Một số kiến thức chuẩn bị
Dãy số
Định nghĩa 1.1.1 Dãy số là một hàm số từ N vào một tập hợp số (N, Q, R) Các số hạng của dãy số thường được ký hiệu là un, vn, xn, yn
Dãy số được ký hiệu là {un}, {vn}, {xn}, {yn} .
Dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số, vì vậy nó mang các tính chất tương tự Dãy số {xn} được coi là dãy giảm nếu điều kiện xn+1 ≤ xn được thỏa mãn với mọi n thuộc tập N*.
(ii) Dãy số {xn} được gọi là dãy tăng nếu xn+1 ≥ xn với mọi n∈ N ∗ (iii) Dãy số {xn} được gọi là dãy giảm ngặt nếu xn+1 < xn với mọi n∈ N ∗
Dãy số {xn} được gọi là dãy tăng ngặt nếu xn+1 > xn với mọi n ∈ N* Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu Dãy số {xn} được coi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho xn ≤ M với mọi n, và bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho xn ≥ m với mọi n Một dãy số được gọi là dãy bị chặn khi nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới Dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn a khi n tiến đến vô cùng nếu với mọi ǫ > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số {xn} và ǫ) sao cho với mọi n > N0, |xn − a| nhỏ hơn ǫ.
Ta viết nlim→∞xn = a ⇔ǫ > 0,∃N0 ∈ N : ∀n > N0,|xn−a| < ǫ.
Dãy số {x_n} tiến đến dương vô cùng khi n tiến đến vô cùng, nghĩa là với mọi số thực dương M bất kỳ, tồn tại một số tự nhiên N_0 (phụ thuộc vào dãy số {x_n} và M) sao cho với mọi n lớn hơn N_0, giá trị tuyệt đối của x_n lớn hơn M Điều này được ký hiệu là nlim→∞x_n = +∞, tương đương với ∀M > 0,∃N_0 ∈ N : ∀n > N_0, |x_n| > M.
Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ, trong khi dãy số không có giới hạn hoặc tiến đến vô cùng được gọi là dãy phân kỳ Giả sử {xn} là một dãy bị chặn, ta định nghĩa un = sup{xn+1, xn+2, } và vn = inf{xn+1, xn+2, } với n là số tự nhiên.
Dãy số un đơn điệu giảm và bị chặn dưới, do đó tồn tại giới hạn trên, ký hiệu là lim sup n →∞ xn Tương tự, dãy số vn là dãy tăng và bị chặn trên, dẫn đến sự tồn tại của giới hạn dưới, ký hiệu là lim inf n →∞ xn Theo Định lý 1.1.6, điều kiện cần và đủ để dãy hội tụ là giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy đó phải bằng nhau Định lý 1.1.7 đề cập đến sự hội tụ của dãy đơn điệu.
Dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ, trong khi dãy số giảm và bị chặn dưới cũng hội tụ Theo định lý 1.1.8, nếu {xn} và {yn} là các dãy hội tụ với giới hạn tương ứng là a và b, thì các dãy số {xn+yn}, {xn−yn}, {xnyn}, và xn yn cũng hội tụ với giới hạn tương ứng là a + b, a− b, ab và a b, giả sử yn và b khác không trong trường hợp thương Định lý 1.1.9 chỉ ra rằng nếu a n ≤ b n với mọi n ≥ N0 và lim n →∞a n = a, lim n →∞b n = b, thì a ≤ b Cuối cùng, theo định lý 1.1.10 (Nguyên lý kẹp), nếu lim n →∞an = lim n →∞bn = a và an ≤ zn ≤bn với mọi n ∈ N, thì lim n →∞zn = a.
Chuỗi số
Định nghĩa 1.1.11 Cho dãy số u 1 ;u 2 ; .;u n ; Khi đó gọi tổng vô hạn u1 +u2 + .+un + . là chuỗi số và ký hiệu là P ∞ n=1 un un là số hạng tổng quát; sn = u1+u2+
Tổng riêng thứ n của chuỗi số được ký hiệu là sn = un + un+1 + un+2 + và phần dư thứ n được gọi là rn Nếu giới hạn lim n → ∞ sn = s (hữu hạn), chuỗi được gọi là hội tụ và s là tổng của chuỗi Ngược lại, nếu sn không tiến tới một giá trị hữu hạn, chuỗi đó được xem là phân kỳ Theo Định lý 1.1.12, nếu chuỗi số P ∞ n=1 un hội tụ, thì lim n → ∞ un = 0.
Chuỗi số P ∞ n=1 u n được gọi là chuỗi số dương nếu u n > 0 với mọi n ∈ N Định lý 1.1.13 (Tiêu chuẩn so sánh) Cho 2 chuỗi số dương P ∞ n=1 un và
Nếu dãy số \( u_n \) hội tụ với \( u_n \leq v_n \) cho mọi \( n \geq n_0 \) (với \( n_0 \in \mathbb{N} \)), thì sự hội tụ của tổng \( \sum_{n=1}^{\infty} v_n \) dẫn đến sự hội tụ của tổng \( \sum_{n=1}^{\infty} u_n \) Ngược lại, nếu tổng \( \sum_{n=1}^{\infty} u_n \) phân kỳ, thì tổng \( \sum_{n=1}^{\infty} v_n \) cũng phân kỳ.
P∞ n=1 vn. Định lý 1.1.14 (Tiêu chuẩn tương đương) Cho hai chuỗi số dương
P∞ n=1 un và P ∞ n=1 vn và lim n →∞ u n vn
Nếu (0 < k < +∞) thì hai chuỗi đã cho cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Nếu k = 0 thì từ sự hội tụ của P ∞ n=1 vn suy ra sự hội tụ của P ∞ n=1 un.
Nếu k = +∞ thì từ sự phân kỳ của P ∞ n=1 vn, ta suy ra sự phân kỳ của
Hàm số
Hàm số thực f(x) được xác định trên một miền trong R Theo định nghĩa, hàm số y = f(x) có tập xác định D và (a;b) là một khoảng con của D, thì hàm số được gọi là đồng biến trên khoảng (a;b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a;b) mà x1 ≤ x2 thì f(x1) ≤ f(x2).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) nếu x1, x2 ∈ (a;b) : x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2).
Hàm số được coi là đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a;b) nếu nó đơn điệu trong khoảng này Theo định nghĩa 1.1.16, hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của a (trừ điểm a) có một giới hạn hữu hạn khi x tiến tới a.
