Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số pell và số pell liên kết

Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, cụ thể là công thức nghiệm trong trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Phương trình có dạng un +2 = Aun +1 + Bun, với n = 1, 2, được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, trong đó A và B là các hằng số Để tìm nghiệm của phương trình sai phân này, chúng ta cần xem xét phương trình bậc hai α^2 - Aα - B = 0.

Phương trình bậc hai được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai phân (1.1) Định lý 1.1.2 cho biết rằng nếu phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α1 và α2, thì phương trình sai phân (1.1) sẽ có nghiệm dạng un = C1α1^n + C2α2^n, với n = 1, 2, , trong đó C1 và C2 là các hằng số tùy ý.

Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầuu 0 vàu 1 thì các hằng số

C 1 vàC 2 hoàn toàn được xác định Khi đó, dãy số{un} ∞ n =1 được xác định bởi un = aα n− 1 1 −bα n− 2 1 α 1 −α 2 (1.4) trong đóα 1 , α 2 là hai nghiệm của phương trình đặc trưng (1.2) vàa=u 2 −u 1 α 2 , b u 2 −u 1 α 1

Ví dụ 1.1.3 Ta sẽ xét ở đây một ví dụ rất quen thuộc về dãy số Fibonacci{Fn}được xác định bởi phương trình sai phân

Fn +2 = Fn +1+Fn (1.5) với điều kiện ban đầuF 1 = 1, F 2 = 1.

Phương trình đặc trưng của phương trình (1.5) là λ 2 −λ−1 = 0.

Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là λ 1 = 1 +√

Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.5) là

Từ điều kiện ban đầuF 1 = 1, F 2 = 1ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình này ta đượcC 1 = −C 2 = 1

√5 Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy số Fibonacci là

Số Pell và số Pell liên kết

Với n= 1,2, ,số PellPn vàsố Pell liên kếtQn lần lượt được xác định bởi

Số Pell và số Pell liên kết được xác định qua cùng một phương trình sai phân với các điều kiện ban đầu khác nhau Phương trình đặc trưng cho hai dãy số này là α² - 2α - 1 = 0.

Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là α 1 = 1 +√

2. Áp dụng công thức nghiệm (1.4) ta thu được

Các công thức này được gọi làcông thức Binet cho dãy số Pell và dãy số Pell liên kết.

Số cân bằng và số đối cân bằng

Khái niệm về số cân bằng được Behera và Panda đề xuất, trong khi số đối cân bằng được Panda và Ray giới thiệu Các tác giả đã phát hiện nhiều tính chất thú vị liên quan đến các số này, và những kết quả đó đã được trình bày lại bằng tiếng Việt trong luận văn thạc sĩ của Hoàng Thị Hường Trong bài viết này, chúng tôi chỉ đề cập đến định nghĩa và một số tính chất cơ bản của hai loại số này Định nghĩa 1.3.1: Số nguyên được gọi là số cân bằng nếu

1 + 2 +ã ã ã+ (m−1) = (m+ 1) + (m+ 2) +ã ã ã+ (m+r) vớirlà số tự nhiên nào đó; sốrđược gọi là hệ số cân bằng củam.

Số 1 được coi là số cân bằng đầu tiên với hệ số cân bằng bằng 0, ký hiệu là Bn cho số cân bằng thứ n Behera và Panda đã chứng minh rằng dãy {Bn} từ n = 0 đến vô cực được xác định bởi phương trình sai phân.

Bn +1 = 6Bn −Bn− 1, n= 1,2, , (1.9) với điều kiện ban đầuB 0 = 1, B 1 = 6.Như vậy, ta có

Phương trình đặc trưng của phương trình (1.9) là λ 2 −6λ+ 1 = 0.

Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt λ 1 = 3 + 2√

2. Áp dụng công thức (1.4) ta được công thức Binet

Do đó, công thức Binet (1.10) có thể viết dưới dạng

2 (1.11) Định nghĩa 1.3.2 Số nguyênmđược gọi làsố đối cân bằngnếu

1 + 2 +ã ã ã+m= (m+ 1) + (m+ 2) +ã ã ã+ (m+r) vớirlà số tự nhiên nào đó; sốrđược gọi làhệ số đối cân bằngcủam.

