Tr÷íng húu h¤n
Tệp F là một nhóm giao hoán với phép cộng, trong đó có hai phép toán cơ bản: phép cộng và phép nhân Phép cộng được coi là cơ bản, trong khi phép nhân là một phương pháp để tính toán một số lượng nhất định Tệp F có phần trăm và không thể hiểu là 0.
F ∗ = F\{0} là một nhóm giao hoán với phép nhân có phần tỷ lệ và là một vecto hiển l 1; phép nhân phân phối với phép cộng Một trường là hữu hạn nếu số phần tỷ lệ của F là hữu hạn; số phần tỷ lệ của F được gọi là cấp của F.
Vẵ dử 1.1 (i) Têp hủp cĂc số nguyảnZkhổng l mởt trữớng vẳ3∈Zkhổng kh£ nghàch.
(ii) CĂc têp hủp số hỳu t¿ Q, số thỹc R, số phực C cũng vợi ph²p cởng v nhƠn, tÔo th nh mởt trữớng.
2 : a, b∈ Q} õng kẵn vợi ph²p cởng v nhƠn thổng thữớng, v cũng vợi hai ph²p toĂn n y,Q[√
2]l mởt trữớng, phƯn tỷ khổng l 0 + 0√
2, ph¦n tû èi cõa ph¦n tû a+b√
Vẵ dử 1.2 Trữớng hỳu hÔnF2 vợi hai phƯn tỷ{0,1}, ph²p cởng v ph²p nhƠn ữủc thỹc hiằn nhữ sau:
1 0 1 Ơy cụng l v nh cừa cĂc số nguyản modulo 2.
Vẵ dử 1.3 Trữớng hỳu hÔn F 3 vợi ba phƯn tỷ {0,1,2}, ph²p cởng v ph²p nhƠn ữủc cho bði ph²p cởng v ph²p nhƠn modulo 3:
2 0 2 1 ành nghắa 1.2 (i) Náu K l mởt trữớng con cừa E thẳ ta gồi E l mởt trữớng mð rởng cừa K, kẵ hiằu l E/K.
Giới thiệu về trường E/K, đây là một mở rộng trường, trong đó E được xem là không gian vector trên trường K Nếu E là K - không gian vector hữu hạn chiều, thì chiều của E trên K được gọi là bậc của mở rộng E/K Nếu dim KE = n, thì bậc của mở rộng E/K là n Định nghĩa 1.3 cho biết trường E/K là một mở rộng trường, với f(x) ∈ K[x] là một đa thức thực có bậc n ≥ 1 Chúng ta nói rằng f(x) phân rã thành nhân tử trong E nếu f(x) = a(x−α₁) (x−αₙ), với a là hệ số cao nhất của f(x) và α₁, , αₙ ∈ E E được coi là trường phân rã của f(x) trên K nếu f(x) phân rã trong E và không phân rã trong bất kỳ trường con nào của E.
Mằnh ã 1.1 Cho E/K l mð rởng trữớng v α ∈ E l phƯn tỷ Ôi số trản K GiÊ sỷ p(x) ∈ K[x] l a thực bĐt khÊ quy nhên α l m nghiằm Khi õ K(α) = K[α] v [K(α) : K] = deg p(x) Hỡn nỳa náu deg p(x) = n thẳ
S ={1, α, α 2 , , α n−1 } l mởt cỡ sð cừa K- khổng gian v²c tỡ K(α).
Bờ ã 1.1 Vợi mồi a thực f(x) ∈ K[x] bĐt khÊ quy trản K, tỗn tÔi mởt trữớng E chựa K v chựa mởt nghiằm cừa f(x).
Vẵ dử 1.4 a thựcf(x) =x 2 −5l bĐt khÊ quy trản trữớngQ,tỗn tÔi trữớng
5cõa f(x). ành lẵ 1.1 Vợi mội a thực f(x) ∈ K[x] cõ bêc n ≥ 1, tỗn tÔi mởt trữớng phƠn r cừa f(x) trản K.
Vẵ dử 1.5 X²t trản trữớng số thỹc R, a thực f(x) = 3x 2 +x+ 1 khổng cõ nghiằm trảnR.Những náu x²t trản trữớng số phựcC,a thựcf(x) = 3x 2 +x+1 cõ hai nghiằm phực l x 1 = − 1 6 +
6 i Vêy vợi a thực f(x) = 3x 2 +x+ 1 tỗn tÔi mởt trữớng phƠn r C cừa f(x) trản R.
Bờ ã 1.2 Náu K l mởt trữớng hỳu hÔn cõ q phƯn tỷ thẳ K cõ °c số p nguyản tố v q l mởt lụy thứa cừa p Ảnh lẵ 1.2 (i) Náu p l số nguyản tố thẳ vợi mội số nguyản dữỡng d, tỗn tÔi mởt trữớng cõ úng p d phƯn tỷ.
(ii) Náu K v T l hai trữớng hỳu hÔn cũng cõ q phƯn tỷ thẳ chúng cõ cũng °c số p v ãu l trữớng phƠn r cừa a thực g(x) =x q −x trản trữớng
V nh a thực trản trữớng hỳu hÔn
Hàm số thực có thể được biểu diễn dưới dạng f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + + a_1 x + a_0, trong đó a_0, a_1, , a_n thuộc tập V và x là một biến Chúng ta cũng có thể viết hàm số thực này dưới dạng f(x) = P a_i x^i, với a_i = 0 cho mọi i > n Hai biểu thức f(x) và P a_i x^i đều mô tả cùng một hàm số thực.