∀ǫ > 0,∃δ > 0 : 0 < |x−a| < δ ⇒ |f(x)−l| < ǫ. Định nghĩa 1.1.17 Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của a (có thể trừ điểm a) Số thực l hữu hạn được gọi là giới hạn trái
(phải) của hàm số f(x) khi x →a nếu:
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu giới hạn lim x → x0 f(x) bằng f(x0) trong một lân cận của x0 Hàm f(x) cũng có thể được phân loại là liên tục trái hoặc phải tại x0, tùy thuộc vào việc hàm được xác định trong lân cận trái hoặc phải của x0 Hàm f(x) liên tục trong khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi x trong khoảng này, và liên tục trên [a; b] nếu nó liên tục trong (a; b), liên tục phải tại x = a và liên tục trái tại x = b Định nghĩa liên tục đều trên D yêu cầu rằng với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D thỏa mãn |x−y| < δ, ta có |f(x)−f(y)| < ε Cuối cùng, định lý cho biết rằng nếu hàm f(x) liên tục trên tập compact D, thì nó cũng liên tục đều trên tập D.
Một hệ quả được suy ra từ định lý trên.
Hệ quả 1.1.23 cho thấy rằng mọi hàm liên tục tuần hoàn trên R đều là liên tục Định lý 1.1.24, hay còn gọi là định lý giá trị trung gian, khẳng định rằng nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn [a;b] với f(a) khác f(b), thì f(x) sẽ đạt mọi giá trị trung gian giữa f(a) và f(b) trong khoảng [a;b] Hàm f(x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T > 0 trên miền D nếu x ± T thuộc D với mọi x trong D và f(x ± T) = f(x) cho tất cả x trong D (Định nghĩa 1.1.25) Đối với hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a;b), nếu giới hạn khi x tiến tới x0 của (f(x) - f(x0)) / (x - x0) tồn tại hữu hạn, thì giá trị đó là đạo hàm của hàm y = f(x) tại điểm x0, ký hiệu là f ′(x0) (Định nghĩa 1.1.26) Cuối cùng, theo định lý giá trị trung bình Cauchy (Định lý 1.1.27), nếu các hàm số f và g đều liên tục trên [a;b] và khả vi trên (a;b), thì tồn tại một điểm c trong (a;b) thỏa mãn điều kiện nhất định.
Nếu g(a) 6= g(b) và g ′ (c) 6= 0, điều này tương đương với f ′ (c) g ′ (c) = f(b)−f(a) g(b)−g(a).
Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro
Một số dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu ba dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro, được phát triển bởi các nhà toán học Otto Stolz và Ernesto Cesàro Định lý 1.2.1 khẳng định rằng, với hai dãy số thực {an} và {bn}, trong đó dãy {bn} tăng ngặt và không bị chặn trên, nếu giới hạn nlim→∞ (an+1 − an) / (bn+1 − bn) tồn tại, thì một số kết luận quan trọng có thể được rút ra.
Giả sử l ∈ R và dãy {b n } là dãy tăng với nlim→∞b n = ∞ Khi V là một lân cận của l, tồn tại α > 0 sao cho (l−α, l+α) ⊆ V Chọn β ∈ R với 0 < β < α Do lim n →∞ an+1 −an b n+1 −b n = l, nên tồn tại k ∈ N ∗ sao cho ∀n≥ k, an+1 −an bn+1 −bn ∈ (l−β, l+β).
(l −β)(bn+1−bn) < an+1 −an < (l +β)(bn+1 −bn), ∀n≥ k.
(l −β)(bk+1 −bk) < ak+1 −ak < (l+β)(bk+1 −bk),
(l −β)(bk+2 −bk+1) < ak+2 −ak+1 < (l+ β)(bk+2 −bk+1),
. (l−β)(bn −bn − 1) < an−an − 1 < (l +β)(bn −bn − 1).
Cộng từng vế các bất đẳng thức này ta được:
(l −β)(bn−bk) < an −ak < (l +β)(bn −bk).
Vì lim n →∞bn = ∞ nên bắt đầu từ một chỉ số n nào đó ta có bn > 0 Do đó
(l −β)(bn−bk) < an −ak < (l+β)(bn−bk)
Do nlim→∞ ak + (β −l)bk b n = lim n →∞ ak −(β +l)bk b n = 0, nên tồn tại một chỉ số p ∈ N ∗ sao cho ∀n ≥ p chúng ta có: ak + (β −l)bk bn
Do vậy chúng ta có các bất đẳng thức sau: ak + (β −l)bk bn
Chọn m = max{k, p}, khi đó, ∀n≥ m chúng ta có: l−α < an bn
< l+α. Điều này có nghĩa an bn ∈ V Suy ra lim n →∞ an bn
Trong trường hợp l = ±∞ ta có thể chứng minh tương tự khi ta chọn
Nhận xét 1.2.2 Dạng phát biểu đảo của định lý Stolz-Cesàro sẽ không còn đúng, nghĩa là với giả thiết {bn} tăng, không bị chặn và lim n →∞ an bn
= l thì chưa chắc có khẳng định nlim→∞ a n+1 −a n bn+1 −bn
= l. Để thấy điều này ta lấy an = 3n − (−1) n và bn = 3n + (−1) n , ta có nlim→∞ a n bn
= 1 và an+1−an bn+1−bn
Dễ dàng chỉ ra rằng không tồn tại giới hạn nlim→∞ an+1−an bn+1−bn
Từ kết quả của định lý trên chúng ta thu được các hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.3 Cho dãy số thực dương {un} Nếu tồn tại giới hạn nlim→∞ u n+1 un
= l thì chúng ta có: nlim→∞
Chúng ta chứng minh rằng \(\lim_{n \to \infty} \ln \sqrt{n} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln u_n}{n}\) Đặt \(a_n = \ln u_n\) và \(b_n = n\), áp dụng Định lý 1.2.1 cho hai dãy \(\{a_n\}\) và \(\{b_n\}\), ta có \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}\).
= lim n →∞ lnu n+1 −lnu n (n+ 1)−n = lim n →∞lnu n+1 un
Nhận xét 1.2.4 Hệ quả trên còn được phát biểu dưới dạng tương đương sau:
Cho dãy số thực dương {un} với lim n →∞un = l Khi đó chúng ta có nlim→∞
Chứng minh Đặt an = u1u2 un, ta có nlim→∞ a n+1 an
= lim n →∞un+1 = l. Áp dụng Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro cho dãy{an}ta thu được nlim→∞ an+1 an
Từ đây về sau chúng ta gọi Hệ quả 1.2.3 và dạng phát biểu tương đương của nó là Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro.
Hệ quả 1.2.5 (Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro) Cho dãy số {u n }, nlim→∞u n = l Khi đó chúng ta có nlim→∞ u1 +u2 + .+un n = l.
