Phân tích vành thương của vành các số nguyên gauss

Phần cuối Chương 1 trình bày một số kết quả về vành Z[i] các số nguyên Gauss, trong đó quan tâm đặc biệt đến việc xác định các phần tử khả nghịch Bổ đề 1.3.2, chứng minh Z[i] là miền Euc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHẠM XUÂN HÙNG

PHÂN TÍCH VÀNH THƯƠNG CỦA VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHẠM XUÂN HÙNG

PHÂN TÍCH VÀNH THƯƠNG CỦA VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục 1Lời nói đầu 3

1.1 Miền phân tích duy nhất 61.2 Phân tích vành thương của vành Z các số nguyên 131.3 Vành Z[i] các số nguyên Gauss 17

2.1 Phân tích vành thương của vành Z[i] 232.2 Phân tích số nguyên thành tổng hai số chính phương 342.3 Xác định các bộ số Pythagore 39Kết luận 45Tài liệu tham khảo 46

1

Lời cảm ơn

Tôi xin gửi lời biết ơn chân thành đến GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn đãhướng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn này Khi bắt đầu nhận đề tàithực sự tôi cảm nhận đề tài mang nhiều nội dung mới mẻ Hơn nữa vớivốn kiến thức ít ỏi cùng với kinh nghiệm làm đề tài lớn không nhiều nêntôi chưa thực sự tự tin để tiếp cận đề tài Mặc dù rất bận rộn trong côngviệc nhưng Cô vẫn dành nhiều thời gian và tâm huyết trong việc hướngdẫn, động viên khuyến khích tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện đềtài Trong quá trình tiếp cận đề tài đến quá trình hoàn thiện luận văn

Cô luân tận tình chỉ bảo và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi Cho đến bâygiờ luận văn thạc sĩ của tôi đã được hoàn thành, xin cảm ơn Cô đã đônđốc nhắc nhở tôi

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa toán-Tin và PhòngĐào tạo của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xintrân trọng cảm ơn các Thầy, Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thứcquí báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thànhluận văn này

Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn

bè, những người đã không ngừng động viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiện tốtnhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Lời nói đầu

Các số phức có dạng a + bi với a, b ∈ Z được gọi là các số nguyênGauss Tập các số nguyên Gauss làm thành một vành với phép cộng vànhân các số phức Vành này được kí hiệu là Z[i], và được gọi là vành các

số nguyên Gauss

Chú ý rằng mỗi vành thương của Z có dạng Z/mZ với m > 0 Vànhthương này có thể đồng nhất với vành Zm Một kết quả quen biết vềphân tích vành Zm thành tổng trực tiếp như sau: Nếu m = pt1

G Dresden, W Dymacek (2005), “Finding factors of factor rings overthe Gaussian Integers" đăng trên tạp chí “American Math Monthly" vềphân tích vành thương của vành Z[i] Chúng tôi cũng quan tâm khaithác các ứng dụng của vành các số nguyên Gauss để giải những bài toán

sơ cấp cổ điển như bài toán tìm điều kiện để một số tự nhiên là tổngcủa hai số chính phương, bài toán tìm các bộ số Pythagore

Luận văn gồm 2 Chương Trong Chương 1, Tiết 1.1 dành để nhắc lạimột số khái niệm về miền phân tích duy nhất, miền iđêan chính và miềnEuclid Tiết tiếp theo trình bày sự phân tích vành thương của vành Zcác số nguyên thành tổng trực tiếp của những vành đơn giản hơn (Mệnh

đề 1.2.5) Phần cuối Chương 1 trình bày một số kết quả về vành Z[i] các

số nguyên Gauss, trong đó quan tâm đặc biệt đến việc xác định các phần

tử khả nghịch (Bổ đề 1.3.2), chứng minh Z[i] là miền Euclid (Định lí1.3.4), và đặc trưng phần tử nguyên tố trong vành các số nguyên Gauss(Định lí 1.3.5)

Trong Chương 2, phần đầu Chương trình bày bài toán phân tích vànhthương của vành Z[i] thành tổng trực tiếp của những vành đơn giản hơn.Hai tiết còn lại (Tiết 2.2 và Tiết 2.3) dành để khai thác các kết quả củavành Z[i] để giải quyết hai bài toán sơ cấp kinh điển: tìm điều kiện đểmột số tự nhiên là tổng của hai số chính phương (Định lí 2.2.1, Định lí2.2.5), bài toán tìm các bộ số Pythagore (Định lí 2.3.4).

