Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu khái niệm về dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas, cùng với công thức tổng quát của chúng Hai dãy số này là nghiệm của một phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với điều kiện ban đầu khác nhau Để hiểu rõ hơn, chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất và trình bày công thức nghiệm khi đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Phương trình có dạng u n+1 = Au n + Bu n − 1, với A và B là các hằng số, được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Để tìm nghiệm của phương trình này, chúng ta cần xét phương trình bậc hai λ 2 − Aλ − B = 0.
Phương trình bậc hai được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai phân (1.1) Định lý 1.1.2 cho biết rằng nếu phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α và β, thì phương trình sai phân (1.1) có nghiệm dạng u n = C 1 α n + C 2 β n, với n = 0, 1, 2, , trong đó C 1 và C 2 là các hằng số tùy ý.
Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầu u 0 và u 1 thì các hằng số C 1 và C 2 hoàn toàn được xác định.
Ví dụ 1.1.3 Tìm nghiệm của phương trình sai phân u n+1 = 5u n − 6u n − 1 (1.4) với điều kiện ban đầu u 0 = 0, u 1 = −1.
Giải Phương trình đặc trưng của phương trình (1.4) là λ 2 − 5λ + 6 = 0.
Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là 2 và 3 Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) là u n = C 1 2 n + C 2 3 n , n = 0, 1,
Từ điều kiện ban đầu u 0 = 0, u 1 = −1 ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình này ta đượcC 1 = 1, C 2 = −1 Vậy nghiệm của phương trình (1.4) với điều kiện ban đầu u 0 = 0, u 1 = −1 là u n = 2 n − 3 n , n = 0, 1,
Trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α và β, phương trình sai phân (1.1) kết hợp với điều kiện ban đầu u0 và u1 sẽ xác định một dãy số {un} với công thức un = aαn - bβn / (α - β), trong đó a và b được tính bằng a = u1 - u0β và b = u1 - u0α.
Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas sẽ được nghiên cứu dựa trên lý thuyết phương trình sai phân Dãy số Jacobsthal, ký hiệu là {J n }, được định nghĩa như sau.
J 0 = 0, J 1 = 1 và J n+2 = J n+1 + 2J n , với n ≥ 0 (1.5) b) Dãy số Jacobsthal–Lucas {j n } được xác định bởi j 0 = 2, j 1 = 1 vàj n+2 = j n+1 + 2j n , với n ≥ 0 (1.6)
Từ công thức (1.5) and (1.6) ta có bảng các số hạng đầu tiên của các dãy số
Theo các công thức (1.5) và (1.6), với n ≥ 1, tất cả các giá trị của J n và j n đều là số lẻ, đây là đặc trưng đầu tiên của hai dãy số này.
Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas được xác định bởi cùng một phương trình sai phân, tuy nhiên, chúng khác nhau về điều kiện ban đầu Phương trình sai phân này có phương trình đặc trưng là x² - x - 2 = 0.
Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt α = 2, β = −1 Do vậy, theo Định lý 1.1.2 cả hai dãy có số hạng tổng quát dạng
Với điều kiện ban đầu J 0 = 0 và J 1 = 1 ta tìm được C 1 = 1 3 , C 2 = − 3 1 Do đó công thức tổng quát cho J n là
Tương tự, với điều kiện ban đầu j 0 = 2 và j 1 = 1 ta thu được C 1 = C 2 = 1 Do đó, công thức tổng quát cho j n là j n = α n + β n = 2 n + (−1) n , với n ≥ 0.
Công thức tổng quát này được biết đến là công thức Binet cho dãy Jacobsthal và công thức Binet cho dãy Jacobsthal–Lucas Do đó, chúng ta có thể rút ra mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.1.5 (Công thức Binet) Với số nguyên n ≥ 0, ta có
Một số tính chất cơ bản
Trong bài viết trước, chúng ta đã tìm hiểu về định nghĩa và công thức Binet để xác định số hạng tổng quát của hai dãy số J n và j n Ở phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số tính chất cơ bản của hai dãy số này, bắt đầu bằng công thức Simson.
Mệnh đề 1.2.1 (Công thức Simson) Với mọi số nguyên n ≥ 1, ta có
Chứng minh Theo công thức Binet, ta có J n = 1 3 (2 n − (−1) n ) Suy ra
Tương tự, sử dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas ta chứng minh được j n+1 j n − 1 − j n 2 = (−1) n − 1 2 n − 1 Suy ra j n+1 j n − 1 − j n 2 = −9 J n+1 J n − 1 − J n 2
Mệnh đề sau đây cho ta tổng của các số hạng đầu của dãy số Jacobsthal và của dãy số Jacobsthal–Lucas.
Mệnh đề 1.2.2 a) Với n ≥ 2, ta có n
Chứng minh Ta chứng minh đẳng thức (1.7) bằng quy nạp theo n Đẳng thức (1.8) được chứng minh tương tự.
Dễ dàng thấy rằng đẳng thức (1.7) đúng với n = 2 Giả sử đẳng thức đúng với n Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n + 1, tức là n+1
Theo nguyên lý quy nạp toán học ta có điều cần chứng minh.