Chứng minh Đặt a n = u 1 +u 2 + .+u n và b n = n, ta có nlim→∞ an+1 −an bn+1 −bn
= lim n →∞u n+1 = l. Áp dụng Định lý 1.2.1 cho hai dãy {an} và {bn} ta thu được nlim→∞ an bn
Nhận xét 1.2.6 Bằng cách đặt vn = u1 + u2 + + un ta thu được phát biểu dưới dạng tương đương với hệ quả trên như sau.
Cho dãy số thực {vn} Nếu tồn tại giới hạn lim n →∞(vn+1−vn) = l thì ta có nlim→∞ vn n = lim n →∞(vn+1 −vn).
Từ đây về sau chúng ta gọi Hệ quả 1.2.5 và dạng phát biểu tương đương của nó là Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro.
Tiếp theo chúng tôi trình bày một dạng khác của định lý Stolz-Cesàro. Định lý 1.2.7 (Trường hợp 0
0) Nếu {an} và {bn} là hai dãy số thực thỏa mãn i lim n →∞an = lim n →∞bn = 0, ii {bn} là dãy số giảm, iii lim n →∞ a n+1 −a n bn+1−bn
Chứng minh Ta chia ba trường hợp sau:
- Trường hợp 1: lim n →∞ a n+1 −a n bn+1 −bn
= l ∈ R Khi đó, với bất kỳ ǫ > 0, tồn tại một chỉ số N sao cho l−ǫ < a n+1 −a n bn+1−bn
< l+ǫ, với mọi n ≥ N Vì {bn} là dãy số giảm, nên bn+1 − bn < 0 với mọi n. Suy ra
(l −ǫ)(bn+1 −bn) > an+1−an > (l +ǫ)(bn+1 −bn), với mọi n≥ N Cố định số n, viết các bất đẳng thức trên tương ứng với n, n+ 1, , n+p, ta được
(l −ǫ)(bn+2 −bn+1) > an+2 −an+1 > (l+ ǫ)(bn+2 −bn+1)
(l −ǫ)(bn+3 −bn+2) > an+3 −an+2 > (l+ ǫ)(bn+3 −bn+2)
. (l−ǫ)(bn+p−bn+p − 1) > an+p−an+p − 1 > (l +ǫ)(bn+p−bn+p − 1). Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta nhận được
Do vậy ta kết luận được rằng
+ Trường hợp 2: lim n →∞ an+1−an bn+1−bn
= ∞ Khi đó với ǫ >0, tồn tại một chỉ số N sao cho an+1 −an bn+1 −bn
Với m > n ≥ N ta có: an−am m − 1
(bk −bk+1) = ǫ(bn−bm), (1.1) và do đó an bn
Giữn cố định và cho m → ∞, ta nhận được an bn > ǫvới mọi m > n ≥ N.
Từ đó ta kết luận lim n →∞ an bn
- Trường hợp 3: lim n →∞ an+1 −an bn+1 −bn
= −∞ Trường hợp này được chứng minh tương tự như ở Trường hợp 2.
Dạng phát biểu đảo của Định lý 1.2.7 không còn đúng khi giả thiết lim n → ∞ an = lim n → ∞ bn = 0, trong đó {bn} là dãy số giảm và lim n → ∞ an bn.
= l thì chưa chắc có khẳng định nlim→∞ an+1 −an bn+1 −bn
Thực vậy, chọn an = 3 n − ( 1 − 1) n và bn = 3 n +( 1 − 1) n , ta có lim n →∞ an b n = 1 và an+1 −an bn+1 −bn
Dễ dàng chỉ ra rằng không tồn tại giới hạn nlim→∞ an+1−an bn+1−bn
Dạng đảo của định lý Stolz-Cesàro được phát biểu như sau: Nếu {an} và {bn} là hai dãy số thực thỏa mãn các điều kiện: (i) {bn} là dãy số dương, tăng ngặt và không bị chặn trên; (ii) lim n → ∞ b(n+1)/b(n) = L ∈ R\{1}; và (iii) lim n → ∞ a(n)/b(n) = l ∈ R, thì có thể áp dụng định lý này để rút ra những kết luận quan trọng về sự hội tụ của các dãy số.
Khi đó, lim n →∞ an+1 −an bn+1 −bn
Chứng minh Chúng ta có an+1 bn+1
Lấy qua giới hạn hai vế của đẳng thức trên ta thu được: l = (1−L) lim n →∞ an+1 −an bn+1 −bn
Suy ra lim n →∞ an+1 −an bn+1 −bn
Một số dạng mở rộng của định lý Stolz-Cesàro
Trong phần đầu của mục này, chúng tôi giới thiệu một số mở rộng của định lý Stolz-Cesàro do Gabriel Nagy đưa ra Định lý mở rộng này, được gọi là Định lý 1.2.10, phát biểu rằng nếu {bn} là một dãy số thực dương thì
X n=1 bn = ∞, thì với bất kì dãy {an} ⊂ R ta có các bất đẳng thức lim sup n →∞ a1 + a2 + .+an b1 + b2 + .+bn ≤ lim sup n →∞ an bn
; (1.2) lim inf n →∞ a1 + a2 + .+an b1 + b2 + .+bn ≥ lim inf n →∞ an bn
(1.3) Đặc biệt, nếu dãy an bn có giới hạn, thì nlim→∞ a1 +a2 + .+ an b1 +b2 + .+ bn
Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh (1.2), bất đẳng thức (1.3) được chứng minh bằng cách thay thế an bởi −an.
Bất đẳng thức (1.2) trở nên tầm thường khi vế phải là +∞ Giả sử giá trị L = lim sup n →∞ an bn là hữu hạn hoặc −∞ Nếu lấy l > L, theo định nghĩa của lim sup, sẽ tồn tại một chỉ số k ∈ N sao cho an bn ≤ l với mọi n > k.
Sử dụng (1.4) ta có bất đẳng thức a 1 +a 2 + .+a n ≤ a 1 + .+a k +l(b k+1 +b k+2 + .+b n ),∀n > k (1.5) Đặt a1 +a2 + .+an = An và b1 +b2 + +bn = Bn, bất đẳng thức trên trở thành
Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho Bn ta được
Vì Bn → ∞, cố định k lấy giới hạn cận trên trong (1.6) ta nhận được lim sup n →∞
Bất đẳng thức lim sup n → ∞ a1 + + an b1 + + bn ≤ l được xác lập với mọi l ≥ L, dẫn đến lim sup n → ∞ a1 + + an b1 + + bn ≤ L Định lý này mở rộng từ Định lý 1.2.1 và có thể được phát biểu lại như sau: Nếu {yn} là dãy tăng ngặt với lim n → ∞ yn = ∞, thì với bất kỳ dãy {xn}, ta có các bất đẳng thức lim sup n → ∞ xn yn ≤ lim sup n → ∞ xn - xn - 1 yn - yn - 1.
