , do C lỗi, nản yt ∈ C vợi mồi 0 ≤ t ≤ 1 Do tẵnh nỷa liản tửc trản theo tia cừa f(., y ∗ ), ta cõ limt→0f(ty ∗ + (1−t)x ∗ ) ≤ f(x ∗ , y ∗ ) < 0.
Vêy tỗn tÔi t ∗ thuởc oÔn [0,1] thoÊ mÂn f(y t ∗ , y ∗ ) < 0 Khi õ, theo tẵnh chĐt lỗi cừa h m f(y t ∗ , ) ta viát ữủc
Vẳ f(yt ∗ , y ∗ ) < 0, nản tứ Ơy suy ra f(yt ∗ , x ∗ ) > 0 iãu n y mƠu thuăn vợi viằc x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn ối ngău (DEP).
CĂc trữớng hủp riảng cừa b i toĂn cƠn bơng
Vã một hình thức bài toán cơn bông khẩn giãn, tuy nhiên nó bao gồm nhiều lớp bài toán quan trọng khác nhau thuộc nhiều lĩnh vực Dưới đây là một số trường hợp cụ thể liên quan đến bài toán này.
Vêy b i toĂn tối ữu trản l mởt trữớng hủp riảng cừa b i toĂn (EP).
2 BĐt ¯ng thực bián phƠn X²t b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn a trà sau:
Cho C l mởt têp lỗi õng, khĂc rộng trong H v F : C → H l mởt Ănh xÔ a trà ( tực l vợi mội x ∈ C, giĂ trà F(x) l mởt têp khĂc rộng) X²t b i to¡n:
Ta có thể minh họa bài toán thực biến phân (V I) dưới góc độ kinh tế như sau: Giả sử C là tập hợp các chiến lược (tập rỗng buổi) và các phương án sản xuất có thể lựa chọn Với mỗi phương án sản xuất x ∈ C, tập (Ảnh xô giá) F(x) là tập hợp các giá trị chi phí có thể, ứng với phương án x Khi giải bài toán (V I), mục tiêu là tìm bài toán tối ưu phương án sản xuất x ∗ trong tập chiến lược C với giá trị chi phí ứng với x ∗ sao cho chi phí là thấp nhất Trong trường hợp Ảnh xô giá không phụ thuộc vào phương án sản xuất, tức là F(x) = c với mọi x, bài toán thực biến phân (V I) trở thành bài toán quy hoạch tuyến tính với T x : x ∈ C.
Trong b i toĂn quy hoÔch n y, vec-tỡ giĂ c khổng phử thuởc v o phữỡng Ăn s£n xu§t.
Vã m°t hẳnh hồc, bĐt ¯ng thực bián phƠn (V I)l b i toĂn tẳm mởt iºm x ∗ ∈ C sao cho têp F(x ∗ ) cõ mởt phƯn tỷ l vec-tỡ phĂp tuyán (ngo i) cừa têp C tÔi iºm x ∗
GiÊ sỷ vợi mội x ∈ C, têpF(x) lỗi, compact khĂc rộng Vợi mộix, y ∈ C, º mổ tÊ b i toĂn (V I) vã b i toĂn cƠn bơng, ta °t f(x, y) := max v∈F(x)hv, y−xi.
Tứ Ơy ta suy ra f(x, y) ≥ 0 vợi mồi y ∈ C khi v ch¿ khi x l nghiằm cừa (V I).
Mởt trữớng hủp riảng quan trồng cừa b i toĂn (V I) l khi C = R n + v F ỡn trà Khi õ b i toĂn (V I) tữỡng ữỡng vợi b i toĂn sau, ữủc gồi l b i to¡n bò:
Ta ch¿ ra rơng b i toĂn (CP) n y tữỡng ữỡng vợi bĐt ¯ng thực bián phƠn:
Sỹ tữỡng ữỡng ð Ơy ữủc hiºu theo nghắa têp nghiằm cừa hai b i toĂn n y trũng nhau Thêt vêy, náu x l nghiằm cừa bĐt ¯ng thực bián phƠn thẳ hF(x), y−xi ≥ 0, ∀y ≥ 0.