Mệnh đề sau đây cho ta một số đẳng thức liên quan đến dãy số Jacobsthal {J n } và dãy số Jacobsthal–Lucas {j n }.
Mệnh đề 1.2.3 Các đẳng thức sau đây là đúng: j n J n = J 2n , (1.9) j n = J n+1 + 2J n − 1 , (1.10)
Để chứng minh các đẳng thức, chúng ta chỉ cần áp dụng công thức Binet và thực hiện một số phép tính đơn giản Bài viết này sẽ trình bày chứng minh cho một số đẳng thức đầu tiên, trong khi các đẳng thức khác có thể được chứng minh theo cách tương tự Đặc biệt, chúng ta sẽ bắt đầu với đẳng thức (1.9) bằng cách sử dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas, từ đó cho thấy rằng j n J n = 1.
Tương tự, ta chứng minh đẳng thức (1.10) Tiếp tục sử dụng các công thức Binet, ta có:
Thay công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas vào vế trái của đẳng thức (1.11) ta được: j n+1 + 2j n − 1 = 2 n+1 + (−1) n+1 + 2 2 n − 1 + (−1) n − 1
Bằng cách áp dụng công thức Binet cho dãy Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas, chúng ta có thể biến đổi cả hai vế của đẳng thức (1.12).
Suy ra đẳng thức (1.12) là đúng Các đẳng thức còn lại trong mệnh đề được chứng minh hoàn toàn tương tự.
Dãy tổng riêng
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá các tính chất của dãy tổng riêng các phần tử đầu tiên của dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas Cụ thể, chúng tôi sẽ xem xét các dãy số được xác định theo cách nhất định.
Theo định nghĩa, ta có bảng 10 giá trị đầu của T n và ˆ n như sau: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ã ã ã
Theo Mệnh đề 1.2.2, ta có n
Từ đó, ta có thể chứng minh được công thức truy hồi xác định các dãy { T n } và {ˆ n } như trong mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.3.1 Với n ≥ 0, ta có
Chứng minh Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1.25) Đẳng thức (1.26) được chứng minh tương tự Theo nhận xét ở trên, ta có
Theo định nghĩa của dãy Jacobsthal ta lại có J n+4 + 2J n+3 = J n+5 Do đó, ta có
2 = T n+2 Suy ra điều cần chứng minh.
Mệnh đề tiếp theo cho ta công thức tổng quát của các dãy số T n và ˆ j n. Mệnh đề 1.3.2 (Công thức Binet) Với n ≥ 0, ta có
Để chứng minh các công thức liên quan đến dãy Jacobsthal và Jacobsthal–Lucas, chúng ta có thể áp dụng lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất Tuy nhiên, một cách đơn giản hơn là sử dụng công thức Binet kết hợp với mối liên hệ giữa các dãy này và các dãy T n cùng với ˆ j n.
Thật vậy, như ta đã nhận xét ở đầu mục này, ta có
2 Mặt khác, áp dụng công thức Binet cho dãy Jacobsthal ta có
Do đó, với tính toán đơn giản, ta thu được
Nói cách khác, công thức tổng quát (1.27) được chứng minh.
2 Theo công thức Binet cho dãy số Jacobsthal–Lucas, ta lại có j n+2 = 2 n+2 + (−1) n+2
Vậy công thức (1.28) được chứng minh.
Bằng cách áp dụng các công thức Binet đã được chứng minh, chúng ta có thể xác nhận công thức Simson cho các dãy số Tn và ˆjn như được nêu trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.3.3 (Công thức Simson) Với n ≥ 1, ta có
Chứng minh Trước tiên ta sử dụng công thức Binet cho T n để chứng minh (1.29) Cụ thể như sau:
Ta tiếp tục sử dụng công thức Binet cho ˆ j n ta sẽ chứng minh được (1.30).
Mệnh đề tiếp theo cho ta công thức xác định tổng của n số hạng đầu tiên của các dãy số T n và ˆ j n.
Mệnh đề 1.3.4 Với n ≥ 1, ta có n
Chứng minh Ta chứng minh (1.31) và (1.32) bằng phương pháp quy nạp Ở đây, chúng tôi chứng minh (1.31), còn lại (1.32) được chứng minh tương tự.
Từ bảng giá trị của 10 giá trị đầu tiên của T n và ˆ n, chúng ta có thể thấy rằng công thức (1.31) đúng với n = 1 và n = 2 Giả sử công thức (1.31) đúng với n, nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh rằng nó cũng đúng với n + 1, tức là cần phải chứng minh cho trường hợp n + 1.
Suy ra điều cần phải chứng minh.
Mệnh đề sau đây sẽ cho chúng ta một số đẳng thức thú vị liên quan đến các dãy số T n và ˆ j n.
Mệnh đề 1.3.5 Các đẳng thức sau đây là đúng:
Để chứng minh các đẳng thức liên quan, chúng ta chỉ cần áp dụng công thức Binet của các dãy số tương ứng và thực hiện các phép tính đơn giản Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày chứng minh cho một số đẳng thức đầu tiên, trong khi các đẳng thức còn lại có thể được chứng minh theo cách tương tự.
