Về sự phát triển của điều kiện tối ưu trong bài toán quy hoạch lồi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCDƯƠNG THỊ HOA VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TRONG BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCDƯƠNG THỊ H

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG THỊ HOA

VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU

TRONG BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG THỊ HOA

VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU

TRONG BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.01.12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1 Các kiến thức chuẩn bị về giải tích lồi 3

1.1 Tập lồi 3

1.1.1 Các định nghĩa cơ bản về tập lồi 3

1.1.2 Toán tử chiếu tập lồi 12

1.2 Hàm lồi 17

2 Điều kiện tối ưu của bài toán quy họach lồi 23 2.1 Bài toán quy hoạch lồi 23

2.2 Điều kiện cần và đủ tối ưu 24

2.2.1 Điều kiện tối ưu theo nguyên lý Fermat của bài toán tối ưu không ràng buộc hàm một biến khả vi 24 2.2.2 Điều kiện với ràng buộc hình học 33

2.2.3 Điều kiện có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức 37

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dụng chính của bài luận văn, em xin bày tỏlời lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu người đã tận tìnhhướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

để em có thể hoàn thành luận văn này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trườngĐại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và giúp đỡ emhoàn thành khóa học

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, quý thầy cô giáo khoaToán - Tin trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, gia đình

và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em về mọimặt trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Để hoàn thành được khóa luận bản thân em đã cố gắng rất nhiềunhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mongmuốn nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc để luậnvăn được hoàn thiện hơn Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2017

Tác giả luận văn

DƯƠNG THỊ HOA

Bảng ký hiệu

Rn không gian Euclide n-chiều

B là hình cầu đơn vị mở trong Rn

B(0, 1) hình cầu đơn vị, đóng tâm ở 0

Rm+ orthant không âm của Rm

∂f (x) dưới vi phân của hàm lồi f tại x

h., i tích vô hướng trong Rn

Mở đầu

Bài toán quy hoạch lồi là phần quang trọng của lý thuyết tối ưu.Trong lý thuyết tối ưu, thì điều kiện tối ưu là rất quan trọng, nó nghiêncứu tính chất nghiệm, đề suất phương pháp giải Lý thuyết về bài toánquy hoạch lồi đã được quan tâm nghiên cứu nhiều và từ lâu đã đạtđược nhiều kết quả quan trọng dựa trên các kết quả của Giải tích lồi

và tối ưu hóa Về phương diện tính toán đã có khá nhiều phương pháphữu hiệu cho lớp toán này

Trong quá trình học và tìm hiểu về điều kiện tối ưu trong bài toánquy hoạch lồi ta thấy sự phát triển của bài toán rất phong phú vànhiều vấn đề được nối tiếp rất khoa học và hay

Mục đích của luận văn là tổng kết lại giai đoạn phát triển của điềukiện tối ưu trong bài toán quy hoạch lồi và xét đến các ứng dụng củachúng trong việc xây dựng phương pháp giải Trên cơ sở đó khảo sátđến một số ứng dụng trong việc giải bài toán quy hoạch lồi Tổng hợplại lý thuyết tối ưu thì điều kiện tối ưu là rất quan trọng vì chúng chophép nghiên cứu tính chất nghiệm, xây dựng các phương pháp giải.Điều kiện tối ưu được dựa trên nguyên lý Fermat trong bài toán cựctrị không có nghiệm ràng buộc của hàm một biến khả vi đã được họctrong chương trình PTTH Theo đó người ta đã phát triển nguyên línày bài quy hoạch có ràng buộc của hàm nhiều biến không nhất thiếtkhả vi

Bản luận văn, ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo còn có haichương chính cụ thể là: Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản nhất

về Giải tích lồi Chương 2 giới thiệu bài toán tối ưu và đặc biệt đi sâuvào sự phát triển của các điều kiện tối ưu cho các lớp bài toán tối ưulồi

1.1 Tập lồi

1.1.1 Các định nghĩa cơ bản về tập lồi

Định nghĩa 1.1.1 Một tập C ⊆ Rn được gọi là một tập lồi, nếu Cchứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là C lồi khi

Định lý 1.1.2 Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồicủa các điểm của nó Tức là: C lồi khi và chỉ khi

