Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn

10Chương 2 Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn có đặc số 2.1 Trường đóng đại số.. Điều này thúc đẩy chúng tôi tìm ra các lớp tam thức hoán vị mới với các hệ số tầm thường trên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN VĂN VIỆT

MỘT SỐ LỚP ĐA THỨC HOÁN VỊ TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN ĐẶC SỐ CHẴN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN VĂN VIỆT

MỘT SỐ LỚP ĐA THỨC HOÁN VỊ

TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN ĐẶC SỐ CHẴN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn

THÁI NGUYÊN - 2019

1.3 Đa thức hoán vị modulo một số tự nhiên 10

Chương 2

Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn có đặc số

2.1 Trường đóng đại số 142.2 Một số lớp tam thức hoán vị được trên trường hữu hạn

đặc số chẵn 21

Mở đầu

Đa thức hoán vị là một lĩnh vực nghiên cứu thú vị Chúng có cácứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như lý thuyết mã hóa, mật mã

và thiết kế tổ hợp Loại đa thức đơn giản nhất là đơn thức Một đơn

với nhị thức và tam thức thì tình huống không dễ dàng như vậy Chỉ cómột vài loại nhị thức hoán vị và tam thức được biết đến Chúng tôi đặcbiệt quan tâm đến các lớp tam thức hoán vị trên các trường hữu hạn vớiđặc số chẵn Chú ý rằng, không có nhị thức trên các trường hữu hạn cóđặc số chẵn Điều này thúc đẩy chúng tôi tìm ra các lớp tam thức hoán

vị mới với các hệ số tầm thường trên các trường hữu hạn với đặc sốchẵn Tuy nhiên, cho đến nay, một số ít các lớp tam thức hoán vị trên

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày chứng minh chi tiết năm lớptam thức hoán vị trên trường hữu hạn có đặc số chẵn Nội dung chínhcủa luận văn được trình bày thành hai chương:

Chương 1: Trường hữu hạn và nhập môn về đa thức hoán vị Trong

chương này, chúng tôi trình bày cấu trúc và số phần tử của trường hữuhạn, một số tính chất cơ bản của đa thức hoán vị trên trường hữu hạn

và đa thức hoán vị modulo một số tự nhiên.

Chương 2: Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn có đặc số

chẵn Chương này chúng tôi trình bày về một số tiêu chuẩn hoán vị của

đa thức và một số lớp tam thức hoán vị Đặc biệt ở chương này chúngtôi trình bày lại chi tiết các kết quả trong hai bài báo [4] của R Gupta

và R Sharama, [3] của C Ding, L Qu, Q Wang, J Yuan, P Yuan vềlớp tam thức hoán vị trên trường có đặc số chẵn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS TS Lê Thị ThanhNhàn Em chân thành cảm ơn cô Lê Thị Thanh Nhàn đã tận tình hướngdẫn em triển khai đề tài của luận văn này

Em chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số, khoa Toán-Tintrường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, những người đã tậntình giảng dạy và trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho em trong suốtquá trình học tập tại trường Vì thời gian và kiến thức còn hạn chếnên mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều nhưng luận văn khó tránh khỏinhững thiếu sót Em xin mong nhận được những ý kiến đóng góp củacác thầy cô và các bạn để luận văn của em được hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2019

Học viên

Nguyễn Văn Việt

Chương 1

Trường hữu hạn và nhập môn về đa thức hoán vị

Để chuẩn bị cho việc trình bày về đa thức hoán vị và một số lớp

đa thức hoán vị trên trường hữu hạn có đặc số chẵn ở Chương 2, trongchương này, chúng tôi trình bày cấu trúc và số phần tử của trường hữuhạn, một số tính chất cơ bản của đa thức hoán vị trên trường hữu hạn

và đa thức hoán vị modulo một số tự nhiên

và chỉ khi n nguyên tố Một số ví dụ về trường vô hạn như trường Qcác số hữu tỷ; trường R các số thực; trường C các số phức.

Định nghĩa 1.1.1 Trường hữu hạn là trường có hữu hạn phần tử.