Trước tiên ta chứng minh đẳng thức (1.33) Sử dụng công thức Binet cho T n và ˆ j n ta được:
Vậy VT=VP và (1.33) đã được chứng minh.
Bằng cách sử dụng công thức Binet, ta chứng minh được (1.34) Cụ thể như sau
Vậy VT=VP và (1.34) đã được chứng minh.
Trong chương này, luận văn sẽ trình bày các kết quả của ˇCerin về tổng bình phương và tổng đan dấu bình phương của các số Jacobsthal với chỉ số chẵn hoặc lẻ Bên cạnh đó, cũng sẽ được đề cập đến tổng và tổng đan dấu của các tích hai số Jacobsthal liên tiếp Các khái niệm và tính chất cơ bản của dãy số Jacobsthal J n và dãy số Jacobsthal–Lucas j n đã được giới thiệu trong chương trước.
Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số chẵn
Nhắc lại rằng dãy số Jacobsthal {J n } và dãy số Jacobsthal–Lucas {j n } lần lượt được xác định bởi các công thức truy hồi
Số hạng tổng quát của hai dãy số này lần lượt được xác định bởi các công thức
Bây giờ, với số nguyên n bất kỳ, ta đặt β n = 2 4n+2 − 1
5 vàη = 2 4n+4 + 1 = j 4n+4 Khi đó ta có hai bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.1 Với mọi m ≥ 0 , k ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có đẳng thức sau:
Chứng minh Để chứng minh (2.1) ta sẽ khai triển hai vế, sau đó ta sẽ chứng minh sự khác nhau của hai vế bằng 0 Ta có β n+1 γ n+1 = 2 4n+6 − 1
− 2 8n+4 + 2.2 4n+2 (−1) 4n+2 − (−1) 8n+4 ]. Để thuận tiện cho việc biến đổi và tính toán ta đặtA = 2 2k , B = 2 8n vàC = 2 4n Khi đó ta được
Ta thấy sự khác nhau giữa vế trái và vế phải trong (2.1) là
Rõ ràng tất cả các số hạng trong biểu thức trên đều bằng 0 Vậy bổ đề được chứng minh.
Với n = 0, 1, 2, , ta lại đặt η n = 2 4n+4 + 1 = j 4n+4 Ta có bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.1.2 Với mọi m ≥ 0 , k ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có
Trong chứng minh này, chúng ta thực hiện các bước tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.1.1 Qua đó, ta nhận thấy sự khác biệt giữa vế trái và vế phải của đẳng thức (2.2).
Ta nhận thấy tất cả các số hạng của biểu thức này đều bằng 0 nên bổ đề đươc chứng minh.
Định lý chính của mục này đề cập đến tổng bình phương của số Jacobsthal với chỉ số chẵn Cụ thể, Định lý 2.1.3 khẳng định rằng với mọi m ≥ 0 và k ≥ 0, ta có m.
Chứng minh Ta chứng minh đẳng thức (2.3) bằng phương pháp quy nạp theo n Với n = 0 ta có
J 2k 2 = J 0 2 + β 0 J 2k [γ 0 J 2k + 8τ 0 ] = J 2k J 2k = J 2k 2 vì J 0 = 0, β 0 = 1, γ 0 = 1 và τ 0 = 0 Vậy đẳng thức đúng khi n = 0.
Giả sử đẳng thức (2.3) đúng khi n = r Khi đó, ta có
J 2i 2 + β r+1 J 2k [γ r+1 J 2k + 8τ r+1 ] , trong đó, bước cuối cùng ta áp dụng Bổ đề 2.1.1 với n = r + 1 Vì vậy (2.3) đúng với n = r + 1 và chứng minh đẳng thức (2.3) được hoàn thành.
Tương tự, ta chứng minh đẳng thức (2.4) bằng phương pháp quy nạp theo n Với n = 0 ta có
J 2k 2 + J 2k+2 2 = J 0 2 + J 2 2 + τ 1 J 2k [η 0 J 2k + 8β 0 ] = 17J 2k 2 + 8J 2k + 1, vì J 0 = 0, J 1 = 1, β 0 = 1, η 0 = 17 và τ 1 = 1 Đẳng thức trên tương đương với
J 2k+2 2 = 16J 2k 2 + 8J 2k + 1 = (4J 2k + 1) 2 Từ mối quan hệ J n+2 = 4J n + 1 ta thấy đẳng thức này là đúng Vậy, đẳng thức (2.4) đúng với n = 0.
Giả sử (2.4) đúng với n = r Khi đó, ta có
Trong bài viết này, chúng ta có công thức J 2i 2 + τ r+2 J 2k [η r+1 J 2k + 8β r+1 ] Ở bước cuối cùng, chúng ta áp dụng Bổ đề 2.1.2 với n = r + 1, từ đó suy ra đẳng thức (2.4) đúng với n = r + 1 Theo nguyên lý quy nạp toán học, điều cần chứng minh đã được xác nhận.
Tổng bình phương số Jacobsthal chỉ số lẻ
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một tính chất liên quan đến tổng bình phương của các số Jacobsthal với chỉ số lẻ Để làm rõ điều này, trước tiên, chúng ta cần xem xét một số bổ đề cần thiết.