; (1.7) lim inf n →∞ xn yn ≥ lim inf n →∞ xn −xn − 1 yn −yn − 1
(1.8) Đặc biệt, nếu dãy xn−xn − 1 y n −y n − 1 có giới hạn thì nlim→∞ x n yn
Để chứng minh rằng lim n → ∞ yn = ∞, ta giả sử tất cả các yn đều dương Xét các dãy {an} và {bn} với a1 = x1, b1 = y1 và an = xn - xn - 1, bn = yn - yn - 1 cho mọi n ≥ 2 Khi đó, ta có xn = a1 + + an và yn = b1 + + bn, từ đó định lý được chứng minh.
Từ kết quả mở rộng trên chúng ta thu được các hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.12 chỉ ra rằng đối với bất kỳ dãy số thực {an}, ta có các bất đẳng thức lim sup khi n tiến đến vô cùng của tổng các phần tử chia cho n, nhỏ hơn hoặc bằng lim sup của dãy {an} và lim inf của tổng các phần tử chia cho n, lớn hơn hoặc bằng lim inf của dãy {an} Đặc biệt, nếu dãy {an} có giới hạn, thì giới hạn của tổng các phần tử chia cho n sẽ bằng giới hạn của dãy {an} Chứng minh được thực hiện dựa trên trường hợp đặc biệt của Định lý 1.2.10 với bn = 1.
Nhận xét 1.2.13 Bằng cách sử dụng phương pháp đổi biến thích hợp, đặtxn = a1+a2+ .+an ta thu được phát biểu dưới dạng tương đương với hệ quả trên như sau:
Cho dãy bất kỳ {xn}, ta có các bất đẳng thức lim sup n →∞ xn n ≤ lim sup n →∞ (xn−xn − 1) và lim inf n →∞ xn n ≥ lim inf n →∞ (xn −xn − 1) Đặc biệt, nếu dãy (xn −xn − 1) ∞ n=1 có giới hạn thì nlim→∞ xn n = lim n →∞(xn−xn − 1).
Hệ quả 1.2.12 và dạng phát biểu tương đương của nó ta gọi chung là Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro mở rộng.
Hệ quả sau là mở rộng cho định lý trung bình nhân.
Hệ quả 1.2.14 Với bất kì dãy số dương {a n } có các bất đẳng thức sau lim sup n →∞
√n a1a2 an ≤ lim sup n →∞ an; (1.13) lim inf n →∞
√n a1a2 an ≥ lim inf n →∞ an (1.14) Đặc biệt, nếu dãy {an} có giới hạn thì nlim→∞
√n a1a2 an = lim n →∞an. Chứng minh Đặt bn = lnan, ta có
Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro mở rộng, ta có lim sup n →∞ e b 1 +b 2 + .+ b n n ≤lim sup n →∞ e b n ; lim inf n →∞ e b1 +b2 + .+ bn n ≥lim inf n →∞ e b n
Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Đối với dãy số dương {xn} với xn = a1a2 an, có thể phát biểu rằng hệ quả trên tương đương với các bất đẳng thức lim sup n → ∞.
√n xn ≤lim sup n →∞ xn xn − 1
√n xn ≥lim inf n →∞ xn xn − 1
(1.16) Đặc biệt, nếu dãy xn x n − 1 có giới hạn thì nlim→∞
Tếp theo, chúng tôi trình bày một số mở rộng của định lý Stolz-Cesàro được đưa ra bởi S Puspană ([10]).
S Puspană đã mở rộng Định lý 1.2.1 qua định lý sau đây. Định lý 1.2.16 Nếu {an}và {bn} là hai dãy số thực thỏa mãn i lim n →∞|bn| = ∞, ii.
) bị chặn, iii lim n →∞ a n+1 −a n bn+1−bn
Chứng minh Cho ε > 0 và dãy ở (ii) bị chặn trên bởi M, khi đó, tồn tại m ∈ N sao cho ∀n≥ m ta có a n+1 −a n bn+1 −bn −l
Do đó ta được an −am bn −bm −l
Cuối cùng ta có a n bn −l a m −lb m bn
|bn| + an−am bn−bm −l
2 = ε,∀n ≥m. Định lý được chứng minh.
Xét dãy {bn} là dãy đơn điệu tăng và không bị chặn trên, ta có thể dễ dàng chứng minh rằng các điều kiện (i) và (ii) trong Định lý 1.2.16 được thỏa mãn Đồng thời, dãy {−bn} cũng là dãy đơn điệu giảm, bị chặn trên và thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của Định lý 1.2.16 Do đó, định lý này thực sự là một mở rộng của Định lý 1.2.1.
Chúng ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.18 Nếu {a n }và {b n } là hai dãy số thực thỏa mãn i {|bn|} tăng ngặt và không bị chặn; ii.
|bn+1| − |bn| bị chặn; iii lim n →∞ an+1−an bn+1−bn
Chứng minh Giả sử dãy
|bn+1| − |bn| bị chặn bởi M, nghĩa là
|bk+1| − |bk| ≤ M, ∀k ∈ N ∗ Điều này cùng với (i) suy ra
|bk+1 −bk| ≤ M(|bk+1| − |bk|), ∀k ∈ N ∗ Áp dụng bất đẳng thức này với k = 1,2, , n ta có
Cộng các bất đẳng thức trên ta thu được n
|bk+1−bk| ≤M, và do đó điều kiện (ii) trong Định lý 1.2.16 thỏa mãn Điều kiện (i) trong Định lý 1.2.16 hiển nhiên đúng Hệ quả được chứng minh.
Mở rộng Định lý 1.2.7 S Puspană thu được kết quả sau. Định lý 1.2.19 Nếu {an}và {bn} là hai dãy số thực thỏa mãn: i lim n →∞an = lim n →∞bn = 0; ii.
) bị chặn; iii lim n →∞ an+1−an bn+1−bn
Chứng minh Nếu ε > 0 và M là cận trên của dãy ở (ii), thì tồn tại m ∈ N sao cho ∀n≥ m ta có an+1−an bn+1−bn −l
M. Điều này tương đương với
Nhưng với n ∈ N bất kì, có một dãy số tự nhiên tăng ngặt {p(k)} sao cho |bn+p(k)| ≤ |bn|,∀k ≥1, vì thế ta có thể giả sử rằng
|an+p−an−l(bn+p−bn)| < ε|bn|,∀n ≥m, p ≥1.
