Khái niệm về hình lồi [3]
Khi nghiên cứu hình học phẳng, chúng ta sẽ gặp gỡ các hình lồi như tam giác, hình bình hành, hình thang và các đa giác đều.
Đa giác lồi được định nghĩa trong sách giáo khoa là một đa giác mà tất cả các điểm của nó nằm về một phía của đường thẳng đi qua bất kỳ cạnh nào.
Định nghĩa hình lồi truyền thống khá hạn chế, không áp dụng cho các hình có ít nhất một cạnh không phải đoạn thẳng như hình tròn hay elip, cũng như các hình không có giới hạn trong mặt phẳng như góc Để mở rộng khái niệm này, người ta đưa ra định nghĩa mới cho các hình không phải là đa giác Cụ thể, một hình F được coi là lồi khi và chỉ khi mọi điểm A
B thuộc F thì đoạn AB thuộc F.
Các đa giác lồi rõ ràng là lồi theo định nghĩa này Ngoài ra, hình tròn, hình elip và hình viên phân hình không giới hạn trong mặt phẳng cũng được xem là hình lồi.
Bài viết này trình bày các ví dụ về hình không phải là hình lồi Hình lồi được định nghĩa là hình chứa tất cả các điểm giới hạn của nó và có thể được phân loại thành hình lồi đóng, tức là hình có thể được bao phủ bởi một hình tròn đủ lớn, gọi là oval Ngoài ra, còn có các hình lồi không bị chặn như nửa mặt phẳng, góc nhỏ hơn 180 độ, dải và phần mặt phẳng giới hạn bởi một đường thẳng parabol.
Trong một hình lồi, các điểm được phân loại thành hai loại: điểm trong và điểm biên Cụ thể, một điểm được coi là điểm trong của hình lồi F nếu có một hình tròn với điểm đó làm tâm và hoàn toàn nằm bên trong F.
Nếu F là một hình lồi đóng, thì tập hợp các điểm biên của nó được xác định là những đường liên tục, được gọi là biên của F Các oval có biên được thể hiện dưới dạng một đường khép kín.
Trong luận văn này, các hình được coi là hình đóng có biên, trừ những trường hợp ngoại lệ được nêu rõ Theo Định lý 1.1, một đường thẳng đi qua một điểm trong hình lồi F sẽ cắt biên tại hai điểm duy nhất, và đoạn nối giữa hai điểm này sẽ nằm trong hình F.
Xét điểm B là một điểm biên tùy ý thuộc hình lồi F Từ B, ta vẽ các nửa đường thẳng xuất phát và đi qua ít nhất một điểm bên trong của F.
Các tia tạo nên một nửa mặt phẳng hoặc một góc lồi Đường thẳng d, đi qua ít nhất một điểm biên và không đi qua điểm nào bên trong hình lồi F, được định nghĩa là đường thẳng tựa của F.
Trong trường hợp thứ nhất đường thẳng tạo nên nửa mặt phẳng là đường thẳng tựa duy nhất của F.
Trong trường hợp hình F nằm trong miền trong của góc ABC nhỏ hơn 180 độ, qua điểm B sẽ có vô số đường thẳng tựa của hình lồi F Cụ thể, bất kỳ đường thẳng nào không đi qua điểm trong của góc ABC đều được coi là đường thẳng tựa của F.
Các tia tạo nên bởi BA + vàBC + được gọi là nửa tiếp tuyến củaF tại
Tóm lại, qua mỗi điểm biên của hình lồi F luôn tồn tại ít nhất một đường thẳng tựa Nếu chỉ có một đường thẳng tựa duy nhất, điểm đó được gọi là điểm chính quy của F Một câu hỏi tương tự có thể được đặt ra liên quan đến việc xác định sự giao nhau của các hình tròn với bán kính cho trước tại các điểm nhất định Ngoài ra, cũng có thể đặt câu hỏi về sự tồn tại của một điểm trong đa giác, từ đó có thể quan sát tất cả các cạnh của nó.
Trong không gian một chiều, hình lồi có thể dễ dàng nhận biết và phân loại thành đoạn, khoảng, tia hoặc đường thẳng Tuy nhiên, trong không gian hai chiều, hình lồi trở nên đa dạng và phức tạp hơn, đặc biệt là trong việc xác định khi nào giao của chúng không rỗng Ví dụ, khi cho một hình hoặc một hệ điểm, việc xác định khả năng phủ nó bằng một hình tròn bán kính R là một thách thức, tương đương với việc hỏi liệu hệ các hình tròn bán kính có giao nhau hay không.
R có tâm tại các điểm thuộc hình (hoặc hệ điểm cho trước) có giao khác rỗng hay không?
Trong không gian một chiều, ta có thể chứng minh rằng một họ I các đoạn thẳng [ai, bi] trên đường thẳng có giao khác rỗng nếu và chỉ nếu giao của hai đoạn bất kỳ trong họ đó cũng khác rỗng.
Chứng minh: Điều kiện cần: Nếu giao các đoạn của họ I khác rỗng
Nếu tồn tại một điểm c thuộc giao của hai đoạn thẳng trong một tập hợp các đoạn thẳng không rỗng, thì giao của tập hợp các đoạn thẳng này sẽ không rỗng Điều kiện cần thiết và đủ để hai đoạn thẳng [ai, bi] và [aj, bj] giao nhau là min{bi, bj} phải lớn hơn hoặc bằng max{ai, aj}.