Số đối cân bằng được giới thiệu bởi Panda và Ray, với Coi0 là số đối cân bằng đầu tiên và bn là số đối cân bằng thứ n Quan hệ truy hồi tuyến tính được xác định như sau: b1 = 1, b2 = 2, và bn +1 = 6bn − bn− 1 + 2.

Từ đây ta có được công thức Binet cho các số đối cân bằng bn = α 1 2 n− 1 −α 2 2 n− 1

Ngoài các mối quan hệ truy hồi tuyến tính, còn tồn tại các mối quan hệ truy hồi phi tuyến liên quan đến số cân bằng và số đối cân bằng Các công thức truy hồi phi tuyến được trình bày trong tài liệu [1, 3].

Hai khái niệm số cân bằng và số đối cân bằng có mối quan hệ chặt chẽ, được thể hiện qua định lý 1.3.3 Theo định lý này, mọi số cân bằng đều là một hệ số đối cân bằng, và ngược lại, mọi số đối cân bằng cũng là một hệ số cân bằng Cụ thể, ta có Bn = rn + 1 và Rn = bn với n = 1, 2,

Rn là hệ số cân bằng thứnvàrn là hệ số đối cân bằng thứn.

Một số liên hệ quan trọng 11

Một số mối liên hệ liên quan đến tổng và tích

Định lý 2.1.1 chỉ ra rằng, với n = 1, 2, , số cân bằng thứ n được xác định là tích của số Pell thứ n và số Pell liên kết cùng cấp.

Chứng minh Sử dụng các công thức Binet củaPn vàQn từ (1.8) và củaBn từ (1.11) ta thu được

Định lý 2.1.2 chỉ ra rằng mỗi số đối cân bằng có thể được phân tích thành tích của một số Pell và một số Pell liên kết, với n = 1, 2, Hệ số cân bằng thứ 2n tương ứng với tích của số Pell thứ.

2n và số Pell liên kết thứ(2n−1); hệ số cân bằng thứ(2n+ 1)bằng với tích của số Pell thứ2nvà số Pell liên kết thứ(2n+ 1).

Chứng minh Áp dụng Định lí 1.3.3 và các công thức Binet củaPn vàQn trong (1.8) và củabn trong (1.11), ta thu được

2 =R 2 n +1. Định lí được chứng minh.

Behera và Panda đã chứng minh rằng nếu \( n \) là số cân bằng với hệ số cân bằng \( r \), thì số tam giác thứ \( n+r \) là \( 2 \) Định lý 2.1.3 cho thấy sự tương ứng giữa tổng \( n+r \) với tổng riêng bậc lẻ của dãy số Pell Cụ thể, tổng riêng thứ \( 2n-1 \) của dãy số Pell bằng tổng của số cân bằng thứ \( n \) và hệ số làm cân bằng của số đó.

Chứng minh Sử dụng các công thức Binet của Pn trong (1.8) và của Bn và bn trong (1.11), ta có

=Bn+bn. Theo Định lí 1.3.3 ta cóbn = Rn và do đó ta có điều phải chứng minh.

Panda và Ray đã chứng minh rằng nếu n là số đối cân bằng với hệ số đối cân bằng r, thì số tam giác thứ (n+r) tương ứng với số pronic thứ n Định lý này chứng tỏ mối liên hệ giữa số n+r và các tổng riêng bậc chẵn của dãy số Pell Cụ thể, định lý 2.1.4 cho biết tổng của 2n số Pell đầu tiên bằng với tổng của số đối cân bằng thứ.

(n+ 1)và hệ số đối cân bằng của số đó.

Chứng minh Sử dụng các công thức Binet củaPntrong (1.8) vàBnvàbntrong (1.11), ta có

=bn +1+Bn.Theo Định lí 1.3.3 ta cóBn =rn +1và do đó ta có điều phải chứng minh.

Định lý trên chỉ ra mối liên hệ giữa các tổng riêng của dãy số Pell với các số cân bằng và đối cân bằng Hai định lý tiếp theo mở rộng mối quan hệ này đến các tổng riêng của dãy số Pell bậc lẻ và bậc chẵn Cụ thể, Định lý 2.1.5 khẳng định rằng tổng của n số Pell bậc lẻ đầu tiên tương ứng với số cân bằng thứ n, đồng thời cũng là hệ số đối cân bằng thứ (n + 1).