Bổ đề 2.2.1 Với mọi k ≥ 0, ta có
Bổ đề J 2k+1 2 = 16J 2k J 2k − 2 + 8J 2k + 1 được chứng minh bằng cách sử dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal Qua việc khai triển hai vế, chúng ta có thể chứng minh rằng sự khác nhau giữa hai vế bằng 0.
Đặt M = 2 k vàP = (−1) k Khi đó sự khác nhau giữa vế trái và vế phải là
Vì P = (−1) k nên ta có P − 1 = 0 hoặc P + 1 = 0 Do đó sự khác nhau giữa hai vế của đẳng thức luôn bằng 0.
Bổ đề 2.2.2 Với mọi k > 0 , ta có
Để chứng minh bổ đề này, ta áp dụng công thức Binet để khai triển hai vế của đẳng thức, với M = 2^k và P = (-1)^k Sự khác nhau giữa VT và VP sẽ được xác định từ các giá trị này.
Do đó sự khác nhau giữa 2 vế của đẳng thức luôn bằng 0 và bổ đề được chứng minh. Đặt π n = 2 4n+1 − 1
3 = J 4n+1 , với n = 0, 1, 2, Ta có bổ đề tiếp theo.
Bổ đề 2.2.3 Với mọi m > 0 và k> 0 , ta có
Chứng minh rằng J 2k+4n+5 2 + J 2k+4n+3 2 − J 4n+5 2 − J 4n+3 2 có thể được thực hiện bằng cách khai triển hai vế tương tự như trong Bổ đề 2.1.1, sử dụng các ký hiệu A, B, C Qua đó, ta nhận thấy sự khác nhau giữa VT và VP.
Ta nhận thấy tất cả các hệ số của biểu thức đều bằng 0 Suy ra điều cần chứng minh.
Bổ đề 2.2.4 Với mọi m > 0 và k> 0 , ta có
Để chứng minh, chúng ta tiếp tục áp dụng phương pháp tương tự như trong chứng minh đẳng thức (2.1) Qua việc khai triển, ta có thể nhận diện sự khác biệt giữa VT và VP.
Ta nhận thấy tất cả các hệ số của biểu thức đều bằng 0 Vậy bổ đề được chứng minh. Định lý 2.2.5 Với mọi m> 0 và k > 0 , ta có m
Chứng minh Ta chứng minh (2.9) bằng phương pháp quy nạp theo n Thật vậy khi n = 0 ta có
J 2k+1 2 = J 1 2 + 8β 0 J 2k [2γ 0 J 2k − 2 + π 0 ] = 1 + 8J 2k [2J 2k − 2 + 1] , vì J 1 = 1, β 0 = 1, γ 0 = 1 và π 0 = 1 Đẳng thức đúng bởi Bổ đề 2.2.1.
Giả sử (2.9) đúng với n = r Khi đó
J 2i+1 2 + 8β n+1 J 2k [2γ n+1 J 2k − 2 + π n+1 ] , trong đó, bước cuối cùng ta sử dụng Bổ đề 2.2.3 với n = r + 1 Vậy đẳng thức (2.9) đúng với n = r + 1, do đó, đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp toán học.
Tiếp tục sử dụng phương pháp quy nạp theo n để chứng minh đẳng thức (2.10) Khi n = 0 ta có
= 10 + 8J 2k [34J 2k − 2 + 15] , vì J 1 = 1, J 3 = 3, τ 1 = 1, η 0 = 17 và σ 0 = 15 Đẳng thức đúng bởi Bổ đề 2.2.2. Giả sử (2.10) đúng với n = r Khi đó
J 2i+1 2 + 8τ r+2 J 2k [2η r+1 J 2k − 2 + σ r+1 ] ,trong đó, bước cuối cùng ta sử dụng Bổ đề 2.2.4 với n = r + 1 Vậy (2.10) đúng với n = r + 1 Định lý hoàn toàn được chứng minh.
Tích của số Jacobsthal
Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số tính chất liên quan đến tổng các tích của hai số Jacobsthal liên tiếp Đầu tiên, chúng ta sẽ nêu ra một số bổ đề quan trọng để hỗ trợ cho các phân tích tiếp theo.
Bổ đề 2.3.1 Với mọi k > 0 , ta có
Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh (2.11) Từ công thức J k = 2 k − (−1) k
Vậy đẳng thức (2.11) là đúng.
Để chứng minh đẳng thức (2.12), chúng ta sẽ áp dụng công thức Binet để khai triển hai vế của đẳng thức Tiếp theo, bằng cách thay M = 2k và P = (-1)k, chúng ta sẽ xác định sự khác biệt giữa VT và VP.
Ta dễ dàng nhận ra (P − 1)(P + 1) = 0 với P = (−1) k Vậy chứng minh được hoàn thành.