Định lý 1.1.3 Nếu A, B là các tập lồi trong Rn, C là lồi trong Rm,thì các tập sau là lồi:

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C

Vậy tập a-phin là một trường hợp riêng của tập lồi Như đã nêu, một

ví dụ điển hình của tập a-phin là các không gian con Một ví dụ khác

về tập a-phin là siêu phẳng được định nghĩa dưới đây

Định nghĩa 1.1.5 Siêu phẳng trong không gian Rn là một tập hợpcác điểm có dạng

{x ∈ Rn|aTx = α},trong đó a ∈ Rn là một véc - tơ khác 0 và α ∈ R

Véc - tơ a thường được gọi là véc - tơ pháp tuyến của siêu phẳng Mộtsiêu phẳng sẽ chia không gian ra hai nửa không gian Nửa không gianđược định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.1.6 Nửa không gian là một tập hợp có dạng

{x|aTx ≥ α},

trong đó a 6= 0 và α ∈ R Đây là nửa không gian đóng Tập

{x|aTx ≥ α}

là nửa không gian mở

Như vậy một siêu phẳng chia không gian ra làm hai nửa không gian,mỗi nửa không gian ở về một phía của siêu phẳng Nếu hai nửa khônggian này là đóng thì phần chung của chúng chính là siêu phẳng đó.Mệnh đề dưới đây cho thấy tập a-phin chính là ảnh tịnh tiến củamột không gian con

Định lý 1.1.7 M 6= ∅ là tập a-phin khi và chỉ khi nó có dạng M =

L + a với L là một không gian con và a ∈ M Không gian con L nàyđược xác định duy nhất

Không gian L trong định lý trên được gọi là không gian con songsong với M, hoặc nói ngắn gọn hơn là không gian con của M Thứnguyên (hay chiều) của một tập a-phin M được định nghĩa bởi thứnguyên của không gian song song với M và được ký hiệu là dim M.Định nghĩa 1.1.8 Một tập được gọi là tập lồi đa diện, nếu nó là giaocủa một số hữu hạn các nửa không gian đóng

Như vậy, theo định nghĩa, tập lồi đa diện là tập hợp nghiệm của một

hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh củamột tập lồi đa diện được cho như sau:

D := {x ∈ Rn|haj, xi ≤ bj, j = 1, , m}

Hoặc nếu ta ký hiệu A là ma trận có m hàng là các véc - tơ aj (j =

1, , m) và véc - tơ bT = (b1, , bm), thì hệ trên viết được là:

nên tập nghiệm của một hệ hữu hạn các phương trình và bất phươngtrình cũng là một tập lồi đa diện.

Định nghĩa 1.1.9 Một tập C được gọi là nón nếu

là một tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện Một ví dụ điểnhình của nón lồi đa diện, thường được sử dụng, là tập hợp nghiệm của

hệ bất phương trình tuyến tính có dạng

{x|Ax ≥ 0},với A là một ma trận thực cấp hữu hạn (số dòng và số cột là hữu hạn).Định lý 1.1.10 Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tínhchất sau:

(i) λC ⊆ C ∀λ > 0,

(ii) C + C ⊆ C

Chứng minh Giả sử C là một nón lồi Do C là một nón, nên ta có(i) Do C là một tập lồi, nên với mọi x, y ∈ C, thì 12(x + y) ∈ C Vậytheo (i) ta có x + y ∈ C

Ngược lại, giả sử có (i) và (ii) Từ (i) suy ra ngay C là một nón.Giả sử x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] Từ (i) suy ra λx ∈ C, và (1 − λ)y ∈ C.Theo (ii) có λx + (1 − λ)y ∈ C Vậy C là một nón lồi Một số nón điển hình Dưới đây ta sẽ xét một số nón lồi điển hìnhthường được sử dụng trong giải tích lồi

Tập lồi có một đặc trưng là: một tia xuất phát từ một điểm thuộc

nó, thì hoặc nằm hẳn trong tập này hoặc một khi đã ra khỏi tập nàythì sẽ không "trở lại"