Chứng minh Sử dụng các công thức Binet củaPntrong (1.8) vàBnvàbntrong (1.11), ta có

2 =Bn. Chứng minh được hoàn thành. Định lý 2.1.6 Tổng củansố Pell có bậc chẵn đầu tiên bằng với số đối cân bằng thứ

(n+ 1)(và do đó bằng hệ số cân bằng thứn+ 1).

Chứng minh Sử dụng các công thức Binet củaPntrong (1.8) vàBnvàbntrong (1.11), ta có

Theo Định lý 1.3.3, ta có mối quan hệ giữa các số Pell liên kết và tổng của các số cân bằng Cụ thể, Định lý 2.1.7 chỉ ra rằng tổng của các số Pell liên kết có bậc lẻ đầu tiên bằng với tổng của số cân bằng thứ n và hệ số cân bằng tương ứng của số đó.

Chứng minh Sử dụng các công thức Binet củaQntrong (1.8) vàBnvàbntrong (1.11), ta có

2. Theo chứng minh trong Định lí 2.1.3 đã chỉ ra rằng α 2 1 n +α 2 2 n

Do đó chứng minh được hoàn thành.

Định lý 2.1.8 cho thấy mối liên hệ giữa tổng các số Pell liên kết bậc chẵn và tổng của số đối cân bằng cùng với hệ số đối cân bằng của nó Cụ thể, tổng của n số Pell liên kết bậc chẵn đầu tiên tương đương với tổng của số đối cân bằng thứ (n+1) và hệ số đối cân bằng tương ứng.

Chứng minh Sử dụng các công thức Binet củaQn trong (1.8), ta có

Theo chứng minh trong Định lí 2.1.4, ta có α 2 1 n +1 +α 2 2 n +1

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Định lý 2.1.9 chỉ ra mối liên hệ giữa các tổng riêng bậc chẵn và bậc lẻ của dãy số Pell, cho thấy rằng tổng của 2n−1 số Pell liên kết đầu tiên bằng hai lần số cân bằng thứ n trừ đi 1.

Chứng minh Sử dụng các công thức Binet củaQn trong (1.8) và Bn trong (1.11), ta có

= 2Bn−1. Định lý 2.1.10 Tổng của2nsố Pell liên kết đầu tiên bằng với hai lần số đối cân bằng thứ(n+ 1).

Chứng minh Sử dụng các công thức Binet củaQn trong (1.8) và bn trong (1.11), ta có

Một số mối liên hệ liên quan đến các số Lucas-cân bằng và các số Lucas-đối cân bằng

Dãy số Pell liên kết là sự kết hợp của dãy số Lucas-cân bằng và dãy số Lucas-đối cân bằng Theo Định lý 2.2.1, mọi số Pell liên kết đều là một số cân bằng Lucas hoặc một số đối cân bằng Lucas, cụ thể là Q 2n = Cn và Q 2n−1 = cn, với n = 1, 2,

Chứng minh định lý 2.2.2 được thực hiện dựa trên công thức Binet của các số Lucas-cân bằng Qn và Cn Định lý này chỉ ra mối liên hệ giữa hiệu của các số Lucas-cân bằng và hiệu của các số đối cân bằng Cụ thể, hiệu của số Lucas-cân bằng thứ n và số Lucas-cân bằng thứ (n−1) tương đương với hiệu của số đối cân bằng thứ (n+1) và số đối cân bằng thứ (n−1).

Chứng minh Từ (1.18), ta có

Cn = 8Bn− 1+ 3Cn− 1. Áp dụng công thức truy hồi trong (1.14) ta thu được Chứng minh

2(B 1 +B 2 +ã ã ã+Bn− 1) =bn nên ta có bn +1−bn− 1 = 2(Bn− 1+Bn). Điều này chứng minh kết luận của định lí.