Cho p→ ∞ trong bất đẳng thức trên ta được
|an −lbn| < ε|bn| ⇔ an bn −l
< ε,∀n≥ m, tương đương với lim n →∞ an b n = l Định lý được chứng minh.
Dãy {bn} là dãy đơn điệu giảm và thỏa mãn lim n → ∞ bn, từ đó dễ dàng chứng minh điều kiện (ii) trong Định lý 1.2.16 Đồng thời, dãy {-bn} là dãy đơn điệu tăng với lim n → ∞ (-bn) = 0, cũng thỏa mãn điều kiện (ii) trong Định lý 1.2.16 Điều này chứng tỏ rằng Định lý 1.2.16 là một mở rộng thực sự của Định lý 1.2.1.
Chúng ta dễ dàng chứng minh được hệ quả sau.
Hệ quả 1.2.21 Nếu {an}và {bn} là hai dãy số thực thỏa mãn: i lim n →∞an = lim n →∞bn = 0; ii {|bn|} giảm ngặt; iii.
|b n+1 | − |b n | bị chặn; iv lim n →∞ an+1−an bn+1−bn
Một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro 26
Tính giới hạn của dãy số
Trong phần này, chúng tôi áp dụng định lý Stolz-Cesàro để giải quyết các bài toán về giới hạn của dãy số và phân tích sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số Ứng dụng đầu tiên của định lý này là chứng minh quy tắc L'Hôpital, một công cụ hữu ích trong việc tìm giới hạn của hàm số Định lý Stolz-Cesàro được coi là phiên bản rời rạc của quy tắc L'Hôpital.
Quy tắc L ′ Hopital: Cho f và g là các hàm khả vi trên một khoảng chứa A, lim x → Af(x) =∞, lim x → Ag(x) =∞ và lim x → A f ′ (x) g ′ (x) = L Khi đó xlim→ A f(x) g(x) = L.
Giả sử rằng g′(x) khác 0 với mọi x gần A, quy tắc L'Hôpital vẫn áp dụng khi A = ∞ hoặc khi giới hạn lim x → Af(x) = lim x → Ag(x) = 0 Dưới đây là chứng minh chi tiết cho quy tắc này.
Để chứng minh, ta chỉ cần xem xét trường hợp A = +∞ và lim x → Af(x) = +∞, lim x → Ag(x) = +∞ Các trường hợp khác có thể được chuyển đổi biến để trở về trường hợp đã chứng minh Do g′(x) khác 0 với mọi x thuộc khoảng (α, +∞) và lim x → Ag(x) = +∞, nên g(x) là hàm tăng ngặt trên (α, +∞) Ta chọn dãy {tn} tăng ngặt trong (α, +∞) sao cho lim n→∞ tn = +∞ và định nghĩa xn = f(tn), yn = g(tn) Theo định lý giá trị trung bình Cauchy, với mỗi n ≥ 2, tồn tại sn ∈ (tn − 1, tn) sao cho f(tn)−f(tn−1) g(tn)−g(tn−1) = f′(sn) g′(sn).
Do {tn} tăng ngặt nên {tn} cũng tăng ngặt, và do đó lim n →∞sn = +∞. Suy ra xlim→ A f ′ (sn) g ′ (sn) = L. Điều này cùng (2.1) ta có xn −xn − 1 yn −yn − 1
Do g(x) tăng ngặt trên (α,+∞) nên {yn} tăng ngặt và lim n →∞yn = +∞. Theo Định lý 1.2.1 ta có lim n →∞ x n yn
= L Đây là điều phải chứng minh.
Tiếp theo chúng tôi sẽ cho người đọc thấy được hiệu quả của các định lý Stolz-Cesàro trong tính giới hạn của dãy số.
{bn} là dãy tăng và không bị chặn trên Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 cho hai dãy {an} và {bn} chúng ta có nlim→∞
Tổng quát cho bài toán trên chúng ta có bài toán sau.
Bài toán 2.1.2 Nếu p∈ N ∗ , tính nlim→∞
Đặt an = 1 p + 2 p + 3 p + + n p và bn = n p+1, ta thấy dãy {bn} là dãy tăng và không bị chặn trên Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro cho hai dãy {an} và {bn}, ta có giới hạn nlim→∞.
1 p + 2 p + 3 p + .+ n p n p+1 = lim n →∞ an+1 −an bn+1 −bn
Đặt an = 1 + 2 + 3 + + n và bn = n Dãy {bn} là dãy tăng và không bị chặn trên Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro cho hai dãy {an} và {bn}, ta có nlim→∞.
1 1 + 2 2 + 3 3 + .+ n n n n = lim n →∞ an+1 −an bn+1 −bn
X k=1 qC n+k 2 n 2 Lời giải Theo Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1, ta có nlim→∞ n
Tiếp theo, chúng ta trình bày một số ứng dụng của định lý Stolz-
Cesàro trong bài toán xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số.
Bài toán 2.1.5 Xét một dãy số thực dương {a n } sao cho a n+1 − 1 an+1 an+ 1 a n với mọi n ≥1 Đặt un = 1 n√ n
Xét sự hội tụ hay phân kỳ chuỗi số u1 + u2 + .+un .
Để xác định sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số, ta so sánh với chuỗi P + ∞ n=1 vn, trong đó vn = n 1 Cần tính giới hạn của un khi vn = 1.
Rõ ràng, dãy {an} là một dãy tăng và nếu nó có giới hạn hữu hạn l, thì l − 1 l = l + 1 l dẫn đến 2l = 0, điều này tạo ra mâu thuẫn Do đó, dãy {an} có giới hạn vô hạn Đặt yn = 1/(a2n + a2n), ta có yn+1 = yn + 4 Từ đó, ta có y2 = y1 + 4, y3 = y2 + 4, và tổng quát là yn+1 = yn + 4.
Cộng các phương trình lại ta được yn+1 = y1 + 4n, viết lại như sau a 2 n+1 + 1 a 2 n+1 = y1 + 4n
Từ đó suy ra an+1 √4n+y1 + 2±√
4n+y1 −2 = 0. Điều này sai, do đó an+1 √4n+y1 + 2 +√
Theo Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1, ta có nlim→∞
Do chuỗi số P+ ∞ n=1vn phân kỳ, theo dấu hiệu so sánh, chuỗi số cần xét là phân kỳ
Bài toán 2.1.6 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1, u2 = 0 và công thức truy hồi e u n +2 = e u n −un, với mọi n ∈ N ∗ Đặt u n = 1 n 3 n − 1
Xét sự hội tụ hay phân kỳ chuỗi số u1 +u2 + .+un .