LƯn lữủt chồn y = x+ e i (vec-tỡ ỡn và thự i) ta cõ
Vêy F i (x) ≥ 0 vợi mồi i Ngo i ra, náu chồn y = 0 ta cõ
Suy ra x T F(x) = 0 iãu ngữủc lÔi mồi nghiằm cừa b i toĂn bũ ãu l nghiằm cừa bĐt ¯ng thực bián phƠn luổn úng.
Ngoài ra, bài toán quy hoạch lỗi tối thiểu {f(x) : x ∈ C} trong không gian mở f là một hàm lỗi khép kín với phần trăm tập lỗi C, có thể mô tả dưới dạng dữ liệu động bất thường biến phân (V I), với F = ∂f.
Thêt vêy, khi F = ∂f, b i toĂn (V I) viát ữủc l :
Náu x ∗ l nghiằm cừa bĐt ¯ng thực bián phƠn n y, thẳ do v ∗ ∈ ∂f(x ∗ ), nản theo ành nghắa cừa dữợi vi phƠn, ta cõ hv ∗ , y −x ∗ i +f(x ∗ ) ≤ f(y), ∀y.
Thá những do x ∗ l nghiằm cừa bĐt ¯ng thực bián phƠn nản hv ∗ , y−x ∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C.
Tứ Ơy suy ra f(x ∗ ) ≤ f(y) với mọi y ∈ C Nếu x ∗ là nghiệm của bài toán tối ưu (CO), thì theo điều kiện cần và đủ cho tối ưu của quy hoạch lỗi, ta có thể khẳng định rằng x ∗ thỏa mãn các tiêu chí tối ưu hóa đã đề ra.
Tứ Ơy theo ành nghắa cừa nõn phĂp tuyán cừa C tÔi x ∗ , ta suy ra x ∗ l nghiằm cừa bĐt ¯ng thực bián phƠn (V I) vợi F = ∂f.
Bài toán tìm điểm cực đại của hàm F: C → 2^C được nghiên cứu trong không gian compact Đối với mọi x ∈ C, nếu F(x) không rỗng, thì hàm f(x, y) được định nghĩa là f(x, y) := max v∈F(x) hx−v, y−xi Điều này cho thấy, nếu x thuộc F(x), thì theo định nghĩa của f(x, y), ta có f(x, y) ≥ 0 cho mọi y ∈ C.
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ x l nghiằm cừa b i toĂn EP(C, f), tực l x ∈ C v f(x, y) ≥ 0vợi mồi y ∈ C Khi õ, lĐy y l hẳnh chiáu cừa x lản têp lỗi õng
F(x) Khi â hx−y, y−xi = max v∈F (x)hx−v, y −xi.
Do x l nghiằm cừa EP(C, f) nản
Suy ra x = y ∈ F(x) Vêy x l iºm bĐt ởng cừa F.
4 B i toĂn iºm yản ngỹa Cho A⊆ H, B ⊆H v L : AìB → R B i toĂn iºm yản ngỹa l b i toĂn tẳm (x ∗ , y ∗ ) ∈ AìB sao cho
Mởt điểm (x ∗ , y ∗ ) thuộc AìB thể hiện mối quan hệ giữa các thực thể trong không gian AìB Chúng ta có thể thấy rõ rằng, việc xác định điểm yản ngỹa có thể được thực hiện thông qua các phương pháp toán học hiện đại.
Thêt vêy, vợi mội u = (x, y) T , v = (x 0 , y) T , ta °t
Khi õ, náu u ∗ l nghiằm cừa b i toĂn cƠn bơng vợi C v f, tực l u ∗ ∈ A×B, f(u ∗ , v) ≥0 ∀v ∈ C = A×B, thẳ
Vợi x 0 = x ∗ v sau õ vợi y 0 = y ∗ , ta cõ
Vêy (x ∗ , y ∗ ) l iºm yản ngỹa iãu ngữủc lÔi l náu (x ∗ , y ∗ ) l iºm yản ngỹa cừa L trản AìB, thẳ u ∗ = (x ∗ , y ∗ ) l lới giÊi cừa b i toĂn cƠn bơng ữủc suy ra tứ ành nghắa.