Từ chứng minh của định lý trên ta có hệ quả trực tiếp sau:

Hệ quả 2.2.3 chỉ ra rằng hiệu của các số cân bằng Lucas thứ n và (n−1) bằng hai lần tổng của các số cân bằng thứ n và (n−1) Định lý 2.2.2 thiết lập mối liên hệ giữa hiệu của các số Lucas-cân bằng và hiệu của các số đối cân bằng Tiếp theo, Định lý 2.2.4 xác định mối quan hệ giữa hiệu của số Lucas-đối cân bằng thứ n và số Lucas-đối cân bằng thứ.

(n−1)bằng với hiệu của số cân bằng thứnvà số cân bằng thứ(n−2).

Chứng minh Từ (1.20) ta có cn = 8bn− 1+ 3cn− 1+ 4. Áp dụng công thức truy hồi (1.15) và Định lý 1.3.3 ta thu được cn −cn− 1 = 8bn− 1+ 2cn− 1+ 4

Do đó, cn −cn− 1 =Cn+Cn− 1−2(Bn+Bn− 1) (2.1)

Sử dụng các công thức Binet củaBn vàCn trong (1.11) và (1.23) ta có

Do đó, vớin= 1ta có

So sánh phần hữu tỉ và phần vô tỉ ở hai vế của (2.4) ta có

Từ (2.5) và (2.6), ta tìm được

Thay (2.5) và (2.6) vào (2.1) và sử dụng (2.7) ta có cn −cn− 1 = 6Cn−16Bn

Định lý 2.2.5 chỉ ra rằng tổng của số Lucas-cân bằng thứ n và số Lucas-đối cân bằng thứ n tương đương với hiệu của bình phương các số Pell thứ (n+1) và (n-1) Mối liên hệ này giữa các số Lucas và số Pell cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc số học trong toán học.

Chứng minh Áp dụng công thức Binet củaPn trong (1.8), ta có

2, áp dụng công thức Binet củaCn vàcn trong (1.23), ta có α 2 1 n −α 2 2 n

Định lý 2.2.6 chứng minh mối liên hệ giữa các số Lucas-đối cân bằng và tổng của hai số cân bằng liên tiếp Cụ thể, số Lucas-đối cân bằng thứ n được xác định bằng tổng của các số cân bằng thứ trước đó.

Chứng minh Sử dụng các công thức Binet củaBn trong (1.11) và củacn trong (1.23) ta tìm được

Nhận xét 2.2.7 Sử dụng (1.16) ta có

Bn− 1 = 3Bn −Cn, và vìP 2 n = 2Bn vàQ 2 n =Cn theo các Định lí 2.3.1 và Định lí 2.3.1, nên cn = 4Bn −Cn = 2P 2 n −Q 2 n.

Nghiệm của một số phương trình Diophant 26

Phương trỡnh x + (x + 1) + ã ã ã + (x + y) = x(x + y)

Chúng ta xem xét phương trình tìm hai số tự nhiên sao cho tổng các số tự nhiên từ số bé hơn đến số lớn hơn bằng tích của hai số đó Theo định lý 3.1.1, các nghiệm của phương trình Diophant x + (x + 1) + + (x + y) = x(x + y) được xác định bởi x = Rn + 1 và y = Bn − Rn − 1, với n = 1, 2,

Chứng minh 1 Ta biết rằng,B là số cân bằng với hệ số cân bằng làR nếu

+ã ã ã+ (B +R)−(1 + 2 +ã ã ã+R) =RB. CộngB vào hai vế ta có

Từ đây suy ra điều cần chứng minh.

Chứng minh 2 Dưới đây là một chứng minh khác của định lý 3.1.1 bằng cách sử dụng phương trình Pell:

Phương trình Diophant x+ (x+ 1) +ã ã ã+ (x+y) =x(x+y) tương đương với

(2y + 1) 2 −2(2x−1) 2 =−1. Đặtu= 2y+ 1vàv = 2x−1,ta thu được phương trình Pell mới u 2 −2v 2 =−1.