Vành các số nguyên Gauss

Các số phức có dạng a + bi với a, b ∈ Z được gọi là các số nguyên Gauss(Carl Friedrich Gauss là người đầu tiên nghiên cứu các số phức này).Tập các số nguyên Gauss làm thành một vành, được kí hiệu là Z[i], vàđược gọi là vành các số nguyên Gauss

Mục tiêu của Chương 1 là trình bày các tính chất cơ sở của vành các

số nguyên Gauss Phần đầu Chương nhắc lại một số khái niệm về miềnphân tích duy nhất, miền iđêan chính và miền Euclid Phần tiếp theotrình bày sự phân tích vành thương của vành Z các số nguyên thànhtổng trực tiếp của những vành đơn giản hơn Phần cuối trình bày vềvành Z[i] các số nguyên Gauss, trong đó quan tâm đặc biệt đến việc xácđịnh các phần tử khả nghịch, việc chứng minh Z[i] là miền Euclid, vàviệc đặc trưng các số nguyên tố Gauss

Carl Friedrich Gauss (sinh ngày 30 tháng 4 năm 1777, mất ngày 23tháng 2 năm 1855) là một nhà Toán học và là nhà Khoa học thiên tàingười Đức Ông có những đóng góp lớn cho Khoa học, đặc biệt là trong

Lí thuyết số, Giải tích, Hình học vi phân, Khoa học trắc địa, Từ học,Tĩnh điện học, Thiên văn học và Quang học Với những ảnh hưởng sâusắc trong Khoa học, đặc biệt là trong Toán học, Carl Friedrich Gaussđược xếp ngang với những thiên tài Leonhard Euler, Isaac Newton và

5

Archimedes - những nhà Toán học vĩ đại nhất của lịch sử.

1.1 Miền phân tích duy nhất

Chúng ta đều biết rằng, trong miền nguyên Z, mỗi số nguyên dương

n > 1 đều có một phân tích tiêu chuẩn n = pr1

Trong Chương I, luôn giả thiết D là một miền nguyên, tức D là vànhgiao hoán khác {0} và nếu a, b 6= 0 là hai phần tử của D thì ab 6= 0.Trước khi trình bày khái niệm miền phân tích duy nhất, chúng ta nhắclại một số khái niệm về ước, bội, phần tử nguyên tố, phần tử bất khảquy

1.1.1 Định nghĩa Cho a, b ∈ D, b 6= 0 Ta nói b là ước của a (hay a

là bội của b), nếu tồn tại q ∈ D sao cho a = bq Nếu tồn tại q ∈ D để

1 = bq thì ta nói b là phần tử khả nghịch hay b là ước của đơn vị Ta nói

a và b là liên kết, viết là a ∼ b, nếu đồng thời a là ước của b và b là ướccủa a Nếu b là ước của a và a không là ước của b thì ta nói b là ước thực

sự của a

Chú ý rằng a và b liên kết với nhau nếu và chỉ nếu chúng chỉ khácnhau một nhân tử là ước của đơn vị, tức là tồn tại một phần tử khảnghịch u ∈ D sao cho a = bu.

1.1.2 Định nghĩa Cho p ∈ D Ta nói p là phần tử bất khả quy nếu pkhác 0, không khả nghịch và có ước thực sự Ta nói p là phần tử nguyên

tố nếu p khác 0, không khả nghịch và nếu p là ước của tích ab thì p làước của a hoặc p là ước của b với mọi a, b ∈ D

Trong miền nguyên Z, các phần tử bất khả quy là và chỉ là các sốnguyên tố Trong miền nguyên D bất kì, nếu p là phần từ nguyên tố thì

plà bất khả quy Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Chẳng hạn, xétmiền nguyên

5)(1 − i√5) nhưng 2 và 3 không làước của 1 + i√

5 và cũng không là ước của 1 − i√5 Tương tự, 1 + i√

5

và 1 − i√5 là ước của tích 2.3, nhưng 1 + i√

5 và 1 − i√5 không là ướccủa 2 và cũng không là ước của 3

1.1.3 Định nghĩa Miền nguyên D được gọi là miền phân tích duy nhấtnếu mỗi phần tử khác 0 và không khả nghịch đều phân tích được thànhtích những phần tử bất khả quy và sự phân tích đó là duy nhất nếukhông kể đến thứ tự các nhân tử và cũng không kể đến các nhân tử làước của đơn vị Miền phân tích duy nhất (Unique Factorization Domain)còn được gọi là miền nhân tử hoá hay miền Gauss