Cơn bơng Nash trong trò chơi khổng lồ là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết trò chơi, nơi mỗi người chơi chọn một chiến lược tối ưu dựa trên quyết định của những người chơi khác Định nghĩa cơn bơng Nash được đưa ra bởi nhà kinh tế học F Nash, cho rằng một cơn bơng đạt được khi không ai có thể cải thiện kết quả của mình bằng cách thay đổi chiến lược đơn phương Điều này có nghĩa là nếu một người chơi cố gắng thay đổi chiến lược của mình, họ sẽ không đạt được lợi ích tốt hơn trong khi các người chơi khác giữ nguyên chiến lược của họ Bằng cách này, cơn bơng Nash thể hiện sự ổn định trong các quyết định của người chơi và là nền tảng cho việc phân tích các trò chơi chiến lược trong kinh tế học.
Thêt vêy, xƠy dỹng h m f : C ìC → R, bơng cĂch °t f(x, y) : p
Náu x ∗ l mởt iºm cƠn bơng Nash thẳ f(x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ x ∗ ∈ C l nghiằm cừa b i toĂn EP(C, f), tực l f(x ∗ , y) ≥0, ∀y ∈ C.
Ta s³ chựng tọ x ∗ = (x ∗ 1 , , x ∗ p ) vợi x ∗ j ∈ C j l mởt iºm cƠn bơng Nash. Thêt vêy, náu trĂi lÔi, s³ tỗn tÔi j v mởt yj ∈ Cj sao cho ϕj(x ∗ 1 , , x ∗ j−1 , x ∗ j , x ∗ j+1 , x ∗ p ) < ϕj(x ∗ 1 , , x ∗ j−1 , yj, x ∗ j+1 , x ∗ p ).
Khi õ vợi phữỡng Ăn y = (x ∗ 1 , , x ∗ j−1 , y j , x ∗ j+1 , x ∗ p ), theo ành nghắa cừa h m f, ta câ f(x ∗ , y) = ϕ j (x ∗ 1 , , x ∗ j−1 , y j , x ∗ j+1 , x ∗ p )−ϕ j (x ∗ ) < 0.
MƠu thuăn vợi x ∗ l nghiằm cừa EP(C, f).
Nhên x²t 1.5 Trong tĐt cÊ cĂc b i toĂn vứa kº trản, song h m f ãu cõ tẵnh chĐt f(y, y) = 0 vợi mồi y ∈ C Nhữ vêy f l mởt song h m cƠn bơng trản C.
Thuêt toĂn tĂch giÊi b i toĂn cƠn bơng ỡn iằu
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày hai thuật toán tách giải bài toán cắt bông trong không gian hình học của tường cừa hai không gian hình học Thuật toán đầu tiên là một thuật toán tách tuần tự, trong khi thuật toán thứ hai là một thuật toán tách song song Các khái niệm và kết quả sẽ được lấy từ các yếu tố tài liệu đã được nghiên cứu.
BƠy giớ ta nhưc lÔi toĂn tỷ gƯn kã (lƯn Ưu ữủc giợi thiằu bði Moreau nôm 1962) Cho g : C → (−∞,∞] l h m nỷa liản tửc dữợi lỗi thỹc sỹ v γ > 0 H m bao cõa g γ g(x) = inf{g(y) + 1
2γky −xk 2 l nỷa liản tửc dữợi v lỗi mÔnh, do õ cên dữợi úng Ôt ữủc v γ g(x) ∈ R ToĂn tỷ prox g (x) :H → C x 7→arg min y∈C
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá ý nghĩa của việc coi toán tỷ cừag và cách thực hiện bài toán tĩnh prox g(x) trong Matlab Đặc biệt, chúng ta sẽ tìm hiểu về toán tỷ gần kã l sỹ tờng quĂt và toán tỷ chiáu Bên cạnh đó, chúng ta cũng sẽ đề cập đến hàm f: C → R được gọi là liản tửc.