Chú ý 1.1.2 Với mọi trường T , mọi phần tử a ∈ T và mọi số nguyên

• na = 0 nếu n = 0,

• na = a + + a (n hạng tử a) nếu n > 0,

• na = (−a) + + (−a) (−n hạng tử a) nếu n < 0

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử T là một trường Nếu tồn tại số nguyên

dương nhỏ nhất n sao cho n1 = 0, trong đó 1 là phần tử đơn vị của T ,

thì ta nói trường T có đặc số là n Nếu không tồn tại số n như vậy thì

ta nói trường T có đặc số là 0.

có đặc số p (với mọi số nguyên tố p)

Mệnh đề 1.1.4 Đặc số của một trường T hữu hạn là số nguyên tố.

nguyên n > m ta có (n − m)1 6= 0, tức là n1 6= m1 Vì thế T chứa tập{n1 | n ∈ Z} là tập vô hạn, vô lý Do đó T phải có đặc số p > 0.Giả sử p là hợp số Khi đó p = mn với 1 < m, n < p Ta cóp1 = 0 = mn1 = (m1)(m1) Do T là một trường nên (m1) = 0 hoặcn1 = 0, vô lý Do đó p là số nguyên tố

Tiếp theo, chúng ta cần nhắc lại một số khái niệm về không gianvéc tơ.

Định nghĩa 1.1.5 Cho T là một trường Một tập V có trang bị một

phép toán công với một ánh xạ T × V → V (gọi là phép nhân vôhướng) được gọi là một không gian véc tơ trên trường T hay một T -không gian véc tơ nếu phép cộng có tính chất giao hoán, kết hợp, cóphần tử 0, mọi phần tử của V đều có đối xứng và phép nhân vô hướngthỏa mãn các tính chất sau đây: với mọi x, y ∈ T và mọi α, β ∈ V tacó:

(i) Phân phối: (x + y)α = xα + yα và x(α + β) = xα + xβ;

(ii) Kết hợp: x(yα) = (xy)α;

(iii) Unita: 1α = α

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử V là một T - không gian véc tơ.

mọi phần tử x ∈ V đều có thể biểu thị tuyến tính theo hệ đó, tức

là ánh xạ tuyến tính nếu f(a + b) = f(a) + f(b)

và f(ra) = rf(a) với mọi a, b ∈ V , mọi r ∈ T

Mệnh đề 1.1.7 Cho T là một trường hữu hạn có q phần tử Khi đó q

là một lũy thừa của một số nguyên tố p với p là đặc số của T

theo Mệnh đề 1.1.4, T có đặc số p nguyên tố Ta chứng minh K làtrường có p phần tử

Rõ ràng, phép cộng và nhân là phép toán trên K, và 0 ∈ K, 1 ∈ K

Do đó để chứng minh K là trường, ta chỉ cần chứng minh nếu n1 6= 0thì n1 có phần tử nghịch đảo Cho n1 6= 0 Vì T có đặc số p và p1 = 0suy ra n không là bội của p Do p nguyên tố nên (n, p) = 1, tức là tồntại x, y ∈ Z sao cho 1 = nx + py Suy ra 1 = (nx + py)1 = (n1)(x1)

Vì thế x1 ∈ K và x1 là nghịch đảo của n1 Do đó K là trường

Với 0 ≤ n < m < p, ta có n1 6= m1 Thật vậy, nếu n1 = m1 thì(m−n)1 = 0, trong đó 0 < m−n < p, điều này là vô lý Suy ra K chứa

có n1 = (pr + s)1 = s1 Vậy K có đúng p phần tử

Xét T là K- Không gian véc tơ Vì T là trường hữu hạn nên T có

Định lý 1.1.8 (Về cấu trúc của trường hữu hạn) Các phát biểu sau

Định nghĩa 1.1.9 Nhóm là một tập G cùng với một phép toán nhân

sao cho phép nhân kết hợp, có phần tử đơn vị là 1 và mọi phần tử của

Một tập con H của G được gọi là nhóm con của G nếu H đóng kínphép nhân và lập thành một nhóm với phép nhân đó

Nhận xét 1.1.10 Nếu T là một trường thì tập T∗ = T \{0} là mộtnhóm với phép nhân

Nhóm G được gọi là xyclic nếu tồn tại phần tử a ∈ G sao cho:

Khi đó ta viết G =< a > và ta nói G là nhóm xyclic sinh bởi a Chú ýrằng nhóm con của nhóm xyclic là xyclic

Mệnh đề 1.1.11 Cho T là một trường Khi đó nhóm T∗ = T \{0} là một nhóm nhân xyclic.

Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, Định lý Lagrange phát biểu rằngnếu G là nhóm có n phần tử và H là nhóm con của G có m phần tử thì

Chú ý 1.1.12 Nếu T là trường có q phần tử thì nhóm nhân

1.2 Một số tính chất cơ bản của đa thức hoán vị

Sau đây là khái niệm và một số kết quả về đa thức hoán vị trêntrường hữu hạn

Định nghĩa 1.2.1 Cho T là một trường hữu hạn Một đa thức f(x) với

hệ số trên T được gọi là hoán vị nếu ánh xạ cảm sinh f : T → T cho

ứng phần tử a với f(a), là một song ánh

Ví dụ 1.2.2 Trên trường Z2 thì các đa thức f(x) = x và g(x) = x + 1

là các đa thức hoán vị, bởi vì f(0) = 0 và f(1) = 1; g(0) = 1;

Mệnh đề 1.2.3 Cho T là một trường hữu hạn có q phần tử Các phát

biểu sau là đúng

(i) Các đa thức bậc không không hoán vị trên T

(ii) Các đa thức bậc nhất luôn hoán vị trên T

đồng dư với 1 theo mođun n.

và chỉ nếu b = 0 và T có đặc số 2 (tức là q là số chẵn).

Sau đây là tính hoán vị của các tam thức trên trường hữu hạn (xemtài liệu [2])

Mệnh đề 1.2.4 Cho T là trường có q phần tử Cho k > j là hai

số nguyên dương Cho a ∈ T là phần tử khác 0 Khi đó tam thức

1.3 Đa thức hoán vị modulo một số tự nhiên

Trong phần này chúng ta nhắc lại khái niệm và một số kết quả về

đa thức với hệ số nguyên hoán vị modulo một số tự nhiên

Định nghĩa 1.3.1 Cho f(x) = adxd + + a1x1 + a0 là đa thức có

mối quan hệ giữa tính hoán vị modulo n và tính hoán vị modulo m

Mệnh đề 1.3.5 Cho f(x) = a0+ a1x+ + adxd là đa thức với hệ số

Kết quả sau đây là mở rộng của Mệnh đề 1.3.5, trong đó n khôngnhất thiết là lũy thừa của 2.

Mệnh đề 1.3.6 Cho f(x) = a0 + a1x + + adxd là đa thức với hệ

số nguyên Cho n = 2m với m là số tự nhiên chẵn Nếu f(x) hoán vị

là số chẵn.

Kết quả sau đây là đặc trưng tính hoán vị modulo lũy thừa của 2(xem tài liệu [2])

Mệnh đề 1.3.7 Đặt P (x) = a0+a1x+ .+adxdlà một đa thức với hệ

là số chẵn.

Chúng tôi trình bày chi tiết chứng minh bốn định lý chính sau đây.

Mục đính thứ hai của Chương 2 là chứng minh lại chi tiết kết quả

trong bài báo [3] của C Ding, L Qu, Q Wang, J Yuan, P Yuan về một

tập trung chứng minh định lý sau

Định lý E Với mọi số tự nhiên lẻ m > 0, tam thức

Định nghĩa 2.1.1 Cho T là một trường (hữu hạn hoặc vô hạn) Ta nói

đều có ít nhất một nghiệm trong T

Ví dụ 2.1.2.

nhưng không có nghiệm thực

Định lý sau đây, được gọi là Định lý cơ bản của đại số, cho ta thấy

trường số phức C là trường đóng đại số

Định lý 2.1.3 Nếu f(x) là đa thức bậc dương với hệ số phức, thì f(x)

có ít nhất một nghiệm phức Đặc biệt, đa thức bậc n với hệ số phức có

đủ n nghiệm phức.