Ví dụ đơn giản cho miền phân tích duy nhất là miền nguyên Z Miềnphân tích duy nhất tiếp theo là vành các số nguyên Gauss Z[i] (sẽ đượcnghiên cứu trong Tiết 2.3), được giới thiệu và khám phá bởi nhà toánhọc người Đức Carl Friedrich Gauss trong bài báo năm 1828 của ông nói

về các thặng dư bậc hai

Để trình bày đặc trưng của miền phân tích duy nhất, chúng ta cầnđến điều kiện dãy dừng các ước thực sự và điều kiện có ước chung lớnnhất

1.1.4 Định nghĩa Cho a1, a2, a3, là dãy các phần tử của D sao cho

ai+1 là ước của ai với mọi i ≥ 1 Ta nói a1, a2, a3, là dãy dừng nếu tồntại một số tự nhiên n0 sao cho an liên kết với an 0 với mọi n ≥ n0 Miềnnguyên D được gọi là thoả mãn điều kiện dãy dừng những ước thực sựnếu mọi dãy a1, a2, a3, những phần tử của D thỏa mãn tính chất ai+1

là ước của ai với mọi i đều là dãy dừng

Miền nguyên Z thoả mãn điều kiện dãy dừng những ước thực sự Giả

sử D là miền nguyên thoả mãn điều kiện dãy dừng những ước thực sự.Khi đó mỗi phần tử khác 0 và không khả nghịch của D đều có ít nhấtmột ước bất khả quy Hơn nữa, mỗi phần tử khác 0 và không khả nghịchcủa D đều phân tích được thành tích những nhân tử bất khả quy.1.1.5 Định nghĩa Cho a1, , an ∈ D Một ước chung d ∈ D của

a1, , an được gọi là một ước chung lớn nhất nếu nó là bội của mọiước chung khác của a1, , an Nếu 1 là một ước chung lớn nhất của

a1, , an thì ta nói a1, , an là nguyên tố cùng nhau Một bội chung

m ∈ D của a1, , an được gọi là một bội chung nhỏ nhất nếu m là ướccủa mọi bội chung khác của a1, , an

Chú ý rằng nếu d, d′ ∈ D là hai ước chung lớn nhất của a1, , an,thì d và d′ là liên kết với nhau, tức là tồn tại một phần tử khả nghịch

u ∈ D sao cho d = ud′ Tương tự, nếu m, m′ là hai bội chung nhỏ nhấtcủa a1, , an, thì m, m′ là liên kết với nhau.

Nhìn chung, ước chung lớn nhất không xác định duy nhất Trongtrường hợp a1, , an có nhiều ước chung lớn nhất, người ta thườngchọn ra một ước chung lớn nhất xác định theo cách nào đó và kí hiệu nó

là gcd(a1, , an) Chẳng hạn, trong miền nguyên Z, nếu a, b là hai sốnguyên không đồng thời bằng 0, thì a, b có hai ước chung lớn nhất là hai

số nguyên đối nhau d và −d Nếu d > 0, thì ta viết d = gcd(a, b) Tương

tự, bội chung nhỏ nhất cũng không xác định duy nhất Trong trườnghợp a1, , an có nhiều bội chung nhỏ nhất, người ta thường chọn ramột bội chung nhỏ nhất xác định theo cách nào đó và kí hiệu nó làlcm(a1, , an) Chú ý rằng gcd và lcm lần lượt là viết tắt của “greatestcommon divisor" và “least common multiple"

1.1.6 Định nghĩa Miền nguyên D được gọi là thoả mãn điều kiện cóước chung lớn nhất nếu hai phần tử bất kì không đồng thời bằng 0 trong

D đều có ước chung lớn nhất

Miền nguyên Z thoả mãn điều kiện có ước chung lớn nhất Thuật toánEuclid cho phép chúng ta tìm ước chung lớn nhất trong miền nguyên Z

Cụ thể, cho a, b là hai số tự nhiên khác 0 Để tìm ước chung lớn nhấtcủa a và b ta thực hiện các phép chia liên tiếp, sau k bước nào đó ta có

Số dư khác 0 cuối cùng trong phép chia liên tiếp là rk Khi đó rk =gcd(a, b).

