Đẳng thức, bất đẳng thức chứa đạo hàm trong lớp đa thức và một số dạng toán liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCPHẠM THỊ NGỌC DAO ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA ĐẠO HÀM TRONG LỚP ĐA THỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017... TRƯỜNG ĐẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ NGỌC DAO

ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA ĐẠO HÀM TRONG LỚP ĐA THỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN

LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ NGỌC DAO

ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA ĐẠO HÀM TRONG LỚP

ĐA THỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG

TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

Chương 1 Một số dạng đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp

1.1 Tính chất cơ bản của hàm số liên tục 3

1.2 Một số đẳng thức chứa đạo hàm cơ bản 6

1.3 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm cơ bản 11

1.4 Một số tính chất của hàm lồi khả vi 14

Chương 2 Các đẳng thức và bất đẳng thức chứa đạo hàm trong đa thức 20 2.1 Đẳng thức chứa đạo hàm giữa các đa thức 20

2.1.1 Định lý Rolle đối với đa thức 20

2.1.2 Nội suy Taylor đối với đa thức 21

2.1.3 Nội suy Newton đối với đa thức 23

2.1.4 Nội suy theo các nút là điểm dừng của đồ thị 26

2.2 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm giữa các đa thức 30

2.2.1 Bất đẳng thức Newton đối với đa thức 30

2.2.2 Bất đẳng thức bậc hai trên một đoạn 32

2.3 Ước lượng đa thức và đạo hàm của đa thức 40

Chương 3 Một số dạng toán liên quan 46 3.1 Một số dạng toán cực trị trong đa thức 46

3.2 Khảo sát phương trình và hệ phương trình đa thức 48

KẾT LUẬN 57

Mở đầu

Chuyên đề về đa thức là một chuyên đề rất quan trọng ở bậc trung học phổthông Đa thức không chỉ là đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đại số mà còn

là công cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực khác của toán học

Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, Olympic Toán sinh viên, các bàitoán liên quan tới đa thức nói chung và đặc biệt là các bài toán về đẳng thức,bất đẳng thức và cực trị của đa thức chứa hoặc không chứa đạo hàm thườngxuyên được đề cập Những dạng toán này thường được là thuộc loại khó, hơnnữa phần kiến thức về đa thức và các dạng toán về đẳng thức, bất đẳng thức vàcực trị lại không nằm trong chương trình chính thức của chương trình Số học,Đại số và Giải tích bậc trung học phổ thông

Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên

đề đa thức, tôi đã làm luận văn "Đẳng thức, bất đẳng thức chứa đạo hàm tronglớp đa thức và một số bài toán liên quan" Luận văn nhằm cung cấp một số cácdạng toán về đẳng thức, bất đẳng thức đa thức chứa đạo hàm và trình bày cácphương pháp giải chúng, xét các bài toán cực trị, khảo sát phương trình, bấtphương trình đa thức cùng một số dạng liên quan

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 3 chương

Chương 1 Một số dạng đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm liên tục

Chương 1 Một số dạng đẳng thức

và bất đẳng thức trong lớp hàm liên tục và hàm khả vi

Trong chương này trình bày một số tính chất cơ bản của các hàm liên tục vàkhả vi

1.1 Tính chất cơ bản của hàm số liên tục

Định lý 1.1 (Tính trù mật của hàm liên tục, [4], [6]) Giả sử hàmf (x)liên tụctrên đoạn [a, b] và f(a)f (b) < 0. Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0.

Định lý 1.2 (Định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục, [4],[6]) Nếu f(x)

liên tục trên [a, b], thì f (x) nhận giá trị trung gian giữa f(a) và f (b) Tức là, vớimọi γ nằm giữa f(a) và f (b) luôn tồn tại giá trị c ∈ [a, b] sao cho f (c) = γ.

Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử f(a) < f (b) Ta thấy định lý

dễ dàng được chứng minh khi γ = f (a) hoặc γ = f (b).

Xét γ với f (a) < γ < f (b). Ta chứng minh tồn tại giá trị c ∈ [a, b] sao cho

f(c) = γ.

Thật vậy, xét hàm g (x) = f (x) − γ là một hàm liên tục trên [a, b].

Ta lại có g(a) < 0, g(b) > 0 theo Định lý 1.1 luôn tồn tại giá trị c ∈ (a, b) để

g(c) = 0.

Điều đó cho thấy luôn tồn tại giá trị c ∈ [a, b] sao cho f(c) = γ. Định lý đượcchứng minh

Định lý 1.3 (Định lý Weierstrass, [4],[6]) Giả sửf là hàm xác định và liên tụctrên [a, b]. Khi đó luôn tồn tại các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

f trên đoạn [a, b], tức là tồn tại xm, xM ∈ [a, b] sao cho với mọi x ∈ [a, b] ta luôn

có f (xm) ≤ f(x) ≤ f(x M ).