Định nghĩa 1.1.11 Cho C là một tập lồi trong Rn Một véc - tơ y 6= 0được gọi là hướng lùi xa của C, nếu mọi tia xuất phát từ một điểmbất kỳ của C theo hướng y đều nằm trọn trong C, tức là: y là hướnglùi xa khi và chỉ khi

x + λy ∈ C ∀x ∈ C, ∀λ ≥ 0

Một hướng lùi xa còn được gọi là hướng vô hạn Ta sẽ ký hiệu tậphợp của tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc là reC Tậphợp này được gọi là nón lùi xa của C Hiển nhiên nếu C là một tập bịchặn, thì reC chỉ gồm duy nhất điểm gốc Chú ý rằng, nếu C là mộttập lồi đóng, thì trong định nghĩa trên, thay vì đòi hỏi với mọi x ∈ C,chỉ cần đòi hỏi cho một điểm x ∈ C Cụ thể ta có định lý sau:

Định lý 1.1.12 Giả sử C là một tập lồi đóng Khi đó y là một hướnglùi xa của C khi và chỉ khi

x + λy ∈ C ∀λ ≥ 0,với một điểm x nào đó thuộc C

Chứng minh Giả sử x + λy ∈ C ∀λ > 0, với x ∈ C Thế thì với mọi

Cho C ⊆ Rn là một tập lồi và x ∈ C Ký hiệu

NC(x) := {w|hw, y − xi ≤ 0 ∀y ∈ C}

Hiển nhiên 0 ∈ NC(x) Dùng định nghĩa, dễ kiểm tra được rằng NC(x)

là một nón lồi đóng Nón này được gọi là nón pháp tuyến ngoài của

C tại x Tập −NC(x) được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x.Hiển nhiên

−NC(x) := {w|hw, y − xi ≥ 0 ∀y ∈ C}

Một nón quan trọng khác là nón đối cực được định nghĩa như sau:

C∗ := {w|hw, xi ≤ 0 ∀x ∈ C}

Dễ thấy rằng đây cũng là một nón lồi đóng chứa gốc

Cho C là một tập lồi khác rỗng và x ∈ C Ta nói d ∈ Rn là mộthướng chấp nhận được của C nếu tồn tại t0 > 0 sao cho x + td ∈ Cvới mọi 0 ≤ t ≤ t0 Tập tất cả các hướng chấp nhận được là một nónlồi (dễ kiểm tra) chứa gốc Ta sẽ ký hiệu nón này là FC(x) và sẽ gọi

là nón các hướng chấp nhận được hoặc nói ngắn gọn là nón chấp nhậnđược Nón này có thể không đóng, tuy nhiên nếu lấy bao đóng, ta sẽdược một nón khác gọi là nón tiếp xúc của C tại x Ký hiệu nón này

sẽ được ký hiệu là coE; bao a-phin của một tập E sẽ được ký hiệu là

af f E, còn bao nón lồi của E sẽ được ký hiệu là coneE Do tính chấtcủa nón, nên nếu một điểm x ∈ coneE, thì λx ∈ coneE với mọi λ > 0

Do đó để tiện làm việc, người ta thường cho luôn điểm gốc vào baonón lồi của một tập

Chú ý rằng giao của các tập lồi (tập a-phin, nón lồi) cũng là tập lồi(tập a-phin, nón lồi), nên bao lồi, bao a-phin và bao lồi được xác địnhmột cách duy nhất Như vậy bao lồi của một tập E là tập lồi nhỏ nhấtchứa E Tương tự bao a-phin của E là tập a-phin nhỏ nhất chứa E

Bao nón lồi của E là tập hợp gồm gốc tọa độ và nón lồi nhỏ nhất chứa

E Như vậy khác với bao lồi và bao a-phin, bao nón lồi của một tậpnói chung khác một chút với nón lồi nhỏ nhất chứa tập đó

Dĩ nhiên nếu E 6= ∅, thì bao lồi, bao a-phin và bao nón lồi luôn tồntại duy nhất và khác rỗng vì các tập này đều chứa E và vì bản thântoàn bộ không gian đồng thời vừa là một tập lồi, một tâp a-phin vàmột nón lồi chứa E

Chú ý rằng có một số tác giả định nghĩa nón như sau: một tập Cđược gọi là một nón nếu với mọi x ∈ C thì λx ∈ C với mọi λ ≥ 0.Theo định nghĩa này, nón luôn chứa gốc Khi đó bao nón lồi của mộttập E chính là giao của các nón lồi chứa E