Bổ đề 2.3.2 Với mọi m > 0 and k > 0 , ta có
Chứng minh Để chứng minh bổ đề này ta cũng áp dụng phương pháp khai triển
2 vế của đẳng thức sau đó cho A = 2 2k , B = 2 8n vàC = 2 4n Ta thu được sự khác nhau của 2 vế đẳng thức là
Ta có thể dễ dàng nhận thấy các số hạng trong biểu thức trên đều bằng 0 Do đó VT = VP và bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.3.3 Với mọi m > 0 and k > 0 , ta có
Chứng minh Để chứng minh (2.14) ta thực hiện các bước biến đổi và cho A =
2 2k , B = 2 8n và C = 2 4n tương tự như các chứng minh trên Cụ thể, ta sẽ tìm được sự khác nhau giữa 2 vế của đẳng thức sau khi khai triển là
Do các số hạng trong biểu thức đều bằng 0, ta có VT = VP, từ đó chứng minh được bổ đề Định lý 2.3.4 là kết quả chính trong mục này, với mọi m > 0 và k > 0, sử dụng kí hiệu đã nêu.
Chứng minh Ta dùng phương pháp quy nạp theo n để chứng minh 2 đẳng thức của định lý Trước tiên ta chứng minh đẳng thức (2.15) Với n = 0 ta có (2.15) là
J 2k J 2k+1 = J 0 J 1 + β 0 J 2k (8γ 0 J 2k − 2 + à 0 ) = J 2k (8J 2k − 2 + 3) Đẳng thức này đúng vì J 2k+1 = 8J 2k − 2 + 3 bởi (2.11) trong Bổ đề 2.3.1.
Giả sử (2.15) đúng với n = r Khi đó
J 2i J 2i+1 + β n+1 J 2k [8γ n+1 J 2k − 2 + à n+1 ] , trong đó, bước cuối cùng ta sử dụng Bổ đề 2.3.2 với n = r + 1 Vậy đẳng thức (2.15) đúng với n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp.
Tương tự ta chứng minh (2.16) như sau: với n = 0 ta có (2.16) là:
= 3 + J 2k (136J 2k − 2 + 55) Đẳng thức này đúng bởi (2.12) trong Bổ đề 2.3.1.
Giả sử (2.16) đúng với n = r Khi đó
J 2i J 2i+1 + τ n+2 J 2k [8η n+1 J 2k − 2 + ν n+1 ] , trong đó, bước cuối cùng ta sử dụng Bổ đề 2.3.3 với n = r + 1 Vậy (2.16) cũng đúng với n = r + 1 Suy ra điều phải chứng minh.
Tổng đan dấu bình phương của số Jacobsthal chỉ số chẵn
Trong phần này, chúng tôi sẽ khám phá tổng đan dấu bình phương của các số Jacobsthal chỉ số chẵn Trước khi đi vào định lý chính, cần phải trình bày một số bổ đề liên quan.
Bổ đề 2.4.1 Với mọi k ≥ 0, ta có
Chứng minh Để chứng minh bổ đề chúng ta chỉ cần sử dụng công thức Binet cho dãy số Jacobsthal J k = 2 k − (−1) k
Bổ đề 2.4.2 Với mọi k ≥ 0, ta có
Để chứng minh bổ đề này, chúng ta áp dụng phương pháp quen thuộc bằng cách sử dụng công thức Binet để khai triển hai vế Sử dụng các kí hiệu M và P như các phần trước, chúng ta sẽ chứng minh rằng sự khác nhau của hai vế bằng 0 Qua các phép tính đơn giản, chúng ta có thể xác định sự khác nhau giữa hai vế.
Ta có thể dễ dàng thấy được với P = (−1) k thì biểu thức trên bằng 0. Đặt τ 0 ∗ = 1 và τ n+1 ∗ − τ n ∗ = 2 4n+3 50 ã 2 4n − 1
, với n = 0, 1, 2, Với mỗi n = 0, 1, 2, ta đặt γ n ∗ = 2 8n+4 + 1
Bổ đề 2.4.3 Với mọi k ≥ 0, n ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có
Để chứng minh bổ đề, chúng ta sẽ khai triển hai vế theo công thức Binet và sử dụng các kí hiệu A, B, C đã được xác định trước đó Tiếp theo, cần chứng minh rằng sự khác nhau giữa VT và VP bằng 0 Cụ thể, sự khác nhau giữa VT và VP được thể hiện rõ ràng.
Thật vậy ta dễ dàng thấy các hệ số của biểu thức trên bằng 0. Đặt β 0 ∗ = 23 và β n+1 ∗ − β n ∗ = 2 4n+5 200 ã 2 4n − 1 với n = 0, 1, 2, Với mỗi n = 0, 1, 2, đặt η n ∗ =
Bổ đề 2.4.4 Với mọi k ≥ 0 n ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có
(2.20) Chứng minh Sau khi khai triển và biến đổi, ta tìm được sự khác nhau của 2 vế đẳng thức là
Dễ dàng quan sát thấy được tất cả các hệ số của biểu thức trên đều bằng 0.Vì vậy VT = VP.
Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày và chứng minh định lý quan trọng nhất của phần này. Định lý 2.4.5 Với mọi m ≥ 0 và k ≥ 0, ta có m
Chứng minh Để chứng minh định lý trên ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp theo n Trước tiên ta sẽ chứng minh (2.21).