Nghiệm cơ bản của phương trình này làu= 1vàv = 1.Do đó, nghiệm tổng quát là un +√

Vì cảun vàvn là lẻ vàPn lẻ nếunlẻ, nên ta có un = Q 2 n− 1, vn = P 2 n− 1, n = 1,2,

2 Áp dụng các công thức Binet trong (1.8) và (1.11) ta thu được x= (P 2 n− 1+ 1)

2 =Rn+ 1, và theo Định lý 2.1.7 ta có x+y = (P 2 n− 1+Q 2 n− 1)

Định lý 3.1.2 cung cấp một biểu diễn khác cho các nghiệm của phương trình Diophant x + (x + 1) + + (x + y) = x(x + y) Các nghiệm được xác định là x = Bn và y = Rn + 1 − Bn, với n = 1, 2, Từ đây, chúng ta có thể rút ra kết luận quan trọng về mối quan hệ giữa các biến trong phương trình này.

Chứng minh 1 Nếublà số đối cân bằng với hệ số đối cân bằng làrthì

Do đó,x= rvàx+y =b.Bây giờ áp dụng Định lí 1.3.3, ta kết luận rằng nếux=Bn thìx+y =Rn +1.

Chứng minh 2 Cũng như trong định lý trước, trong trường hợp này ta cũng có một chứng minh khác sử dụng phương trình Pell:

Phương trình Diophant x+ (x+ 1) +ã ã ã+ (x+y) =x(x+y) là tương đương với

(2y+ 1) 2 −2(2x) 2 = 1. Đặtu= 2y+ 1, v = 2x,ta thu được phương trình Pell u 2 −2v 2 = 1, ulà lẻ, v là chẵn.

Nghiệm cơ bản của phương trình này làu= 3vàv = 2.Do đó, nghiệm tổng quát là un+√

2) n , n = 1,2, Điều này suy ra un −√

2) n , n = 1,2, Theo hai phương trình cuối và các Định lí 2.3.1 và 2.2.1, ta có un = (3 + 2√

Ta thấy rằngQ 2 n luôn là lẻ vàP 2 n luôn là chẵn Do đó,

Nhưng theo [4, Hệ quả 6.4], ta có

Phương trỡnh 1 + 2 + ã ã ã + x = y 2

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá nghiệm của phương trình Diophant với hai số, trong đó tổng của tất cả các số tự nhiên đến số lớn hơn bằng bình phương của số nhỏ hơn Đặc biệt, định lý dưới đây sẽ trình bày trường hợp khi số lớn hơn là số chẵn Định lý 3.2.1 sẽ cung cấp các nghiệm của phương trình Diophant.

Chứng minh Phương trình Diophant

Vìxvà2x+ 1là nguyên tố cùng nhau, nênxvà2x+ 1phải là bình phương Đặt

Vìxlà bình phương nênl(l+ 1)/2 là bình phương của mộ số tam giác Do đó x= 4Bn 2 =P 2 2 n, n = 1,2,

Theo Định lý 2.1.1 ta có y =p x(2x+ 1)

Bây giờ ta xét trường hợp số lớn hơn là số lẻ. Định lý 3.2.2 Các nghiệm của phương trình Diophant

Chứng minh Phương trình Diophant

Vìxvà2x−1là nguyên tố cùng nhau nên cảxvà2x−1phải là các số chính phương.

2x−1 = (2k+ 1) 2 ta có x= 2k 2 + 2k+ 1 =k 2 + (k+ 1) 2 Đặtx=l 2 thì phương trình trở thành k 2 + (k+ 1) 2 =l 2

Theo [4, trang 1199] các nghiệm của phương trình Diophant này là k =bn +rn =Bn− 1+Rn, n = 1,2, , và l =p

2k 2 + 2k+ 1. Áp dụng các công thức Binet củaBn vàbn trong (1.11), ta có thể thấy rằng l=P 2 n− 1.

Do đó x =P 2 2 n− 1. Áp dụng Định lý 2.1.1 và do

Định lý 3.2.3 chứng minh rằng các nghiệm của phương trình Diophant không bị hạn chế bởi số lớn hơn Cụ thể, công thức P 2 2 n− 1(2P 2 2 n− 1−1) = P 2 n− 1Q 2 n− 1 = B 2 n− 1 thể hiện mối quan hệ giữa các biến số trong phương trình Kết quả này cung cấp cái nhìn sâu sắc về các nghiệm của phương trình đang xét.