Cho a, b ∈ Z Nếu a hoặc b là số âm thì theo thuật toán trên ta có thểtìm ước chung lớn nhất của |a| và |b| Khi đó ta có gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|)

Vì thế ta có thể tìm ước chug lớn nhất cho hai số nguyên bất kì khôngđồng thời bằng 0

Cho D là miền nguyên thoả mãn điều kiện có ước chung lớn nhất.Khi đó các phần tử bất khả quy trong D là và chỉ là các phần tử nguyên

tố Hơn nữa, nếu phần tử a ∈ D có hai phân tích thành nhân tử bất khảquy

a = p1p2 pn = q1q2 qm

thì n = m và tồn tại một hoán vị δ sao cho pi liên kết với qδ(i) với mọi

i = 1, 2, , n

Định lí sau đây cho ta đặc trưng của miền phân tích duy nhất

1.1.7 Định lý (Xem [1]) Cho D là miền nguyên Các phát biểu sau làtương đương

(i) D là miền phân tích duy nhất

(ii) D thoả mãn điều kiện dãy dừng những ước thực sự và điều kiện cóước chung lớn nhất

iii) Mỗi phần tử khác 0 và không khả nghịch của D đều phân tích đượcthành tích của những nhân tử bất khả quy và mọi phần tử bất khả quycủa D đều là phần tử nguyên tố

Có nhiều miền nguyên quen biết trong số học không phải là miềnphân tích duy nhất Chẳng hạn, trong miền nguyên

Z[i√3] = {a + bi√3 | a, b ∈ Z},

số 4 có hai sự phân tích bất khả quy là

3] không là miền phân tích duy nhất

1.1.8 Định nghĩa Cho D là một miền nguyên Một tập con I của

D được gọi là một iđêan của D nếu 0 ∈ I và a − b, ax ∈ I với mọi

a, b ∈ I, x ∈ D Một iđêan I của D được gọi là iđêan chính nếu tồn tạimột phần tử a ∈ I sao cho I = {ax | x ∈ D}, khi đó ta viết I = (a)

và ta nói I là iđêan chính sinh bởi a Miền nguyên D được gọi là miềniđêan chính nếu mọi iđêan của D đều là iđêan chính Miền iđêan chínhđược viết tắt là PID (Principal Ideal Domain)

Miền nguyên Z là miền iđêan chính vì các iđêan của Z đều có dạng

mZ := (m) = {mx | x ∈ Z}

1.1.9 Định lý Nếu D là miền iđêan chính thì D thoả mãn điều kiệndãy dừng những ước thực sự và điều kiện có ước chung lớn nhất Đặcbiệt, mỗi miền iđêan chính đều là miền phân tích duy nhất

Chứng minh Giả sử a1, a2, a3, là một dãy các phần tử của D sao cho

ai+1 là ước của ai với mọi i Khi đó ta có một dãy tăng (a1) ⊆ (a2) ⊆(a3) ⊆ các iđêan chính của D Đặt I =

∞

[

i=1

(ai) Khi đó I là iđêancủa D Vì D là miền iđêan chính nên tồn tại a ∈ D sao cho I = (a)

Do a ∈ I nên tồn tại số n0 sao cho a ∈ (an 0) Suy ra I ⊆ (an 0) và do

đó I =⊆ (an) = (an 0) với mọi n ≥ n0 Suy ra an liên kết với an0 với mọi

n ≥ n0

Cho a, b ∈ D là hai phần tử không đồng thời bằng 0 Đặt

I = {ax + by | x, y ∈ D}

Khi đó I là iđêan của D Do D là miền iđêan chính nên tồn tại d ∈ Dsao cho I = (d) Do a = a.1 + b.0 nên a ∈ I, tức là a ∈ (d) Suy ra d làước của a Tương tự, d là ước của b Giả sử t là ước chung của a và b

Vì d ∈ (d) = I nên tồn tại x, y ∈ D sao cho d = ax + by Suy ra t là ướccủa d Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b

Từ đây đến hết tiết này, đặt D∗ = D \ {0}

1.1.10 Định nghĩa Miền nguyên D được gọi là miền Euclid nếu cómột ánh xạ g : D∗ → N thoả mãn các điều kiện:

(i) g(ab) ≥ g(a) với mọi a, b ∈ D∗

(ii) Với a ∈ D, b ∈ D∗, tồn tại q, r ∈ D sao cho a = bq + r trong đó r = 0hoặc g(r) < g(b)