Để xác định sự hội tụ hoặc phân kỳ của chuỗi số, chúng ta sẽ so sánh với chuỗi số P+ ∞ n=1vn, trong đó vn = n^(1/2) Điều quan trọng là tính giới hạn của tỷ số un/vn.
Dễ thấy u2n = 0 với mọi n ∈ N ∗ nên lim n →∞u2n = 0 Ta chứng minh dãy(u2n+1) cũng có giới hạn bằng 0.
Trước tiên ta chứng minh dãy{u 2n+1 }bị chặn dưới bởi 0 theo qui nạp. Thật vậy, ta có u 1 = 1 > 0 , giả sử u 2n+1 > 0 Do hàm số f(x) =e x −x đồng biến trên (0; +∞) suy ra f(u2n+1) > f(0) = 1 ⇔e u 2 n +1 −u2n+1 > 1
Vậy dãy {u2n+1} bị chặn dưới bởi 0.
Tiếp theo ta chứng minh dãy {u2n+1} là dãy giảm Ta có e u 2n+3 −e u 2n+1 = e u 2n+1 −u2n+1−e u 2n+1
⇒ u2n+3 < u2n+1 từ đó{u2n+1}giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn Giả sử lim n →∞u2n+1 = a từ hệ thức truy hồi suy ra e n = e n −a ⇔a = 0.
Từ hai trường hợp trên ta có lim n →∞un = 0 suy ra lim n →∞e u n = 1 Theo định lí trung bình cộng Stolz-Cesàro ta có nlim→∞ e u 1 +e u 2 + .+ e u 2 n
(do e u 2 +e u 4 + .+e u 2 n = n) Từ hệ thức truy hồi ta có e u 2 n − 1 = e u 1 −(u1 +u3 + .+u2k − 3), với k = 2, , n, do đó e u 1 + e u 3 + .+e u 2n − 1 = ne u 1 − n − 1
Do chuỗi số P + ∞ n=1vn hội tụ, theo dấu hiệu so sánh, chuỗi số cần xét là hội tụ.
Các bài toán sau đây được giải bằng cách áp dụng Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro.
Bài toán 2.1.7 Cho k là một số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 1 Tính nlim→∞ pn
Lời giải Đặt un = C nk n Theo Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro, ta có nlim→∞ pn
(nk+ 1)(nk+ 2) (nk+k) (n+ 1)(nk−n+ 1)(nk−n+ 2) (nk−n+k−1)
Lời giải Đặt un = √ n n n! Theo Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro, ta có nlim→∞ n
Bài toán 2.1.9 Cho dãy {an} là một cấp số cộng dương với công sai d > 0 Tính nlim→∞ n(a 1 a 2 a n ) n 1 a1 +a2 + + an
1 +a 2 + +a n ) n Theo Định lý trung bình nhân Stolz- Cesàro, ta có nlim→∞
= 2e − 1 Ứng dụng của Định lý 1.2.7 được thể hiện qua một số bài toán sau. Bài toán 2.1.10 Tính giới hạn sau nlim→∞(n+ 1)!(e−2− 1
Lời giải Đặt bn = n! 1 và an = e−2− 1
Ta có khai triển Taylo của e x tại 0 là e x = 1 +x+ 1
2 + + 1 n! + , và do đó lim n →∞an = 0 Theo Định lý 1.2.7, ta có nlim→∞ e−1− 1 2 − − n! 1
= lim n →∞ an+1 −an an+1 −bn
Bài toán 2.1.11 Tính giới hạn sau nlim→∞(2n+ 2)! 1
. Lời giải Đặt bn = (2n+2)! 1 và an = 1
Ta có khai triển Taylo của cosx tại 0 là cosx = 1− x 2
6 2n (2n)! + và do đó lim n →∞a n = 0 Theo Định lý 1.2.7, ta có nlim→∞ an bn
= lim n →∞ an+1−an an+1−bn
Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro được áp dụng để giải quyết một loạt các bài toán giới hạn liên quan đến dãy số {un}, với công thức xác định: un+1 = un + u a n 1 + u a n 2 + + u a n k, trong đó a1, a2, , ak là những số thực đã cho.
Bài toán 2.1.12 trong kỳ thi Olympic Toán SV toàn quốc 2015 yêu cầu xác định điều kiện của a0 để dãy số {an} được định nghĩa bởi phương trình 2an+1−2an+a^2 n = 0 có giới hạn hữu hạn Nếu điều kiện này được thỏa mãn, cần tìm giá trị giới hạn lim n → + ∞(nan).
Lời giải Ta có 2(an+1 −an) = −a 2 n ≥ 0, suy ra dãy {an} đơn điệu giảm Giả sử {an} có giới hạn hữu hạn là A, từ 2an+1−2an+a 2 n = 0 ta có 2A−2A+ A 2 = 0 hay A = 0.
Nếu a0 < 0 thì {an} không thể có giới hạn bằng 0 do {an} đơn điệu giảm.
Nếu a0 > 2 thì a1 < 0 do đó {an} không thể có giới hạn bằng 0 do {an} đơn điệu giảm.
Nếu 0 ≤a0 ≤2 thì 0≤ an ≤2,∀n, do đó {an} có giới hạn bằng 0.
Tiếp theo chúng ta tính lim n → + ∞(nan).
Cách 1: Nếu a 0 = 0 hoặc a 0 = 2 thì lim n → + ∞(na n ) = 0.
, theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro, ta có n →lim+ ∞
Vậy từ đẳng thức trước đó, ta có ngay lim n → + ∞(nan) = 2.
Cách 2: Nếu a0 = 0 hoặc a0 = 2 thì lim n → + ∞(nan) = 0.
Nếu 0 < a 0 < 2 ta có lim n → + ∞ a n+1 a n = lim n → + ∞(1− a 2 n ) = 1 Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro, ta có n →lim+ ∞
Bài toán 2.1.13 (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 420) Cho dãy số {xn} được xác định bởi x1 = 1001
1003 và xn+1 = xn −x 2 n + x 3 n −x 4 n + + x 2011 n −x 2012 n , ∀n ∈ N ∗ Tính lim( n → + ∞ nxn).