1 + 2 +ã ã ã+x= y 2 làx=Bn+Rn , xấp xỉ bằng vớiQ 2 n, vày =PnQn =Bn.

Chứng minh Phương trình Diophant

2 =y 2 , suy ray 2 là một số tam giác Lấyy = Bn và áp dụng các công thức Binet trong (1.8) và (1.11) ta có thể kiểm tra được rằng x=Bn+Rn 

Phương trỡnh 1 + 2 + ã ã ã + (y − 1) + (y + 1) + ã ã ã + x = y 2

Tương tự ở mục trước chúng ta sẽ xét phương trình

Phương trình Diophant có thể được phân tích qua ba trường hợp: khi x là số chẵn, khi x là số lẻ, và trường hợp tổng quát Trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung vào trường hợp tổng quát như được trình bày trong Định lý 3.3.1, nơi các nghiệm của phương trình sẽ được khảo sát chi tiết.

1 + 2 +ã ã ã+ (y −1) + (y+ 1) +ã ã ã+x=y 2 là x=bn +rn vày =bn, n= 1,2,

Chứng minh Phương trình Diophant

2 =y(y + 1), suy ra y(y + 1) là một số tam giác Từ đó suy ra y là một số đối cân bằng Giả sử y =bn Áp dụng Định lý 1.3.3 ta có x= −1 +p

2 =bn+rn, n = 1,2, Định lí được chứng minh. Định lý 3.3.2 Phương trình Diophant

1 + 2 +ã ã ã+ (y−1) + (y+ 1) +ã ã ã+ 2x =y 2 không có nghiệm nếuxlà lẻ Nếuxchẵn, các nghiệm được cho bởi x= b 2 n+r 2 n

Chứng minh Phương trình Diophant

Nếu vế trái là lẻ, thì vế phải phải là chẵn, do đó nghiệm không tồn tại Ngược lại, nếu vế trái là chẵn, thì nghiệm của phương trình đối với x sẽ có dạng x = −1 + p.

Vìy(y+ 1)là số tam giác, nêny là số đối cân bằng , tức lày =bn và vì rn = −(2bn+ 1) +p

8b 2 n+ 8bn + 1 2 nên ta có x = bn+rn

2 Nhưngbn+rn là chẵn nếunlà chẵn Do đó, nghiệm tổng quát được cho bởi x = b 2 n+r 2 n

2 , y =b 2 n, n = 1,2, Định lý 3.3.3 Phương trình Diophant

1 + 2 +ã ã ã+ (y−1) + (y+ 1) +ã ã ã+ (2x−1) = y 2 không có nghiệm nếuxlà lẻ Nếuxchẵn, các nghiệm được cho bởi x = b 2 n− 1+r 2 n− 1+ 1

Chứng minh Phương trình Diophant

Nếu x là lẻ, thì vế trái cũng lẻ, nhưng vế phải lại chẵn, dẫn đến việc nghiệm không tồn tại Ngược lại, nếu x là chẵn, thì phương trình trên có nghiệm với x = 1 + p.

Vìy(y+ 1)là số tam giác, nêny là số đối cân bằng, tức lày =bn và khi đó x= bn +rn + 1

Nhưngbn+rn + 1là chẵn nếunlà lẻ Do đó, nghiệm tổng quát được cho bởi x= b 2 n− 1+r 2 n− 1+ 1

Một số phương trình Pythagore

Phương trình Diophant dạng x² + y² = z², với x, y, z ∈ Z⁺, được gọi là phương trình Pythagore Một trường hợp đặc biệt là x² + (x + 1)² = y² đã được nghiên cứu và nghiệm được biểu diễn qua các số cân bằng Phương trình có dạng x² + y² = z² ± 1 được gọi là phương trình hầu Pythagore Đặc biệt, trong các định lý, ta xem xét phương trình hầu Pythagore x² + (x + 1)² = y² ± 1 Theo định lý 3.4.1, phương trình hầu Pythagore x² + (x + 1)² = y² + 1 có nghiệm x = Bn + bn và y = 2Bn = P²n, với n = 1, 2, trong khi phương trình x² + (x + 1)² = y² - 1 không có nghiệm.