Chứng minh Trước hết, ta đi chứng minh f (x) bị chặn trên [a, b]. Giả sử

f(x) không bị chặn trên [a, b], tức là với mọi n ∈ N tồn tại x n ∈ [a, b] sao cho

|f(x n )| ≥ n.

Ta thấy dãy (x n ) bị chặn nên theo Định lý Balzano-Weierstrass tồn tại mộtdãy con của nó xnk → x 0 ∈ [a, b] sao cho |f(xn k )| ≥ n k Chuyển qua giới hạn, tathu được |f(x0 )| = +∞, mâu thuẫn vì f(x) liên tục tại x 0 Vậy f (x) bị chặn.Gọi m = inf

Tương tự, tồn tại xM để f (xM) = sup

Vì trong bất kỳ lân cận nào của điểm hữu tỷ đều tìm được các điểm vô tỷ

và ngược lại, nên với điểm x0 tùy ý trong khoảng (−∞, +∞) không tồn tại giớihạn lim

x→x 0

D(x).

Như vậy, mọi điểm của trục thực là điểm gián đoạn từ hai phía của hàmDirichlet

Ví dụ 1.2 (Hàm Riemann) Trên đoạn [0, 1] xét hàm số

- Các điểm hữu tỷ là điểm gián đoạn của hàm số,

- Các điểm vô tỷ là điểm liên tục của hàm số

Chứng minh Giả sử x 0 là một điểm tùy ý thuộc [0, 1]. Với mỗi số ε > 0 chỉtồn tại một số hữu hạn các số tự nhiên thỏa mãn điều kiệnq 6 1

ε,nghĩa là trongđoạn [0, 1] chỉ có một số hữu hạn các số hữu tỷ dạng p

q, mà f

p q



= 1

q ≥ ε. Xétlân cận đủ nhỏ của điểm x 0 dạng (x 0 − δ, x 0 + δ) (δ > 0), sao cho trong lân cậnnày không có điểm nào trong số các điểm hữu tỷ đã nói ở trên trừ điểm x 0).Khi đó, với |x − x0 | < δ, (x 6= x 0 ) thì |f(x)| < ε. Nghĩa là, với mọi x0 tồn tại

f(x 0 + 0), f(x 0 − 0) và

f (x 0 + 0) = f (x 0 − 0) = 0.

Nếu x0 là số vô tỷ, thì f(x) = 0, nghĩa là tại điểm này hàm số là liên tục, nếu

x0 là số hữu tỷ, thì f(x 0 ) 6= 0, do đó có gián đoạn từ hai phía

Bài toán 1.1 Chứng minh rằng, nếu f(x) là hàm liên tục, thì

khi |x − x0 | < δ, nghĩa là F (x) cũng là hàm liên tục

Nhận xét 1.1 Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng

1.2 Một số đẳng thức chứa đạo hàm cơ bản

Trong phần này, ta xét các định lý về giá trị trung bình

Định nghĩa 1.1 ([4],[6]) Hàm số f được gọi là khả vi tại điểm a khi và chỉ khitồn tại lân cận Ω của a sao cho tồn tại f′(x) với mọi x ∈ Ω.

Nhận xét 1.2 Về sau, ta gọi hàm số f đạt cực trị địa phương tại điểm a nếu

f đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại điểm a.

Tiếp theo, ta trình bày các kết quả cơ bản liên quan đến các đẳng thức vềgiá trị trung bình của hàm số sau đây

Định lý 1.4 (Định lý Fermat, [4]) Nếu hàm f (x) khả vi tại điểma và đạt cựctrị địa phương tại a thì f′(a) = 0.

Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta giả sửf (x)đạt cực đại địa phươngtại a. Điều đó cho thấy tồn tại lân cận Ω của a sao cho

hf (a + h) − f(a)

h

i

= f′(a) ≥ 0 (2)

Có hai khả năng xảy ra:

- Nếu m = M, khi ấy f (x) = const trên đoạn [a, b], do đó f′(x) = 0 với mọi

x ∈ (a, b) và c là điểm bất kì trên khoảng đó

- Nếu m < M, khi đó từ điều kiệnf (a) = f (b) nên có ít nhất một trong hai điểm

x 1 , x 2 không trùng với các đầu mút của [a, b] Giả sử x 1 ∈ (a, b), theo Định lýFermat thì đạo hàm bằng 0 tại điểm này

Nhận xét 1.3

- Định lý Rolle nói chung sẽ không còn đúng nếu trong khoảng (a, b) có điểm c

mà tại đó không tồn tại f′(c)