Lời giải Từ công thức xác định dãy, ta có: x n+1 = x n (1−x n +x 2 n − +x 2010 n −x 2011 n ) = xn(1−x 2012 n )
Ta có 0< x1 < 1, giả sử 0< xn < 1 Ta thấy :
Như vậy dãy {xn} giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn
Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro, ta có n →lim+ ∞(nx n ) = lim n → + ∞ xn n − 1 = lim n → + ∞
Quy định dãy số theo công thức truy hồi un+1 = un + u a n 1 + u a n 2 + + u a n k chỉ mang tính hình thức, vì nhiều dãy số không tuân theo dạng này vẫn có thể áp dụng Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro Hãy xem các bài toán tiếp theo.
Bài toán 2.1.14 Cho dãy số {un} xác định bởi u1 = −2 và un+1 1−√
2 , với mọi n∈ N ∗ Tính lim n →∞nun.
Lời giải Ta có un+1 = 2un
1−4un và u1 < 0 nên dễ dàng chứng minh được un < 0 với mọi n∈ N ∗ Mặt khác, un+1 = 2u n
Dãy số {un} thỏa mãn điều kiện un+1 − un = u^2 n+1 > 0, do đó un+1 > un với mọi n ∈ N* Điều này cho thấy dãy {un} có giới hạn Giả sử giới hạn của dãy khi n tiến tới vô cùng là a, từ đẳng thức un+1 − un = u^2 n+1, khi chuyển qua giới hạn ta có a^2 = a - a, suy ra a = 0.
Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro suy ra lim n →∞
1 nun = −1, do vậy lim n →∞nu n = −1
Bài toán 2.1.15 Cho dãy số (un) xác định bởi 0 < u1 < 1 và u n+1 (1 +u n ) = u n −u 2013 n , với mọi n ∈ N ∗
Lời giải Ta có un+1(1 +un) = un−u 2013 n ⇔ un+1 = un−u 2013 n
Do u1 ∈ (0; 1) nên từ (2.3) dễ dàng chứng minh được un ∈ (0; 1) với mọi n∈ N ∗ Lại có un+1−u1 = un −u 2013 n
1 +u n < 0 nên {un} giảm và bị chặn dưới Suy ra {un} có giới hạn hữu hạn Giả sử nlim→∞un = a, từ (2.3) suy ra a = a−a 2013
1 +a ⇔ a = 0 a = −1 mà un > 0 với mọi n∈ N ∗ nên a = 0, hay lim n →∞un = 0. Xét hiệu
1ưu 2012 n = 1 từ đó theo Định lí trung bình cộng Stolz-Cesàro, ta có lim n →∞
Sau đây, chúng ta cập đến những bài toán liên quan đến việc xác định hằng số β sao cho dãy u β n n có giới hạn hữu hạn khác 0.
Bài toán 2.1.16 (Vietnam Team Selection Test 1993) Dãy số {an} xác định bởi a1 = 1 và an+1 = an + 1
√a n , n = 1,2, Hãy tìm tất cả các số thực β để dãy số a β n n có giới hạn hữu hạn khác 0.
Dễ dàng chứng minh được rằng an →+∞ Xét hiệu
Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro thì lim n →∞
2 Từ a β n n a 3/2 n n a β n − 3/2 cùng với chú ý lim n →∞a n = +∞ ta có các kết luận sau:
= 0. Như vậy giá trị duy nhất thoả mãn bài toán là β = 3/2
Để dãy số un+1 = un + u b n có giới hạn hữu hạn khác 0, điều kiện cần thiết là β = 1−b Trong trường hợp này, với b = −1/2, ta xác định được β = 3/2 Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét một bài toán khác.
Bài toán 2.1.18 Cho dãy (un) xác định bởi số hạng đầu u1 = 1 và công thức un+1 = un + 1
2012√un với mọi n ∈ N ∗ Tìm tất cả các số thực β sao cho dãy số u β n n có giới hạn hữu hạn và khác 0.
Lời giải Trong bài toán này, do b = −1/2012 nên ta tìm được β 1 + 1/2012 = 2013 2012 Sau đây là chi tiết lời giải:
Do un ≥ 1, với mọi n ∈ N ∗ ta có u 2012 n+1 > u 2012 n + 2012 với mọi n ∈ N ∗ Áp dụng đánh giá này liên tiếp ta được u 2012 n > u 2012 1 + 2012n= 2012n+ 1, suy ra un > 2012 √
2012n+ 1 Điều này cho ta khẳng định lim n →∞un = +∞. Xét hiệu u
2012, (áp dụng quy tắc ´LHopital với f(x) = (1 +x) 2013 2012 ) Theo Định lí trung bình Stolz-Cesàro suy ra nlim→∞ u
2013 n 2012 và từ đây suy ra nlim→∞ u β n n
Vậy dãy số u β n n có giới hạn hữu hạn và khác 0 khi β = 2013 2012
Ta xét bài toán tổng quát hơn với dãy un+1 = un+u a n 1 +u a n 2 + +u a n k Bài toán 2.1.19 Cho dãy số {xn} được xác định bởi x0 = 1 và xn+1 = xn + 3
Tìm tất cả các số thực m sao cho dãy số nxn n m o có giới hạn hữu hạn khác 0.
Ta thấy dãy nxn n m o có giới hạn hữu hạn khác 0 khi và chỉ khi dãy (x 1/m n n
) có giới hạn hữu hạn khác 0 Dễ thấy lim(xn) = +∞ Xét x 5/4 n+1 −x 5/4 n xn + 3 x 1/3 n
= z n 5 /yn + 5z n 4 /yn+ 10z n 3 /yn+ 10z n 2 /yn+ 5(3yn 1/15 + 4)
4 = 5 Trong đózn = 3yn 16/15 +4yn, tn = (1+zn) 15/4 +(1+zn) 10/4 +(1+zn) 5/4 +1.
Theo Định lí trung bình cộng Stolz-Cesàro, ta có limx 5/4 n n = 5.
Từ x 1/m n n = x 5/4 n n x 1/m n − 5/4 ta có kết luận
5 và đây là giá trị duy nhất thoả mãn bài toán
4 và số m cần tìm thoả mãn 1 m = 1−max{a 1 , a 2 } = 1−
5. Xem ra với dãy số xác định bởiun+1 = un+u a n 1 +u a n 2 + +u a n k thì điều kiện để dãy a β n n có giới hạn hữu hạn khác 0 là β = 1−max{a 1 , a 2 , , a k }.
Ta xét thêm bài toán sau.