Miền nguyên Z là miền Euclid với ánh xạ g : Z∗ → N cho bởi g(a) =

|a|, với mọi a ∈ Z∗

1.1.11 Định lý Nếu D là miền Euclid thì D là miền iđêan chính và do

đó D là miền phân tích duy nhất

Chứng minh Cho I là iđêan của D Nếu I = {0} thì I là iđêan chínhsinh bởi phần tử 0 Giả sử I 6= {0} Khi đó tồn tại những phần tử khác

0 trong I Gọi a là phần tử khác 0 trong I sao cho g(a) bé nhất Ta sẽchứng minh I = (a) Vì a ∈ I nên (a) ⊆ I Giả sử b ∈ I Chia b cho a tađược b = aq + r với r = 0 hoặc g(r) < g(a) Nếu r 6= 0 thì g(r) < g(a)

Vì r = b − aq ∈ I, nên điều này là mâu thuẫn với cách chọn phần tử a

Do đó r = 0 và do đó b = aq ∈ (a) Vì thế, I là iđêan chính sinh bởia

Chú ý rằng miền phân tích duy nhất luôn thoả mãn điều kiện có ướcchung lớn nhất Vì thế, miền Euclid thoả mãn điều kiện có ước chunglớn nhất Dưới đây chúng ta trình bày thuật toán tìm ước chung lớnnhất của hai phần tử tuỳ ý trong miền Euclid.

1.1.12 Chú ý Cho D là vành Euclid và a, b ∈ D là hai phần tử khôngđồng thời bằng 0 Ta có thể giả thiết b 6= 0 Chia a cho b ta được

1.2 Phân tích vành thương của vành Z các số nguyên

Tiết này trình bày khái niệm tổng trực tiếp của hai vành và sự phân tíchvành thương của Z thành tổng trực tiếp

1.2.1 Định nghĩa Cho V, V′ là hai vành giao hoán Ta kí hiệu

V ⊕ V′ = {(x, y) | x ∈ V, y ∈ V′}

Khi đó V ⊕ V′ là một vành với hai phép toán cộng và nhân

(x, y) + (a, b) = (x + a, y + b); (x, y)(a, b) = (xa, yb)

Ta gọi vành V ⊕ V′ là tổng trực tiếp của V và V′

Tiếp theo, chúng ta nhắc lại một sô khái niệm và tính chất liên quanđến vành thương của một vành giao hoán ứng với một iđêan Khái niệmiđêan đã được nếu trong Định nghĩa 1.1.8

1.2.2 Định nghĩa Giả sử V là vành giao hoán và I là iđêan của V Đặt

Phần tử không của V/I là 0 + I, phần tử 1 + I là đơn vị của V/I Vành

V /I được gọi là vành thương của V ứng với iđêan I

1.2.3 Ví dụ Chú ý rằng Z là vành Euclid với anh xạ g : Z∗ → N chobởi g(n) = |n|, trong đó Z∗ = Z \ {0} Hơn nữa, Z là miền iđêan chính

và nếu I là iđêan của Z thì tồn tại số nguyên m ≥ 0 sao cho

I = mZ = {mx | x ∈ Z}

Trong vành thương Z/mZ = {x + mZ | x ∈ Z}, các phần tử x + mZ và

y + mZ bằng nhau khi và chỉ khi x − y là bội của m Phép cộng và nhântrong Z/mZ cho bởi

(x + mZ) + (y + mZ) = (x + y) + mZ; (x + mZ)(y + mZ) = xy + mZ

Kí hiệu Zm là vành các số nguyên modulo m Nếu ta đồng nhất phần tử

x + mZ ∈ Z/mZ với phần tử m ∈ Zn, thì các phép toán cộng và nhântrong Z/mZ và trong Zm là như nhau Vì thế ta có thể đồng nhất

Z/mZ ≡ Zm.Cho U, V là hai vành (có đơn vị) Một ánh xạ f : U → V được gọi làmột đồng cấu vành nếu f(1) = 1, f(a+b) = f(a)+f(b), f(ab) = f(a)f(b)với mọi a, b ∈ U Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (tương ứng: toàn cấu,đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (tương ứng: toàn ánh, song ánh) Hai vành

U và V được gọi là đẳng cấu với nhau nếu có một đẳng cấu giữa U và

V Trong trường hợp đó ta viết U ∼= V Chú ý rằng hợp thành của haiđẳng cấu là một đẳng cấu, ánh xạ ngược của một đẳng cấu là một đẳngcấu