T − Hăolder vợi bián thự nhĐt (tữỡng ựng vợi bián thự hai) náu ∃ hơng số
Tiáp theo bờ ã sau Ơy s³ rĐt hỳu ẵch cho viằc chựng minh sỹ hởi tử
Bờ ã 2.1 (Xem [6]) GiÊ sỷ rơng {a n } v {b n } l hai dÂy cĂc số khổng Ơm sao cho a n+1 ≤a n +b n n ∈ N Náu
Bờ ã 2.2 (Xem [6]) Gồi {a n } v {λ n } l hai dÂy số thỹc khổng Ơm thoÊ m¢n n→∞lim a n = a ∈ R, lim n→∞λ n = 0 v
Bờ ã 2.3 (Xem [6]) Cho C l têp lỗi cừa khổng gian Hilbert H v g : C →
R l lỗi trản C thẳ x ∗ l nghiằm cừa b i toĂn lỗi sau: min{g(x) : x ∈ C} náu v ch¿ náu 0 ∈ ∂g(x ∗ ) +NC(x ∗ ).
Thuêt toĂn tuƯn tỹ v sỹ hởi tử
Trong mửc n y ta trẳnh b y thuêt toĂn tĂch tuƯn tỹ Thuêt toĂn cõ thº mổ tÊ nhữ sau:
Thuêt toĂn 1 Thuêt toĂn tĂch tuƯn tỹ
Bữợc 1: Cho trữợc x n , tẵnh y n , z n+1 v x n+1 nhữ sau: y n = arg min{λ n f 1 (x n , t) + 1
Pn+1 k=1λ k Bữợc 2: Cêp nhêt n:= n+ 1 v quay lÔi bữợc 1.
Ta x²t b i toĂn cƠn bơng EP(C, f) trong õ f = f1 + f2 vợi f1, f2 :
GiÊ thiát 1 GiÊ sỷ rơng cĂc h m f 1 , f 2 thoÊ mÂn
(B1)f1, f2 giÊ ỡn iằu trản C Vợi mội y ∈ C, f1(ã, y), f 2 (ã, y) l lóm v nỷa tiản tửc yáu.
(B2) Vợi mội x ∈ C, f i (x, x) = 0;f i (x,ã) l nỷa liản tửc dữợi v lỗi.
Mằnh ã 2.1 Dữợi GiÊ thiát 1, ta cõ
(a) º chựng minh mằnh ã n y ta kẵ hiằu
Tứ tẵnh giÊ ỡn iằu cừa f ta thu ữủc S ⊂ Sd Ta cƯn ch¿ ra rơng Sd ⊂ S. º thĐy iãu n y, gồi x ∗ ∈ S d Cố ành λ ∈ (0; 1], y ∈ C v °t x λ λy+ (1−λ)x ∗ Do tẵnh lỗi cừa f(x λ ,ã), ta cõ
Ta thu ữủc f(x λ , y) ≥ 0 λ ∈ (0; 1] Cho λ → 0 + , bơng cĂch sỷ dửng tẵnh nỷa liản tửc trản cừa f(ã, y) suy ra rơng f(x ∗ , y) ≥ lim sup λ→0 + f(xλ, y) ≥ 0. iãu n y cõ nghắa l x ∗ ∈ S.
(b) °t {x k } l dÂy thoÊ mÂn {x k } ⊂ S v x k → x ∗ Vợi mội y ∈ C, tứ tẵnh nỷa liản tửc trản cừa f(ã, y), ta cõ f(x ∗ , y) ≥ lim sup k→∞ f(x k , y) ≥ 0 Do õ ta suy ra rơng x ∗ ∈ S, tực l S l têp õng.
Tiáp theo, gồi x ∗ 1 , x ∗ 2 ∈ S Vợi tĐt cÊ λ ∈ (0; 1] v y ∈ C ta cõ f(y, λx ∗ 1 + (1−λ)x ∗ 2 ) ≤ λf(y, x ∗ 1 ) + (1−λ)f(y, x ∗ 2 ) ≤ 0.