Với n = 0 đẳng thức (2.21) có dạng
J 2k 2 = J 0 2 + J 2k (4γ 0 ∗ J 2k − 2 + τ 0 ∗ ) = J 2k (4J 2k − 2 + 1) Đẳng thức là đúng bởi Bổ đề 2.4.1.
Giả sử đẳng thức đúng với n = r Khi đó
Ta áp dụng Bổ đề 2.4.3 với n = r + 1 ở bước cuối cùng, từ đó suy ra đẳng thức đúng với n = r + 1 Nhờ nguyên lý quy nạp, đẳng thức này cũng đúng với mọi n Tiếp theo, ta sẽ chứng minh đẳng thức (2.22), bắt đầu với trường hợp n = 0.
− J 2k [4η 0 ∗ J 2k − 2 + β 0 ∗ ] = −1 − J 2k [60J 2k − 2 + 23] Đẳng thức đúng bởi Bổ đề 2.4.2.
Giả sử (2.22) đúng với n = r Khi đó
Ta sử đụng Bổ đề 2.4.4 với n = r + 1 ở bước cuối cùng Vậy đẳng thức đúng với n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp.
Tổng đan dấu bình phương của số Jacobsthal chỉ số lẻ
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày về tổng đan dấu bình phương của số Jacobsthal chỉ số lẻ.
Chúng ta sẽ bắt đầu với một số bổ đề thú vị sau đây.
Bổ đề 2.5.1 Với mọi k ≥ 0, ta có
Để chứng minh bổ đề này, chúng ta áp dụng phương pháp quen thuộc bằng cách sử dụng công thức Binet để triển khai hai vế Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu M và P để chứng minh rằng sự khác nhau giữa hai vế bằng 0.
Cụ thể ta tìm được sự khác nhau của hai vế là
Ta có thể dễ dàng thấy được với P = (−1) k thì biểu thức trên bằng 0 Vậy
Bổ đề 2.5.2 Với mọi k ≥ 0, ta có
Chứng minh Chứng minh Bổ đề 2.5.2 tương tự như chứng minh Bổ đề 2.5.1.
Ta tìm được sự khác nhau của hai vế là
Dễ thấy biểu thức bằng 0. Đặt τ 0 ∗∗ = 1 và τ n+1 ∗∗ − τ n ∗∗ = 101 ã 2 4n+1 + 25 ã 2 4n+3 2 4n − 1 với n = 0, 1, 2,
Bổ đề 2.5.3 Với mọi k ≥ 0, m ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta được
Để chứng minh bổ đề, chúng ta áp dụng phương pháp khai triển hai vế theo công thức Binet, kết hợp với các ký hiệu A, B, C đã được xác định trước đó Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng sự khác nhau giữa VT và VP bằng 0 Cụ thể, sự khác biệt giữa VT và VP được thể hiện rõ ràng.
Dễ thấy tất cả hệ số của biểu thức trên đều bằng 0 Vì vậy VT = VP. Đặt β 0 ∗∗ = 13 và β n+1 ∗∗ − β n ∗∗ = 401 ã 2 4n+3 + 100 ã 2 4n+5 2 4n − 1 với mỗi n =
Bổ đề 2.5.4 Với mọi k ≥ 0, n ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta được
Để chứng minh bổ đề trên, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.5.3 Cụ thể, chúng ta cần xác định sự khác biệt giữa hai vế.
Dễ thấy tất cả các hệ số của biểu thức trên đều bằng 0.
Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày định lý là nội dung chính của mục này. Định lý 2.5.5 Với mọi m ≥ 0 và k ≥ 0, ta có m
Chứng minh Để chứng minh định lý trên, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp theo n.
Trước tiên ta chứng minh đẳng thức (2.27).Với n = 0 đẳng thức (2.27) có dạng
J 2k+1 2 = J 1 2 + 8J 2k (2γ 0 ∗ J 2k − 2 + τ 0 ∗∗ ) Đẳng thức đúng bởi Bổ đề 2.5.1.
Giả sử đẳng thức (2.27) với n = r khi đó
Ta sử đụng Bổ đề 2.5.3 với n = r + 1 ở bước cuối cùng Vậy đẳng thức đúng với n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp.
Tiếp theo ta chứng minh đằng thức (2.28) Với n = 0 đẳng thức (6.6)có dạng
J 2k+1 2 − J 2k+3 2 = J 1 2 − J 3 2 − 8J 2k [2η ∗ 0 J 2k − 2 + β 0 ∗∗ ] Đẳng thức đúng bởi Bổ đề 2.5.2 khi η 0 ∗ = 15 và β 0 ∗∗ = 13.
Giả sử đẳng thức (2.28) đúng với n = r Khi đó
Ta sử đụng Bổ đề 2.5.4 với n = r + 1 ở bước cuối cùng Vậy đẳng thức đúng với n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp.
Tổng đan dấu của các tích hai số Jacobsthal liên tiếp
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày tổng đan dấu của tích hai số Jacobsthal liên tiếp Trước tiên, chúng ta sẽ khám phá một số bổ đề liên quan.