Nhắc lại rằng, thứ nguyên (còn gọi là chiều) của một tập E bất kỳđược định nghĩa như là thứ nguyên của bao a-phin của nó Tức là

dim E := dim(af f E)

Định lý 1.1.14 Cho E là một tập lồi Khi đó

coneE = {λx|x ∈ E, λ ≥ 0}

Chứng minh Gọi M := {λx|x ∈ E, λ > 0} Hiển nhiên là bất kỳ nónnào chứa E, đều phải chứa M Ta sẽ chỉ ra là bản thân M cũng là mộtnón lồi Giả sử y1, y2 ∈ M Vậy y1 = λ1x1, y2 = λ2x2 với λ1, λ2 > 0 và

Chứng minh định lý này sẽ dùng đến định lý sau, cũng là một dạngcủa định lý Carathéodory đối với bao nón lồi.

Định lý 1.1.16 Giả sử E ⊂ Rk Khi đó mỗi điểm x 6= 0 thuộc coneEđều có thể biểu diễn dưới dạng

Ta có coB = {1} × coE Giả sử coneB là nón lồi sinh bởi B Do coB

là tập lồi nhỏ nhất chứa B, nên

Ký hiệu tập hợp các điểm trong của tập E là intE và B là quả cầuđơn vị, tâm ở gốc Khi đó theo định nghĩa, ta có

intE = {x : ∃r > 0, x + rB ⊂ E}

Điểm a được gọi là điểm biên của E nếu mọi lân cận của a đều cóđiểm thuộc E và điểm không thuộc E Tập E được gọi là tập mở nếumọi điểm của E đều là điểm trong của E Tập E được gọi là tập đóng,nếu E chứa mọi điểm biên của nó Tập E ⊂ Rn được gọi là một tậpcompact, nếu E là một tập đóng và bị chặn Ta nói điểm a thuộc baođóng của tập E nếu mọi lân cận của a đều chứa điểm thuộc E Kýkiệu E là bao đóng của E Khi đó từ định nghĩa, suy ra

E = ∩r>0(E + rB)

Chú ý rằng bao lồi của một tập đóng không nhất thiết đóng

Ví dụ, nếu

E = {(x, 0) ∈ R2, x ∈ R} ∪ {(0, 1)},thì

com-1.1.2 Toán tử chiếu tập lồi

Định nghĩa 1.1.18 Cho C 6= ∅ (không nhất thiết lồi) và y là mộtvéc-tơ bất kỳ, đặt

dC(y) := inf

x∈Ckx − yk

Ta nói dC(y) là khoảng cách từ y đến C Nếu tồn tại π ∈ C sao cho

dC(y) = kπ − yk, thì ta nói πlà hình chiếu (vuông góc) của y trên C Định lý 1.1.19 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng Khi đó:

i) Với mọi y ∈ Rn, π ∈ C hai tính chất sau là tương đương:

a) π = pC(y),

b) y − π ∈ NC(π)

ii) Với mọi y ∈ Rn, hình chiếu pC(y) của y trên C luôn tồn tại vàduy nhất

iii) Nếu y /∈ C, thì hpC(y) − y, x − pC(y)i = 0 là siêu phẳng tựa của

C tại pC(y) và tách hẳn y khỏi C, tức là

hpC(y) − y, x − pC(y)i ≥ 0, ∀x ∈ C,và

hpC(y) − y, y − pC(y)i < 0

iv) Ánh xạ y ֒→ pC(y) có các tính chất sau:

a) kpC(x) − pC(y)k ≤ kx − yk ∀x, ∀y (tính không giãn),

b) hpC(x) − pC(y), x − yi ≥ kpC(x) − pC(y)k2, (tính đồng bức).Chứng minh

i) Giả sử có a) Lấy x ∈ C và λ ∈ (0, 1) Đặt

xλ := λx + (1 − λ)π

Do x, π ∈ C và C lồi, nên xλ ∈ C Hơn nữa do π là hình chiếu của

y, nên kπ − yk ≤ ky − xλk Hay

kπ − yk2 ≤ kλ(x − π) + (π − y)k2.Khai triển vế phải, ước lược và chia hai vế cho λ > 0 , ta có

Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C.

Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu Thật vậy, nếu tồntại hai điểm π và π1 đều là hình chiếu của y trên C, thì

y − π ∈ NC(π), y − π1 ∈ NC(π1)

Tức là

hπ − y, π1 − πi ≥ 0và

iv) Theo phần (ii) ánh xạ x ֒→ p(x) xác định khắp nơi Do z − p(z) ∈

NC(p(z)) với mọi z, nên áp dụng với z = x và z = y, ta có:

hx − p(x), p(y) − p(x)i ≤ 0và

Bổ đề 1.1.21 (Bổ đề liên thuộc) Cho C ⊂ Rn là một tập lồi khácrỗng Giả sử x0 ∈ C Khi đó tồn tại t ∈ Rn, t 6= 0 thỏa mãn

ht, xi ≥ ht, x0i∀x ∈ C (1.4)

Chứng minh Định lý 1.1.20 Do C và D là lồi, nên C − D cũnglồi Hơn nữa 0 /∈ (C − D), vì C ∩ D = ∅ Theo bổ đề trên áp dụngvới x0 = 0, tồn tại véc-tơ t ∈ Rn, t 6= 0 sao cho ht, zi ≥ 0 với mọi

đó hai tập này có thể tách mạnh được bởi một siêu phẳng

Cũng như trên, định lý tách mạnh được dễ dàng suy ra từ bổ đề saunói về sự tách mạnh giữa một tập lồi đóng và một điểm bên ngoài tậpnày

Bổ đề 1.1.23 Cho C ⊂ Rn là một tập lồi đóng khác rỗng sao cho

0 /∈ C Khi đó tồn tại một véc-tơ t ∈ Rn, t 6= 0 và α > 0 sao cho

ht, xi ≥ α > 0, ∀x ∈ C

Chứng minh Định lý 1.1.22 Giả sử C là tập compact Ta chỉ ra tập

C −D đóng Thật vậy, giả sử zk ∈ C −D và zk → z Ta có zk = xk−ykvới xk ∈ C, yk ∈ D Vì C compact, nên có một dãy con xkj → x khi

j → +∞ Vậy ykj = zkj − xkj → z − x ∈ D Vậy z = x − y ∈ C − D.Chứng tỏ C − D là tập đóng Do 0 /∈ C − D, nên theo bổ đề trên, tồntại t 6= 0, sao cho ht, x − yi ≥ α > 0 với mọi x ∈ C, y ∈ D Vậy

inf

x∈Cht, xi − α2 ≥ sup

y∈Dht, yi + α2

Chứng tỏ C và D có thể tách mạnh 

Hệ quả 1.1.24 Cho A là một ma trận thực cấp m × n và a ∈ Rn Khi

đó trong hai hệ dưới đây có một hệ và chỉ duy nhất một hệ có nghiệm:

Ax ≥ 0, aTx < 0 với một x ∈ Rn, (1.5)

ATy = a, y ≥ 0 với một y ∈ Rm (1.6)1.2 Hàm lồi

Định nghĩa 1.2.1 Cho ∅ 6= C ⊆ Rn lồi và f : C → R Ta nói f làhàm lồi trên C, nếu epif là một tập lồi trong Rn+1

Định nghĩa 1.2.2 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} (không nhất thiết lồi),

C ⊆ Rn là một tập lồi khác rỗng và η là một số thực Ta nói η là hệ

số lồi của f trên C, nếu với mọi λ ∈ (0, 1), mọi x, y thuộc C, ta có

f [(1 − λ)x + λy] ≤ (1 − λ)f(x) + λf(y) − 12ηλ(1 − λ)kx − yk2.Định lý 1.2.3 Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên Rn Khi đó

f liên tục tại mọi điểm x ∈ int(domf)

Chứng minh Do f lồi, nên domf và int(domf) là các tập lồi Khi

đó có một đơn hình n-chiều S ⊂ int(domf) Giả sử v1, , vn+1 là cácđỉnh của đơn hình S Với mọi x ∈ S, ta có

Hệ quả 1.2.4 Cho f là một hàm lồi chính thường trên Rn Khi đó vớimọi tập compact C ⊆ int(domf), tập f(C) compact.