- Điều kiện liên tục của hàm f(x) trên đoạn [a, b] cũng không thể thay bởi điềukiện f (x) liên tục trong khoảng (a, b)

- Ý nghĩa hình học: Khi các điều kiện của Định lý Rolle được thỏa mãn thìtrên đồ thị hàm số y = f (x), ∀x ∈ [a, b] tồn tại điểm M (c, f (c)), c ∈ (a, b) mà tại

đó tiếp tuyến song song với trục hoành

Hệ quả 1.2 Nếu đa thức f (x) có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b) thì

đa thức f′(x) có ít nhất n − 1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b)

Đa thức f(k)(x) (0 ≤ k ≤ n) có ít nhất n − k nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(a, b).

Chứng minh Giả sử phương trình f(x) = 0 có n nghiệm phân biệt thuộckhoảng (a, b) được sắp xếp thứ tự x 1 < x 2 < · · · < x n.

Khi đó, áp dụng Định lý Rolle cho n − 1 đoạn [x 1 , x 2 ], [x 2 , x 3 ], , [xn−1, xn]

thì phương trình f′(x) = 0 có ít nhất n − 1 nghiệm thuộc n − 1 khoảng (x 1 , x 2 ), (x 2 , x 3 ), , (xn−1, xn) Gọi n − 1 nghiệm đó là t 1 , t 2 , , tn−1 thì ta có

f′(t 1 ) = f′(t 2 ) = · · · = f′(tn−1) = 0.

Tiếp tục áp dụng Định lý Rolle cho n − 2 đoạn [t 1 , t 2 ], [t 2 , t 3 ], , [tn−2, tn−1]

thì phương trình f”(x) = 0 có ít nhất n − 2 nghiệm trong khoảng (a, b)

Tiếp tục lập luận như trên, sau k bước, phương trình f(k)(x) = 0 có ít nhất

n − k nghiệm trong khoảng (a, b)

Hệ quả 1.3 Giả sử đạo hàm của đa thứcf′(x)có không quán − 1nghiệm phânbiệt trong khoảng (a, b) thì phương trình f (x) = 0 có không quá n nghiệm phânbiệt trên khoảng đó

Chứng minh Giả sử phương trìnhf (x) = 0 có nhiều hơn n nghiệm phân biệttrên khoảng (a, b), chẳng hạn là n + 1 nghiệm, thế thì theo Hệ quả 1.2, phươngtrình f′(x) = 0 có ít nhất n nghiệm thuộc khoảng (a, b) Điều này trái với giảthiết Vậy phương trình f(x) = 0 có không quá n nghiệm trên khoảng (a, b).Định lý 1.6 (Định lý Lagrange) Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b] và có đạohàm trong khoảng (a, b) Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f(a) = f′(c)(b − a). (1.1)Chứng minh Ta xét hàm phụ

F (x) = f (x) − λx, (1.2)trong đó số λ được chọn sao cho F (a) = F (b), tức là sao cho

f (a) − λa = f(b) − λb.

Để có điều đó, chỉ cần chọn

λ = f(b) − f(a)

Rõ ràng hàmF (x)liên tục trên đoạn[a, b]và có đạo hàm trên(a, b)vàF (a) = F (b),

do đó theo Định lý Rolle, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho F′(c) = 0 Từ (1.1), ta có

- Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f (x) thỏa mãn tất cả các điều kiện của Định

lý Lagrange thì trên đồ thị của hàm số y = f (x) phải tồn tại ít nhất một điểm

M (c, f (c)) sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó song song với dây cungAB,với A(a, f (a)), B(b, f (b))

Hệ quả 1.4 Giả sử f : [a, b] →R là hàm liên tục và f′(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b).Khi đó f = const trên đoạn [a, b].

Chứng minh Thật vậy, giả sử x 0 ∈ (a, b) là một điểm cố định nào đó, còn x

là điểm tùy ý của (a, b) Đoạn [x 0 , x], [x, x 0 ] nằm trọn trong khoảng (a, b), vì thế

f có đạo hàm khắp nơi và liên tục trên đoạn đó Áp dụng Định lý Lagrange, tacó

f (x) − f(x 0 ) = f′(c)(x − x 0 ), ∀c ∈ (x 0 , x).

Nhưng theo giả thiết thì f′(x) = 0, ∀x ∈ (a, b) nên f′(c) = 0, ∀x ∈ (x 0 , x) Vìthế ta có f(x) = f (x 0 ) Đẳng thức này khẳng định rằng giá trị của hàm f (x) tạiđiểm bất kì x ∈ (a, b) luôn luôn bằng giá trị của hàm tại một điểm cố định

Do vậy, f = const trên đoạn [a, b]

Hệ quả 1.5 Nếu hai hàm f(x) và g(x) có đạo hàm đồng nhất bằng nhau trênmột khoảng thì chúng chỉ sai khác nhau bởi hằng số cộng.

Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết ta có

[f (x) − g(x)]′ = f′(x) − g′(x) = 0.

Theo Hệ quả 1.4 thì f (x) − g(x) = c hay f (x) = g(x) + c

Định lý 1.7 (Định lý Cauchy) Giả sử các hàm f, g liên tục trên đoạn [a, b] và

có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a, b), ngoài rag′(x) 6= 0với mọix ∈ (a, b).Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f(a)

g (b) − g(a) =

f′(c)

g ′ (c). (1.4)Chứng minh Trước khi chứng minh định lý ta nhận xét công thức (1.4) luôn

có nghĩa, tức là g (b) 6= g(a)

Thật vậy, nếu g (b) = g(a)thì hàm g(x) thỏa mãn điều kiện của Định lý Rolle

và do đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho g′(c) = 0 Nhưng điều này trái với giả thiết là

g′(x) 6= 0, ∀c ∈ (a, b)

Ta xét hàm phụ

F (x) = f (x) − λg(x), (1.5)trong đó số λ được chọn sao cho F (a) = F (b), tức là

Nhận xét 1.6 Công thức (1.4) thường được gọi là công thức số gia hữu hạnCauchy.

Nhận xét 1.7 Định lý Lagrange là trường hợp riêng của Định lý Cauchy vớigiả thiết g(x) = x.

1.3 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm cơ bản

Định lý 1.8 (Bất đẳng thức Landau, [3],[6]) Cho f là hàm khả vi cấp hai trên

R. Giả sử f và f′′ bị chặn trên R Đặt

M0 = sup x∈R |f(x)|, M 1 = sup

x∈R |f′(x)|, M 2 = sup

x∈R |f′′(x)|.

Khi đó f′ bị chặn và

M1 ≤ 2pM0M2. (1.8)Chứng minh Trước hết, ta nhận thấy rằng nếuM 2 = 0 thì hàm f′(x)là hàmhằng f′(x) ≡ c. Nếu c 6= 0 thì f(x) = cx + d không giới nội nên c = 0 và (1.8)đúng

Giả sử M 2 > 0. Lấy x ∈R và một giá trị tùy ý h > 0. Theo công thức Taylortồn tại t ∈ (x; x + 2h) sao cho

Định lý 1.9 (Bất đẳng thức Kolmogorov) Giả sử f là hàm khả vi cấp ba và f

và f′′′ bị chặn trên R Đặt

M 0 = sup x∈R |f(x)|, M 1 = sup

Hệ quả 1.6 Từ giả thiết và kết quả của Định lý 1.9, các hàm f′ và f′′′ = (f′′)′

đều là các hàm bị chặn Áp dụng bất đẳng thức Laudau, ta được f′′ bị chặn

Nhận xét 1.8 Giả sửf là hàm khả vi cấpn và các hàm f(x)vàf(n)(x)bị chặntrên R.

Khi đó f(n−1)(x) bị chặn Từ đó suy ra tất cả các đạo hàm f(k)(x) với mọi

1 ≤ k ≤ n − 1 đều bị chặn trên R

Định lý 1.10 (Bất đẳng thức Laudau-Kolmogorov) Giả sử f là hàm khả vicấp n và các hàmf và f(n) bị chặn trên R Đặt Mk = sup

x∈R |f(k)(x)|

i Khi đó Mk > 0 với mọi 0 ≤ k ≤ n; k ∈N.

ii Giả sử uk = 2 k−1 MkMk−1−1 ; 0 ≤ k ≤ n, k ∈N. Khi đó

Mk ≤ 2k(n−k)2 M1−

k n

0 M

k n

n

Chứng minh Theo công thức Taylor, ta có

n−1

X

j=1

kjj!f(j) (x)

≤ 2M 0 + Mnk

n n! .

Do vậy

... 6= 0.

Đa thức dạng tắc đa thức viết theo thứ tự giảm dần luỹ thừa.Tuy nhiên, khảo sát đa thức, người ta thường quan tâm đến mộtlớp đa thức bậc không vượt số nguyên dương n... Định lý Rolle, ta thu kếtquả quan trọng sau

Định lý 2.1 (Định lý Rolle đa thức) Nếu đa thức P (x) có k nghiệmthực đạo hàm đa thức P′(x)... nghiệm thực

Trong trường hợp đặc biệt, ta thu kết có nhiều ứng dụng đại

số sau

Hệ 2.1 Nếu đa thức P (x) có nghiệm thực đạo hàm

đa thức P′(x)