Tính chất sau đây chỉ ra rằng mọi trường hữu hạn đều không làtrường đóng đại số

Mệnh đề 2.1.4 Nếu T là trường hữu hạn thì T không đóng đại số.

Xét đa thức

Đa thức f(x) có bậc q > 0 Nếu T đóng đại số, thì f(x) phải có

Mệnh đề 2.1.4 chỉ ra rằng nếu T là trường đóng đại số, thì T làtrường vô hạn

Định nghĩa 2.1.5 Cho T là một trường Khi đó luôn tồn tại duy nhất

một trường T đóng đại số tối thiểu chứa T Ta nói T là bao đóng đại

số của T

Ví dụ 2.1.6 Trường R không đóng đại số Trường C là trường đóng

đại số tối thiểu chứa R Do đó C là bao đóng đại số của R

Chú ý 2.1.7 Cho n là số tự nhiên Cho T là một trường và T là bao

đóng đại số của T Gọi 1 là đơn vị của T Khi đó đa thức

có đủ n nghiệm trong T nếu n không chia hết cho p với p là đặc số của

nhưng có đủ 4 nghiệm trong C (là 1, −1, i, −i) Ta nói n nghiệm của

Ví dụ, các căn bậc 4 của đơn vị trong C là 1, −1, i, −i Kí hiệu

Bổ đề 2.1.9 T rm

Chứng minh. Với mọi số tự nhiên s > 0 ta có:

quy nạo theo j

Để chứng minh Định lý C trong phát biểu ở đầu Chương 2, chúng

ta cần một số tính chất đơn giản của số học dưới đây

Nếu k chẵn, thì 2m− 1 ≡ 1 (mod 5) Suy ra gcd(5, 2m− 1) = 1.

Việc chứng minh Định lý C cũng cần đến khái niệm căn nguyênthủy bậc n của đơn vị Vì thế chúng ta nhắc lại khái niệm này ở đây

Định nghĩa 2.1.14 Cho T là một trường đóng đại số Khi đó phương

một căn bậc n của đơn vị Nếu ξ là một căn bậc n của đơn vị sao cho

nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu và chỉ nếu gcd(k, n) = 1 Do đó

n

là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị

Chẳng hạn, với n = 2, thì ±1 là 2 căn bậc 2 của đơn vị, −1 là cănnguyên thủy

√3

√3

2 căn nguyên thủy bậc 3 của đơn vị

Với n = 4, thì ±1, ±i là các căn bậc 4 của đơn vị, ±i là 2 căn nguyênthủy bậc 4 của đơn vị

Ta minh họa căn bậc n của đơn vị và căn nguyên thủy bậc n củađơn vị trong trường có đặc số chẵn như sau

Ví dụ 2.1.16 Trong trường F2 = Z2 = {0, 1}, phần tử 1 là căn bậc ncủa đơn vị duy nhất Ta xây dựng trường có 4 phần tử

2.2 Một số lớp tam thức hoán vị được trên trường hữu

hạn đặc số chẵn

q =

nếu nó tác động đơn ánh trên tập X

Chú ý 2.2.1 Như kí hiệu trong Tiết 2.1 (Chú ý 2.1.7), gọi µd là tập

Bổ đề 2.2.2 Cho q là lũy thừa của một số nguyên tố Cho d, r > 0 là

Bổ đề 2.2.3 Với m ∈ N, ký hiệu µ2 m +1 là tập các căn bậc 2m+1 trong

Suy ra α3 + α2m+1 · α2 + (α2m+1)3 = 0.

Bổ đề 2.2.4 Cho q là lũy thừa của một số nguyên tố Cho g(x) là đa

Bây giờ chúng ta chứng minh Định lý A trong phần giới thiệu đầuChương 2 Đây là kết quả chính thứ nhất của luận văn, cho ta một lớptam thức hoán vị trên trường có đặc số chẵn

Định lý 2.2.5 Đa thức f(x) := x4+ x2m+3+ x3·2m+1 ∈ F2 2m[x] là một

Vì µ2m +1 là tập hữu hạn, g1(x) hoán vị trên µ2m +1 khi và chỉ khi g(x)

Trường hợp 1 x = 1 hoặc y = 1 Giả sử rằng y = 1, khi đó

Trường hợp 2 x 6= 1 hoặc y 6= 1 Giả sử G1(x) = G1(y), nghĩa là

Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Theo kết quả của Định lý 2.2.5, chúng ta có được lớp tam thức hoán

vị sau đây

Hệ quả 2.2.6 Đa thức

Từ chứng minh Định lý 2.2.5, ta có g1(x) hoán vị trên µ2m +1 khi và chỉkhi gcd(m, 3) = 1, điều phải chứng minh.