Bổ đề 2.6.1 Với mọi k ≥ 0, ta có
Để chứng minh bổ đề này, chúng ta áp dụng phương pháp quen thuộc bằng cách sử dụng công thức Binet để khai triển hai vế Tiếp theo, chúng ta sử dụng ký hiệu M và P để minh họa và cuối cùng chứng minh rằng sự khác nhau của hai vế bằng 0.
Cụ thể ta tìm được sự khác nhau của hai vế là biểu thức:
Ta có thể dễ dàng thấy được sự khác nhau của hai vế bằng 0 Do đó VT VP.
Bổ đề 2.6.2 Với mọi k ≥ 0 và n ≥ 0, ta có
Để chứng minh bổ đề, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khai triển hai vế theo công thức Binet, kết hợp với các ký hiệu A, B, C đã được xác định trước đó Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng sự khác nhau giữa VT và VP bằng 0 Cụ thể, sự khác nhau giữa VT và VP được thể hiện rõ ràng.
Dễ thấy tất cả hệ số của biểu thức trên đều bằng 0 Vì vậy bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.6.3 Với mọi k ≥ 0 , n ≥ 0 và sử dụng kí hiệu trên ta có
Để chứng minh bổ đề này, ta tiến hành khai triển hai vế và kết hợp sử dụng các ký hiệu A, B, C Qua đó, chúng ta có thể xác định sự khác biệt giữa VT và VP.
Ta dễ thấy tất cả các hệ số của biểu thức trên đều bằng 0 Vì vậy VT = VP.
Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày và chứng minh định lý là nội dung chính của mục này. Định lý 2.6.4 Với mọi m ≥ 0 và k ≥ 0 ta có m
Chứng minh Ta sẽ chứng minh định lý trên bằng phương pháp quy nạp theon. Trước tiên chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức (2.31) Với n = 0 đẳng thức (2.31) có dạng
J 2k J 2k+1 = J 0 J 1 + J 2k [8γ 0 ∗ J 2k − 2 + τ 0 ∗∗∗ ] = J 2k [8J 2k − 2 + 3] Đẳng thức đúng bởi (2.11) trong Bổ đề 2.3.1 khi J 0 = 0, J 1 = 1, γ 0 ∗ = 1 và τ 0 ∗∗∗ = 3.
Giả sử đẳng thức (2.31) đúng với n = r Khi đó
,trong đó, ta sử đụng Bổ đề 2.6.2 với n = r + 1 ở bước cuối cùng Vậy đẳng thức đúng với n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh đẳng thức (2.32) Với n = 0 đẳng thức (2.32) có dạng
J 2k [8η 0 ∗ J 2k − 2 + β 0 ∗∗∗ ] = −3 − J 2k [120J 2k − 2 + 49] Đẳng thức đúng bởi Bổ đề 2.6.1.
Giả sử đẳng thức (2.32) đúng với n = r Khi đó
,trong đó, ta sử đụng Bổ đề 2.6.3 với n = r + 1 ở bước cuối cùng Vậy đẳng thức đúng với n = r + 1 nên đúng với mọi n theo nguyên lý quy nạp.
Một số mở rộng của dãy số
Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm và các đặc điểm của hai loại mở rộng của dãy số Jacobsthal: dãy số Jacobsthal suy rộng và dãy số Jacobsthal suy rộng phức, dựa trên tài liệu tham khảo từ bài báo [1].
Dãy số Jacobsthal suy rộng
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu về dãy số Jacobsthal suy rộng, được xác định thông qua cùng một phương trình sai phân như dãy Jacobsthal, nhưng với điều kiện ban đầu khác Dãy số Jacobsthal suy rộng, ký hiệu là J n, được định nghĩa bởi một công thức truy hồi cụ thể.
J 0 = q, J 1 = p + q, J n = J n − 1 + 2J n − 2 , (n ≥ 2), (3.1) trong đó p, q là số nguyên tùy ý.
Theo định nghĩa, một số giá trị ban đầu của dãy số Jacobsthal suy rộng là: q, p + q, p + 3q, 3p + 5q, 5p + 11q, 11p + 21q, , (p + q)J n + 2qJ n − 1 , (3.2)
Dễ dàng thấy rằng với p = 1 và q = 0 ta sẽ được dãy Jacobsthal; với p = −1 và q = 2 ta được dãy Jacobsthal–Lucas.
Mệnh đề 3.1.2 Với mọi số nguyên n, các đẳng thức sau đây là đúng:
Chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức thứ nhất bằng phương pháp quy nạp Đẳng thức này đã được xác nhận đúng với các giá trị n = 0, 1, 2 Giả sử đẳng thức đúng với n ≥ 2, nhiệm vụ tiếp theo là chứng minh rằng nó cũng đúng với n + 1.