Tứ (a) ta i án λx ∗ 1 + (1−λ)x ∗ 2 ∈ S, do õ S l têp lỗi.
BƠy giớ ta giợi thiằu v phƠn tẵch thuêt toĂn tĂch tuƯn tỹ sau º giÊi
EP(C, f) º chựng minh kát quÊ chẵnh ta cõ bờ ã sau
Bờ ã 2.4 Cho C l têp lỗi, õng, khĂc rộng cừa H v cĂc GiÊ thiát 1 l úng Hỡn nỳa, giÊ sỷ rơng f 1 l liản tửc T1−Hăolder vợi bián thự nhĐt ho°c
2 v f2 l liản tửc T 2 − Hăolder vợi bián thự nhĐt Khi õ, dÂy {x n },{y n } ữủc sinh ra bði Thuêt toĂn 1 thoÊ mÂn cĂc tẵnh chĐt sau
(a) Tỗn tÔi M > 0 sao cho kx n −y n k ≤ M.λ
(b)Tỗn tÔi L > 0 sao cho kx n+1 −xk 2 ≤ kx n −xk 2 + 2λ n f(x n , x) +L.λ
(a) Theo Bờ ã 2.3 ta thĐy y n l nghiằm cừa b i toĂn lỗi min{λ n f 1 (x n , t) + 1
2k ã −x n k 2 )(y n ) + N C (y n ), Theo ành lỵ Moreau- Rockafellar, tỗn tÔi w ∈ ∂f 1 (x n ,ã)(y n ) v v ∈
Theo ành nghắa cừa N C (y n ) ta cõ hx n −y n −λ n w, x−y n i ≤ 0, ∀x ∈ C. hay tữỡng ữỡng vợi hx n −y n , x−y n i ≤ λ n hw, x−y n i, ∀x ∈ C.
Tứ w ∈ ∂f1(x n ,ã)(y n ), ta thu ữủc λ n (f 1 (x n , x)−f 1 (x n , y n )) ≤λ n hw, x−y n i ≤ hx n −y n , x−y n i ∀x ∈ C (2.2) Trong (2.2), cho x = x n ∈ C, ta ữủc
Do tẵnh liản tửc Hăolder vợi bián thự nhĐt ho°c thự hai cừa f 1 v giÊ thiát f 1 (x, x) = 0, ∀x ∈ C, nản tỗn tÔi Q 1 > 0 sao cho
|f 1 (x n , y n )| ≤ Q 1 kx n −y n k T 1 (2.4) Kát hủp (2.3) v (2.4) ta thu ữủc kx n −y n k 2− T 1 ≤ (λnQ1) hay kx n −y n k ≤ (Q 1 λ n ) 2− 1 T1
Mởt cĂch tữỡng tỹ, tứ x n+1 = arg min{λ n f 2 (y n , t) + 1
2kt−y n k 2 , t ∈ C} ta thu ữủc f 2 (y n , x)−f 2 (y n , x n+1 ) ≤ hy n −x n+1 , x−x n+1 i ∀x ∈ C (2.5)
Trong (2.5) lĐy x = y n v sỷ dửng tẵnh liản tửc Hăolder vợi bián thự nhĐt cừa f 2 ta câ kx n+1 −y n k ≤ (Q 2 λ n ) 2− 1 T2 °t M := max(Q
1 , Q 2−T2 1 ), ta thu ữủc kát quÊ nhữ mong muốn.