Bài toán 2.1.21 (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 434) Cho dãy số
{xn} xác định bởi x1 > 0 cho trước và xn+1 = xn+ 1 xn
Tìm tất cả các số thực α sao cho dãy {n.x α n } có giới hạn hữu hạn khác
Lời giải Dãy {n.x α n } có giới hạn hữu hạn khác 0 khi và chỉ khi dãy x − n α n có giới hạn hữu hạn khác 0 Như vậy α sẽ thoả mãn
Ta thấy rõ hơn qua lời giải chi tiết sau: Dễ thấy limx n = +∞ thế nên nếu đặt y n = 1 xn thì limy n = 0 Xét x 2 n+1 −x 2 n xn + 1 xn
Theo Định lí trung bình cộng Stolz-Cesàro thìlimx 2 n n = 2.Điều này cùng với x − n α n = x 2 n n x − n α − 2 cho ta kết luận Nếu mà α > −2 thì limx − n α n = +∞ Nếu α 0 và lim n →∞ g(xn)−g(yn) xn −yn
= ∞. Dưới các giả thiết trên hàm h = f ◦g không thể tuần hoàn.
Để chứng minh rằng h = f ◦ g không thể tuần hoàn, ta áp dụng hệ quả 1.1.23 và chỉ ra rằng h không liên tục đều Giả sử f và g thỏa mãn các điều kiện của định lý Với g liên tục và tính chất (ii), ta nhận thấy đoạn I n := g([x n , y n ]) (hoặc I n := g([y n , x n ])) với n đủ lớn phải có độ dài lớn hơn chu kỳ tuần hoàn T của f Do đó, miền giá trị của f trùng với miền giá trị của h = f ◦ g, dẫn đến việc h không thể hằng số Từ đó, ta có thể chọn α và β sao cho f(g(α)) 6= f(g(β)) và đặt ε 0 = |f(g(α))−f(g(β))| > 0, chứng minh rằng định nghĩa hàm liên tục đều không thỏa mãn với ε 0 này.
Ta cố định n ∈ N đủ lớn để đảm bảo |In| > 2T và ký hiệu #(g(α)) là số giá trị nguyên của k sao cho g(α) + kT thuộc In Khi đó, dễ thấy
Tương tự, ký hiệu #g(β) là số số nguyên k sao cho g(β) +kT thuộc I n
Một lần nữa, ta có #(g(β)) > |g(x n )−g(y n )|
Các giá trị của g(α) + kT và g(β) + kT xen kẽ nhau, nhờ vào tính liên tục của g, chúng ta có thể áp dụng Định lý giá trị trung gian để xác định hai dãy uk và vk trong khoảng [xn, yn] (hoặc [yn, xn]) đều tăng và xen kẽ Điều này cho phép tìm được các giá trị g(uk) = g(α) + lkT và g(vk) = g(β) + skT với lk, sk thuộc Z Số đoạn có dạng [uk, vk) (hoặc [vk, uk), [vk, uk+1), ít nhất là.
Các đoạn này tạo thành một phân hoạch của đoạn con củaJn := [xn, yn]
(hoặc Jn := [yn, xn]) có độ dài |xn −yn| Suy ra ít nhất một trong các đoạn có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng |xn−yn|
Ta ký hiệu đoạn như vậy là [ζ n , η n ] và chú ý rằng
(2.7) và |f(g(ζ n )) −f(g(η n ))| = ε 0 Với δ > 0 tùy ý nhưng cố định, ta chọn n sao cho |ζ n −η n | < δ Do có (2.7) nên ta có thể chọn được n như vậy.
Vớin này, ta có |h(ζ n )−h(η n )| ≥ ε 0 , điều này chứng minh rằng h không liên tục đều.
Sau đây, là lời giải của Bài toán 11174 Trong lời giải chúng ta sẽ sử dụng một mở rộng của G Nagy là Định lý 2.3.1.
Giả sử f, g và {xn} thỏa mãn các điều kiện 1-3 trong Bài toán 11174.
Ta có thể tìm dãy con{xn k} của xn sao cho xn k+1−xn k ≥ 1với mọi k và klim→∞ g(xn k) xn k
Theo Định lý 1.2.11, chúng ta có thể giả định trường hợp đầu tiên mà không làm giảm tính tổng quát, vì trường hợp thứ hai có thể được suy ra từ trường hợp đầu tiên bằng cách thay đổi g thành -g Áp dụng định lý này cho hai dãy {g(x n k )} và {x n k }, ta nhận được giới hạn sup lim k →∞ g(x n k+1 )−g(x n k ) xn k+1 −xn k.
Định lý 2.3.1 chứng minh sự tồn tại của hai dãy trong (ii) Nhờ đó, chúng ta có thể áp dụng Định lý 2.3.1 cho các hàm f và g, từ đó kết luận rằng hàm h = f ◦ g không tuần hoàn.
Luận văn trình bày được một số nội dung như sau:
- Tổng hợp một số khái niệm, định lý cơ bản về dãy số, hàm số và chuỗi số.
- Trình bày một số dạng cổ điển, dạng mở rộng và một số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro.
Định lý Stolz-Cesàro là công cụ hữu ích trong việc tính giới hạn của dãy số và đánh giá sự hội tụ của chuỗi số Bằng cách áp dụng định lý này, chúng ta có thể giải quyết nhiều bài toán thực tiễn, giúp xác định giới hạn của các dãy số phức tạp Việc hiểu rõ và sử dụng định lý Stolz-Cesàro không chỉ hỗ trợ trong việc tính toán mà còn nâng cao khả năng phân tích và đánh giá các chuỗi số trong toán học.
Định lý Stolz-Cesàro không chỉ ứng dụng trong việc tính tổng hữu hạn của các lũy thừa nguyên mà còn được sử dụng để nghiên cứu tính chất tuần hoàn của hàm số trong bài toán 11147 của P.
Lê Phúc Lữ (2013) đã tổng hợp các bài toán về dãy số và giới hạn trong các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh, thành phố trong năm học 2011-2012 Tài liệu này không chỉ cung cấp những bài toán tiêu biểu mà còn giới thiệu một số vấn đề liên quan, giúp người đọc có cái nhìn tổng quát và sâu sắc về nội dung thi học sinh giỏi.
[2] Nguyễn Văn Mậu (2005), Chuyên đề chọn lọc dãy số và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Tuyển tập Olympic toán sinh viên toàn quốc 1993 -2005,
[4] Kỷ yếu Olympic toán sinh viên toàn quốc các năm 2014, 2015, 2016, Hội toán học Việt Nam.
[5] P P Dalyay(2005), "Problem 11147", Amer Math Monthly, 112(8), pp 43-48.
[6] E J Ionascu (2008), "Twin problems from the Monthly and the Stolz-Cesàro Lemma", Crux Mathematicorum with Mathematical May-hem,34(7), pp 424-429.