Thật vậy, sử dụng (3.1) và giả thiết quy nạp, ta có
= pJ n+1 + qJ n+2 Suy ra điều phải chứng minh. Đặt n = r trong (3.3)và sử dụng (3.1), ta có hệ quả sau:
Hệ quả 3.1.3 Với mọi số nguyên r, các đẳng thức sau là đúng:
Tổng quát hóa, ta thấy được mối quan hệ giữa dãy số Jacobsthal và Jacob- sthal suy rộng như sau:
Mệnh đề 3.1.4 Với n ≥ 1 và r ≥ 0, ta có
Chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức (3.5) bằng phương pháp quy nạp theo n Đầu tiên, từ các đẳng thức (3.3) và (3.4), ta xác nhận rằng đẳng thức đúng với n = 1, 2, 3 Tiếp theo, giả sử đẳng thức đúng với n ≥ 3, và chúng ta sẽ chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n + 1.
Thật vậy, sử dụng (3.1) và giả thiết quy nạp, ta có
=J n+1 J r+1 + 2 J n J r Suy ra điều phải chứng minh.
Ngoài ra, từ công thức (3.1) ta còn thu được
Sử dụng lý thuyết của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, chúng ta có thể dễ dàng xác định công thức tổng quát cho các số Jacobsthal suy rộng.
Mệnh đề 3.1.5 (Công thức Binet) Công thức tổng quát của dãy Jacobsthal suy rộng là:
Mệnh đề sau đây cho ta giới hạn tỷ số J n+1
J n Mệnh đề 3.1.6 Nếu J n là số Jacobsthal suy rộng, khi đó n lim →∞
Chứng minh Với dãy số Jacobsthal J n, ta đã có n lim →∞
= α, trong đó α = 2 Với dãy số Jacobsthal suy rộngJ n , sử dụng (3.3), ta có n lim →∞
Sử dụng công thức Binet như ở trên, ta dễ dàng có thể chứng minh các tính chất sau của dãy Jacobsthal suy rộng:
Mệnh đề 3.1.7 Các đẳng thức sau đây là đúng:
Chứng minh Ở đây, chúng tôi chứng minh đẳng thức (3.9), các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.
Theo công thức Binet, ta có
Mặt khác, theo công thức Binet, ta lại có
Từ đây suy ra đẳng thức (3.9) là đúng.
Dãy số Jacobsthal suy rộng phức
Định nghĩa 3.2.1 Dãy số Jacobsthal suy rộng phức được kí hiệu làC n và được định nghĩa như sau:
C n = J n + i J n+1 , n ≥ 0 (3.16) Như vậy, một số phần tử đầu tiên của dãy Jacobsthal suy rộng phức là: q + i(p + q), (p + q) + i(p + 3q), (p + 3q) + i(3p + 5q) (3p + 5q) + i(5p + 11q), , (p + i2q)J n + (q + i(p + q))J n+1 , ,
(3.17) trong đó, p, q là hai số nguyên tùy ý.
• Trường hợp đặc biệt 1: Từ dãy Jacobsthal suy rộng C n , cho p = 1, q = 0 trong (3.17), ta được dãy Jacobsthal phức như sau:
• Trường hợp đặc biệt 2: Từ dãy Jacobsthal suy rộng (C n ) cho p = −1, q = 2 trong (3.17) ta được dãy Jacobsthal - Lucas phức (C n = j − 1+4i,2+i) như sau:
Tương tự như các dãy số đã xét, bằng tính toán, ta dễ dàng kiểm tra được các tính chất sau đây của dãy Jacobsthal phức suy rộng:
Mệnh đề 3.2.2 Các đẳng thức sau là đúng:
Chúng tôi sẽ chứng minh đẳng thức (3.18) và các đẳng thức tương tự Theo định nghĩa của dãy số Jacobsthal mở rộng phức, chúng ta có
= (J n − 1J n+1 − J 2 n ) + ( J 2 n+1 − J n J n+2 ) + ( J n − 1J n+2 − J n J n+1 )i Áp dụng đẳng thức (3.11), ta có
=J n − 1J n+1 − J 2 n = (−1) n 2 n − 1 e J Thay vào đẳng thức ở trên ta được
C n − 1C n+1 − C 2 n = (−1) n 2 n − 1 (3 + i)e J Vậy đẳng thức (3.11) là đúng.
Dựa theo các tài liệu tham khảo, luận văn đã trình bày được một số vấn đề sau:
Dãy số Jacobsthal và dãy số Jacobsthal–Lucas là hai dãy số quan trọng trong toán học, với nhiều tính chất cơ bản đáng chú ý Dãy số Jacobsthal được định nghĩa bằng cách sử dụng công thức đệ quy, trong khi dãy số Jacobsthal–Lucas mở rộng khái niệm này với các yếu tố khác Một số tính chất nổi bật của hai dãy số này bao gồm các tổng riêng của các phần tử đầu tiên, cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa chúng và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Các số Jacobsthal có những tính chất đặc biệt liên quan đến tổng bình phương, bao gồm tổng bình phương của các số với chỉ số chẵn và lẻ Ngoài ra, tổng đan dấu bình phương của các số Jacobsthal cũng được nghiên cứu kỹ lưỡng cho cả hai loại chỉ số Bên cạnh đó, việc xem xét tổng và tổng đan dấu của các tích hai số Jacobsthal liên tiếp cũng mang lại những kết quả thú vị.
3 Khái niệm và một số tính chất của hai mở rộng của dãy số Jacobsthal.