(b) Tứ (2.5), vợi mội x ∈ C, ta cõ kx n+1 −xk 2 = kx n+1 −y n k 2 +ky n −xk 2 + 2hx n+1 −y n , y n −xi
= ky n −xk 2 − ky n+1 −y n k 2 + 2hx n+1 −y n , x n+1 −xi
(2.6) Mởt cĂch tữỡng tỹ, tứ (2.2) ta cõ ky n −xk 2 ≤ kx n −xk 2 − ky n −x n k 2 + 2λ n hf 1 (x n , x)−f 1 (x n , y n )i (2.7)
Kát hủp (2.6) v (2.7), bơng cĂch sỷ dửng tẵnh liản tửcHăoldercừaf i , i = 1; 2, ta thu ữủc kx n+1 −xk 2 ≤ kx n −xk 2 +2λ n (f 1 (x n , x)+f 2 (y n −x)−f 1 (x n , y n )−f 2 (y n , x n+1 ))
≤ kx n −xk 2 +2λ n (f(x n , x)+Q 2 kx n −y n k T 2 +Q 1 kx n −y n k T 1 +Q 2 ky n −x n+1 k T 2 )
Sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 1 ữủc cho bði ành lỵ dữợi Ơy Để đảm bảo tính chính xác, cần kiểm tra lỗi trong tệp và xác định các yếu tố ảnh hưởng đến không gian H Giá trị tối thiểu T được tính bằng cách lấy giá trị nhỏ nhất giữa T1 và T2 Dãy giá trị {λ n} cần thỏa mãn điều kiện đã đề ra.
Khi õ, dÂy số {z n } ữủc sinh ra bði Thuêt toĂn 1 hởi tử yáu án mởt nghiằm cõa EP(C, f).
Chựng minh Viằc chựng minh ành lỵ n y ữủc chia th nh cĂc bữợc sau
Thỹc ra, trong (2.8), lĐy x = x ∗ ∈ S ⊂ C, theo Mằnh ã 2.2 ta cõ f(x n , x ∗ ) ≤ 0, ∀n ≥1.
Do õ, ta thu ữủc kx n+1 −x ∗ k 2 ≤ kx n −x ∗ k 2 + L.λ
Từ điều kiện Tứ Bờ ã 2.1, ta suy ra rằng giới hạn khi n tiến tới vô cùng của kx_n - x* k² tồn tại Do đó, {x_n} là một chuỗi, và tồn tại một số thực k > 0 sao cho kx_n k ≤ k với mọi n ≥ 1 Theo định nghĩa của z_n, ta cũng có thể suy ra rằng kz_n k ≤.
Do {z n } l bà ch°n v tỗn tÔi mởt dÂy con {z n i } ⊂ {z n } sao cho z n i →z¯∈ C.
Bữợc 2 Kh¯ng ành rơng z¯∈ S.
Ta thu ữủc tứ (2.8) kx n+1 −xk 2 − kx n −xk 2 ≤ 2λnf(x n , x) +L.λ
Do vêy, bơng cĂch sỷ dửng tẵnh lỗi cừa h m f(ã, y) ta Ôt ữủc kx n i +1 −xk 2 − |x n −xk 2
Bơng cĂch lĐy giợi hÔn khii → ∞,rỗi sỷ dửngP∞ n=1λ n = ∞,P ∞ n=1 λ
2−T 2 n , z n i * z¯ v tẵnh liản tửc trản yáu cừa h m f(ã, x), ta thĐy rơng f(¯z, x) ≥ lim sup i→∞ f(x n i , x) ≥0, ∀x ∈ C iãu n y rơng z¯∈ S.
Với tập hợp các điểm x_n, ta cần chứng minh rằng trung bình của chúng bằng PS(x_n) Để thực hiện điều này, ta cần chứng minh rằng u_n tiến tới z¯ Trong trường hợp này, các điểm giới hạn {z_k} sẽ hội tụ về z¯ và tồn tại trong tập hợp {z_k} với các yếu tố giới hạn và z¯.
Bữợc 3 Kh¯ng ành u n hởi tử.
Vẳ u n ∈ S v f l h m giÊ ỡn iằu, ta suy ra rơng f(x k , u n ) ≤ 0 ∀x ≥1.
Tứ (2.8), ta cõ kx n+p −u n k 2 ≤ kx n −u n k 2 +L
Vẳ u n+p = arg min{ky −x n+p k}, y ∈ S nản ta cõ kx n+p −u n+p k 2 ≤ kx n+p − 1
2(u n +u n+p )k 2 (2.11) Kát hủp (2.10) v (2.11) ta cõ ku n+p −u n k 2 = k(u n+p −x n+p ) + (x n+p −u n )k 2 ku n+p −x n+p k 2 + 2kx n+p −u n k 2 −4kx n+p − 1
Tứ õ, suy ra rơng ku n+p −x n+p k 2 ≤ kx n −u n k 2 +L
Do vêy, m→∞lim supku m −x m k 2 ≤ ku n −x n k 2 +L
2 2− T k = 0, ta suy ra rơng lim n→∞kx n −u n k 2 tỗn tÔi.