Định lý sau đây là kết quả chính thứ hai của Chương này, cho ta mộtlớp tam thức hoán vị trên trường có đặc số chẵn Định lý này được phátbiểu trong Định lý B ở đầu Chương 2

Định lý 2.2.7 Đa thức f2(x) := x2+ x2·2m+ x3·2m−1 hoán vị trên F22m

là tác động đơn ánh trên µ2m +1 Vì gcd (m, 3) = 1, nên từ chứng minh

Tiếp theo, ta chứng minh Định lý C trong phần giới thiệu Chương

2 Định lý này là kết quả chính thứ ba của luận văn, cho ta một lớp tamthức hoán vị trên trường có đặc số chẵn

Định lý 2.2.8 Đa thức f3(x) := x5 + x2m+4 + x4·2m+1 ∈ F2 2m[x] là

Theo đó g3(x) tác động đơn ánh trên µ2m +1 khi và chỉ khi

4 + x5

chất tuyến tính của hàm vết trong Bổ đề 2.1.9, ta được

Chú ý rằng

và

Vì thế từ đẳng thức trên ta suy ra 1 = 0, điều này là mâu thuẫn

và

Tiếp theo chúng ta tập trung chứng minh Định lý D Đây là kết quảchính thứ tư của luận văn

Định lý 2.2.9 Đa thức f4(x) := x3 + x3·2m + x2m+2−1 ∈ F2 2m là đa

một đa thức trên F22m khi và chỉ khi gcd(3, 2m − 1) = 1 và đa thức

Phần tiếp theo, ta chứng minh Định lý E Định lý này là kết quảchính thứ năm của luận văn, cho ta một lớp tam thức hoán vị trêntrường có đặc số chẵn

Định lý 2.2.10 Với mọi số tự nhiên lẻ m > 0, tam thức f(x) = x +

Trước hết, chúng ta thấy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Tuy nhiên ta lại có g(x) = 1 Do đó, nghiệm duy nhất của g(x) = 0 là

Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng phương trình đa thức g(x) = a

nghiệm duy nhất x 6= 0 cho phương trình sau:

Bây giờ chúng ta cần giải phương trình (2) với mỗi a 6= 0 và y 6= 0.Đầu tiên, nếu a = 1, thì ta có

y2(m−1)/2+1+y2(m−1)/2+y+1 = (y2(m−1)/2+1)(y+1) = (y+1)2(m−1)/2+1 = 0

Do đó y = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2) với a = 1

ở phương trình (2), ta thu được

là một đa thức hoán vị trên F2m với gcd(2(m−1)/2,2m − 1) = 1 Do đótồn tại một nghiệm khác không duy nhất y đối với phương trình

Kết luận

Luận văn đã trình bày một số kết quả về đa thức hoán vị trên trường

có đặc số chẵn trong hai bài báo:

their Applications, 41, 89-96

trinomials over finite fields with even characteristic, Siam J.DiscnetcMath, 29, pp 79-82

Nội dung chính của luận văn là:

Trình bày cấu trúc và số phần tử của trường hữu hạn, một số tínhchất cơ bản của đa thức hoán vị trên trường hữu hạn và đa thức hoán

• Định lý 2.2.8 Đa thức f3(x) := x5 + x2m+4 + x4·2m+1 ∈ F2 2m[x]

• Định lý 2.2.10 Với mọi số tự nhiên lẻ m > 0, tam thức

Tài liệu tham khảo

Permu-[4] R Gupta và R Sharma (2016), Some new classes of permutation

and their Applications, 41, 89-96