1.2.4 Chú ý Giả sử f : U → V là một đồng cấu vành Đặt Im f = f(U)

và Ker f = {x ∈ U | f(x) = 0} Khi đó Im f là vành con của V và Ker f

là iđêan của U Hơn nữa, Định lí đồng cấu vành cho ta đẳng cấu

k là phân tích tiêu chuẩn của số

tự nhiên n thì vành thương Zm = Z/mZ của Z có phân tích

Zm ∼= Zpt1

1 ⊕ Zpt2

2 ⊕ ⊕ Zptk

Chứng minh Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu m, n > 1

là các số nguyên sao cho gcd(m, n) = 1 thì Zmn ∼= Zm⊕ Zn. Xét ánh xạ

g : Zmn → Zm ⊕ Zn cho bởi g(¯a) = (¯a, ¯a)

Cho ¯a = ¯b ∈ Zmn Khi đó a − b là bội của mn Do đó a − b là bộicủa m và cũng là bội của n Vì thế ¯a = ¯b ∈ Zm và ¯a = ¯b ∈ Zn Điều nàychứng tỏ quy tắc g không phụ thuộc vào việc chọn đại diện của phần tửtrong Zmn Do đó g là ánh xạ

Ta có thể kiểm tra được g là một đồng cấu Giả sử g(¯a) = g(¯b) Khi

đó (¯a, ¯a) = (¯b, ¯b) ∈ Zm ⊕ Zn Suy ra ¯a = ¯b ∈ Zm và ¯a = ¯b ∈ Zn Do đó

a − b là bội của m và cũng là bội của n Vì gcd(m, n) = 1 nên a − b làbội của mn Vì thế ¯a = ¯b ∈ Zmn Do vậy, g là đơn cấu

Cho (¯a, ¯b) ∈ Zm ⊕ Zn Vì gcd(m, n) = 1 nên tồn tại x, y ∈ Z saocho 1 = mx + ny Suy ra a = amx + any và b = bmx + bny Chọn

c = mxb + nya Ta có

c − a = mxb + nya − a = mxb + nya − (amx + any) = mxb − amx

Do đó c − a là bội của m Suy ra ¯c = ¯a ∈ Zm Tương tự, ¯c = ¯b ∈ Zn Vìthế ta có

g(¯c) = (¯c, ¯c) = (¯a, ¯b) ∈ Zm⊕ Zn

Do đó g là toàn cấu Vì thế g là đẳng cấu

Một vành giao hoán V được gọi là phân tích được nếu tồn tại haiiđêan I, J 6= {0} của V sao cho I + J = V và I ∩ J = {0}

1.2.6 Bổ đề Nếu n > 1 là một lũy thừa của một số nguyên tố thì Zn

là vành không phân tích được

Chứng minh Giả sử Zn phân tích được Khi đó tồn tại hai iđêan I, J 6={0} của Zn sao cho I + J = Zn và I ∩ J = {0} Vì n là lũy thừa của

số một nguyên tố nên n = pk với p nguyên tố và k là số nguyên dương.Chọn ¯a ∈ I, ¯b ∈ J sao cho ¯a, ¯b 6= ¯0 Khi đó a, b đều không là bội của pk.Viết a = pua′, b = pvb′, trong đó a′, b′ không là bội của p Vì a, b không

là bội của pk nên u, v < k Chọn t = max{u, v} và c = pta′b′ Khi đó

t < k và vì thế c không là bội của pk, tức là trong vành Zn ta có ¯c 6= ¯0

Rõ ràng ¯c ∈ I ∩ J Điều này là mâu thuẫn với cách chọn I ∩ J = {0}

Do đó Zn không phân tích được

Mệnh đề 1.2.5 và Bổ đề 1.2.6 cho ta cấu trúc của vành thương củavành Z: Mọi vành thương của vành các số nguyên Z đều phân tích đượcthành tổng trực tiếp của hữu hạn vành không phân tích được dạng Znvới n là lũy thừa của một số nguyên tố

1.3 Vành Z[i] các số nguyên Gauss

Vành các số nguyên Gauss, lần đầu tiên nghiên cứu bởi Gauss, là loạivành liên quan mật thiết đến bài toán về điều kiện để một số tự nhiên làtổng của hai số chính phương và bài toán xác định các bộ ba Pythagore(xem Chương 2, Tiết 2.2 và Tiết 2.3)