Định nghĩa 1.2.5 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} Ta nói x∗ ∈ Rn là dướiđạo hàm của f tại x nếu

hx∗, z − xi + f(x) ≤ f(z) ∀z

Định nghĩa 1.2.6 Cho T : Rn → 2Rn

và C ⊆ domT Ta nói T là đơnđiệu tuần hoàn trên C, nếu với mọi số nguyên, dương m và mọi cặp(xi, yi) ∈ G(T ), xi ∈ C(i = 0, m) ta có

hx1 − x0, y0i + hx2 − x1, y1 + + x0 − xm, ymi ≥ 0 (1.7)

Định nghĩa 1.2.7 Ta nói một toán tử T : Rn → 2Rn là đơn điệu cựcđại, nếu nó là đơn điệu và đồ thị của nó không phải là tập con thực

sự của đồ thị của một toán tử đơn điệu nào khác Toán tử T được gọi

là đơn điệu tuần hoàn cực đại, nếu nó là đơn điệu tuần hoàn và đồ thịcủa nó không là tập con thực sự của đồ thị của một toán tử đơn điệutuần hoàn khác

Hệ quả 1.2.8 Mọi toán tử đơn điệu tuần hoàn cực đại trong Rn đều

là dưới vi phân của một hàm lồi, đóng chính thường trên Rn

Định lý 1.2.11 Cho một tập lồi, mở U ⊆ Rn và f là một hàm lồinhận giá trị hữu hạn trên U Giả sử {fi}i∈I là một dãy các hàm lồihữu hạn trên U và hội tụ theo từng điểm trên U đến f Khi đó, nếudãy {xi} ⊂ U hội tụ đến x ∈ U, thì với mọi ǫ > 0, tồn tại chỉ số iǫ saocho

∂fi(xi) ⊂ ∂f(x) + ǫB(0, 1) ∀i ≥ iǫ,trong đó B(0, 1) là hình cầu đơn vị, đóng tâm ở 0

Chứng minh Bạn đọc tham khảo tài liệu [1]

Định lý 1.2.12 (Moreau-Rockafellar) Cho fi, i = 1, , m là các hàmlồi chính thường trên Rn Khi đó

Để chứng minh định lý trên ta sử dụng mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2.13 Cho f1, , fm là các hàm lồi hữu hạn trên một tậplồi D 6= ∅ và A là một ma trận thực cấp k × n Giả sử b ∈ intA(D).Khi đó hệ

x ∈ D, Ax = b, fi(x) < 0 i = 1, , mkhông có nghiệm, khi và chỉ khi tồn tại t ∈ Rk và λi ≥ 0, i = 1, , msao cho

có thể dễ dàng kiểm tra dựa vào định nghĩa dưới vi phân.

Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy x0 ∈ Rn và x∗ ∈

∂(f1 + f2)(x0) Theo định nghĩa của dưới vi phân thì hệ

U = (a + U ) − a ⊂ domf1 − domf2 = A(D)

Vậy 0 ∈ intA(D) Áp dụng Mệnh đề 1.2.13 với

ht, x − x0i + [f1(x) + f2(x0) − hx∗, x − x0i] ≥ 0 ∀x

Suy ra x∗ ∈ t + ∂f1(x0)

Bây giờ lại lấy x = x0, thì

ht, x0 − yi + [f2(y) − f2(x0) ≥ 0 ∀x

Suy ra t ∈ ∂f2(x0).

Định lý 1.2.14 Cho g(x) = (g1(x), , gm(x)) sao cho với mỗi gi :

Rn → R lồi Giả sử ϕ : Rm → R lồi, đơn điệu không giảm trên Rn.Khi đó hàm hợp f := ϕ ◦ g lồi trên Rn và

Để chứng minh Định lý trên ta sử dụng mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2.15 Giả sử f0, f1, , fm là các hàm lồi hữu hạn trên tậplồi D 6= ∅ Khi đó hệ

x ∈ D, fi(x) < 0, i = 0, 1 , mkhông có nghiệm, khi và chỉ khi tồn tại các số λi ≥ 0 (i = 0, 1 , m)không đồng thời bằng 0 sao cho

Bạn đọc tham khảo tài liệu [1]

Định lý 1.2.16 Cho f = max{f1, , fm}, trong đó fi : Rn → R ĐặtJ(x) := {j|1 ≤ j ≤ m : f(x) = fj(x)} Khi đó