Pb i x i l bơng nhau náu a i =b i vợi mồi i.
Kẵ hiằu V[x] là tập hợp các đa thức với hệ số thực Cho f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + + a_1 x + a_0 ∈ V[x], trong đó a_0 là hệ số tự do của f(x) Nếu a_n khác 0, thì bậc của f(x) được gọi là deg f(x) Định nghĩa 1.5 cho hai đa thức thực f(x) = P a_i x^i và g(x) = P b_i x^i trong V[x], thì tổng f(x) + g(x) = X.
Để hiểu rõ hơn về hàm f(x)g(x) = X c k x k, chúng ta cần xem xét các hệ số a i và b i trong biểu thức (a i + b i)x i Hệ số a thực được định nghĩa trong không gian V[x], nơi mà x là biến và các số trong V là thực Đặc biệt, phần tỷ lệ lớn nhất trong không gian này là a thực 0, trong khi phần tỷ lệ nhỏ nhất là a thực 1 Sự liên kết giữa các hệ số này góp phần vào việc xác định giá trị của hàm số.
Sau khi phân tích, chúng ta có thể thấy rằng mọi đa thức f(x) ∈ V[x] có thể được phân tách thành tích của một đa thức g(x) ∈ V[x] và một đa thức q(x) cùng với phần dư r(x) Cụ thể, tồn tại duy nhất một cặp đa thức q(x) và r(x) sao cho f(x) = q(x)g(x) + r(x), với điều kiện rằng r(x) bằng 0 hoặc bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của g(x) Điều này khẳng định tính chất quan trọng của việc phân tích đa thức trong không gian V.
Cho f(x) ∈ V[x] và a ∈ V, ta có thể sử dụng phương pháp Horner để chia f(x) cho x−a Giả sử f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + + a_1 x + a_0 với a_n ≠ 0 Khi chia f(x) cho x−a, ta nhận được f(x) = (x−a)q(x) + r, trong đó r ∈ V và deg q(x) = n−1 Giả sử q(x) = b_{n-1} x^{n-1} + + b_1 x + b_0, ta có thể tính toán nhanh các hệ số b_{n-1}, , b_1, b_0 của q(x) sau đó.
Tứ õ ta cõ lữủc ỗ Horner: a n a n−1 a 1 a 0 a b n−1 =a n b n−2 n−1 +a n−1 b 0 = ab 1 +a 1 r 0 +a 0
Vẵ dử 1.6 º thỹc hiằn ph²p chia 2x 5 +x 4 −5x 3 + 7x−1 cho x+ 1 trong
Phân tích theo luồng vận trành bậc thuế toán tầm thường q(x) và dư r(x) trong phép chia f(x) cho g(x) với f(x), g(x) ∈ K[x] và g(x) ≠ 0 Nếu f(x) = 0 hoặc deg f(x) < deg g(x) thì q(x) = 0 và r(x) = f(x) Khi f(x) ≠ 0 và deg f(x) ≥ deg g(x), với deg f(x) = n và deg g(x) = m, ta có a_n, b_m là hệ số cao nhất của f(x) và g(x) Trong trường hợp này, tồn tại phân tỷ b^(-1)_m ∈ K sao cho b_m * b^(-1)_m = 1 Đặt h(x) = a_n * b^(-1)_m * x^(n-m), ta có f_1(x) = f(x) - g(x)h(x) Khi f_1(x) = 0 hoặc deg f_1(x) < deg f(x), nếu f_1(x) = 0 hoặc deg f_1(x) < deg g(x) thì dư của phép chia là r(x) = f_1(x) và thương là q(x) = h(x) Nếu f_1(x) ≠ 0 hoặc deg f_1(x) ≥ deg g(x), ta tiếp tục với f_1(x) và g(x) để tìm a thực f_2(x) và h_1(x) thỏa mãn f_2(x) = f_1(x) - g(x)h_1(x), trong đó f_2(x) = 0 hoặc deg f_2(x) < deg f_1(x) Quá trình này tiếp tục cho đến khi ta có dãy f_1(x), f_2(x), , f_k(x) với các a thực và deg f(x) > deg f_1(x) > > deg f_(k-1)(x) ≥ deg g(x) và f_k(x) là a thực hoặc bằng 0 hoặc lớn hơn bậc của g(x).
f k−1 (x) =f k−2 (x)−g(x)h k−2 (x), deg f k−2 (x) > deg f k−1 (x)≥ deg g(x), f k (x) =f k−1 (x)−g(x)h k−1 (x), vợi f(x) = 0 ho°c deg f k (x) < deg g(x) Cởng vá vợi vá cĂc ¯ng thực õ lÔi ta ữủc f(x) =g(x) h(x) +h 1 (x) +ã ã ã+h k−1 (x)
+f k (x). °t q(x) =h(x) +h1(x) +ã ã ã+h k−1 (x) v r(x) =fk(x) ta cõ kát quÊ.
Vẵ dử 1.7 Trản trữớng Q, ta x²t a thực f(x) = 2x 3 + 8x 2 − 5x + 4 v g(x) = 2x 2 −2x−1 Ta thỹc hiằn ph²p chia f(x) cho g(x) nhữ sau: f 1 (x) =f(x)−xg(x) = 10x 2 −4x+ 4. f 2 (x) =f 1 (x)−5g(x) = 6x+ 9.
Thuêt toĂn n y dứng lÔi ð Ơy vẳ deg f 2 (x) = 1