1.3.1 Định nghĩa Một số phức có dạng a + bi với a, b ∈ Z, được gọi làmột số nguyên Gauss Tập các số nguyên Gauss

Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z},trong đó i2 = −1, là một vành với phép cộng và nhân các số phức Tagọi Z[i] là vành các số nguyên Gauss

Chuẩn của số nguyên Gauss được định nghĩa như chuẩn của số phức

Cụ thể, nếu z = a + bi là một số phức, thì chuẩn của z được cho bởi

N (z) = z ¯z = a2 + b2, trong đó ¯z = a − bi là liên hợp của z Chú ý rằng

liên hợp của một tổng (tích, thương) hai số phức là tổng (tích, thương)của các liên hợp Do đó ta có

N (zz′) = N (z)N (z′), ∀z, z′ ∈ C

Trước hết chúng ta quan tâm đến các phần tử khả nghịch trong Z[i].1.3.2 Bổ đề Các phát biểu sau là đúng

(i) Phần tử z ∈ Z[i] là khả nghịch khi và chỉ khi N(z) = 1;

(ii) Các phần tử khả nghịch của Z[i] là ±1, ±i

Chứng minh (i) Cho z ∈ Z[i] là khả nghịch Khi đó tồn tại z′ ∈ Z[i]sao cho zz′ = 1 Suy ra

1 = N (1) = N (zz′) = N (z)N (z′)

Vì thế N(z) = 1 Ngược lại, cho N(z) = 1 Viết z = a + bi với a, b ∈ Z.Khi đó a2 + b2 = 1 Suy ra a = ±1, b = 0 hoặc a = 0, b = ±1 Do đó

z = ±1 hoặc z = ±i Vì thế z khả nghịch trong Z[i] Phát biểu (ii) suy

ra ngay từ chứng minh của phát biểu (i)

Mối quan hệ giữa tính chia hết trong Z[i] và tính chia hết trong Zđược thể hiện trong bổ đề sau

1.3.3 Bổ đề Cho z, z′ ∈ Z[i] Nếu z là ước của z′ trong Z[i] thì N(z)

là ước của N(z′) trong vành Z

Chứng minh Nếu z là ước của z′ thì z′ = zu với u ∈ Z[i] Do đó

N (z′) = N (zu) = N (z)N (u)

Suy ra N(z) là ước của N(z′)

Đặt Z[i]∗ = Z[i] \ {0} Thông qua chuẩn của số nguyên Gauss, chúng

ta sẽ chứng minh Z[i] là miền Euclid

1.3.4 Định lý Vánh Z[i] các số nguyên Gauss là miền Euclid với ánh

xạ g : Z[i]∗ → N cho bởi g(z) = N(z) Đặc biệt, Z[i] là miền iđêan chính

và là miền phân tích duy nhất

Chứng minh Cho z, u ∈ Z[i] là hai phần tử khác 0 Khi đó N(z), N(u) ≥

1 Vì thế ta có

N (zu) = N (z)N (u) ≥ N(z)

Tiếp theo ta chứng minh tính chất chia với dư trong vành Z[i] Giả sử

z = a + bi và u = c + di (với a, b, c, d ∈ Z) là hai phần tử khác 0 trong

có z = uq + r, trong đó q, r ∈ Z[i] và nếu r 6= 0 thì N(r) < N(u) Vì vậy,

Z[i] là miền Euclid

Kết quả tiếp theo xác định các phần tử nguyên tố trong vành Z[i].1.3.5 Định lý Phần tử z ∈ Z[i] là phần tử nguyên tố trong vành các sốnguyên Gauss nếu và chỉ nếu z có một trong hai dạng sau

(i) z = pu với p là số nguyên tố trong Z, p không là tổng của hai sốchính phương, và u là phần tử khả nghịch trong Z[i]

(ii) z = a + bi với N(z) = a2 + b2 là số nguyên tố trong Z

Chứng minh Giả sử z có dạng (i), tức là z = pu với p là số nguyên tốtrong Z, p không là tổng của hai số chính phương, và u là phần tử khảnghịch trong Z[i] Theo Bổ đề 1.3.2 ta có

N (z) = N (pu) = N (p)N (u) = N (p) = p2

Nếu z không là phần tử nguyên tố thì z = z′z′′ với z′, z′′ là các ước thực

sự Khi đó z′, z′′ không khả nghịch Theo Bổ đề 1.3.2, ta có N(z) > 1 và

N (z′′) > 1 Suy ra

p2 = N (z) = N (z′)N (z′′)