∂f (x) = co{∂fj(x)|j ∈ J(x)}

Chứng minh Giả sử p ∈ ∂f(x0) Khi đó

f (x) − f(x0) − hp, x − x0i < 0không có nghiệm Từ đây và chú ý rằng với bất kỳ x nào cũng tồn tại

một chỉ số j (phụ thuộc x) để f(x) = fj(x), ta suy ra hệ

fj(x) − f(x0) − hp, x − x0i < 0, j = 1, , mkhông có nghiệm Theo Mệnh đề 1.2.15, tồn tại các λj ≥ 0,

m

X

j=1

λj = 1sao cho

j∈J(x 0 )

fj(x0)



có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, xét ví dụ áp dụng điều kiệntối ưu Nội dung chương này tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [4], [5].2.1 Bài toán quy hoạch lồi

Cho D ⊆ Rn và f : Rn → R Xét bài toán quy hoạch toán học

đóng và bị chặn dưới.

Chứng minh Nếu x∗ là nghiệm tối ưu thì F+(D) = [f (x∗), +∞] đóng(là phần bù của một tập mở) và bị chặn dưới

Ngược lại, giả sử F+D bị chặn dưới Đăt t∗ = inf F+(D) thì t > −∞

Do F+(D) đóng, t∗ ∈ F+D nên tồn tại x∗ ∈ D sao cho f(x∗) = t∗.Chứng tỏ x∗ là một điểm cực tiểu của f trên D 2.2 Điều kiện cần và đủ tối ưu

2.2.1 Điều kiện tối ưu theo nguyên lý Fermat của bài toán

tối ưu không ràng buộc hàm một biến khả vi

Ở đây, không gian X trong bài toán (P ) là X = R

Chứng minh

Giả sử f(x) đạt cực đại địa phương tại x0 và có đạo hàm tại x0 Khi

đó f(x) xác định trên một khoảng (x − δ; x + δ) với một δ > 0 và trênkhoảng này ta có:

Định lý Fermat ở đây chỉ nêu điều kiện cần của cực trị Mệnh đềđảo của định lý không đúng, ví dụ hàm số f(x) = x3 tại x = 0 Để tìmđược cực trị, ta dùng Định lý Fermat tìm ra các điểm “nghi vấn”, sau

đó sử dụng các điều kiện đủ để kiểm tra cực trị

Hình 2.1: Pierre de Fermat

Pierre de Fermat sinh ngày 17 tháng 8 năm 1601 tại Pháp, ôngmất năm 1665 Fermat là một học giả vĩ đại, một nhà toán học nổitiếng và là cha đẻ của lý thuyết số hiện đại

Fermat xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và

lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án nhưng lại vô cùng say

mê toán học với thói quen nổi tiếng là ghi các ghi chú bên lề các quyểnsách

Fermat là một học giả nghiệp dư đích thực Ông được mệnh danh

là "Ông Hoàng của những người nghiệp dư" Trong những thư từ traođổi với các nhà toán học, ông luôn viết những phát biểu cho định lí mớinhất của mình, nhưng không gửi kèm chứng minh Và ông thách thức

họ tìm ra chứng minh đó Việc ông không bao giờ tiết lộ chứng minhcủa mình cho mọi người biết khiến họ rất bực mình Rene Descartes

đã gọi Fermat là "thằng cha khoác lác", còn John Wallis thì gọi ông

là "gã người Pháp chết tiệt" Khi Blaise Pascal ép ông công bố chứngminh, nhà toán học đã nói: "Bất cứ công trình nào của tôi cũng xứngđáng được công bố, nhưng tôi không muốn tên tôi xuất hiện ở đó.".Ông là một người ưa bí mật, ông sẵn sàng hy sinh danh tiếng của mình

để miễn là không bị quấy rầy bởi những câu hỏi vụn vặt của nhữngngười phê bình

a) Vì hàm số f (x) liên tục trên K và f′(x) > 0 trên khoảng (x0−δ; x0)

và f′(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + δ) nên ta có

f (x0 + ∆x) − f(x0) ≤ 0 với mọi |∆x| < δ

hay f(x0+ ∆x) ≤ f(x0) với mọi |∆x| < δ , điều này tương đươngvới f(x) ≤ f(x0) với mọi x ∈ (x0 − δ; x0 + δ), hay x0 là điểm cựcđại của hàm số