Chứng minh Phương trình Diophant x 2 + (x+ 1) 2 =y 2 + 1 tương đương với x(x+ 1)

4 , điều này chứng tỏ rằng x(x+ 1)

2 là số tam giác Từ đó suy ra x(x+ 1)

Từ định nghĩa của các số cân bằng và hệ số cân bằng

2 , và theo Định lí 1.3.3,Rn =bn với mỗinnênx =Bn +bn.

Phương trình x 2 + (x+ 1) 2 =y 2 −1 tương đương với

Do y^2 là một số chẵn, y^2 chia hết cho 4, dẫn đến x^2 + x + 1 là số lẻ Vì x^2 + x luôn là số chẵn, nên phương trình này không có nghiệm Theo định lý 3.4.2, phương trình Pythagore x^2 + (x + 2)^2 = y^2 có nghiệm với x = 2(Bn−1 + bn) = cn − 1 và y = 2P^2n + 1, với n = 1, 2,

Chứng minh Phương trình Diophant x 2 + (x+ 2) 2 =y 2 tương đương với

2(x 2 + 2x+ 2) = y 2 từ đó suy ray là chẵn và do đóx 2 + 2x+ 2cũng là chẵn, và do vậy xcũng là chẵn. Lấyx= 2uvày = 2vở phương trình trên trở thành

2u 2 + 2u+ 1 =v 2 , đây là phương trình Pythagore u 2 + (u+ 1) 2 =v 2 Các nghiệm của phương trình này được xác định bởi [4, trang 1199] u =bn+rn, v =p

2u 2 + 2u+ 1. Áp dụng các công thức Binet củabn, rn vàPn ta có

Vìrn =Bn− 1theo Định lý 1.3.3, nên các nghiệm của phương trình u 2 + (u+ 1) 2 =v 2 là u =Bn− 1 +bn, v =P 2 n +1, n= 1,2,

Do đó, các nghiệm của phương trình Diophantx 2 + (x+ 2) 2 = y 2 được cho bởi x = 2(Bn− 1+bn), y = 2P 2 n +1, n = 1,2, Áp dụng các công thức Binet đối vớibn, rn vàcn ta có

Từ đó, có thể được đưa ra một cách khác là x = cn - 1 Định lý này đã được chứng minh Thay x bằng x - 1 trong định lý trên, ta có một kết quả thú vị.

Hệ quả 3.4.3 Phương trình Pythagore (x−1) 2 + (x+ 1) 2 = y 2 có các nghiệm là x=cn =Q 2 n− 1 vày = 2P 2 n +1, n = 1,2, Định lý 3.4.4 Phương trình Pythagore x(x−1) 2

=y 2 có các nghiệm làx=Q 2 n− 1 =cn vày =B 2 n− 1, n= 1,2,

Chứng minh Phương trình Pythagore x(x−1) 2

Phương trình 2 = y² chứng minh rằng y² là một số tam giác, tức là y là một số cân bằng, với y = Bn cho một giá trị nào đó Tiếp theo, khi giải phương trình này với x², và dựa vào mối liên hệ giữa Bn và Rn, ta có x² = -1 + p.

Theo Định lý 3.2.3, biểu thức Bn + Rn là một số chính phương, với điều kiện là số lẻ và bằng với Q2n Do đó, nghiệm của phương trình Pythagore x(x−1)/2 được xác định dựa trên điều này.

=y 2 là x=Q 2 n− 1vày = B 2 n− 1, n = 1,2, Thật vậy, theo Định lý 2.2.1 ta cóQ 2 n− 1 = cn.Định lí được chứng minh.

Luận văn đã trình bày lại các kết quả trong [5] Cụ thể, qua ba chương, luận văn đã trình bày được về một số vấn đề sau:

1 Nhắc lại các khái niệm về các số cân bằng, số đối cân bằng, số Lucas-cân bằng, số Lucas-đối cân bằng, số Pell và số Pell liên kết;

2 Trình bày các kết quả rất thú vị về mối liên hệ giữa các số nêu trên;

3 Trình bày về nghiệm của một số phương trình Diophant được biểu diễn thông qua các loại số nêu trên.