Vì p là số nguyên tố trong Z và N(z′) > 1, N (z′′) > 1, nên ta suy ra

N (z′) = N (z′′) = p Do đó nếu z′ = x + yi với x, y ∈ Z, thì p = N(z′) =

x2 + y2, điều này là mâu thuẫn với giả thiết p không là tổng của hai

số chính phương Vì thế z không có ước thực sự Do vậy, z là phần tửnguyên tố của Z[i]

Giả sử z có dạng (ii), tức là z = a + bi với N(z) = a2+ b2 là số nguyên

tố trong Z Nếu z không là phần tử nguyên tố thì z = z′z′′ với z′, z′′ làcác ước thực sự Theo Bổ đề 1.3.2, ta có N(z) > 1 và N(z′′) > 1 Khi đó

a2 + b2 = N (z) = N (z′)N (z′′),

điều này là mâu thuẫn với giả thiết a2+ b2 là số nguyên tố Do vậy, z làphần tử nguyên tố của Z[i]

Ngược lại, giả sử z = a + bi là phần tử nguyên tố của Z[i] Khi đó zkhông khả nghịch Đặt n = N(z) = a2 + b2 Vì z không khả nghịch nêntheo Bổ đề 1.3.2 ta suy ra n > 1 Nếu n là số nguyên tố trong Z, thì z

có dạng (ii) Giả sử n không nguyên tố trong Z Kí hiệu ¯z = a − bi làliên hợp của z Ta có N(¯z) = N(z) = n > 1 Do đó ¯z không khả nghịchtheo Bổ đề 1.3.2 Nếu ¯z không nguyên tố trong Z[i] thì ¯z có ước thực

là các số tự nhiên lớn hơn 1 Theo Bổ đề 1.3.2, p, q là các phần tử khác

0 và không khả nghịch trong Z[i] Do Z[i] là miền phân tích duy nhất(theo Định lí 1.3.4) và n = z¯z là phân tích thành tích của 2 phần tửnguyên tố trong Z[i], nên mọi phân tích bất khả quy của n trong Z[i]cũng chỉ có hai nhân tử nguyên tố Vì thế, z = pq cũng là phân tích của

n thành tích của hai phần tử nguyên tố trong Z[i] Suy ra p, q là cácphần tử nguyên tố trong Z[i] Do đó p, q là các số nguyên tố trong N.Theo tính chất của miền phân tích duy nhất, không mất tính tổng quát,

ta có thể giả thiết z = up và ¯z = vq, trong đó u, v ∈ Z[i] là các phần tửkhả nghịch Suy ra z có dạng (i)

Các phần tử nguyên tố trong vành Z[i] còn được gọi là các số nguyên

tố Gauss

1.3.6 Ví dụ (i) Số phức z = 4 + i là số nguyên tố Gauss Thật vậy,

vì N(z) = 1 + 16 = 17 là số nguyên tố nên z là nguyên tố theo Định lí1.3.5

(ii) Số phức z = 2 là số nguyên tố Gauss theo Định lí 1.3.5(i).

(iii) Các số phức 1 + i, 1 − i, −1 + i, −1 − i là các số nguyên tố Gausstheo Định lí 1.3.5 (các số phức này đều có chuẩn bằng 2)

1.3.7 Hệ quả Cho p là số nguyên tố trong Z Khi đó p là số nguyên tốGauss nếu và chỉ nếu p không là tổng của hai số chính phương

Chứng minh Giả sử z = p là số nguyên tố Gauss Vì p là số nguyên tốtrong Z nên N(p) = p2 không là số nguyên tố trong Z Vì thế, z phải

có dạng (i) trong phát biểu Định lí 1.3.5 Do đó p không là tổng củahai số chính phương Ngược lại, giả sử p không là tổng của hai số chínhphương Theo Định lí 1.3.5(i) ta suy ra p là số nguyên tố Gauss

1.3.8 Hệ quả Nếu z = a + bi là số phức sao cho N(z) = a2 + b2 là sốnguyên tố trong Z Kí hiệu ¯z = a − bi là số phức liên hợp của z Khi đó

z và ¯z đều là các số nguyên tố Gauss

Chứng minh Chú ý rằng N(¯z) = N(z) Vì thế từ Định lí 1.3.5(ii) ta cókết quả