Kát hủp iãu n y vợi (2.12) ta suy ra rơng n→∞lim ku n+p −u n k 2 = 0 ∀p ≥ 1. iãu n y cõ nghắa rơng {u n } l dÂy Cauchy, do õ nõ hởi tử án z.¯
Bữợc 4 Kh¯ng ành rơng zˆ= ¯z
Tứ u n = P S (x n ), sỷ dửng Mằnh ã 2.1, ta cõ hy −u n , u n −x n i ≥ 0, ∀y ∈ S.
Do z¯∈ S, ta câ hz¯−u n , x n −u n i ≤ 0 Khi â hz¯−z, xˆ n −u n i = hz¯−u n , x n −u n i +hu n −z, x¯ n −u n i
= ku n −zk.kxˆ n −u n k ≤ p.ku n −zkˆ (2.13)
Trong õ, p = sup{kx n −u n k : n ≥ 1} < ∞ HÂy viát (2.13) vợi 1 ch¿ số k v lĐy tờng tứ k = 1 tợi ni, ta thu ữủc hz¯−z,ˆ n i
X k=1 λ k = ∞, Ăp dửng Bờ ã 2.2, vợi a n = ku n −zkˆ ta cõ i→∞lim n i
Sau õ, tứ bĐt ¯ng thực k n i
Ta suy ra rơng i→∞lim n i
Vẳ z n i →z,¯ iãu n y k²o theo h¯z−z,ˆ z¯−zi ≤ˆ 0, tứ õ suy ra zˆ= ¯z v viằc chùng minh ho n th nh.
2−T ∈ (1; 2] BƠy giớ, vợi mội n ≥ 1, ta th§y λ n = 1 n α vợi α ∈ (2−T
2 ,1] thẳ dạ d ng suy ra rơng iãu kiằn (2.9) ữủc thoÊ mÂn. °t f 2 = 0 trong ành lỵ 2.2, ta cõ hằ quÊ sau
Hằ quÊ 2.1 °t C l têp lỗi, õng, khĂc rộng trong H v f : C ìC → R l song h m GiÊ sỷ rơng
1 f l h m giÊ ỡn iằu v liản tửc T−Hăolder vợi bián thự nhĐt ho°c thự hai.
2 Vợi mội x ∈ C, f(x,ã) l lỗi, nỷa liản tửc dữợi, f(ã, x) l lóm, nỷa liản tửc trản yáu v f(x, x) = 0.
GiÊ thiát rơng {λ n } l mởt dÂy số thỹc dữỡng sao cho
Khi õ, dÂy {z n } ữủc sinh ra bði thuêt toĂn sau:
Cho trữợc x n , tẵnh x n+1 , z n+1 nhữ sau: x n+1 = arg min{λ n f(x n , t) + 1
Pn+1 k=1λ k s³ hởi tử yáu án mởt phƯn tỷ cừa têp S.
Vẵ dử 2.1 Cho h m f : R×R → R C = H = R f 1 (x, y) =hP x+Qx+q;y −xi f2(x, y) =kyk 2 − kxk 2 vợi P 1 0
2ktk 2 vợi t = (t1, t2), f1(0, t) = hq, ti = t1 −2t2, ktk 2 = t 2 1 +t 2 2 nản ϕ0(t) = 1
Thuêt toĂn song song v sỹ hởi tử
Thuêt toĂn 2 Thuêt toĂn tĂch song song
Bữợc 1 Cho x n , tẵnh y n , z n , x n+1 v t n+1 nhữ sau: y n = arg min{λ n f 1 (x n , t) + 1
Pn+1 k=1λ k Bữợc 2 Cêp nhêt n := n+ 1 v quay lÔi bữợc 1.
Sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 2 ữủc cho bði ành lỵ dữợi Ơy GiÊ sỷ rơng tĐt cÊ cĂc iãu kiằn (B 1 ) −(B 3 ) ữủc thoÊ mÂn; song h mfi l T i −Hăolder liản tửc theo bián thự nhĐt ho°c thự hai (i = 1,2) Thảm nỳa.
{t n } ữủc sinh ra bði Thuêt toĂn 2 hởi tử yáu án mởt phƯn tỷ cừa têp S. Chựng minh Tứ (2.2) suy ra rơng hx n −y n , x−x n i ≤ λ n [f 1 (x n , x)−f 1 (x n , y n )]− kx n −y n k 2 , x ∈ C. T÷ìng tü, ta câ hx n −z n , x−x n i ≤ λn[f1(x n , x)−f2(x n , z n )]− kx n −z n k 2 , x ∈ C.
Bơng cĂch cởng hai bĐt ¯ng thực cuối v sỷ dửng x n+1 = y n + z n
Do â, kx n+1 −xk 2 = kx n −xk 2 +kx n+1 −x n k 2 + 2hx n+1 −x n , x n −xi
PhƯn cỏn lÔi cừa viằc chựng minh tữỡng tỹ nhữ chựng minh ành lỵ 2.2. Vẵ dử 2.2 Cho h m f : R×R → R C = H = R f 1 (x, y) =hP x+Qx+q;y −xi f 2 (x, y) =kyk 2 − kxk 2 vợi P 1 0
Bài toán cơn bơng có nhiều ứng dụng thực tiễn, chủ yếu trong vật lý, trong ngành kỹ thuật, lý thuyết trò chơi, trong vận tải, kinh tế, và hệ thống mạng Bài toán cơn bơng bao gồm các bài toán quan trọng như bài toán lỗi, bất đẳng thức biến phân, định lý Kakutani, bài toán minimax, và mô hình cơn bơng Nash Hai thuật toán lập mới được dựa trên thuật toán tách rời nhằm giải các bài toán cơn bơng cho bối cảnh hai sóng hàm, trong đó ta có thể xử lý mọi phần của sóng hàm bằng cách áp dụng các lớp Ta cũng chứng minh tính khả thi của thuật toán.
Luên vôn  ã cêp nhỳng vĐn ã sau:
1 Trẳnh b y mởt cĂch hằ thống cĂc kián thực cỡ bÊn nhĐt vã b i toĂn cƠn bơng theo bĐt ¯ng thực Ky Fan.
2 Giợi thiằu thuêt toĂn tĂch giÊi mởt lợp b i toĂn cƠn bơng trong khổng gian Hilbert thỹc Sỹ hởi tử cừa thuêt toĂn  ữủc phƠn tẵch v chựng minh chi tiát.
[1] Nguyạn Vôn Hiãn, Lả Dụng Mữu, Nguyạn Hỳu iºn (2005), Nhêp mổn giÊi tẵch lỗi ựng dửng, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi
[2] Lả Dụng Mữu (2003), "B i toĂn cƠn bơng", preprint, Viằn ToĂn hồc, VAST.
[3] TrƯn Vụ Thiằu, Nguyạn Thà Thu Thừy (2011), GiĂo trẳnh tối ữu phi tuyán, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi.
[4] Ho ng Tửy (2010), H m thỹc v giÊi tẵch h m, NXB Ôi hồc Quốc gia
[5] E Blum and W Oettli (1994), From Optimization and variational in- equality to equilibrium problems, The Math Student 63, pp 127-149.
[6] Trinh Ngoc Hai and Nguyen The Vinh (2017), "Two new splitting algo- rithms for equilibrium problems", RACSAM, 111, Issue 4, pp 10511069. DOI: 10.1007/s13398-016-0347-6.
[7] Igor Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational In- equalities, Springer.
[8] G.M.Korpelevich (1976), The extragradient method for finding saddle points and other problems, Ekon Math.Metody 12, pp 747-756.
[9] L.D.Muu and W Oettli (1992), Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria, Nonlin Anal TMA 18, pp. 1159-1166.
[10] R.T.Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press,Princeton, New Jersey.