Các định nghĩa và kết quả bổ trợ
Nón cực của Ω ⊂ R n là tập
Cho ánh xạ đa trị F :R n ⇒ R n , ta kí hiệu:
Giới hạn trên (ngoài) Painlevé - Kuratowski của tập F khi x tiến tới x được định nghĩa là Lim sup x→x F(x) := {v ∈ R n : ∃xn → x, vn → v với vn ∈ F(xn), ∀n ∈ N} Một tập Ω ⊂ R n được xem là đóng xung quanh x ∈ Ω nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho Ω∩clU là tập đóng Tập Ω được gọi là đóng địa phương nếu nó đóng xung quanh mọi điểm x ∈ Ω Đối với Ω ⊂ R n là tập đóng xung quanh x ∈ Ω, nón pháp tuyến Fréchet tại x được định nghĩa một cách cụ thể.
Nb(x,Ω) :( x ∗ ∈ R n | Lim sup x −→x Ω hx ∗ , x−xi kx−xk ≤ 0
, (1.2) trong đó x−→ Ω x nghĩa là x→ x với x ∈ Ω.
Nón pháp tuyến Mordukhovich Nb(x,Ω) của Ω tại x ∈ Ω nhận được từ các nón pháp tuyến Fréchet bằng việc lấy giới hạn trên Painlevé - Kuratowski dãy như sau
Nếu x /∈ Ω ta đặt N(x,Ω) := ∅ Đặc biệt, nếu Ω là tập lồi địa phương xung quanh x, nghĩa là có một lân cận U ⊂ R n của x sao cho Ω∩U là tập lồi thì ta có
N(x,Ω) := {x ∗ ∈ R n | hx ∗ , x−xi ≤ 0, ∀x ∈ Ω∩U} (1.4) Với một hàm giá trị thực mở rộng ϕ : R n → R :=R n ∪ {∞}, ta đặt domϕ :={x∈ R n |ϕ(x) 0 sao cho
(iii) Điểm x ∈ C được gọi là nghiệm hữu hiệu chính thường địa phương của bài toán (1.11) nếu tồn tại một lân cận U của x và λ ∈ intR m + sao cho
Trong bài toán (1.11), các tập nghiệm hữu hiệu địa phương được ký hiệu là locS(P), nghiệm hữu hiệu cô lập địa phương là locS iv (P), và nghiệm hữu hiệu chính thường địa phương là locS p (P) Khi không gian U được xác định là R n, các tập nghiệm tương ứng sẽ được ký hiệu là S(P), S iv (P), và S p (P).
locS iv (P) và locS p (P) đều là tập con của locS(P), nhưng ngược lại không đúng Cần lưu ý rằng locS iv (P) và locS p (P) có thể khác nhau.
Xét hai ví dụ sau:
Ví dụ 1.1 Cho f :R → R 2 xác định bởi f(x) := (f1(x), f2(x)) với f1(x) :( x, nếu x ≥ 0, 3x, nếu x < 0, f 2 (x) :( −3x, nếu x≥ 0,
−x, nếu x < 0, và cho g, h : R → R được xác định bởi g(x) := −|x| và h(x) := 0 với x∈ R Ta xét bài toán (1.11) với m= 2,Ω =R Chọn x= 0 ∈ C =R và ν = 1 ta có max{f 1 (x)−f 1 (x), f 2 (x)−f 2 (x)} = |x| ≥ ν|x|= ν|x−x|,∀x∈ C.
Xác định rằng x thuộc tập hợp locS iv (P) trong khi x không thuộc locS p (P) Giả sử ngược lại, tồn tại một lân cận U của x và điểm (λ 1 , λ 2 ) thuộc intR 2 +, sao cho điều kiện λ 1 f 1 (x) + λ 2 f 2 (x) ≥ 0 được thỏa mãn với mọi x thuộc U ∩ C Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các hàm f 1 và f 2 trong khu vực lân cận của x.
( λ1x−3λ2x≥ 0, nếu x∈ U ∩(0,+∞), 3λ 1 x−λ 2 x≥ 0, nếu x∈ U ∩(−∞,0). Điều này cho ta λ 2 ≥ 9λ 2 (mâu thuẫn).
Ví dụ 1.2 Cho f : R → R 2 được xác định bởi f(x) := (f 1 (x), f 2 (x)) trong đó f 1 (x) := −x 4 , f 2 (x) := x 4 , và chog, h :R → Rxác định bởi g(x) := x−1, h(x) := 0 với x ∈ R Ta xét bài toán (1.11) với m = 2,Ω = R Chọn x= 0 ∈ C = (−∞,1] và λ :1
2f 2 (x), ∀x∈ C. Điều này cho thấy x ∈ locS p (P), trong khi đó x /∈ locS iv (P) với ν > 0. Thật vậy, với v > 0 cố định bất kì, bất đẳng thức max{f 1 (x)−f 1 (x), f 2 (x)−f 2 (x)} = x 4 ≥ ν|x|= ν|x−x|.
(không thỏa mãn ∀x ∈ C gần x) Do đó, x /∈ locS iv (P).
Vớix ∈ Ω, ta đặt I(x) = {i ∈ I|gi(x) = 0} và J(x) = {j ∈ J|hj(x) = 0}. Định nghĩa 1.2 Ta nói điều kiện chính quy (CQ) được thỏa mãn tại x∈ Ω nếu khụng tồn tại ài ≥ 0, i ∈I(x) và γj ≥ 0 ∈ J(x) sao cho
Khi xét x ∈ C trong (1.12) với Ω = R n, điều kiện (CQ) được thỏa mãn nếu điều kiện Mangasarian - Fromovitz chính quy đúng trong trường hợp trơn Định lý 1.1 đưa ra một điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu cô lập của bài toán (1.11) theo định nghĩa (CQ).
Ω Nếu x ∈locS iv (P) với ν > 0 nào đó thì νB R n ⊂ X k∈K λ k ∂f k (x) +X i∈I à i ∂g i (x)
Lấy x ∈ locS iv (P) Đặt ϕ(x) = max
Xét bài toán tối ưu sau: minx∈C ϕ(x).
Nếu x ∈ locS iv (P), tồn tại một lân cận U của x sao cho ϕ(x) ≥ 0 = ϕ(x), ∀x ∈ U ∩ C Điều này cho thấy x là cực tiểu địa phương của phương trình (1.14) Do đó, x cũng là cực tiểu địa phương trong bài toán tối ưu hóa vô hướng không có ràng buộc x ∈ Rmin n ϕ(x) + δ(x, C) Khi áp dụng dạng không trơn của quy tắc Fermat cho bài toán (1.15), chúng ta có kết quả mong muốn.
1≤k≤m{fk(x)−fk(x)}+δ(x, C) và ϕ 2 (x) := −kkx−xk Khi đó, ϕ+δ(., C) = ϕ 1 +ϕ 2 Do (1.16) nên ta có
Dễ thấy −ϕ2 là hàm lồi nên
Sử dụng Bổ đề 1.1 và (1.17) ta có
. Điều này dẫn dến νB R n ⊂ ∂ϕb 1 (x) Như vậy, νB R n ⊂ ∂ϕ 1 (x) =∂
Hàm Lipschitz liên tục quanh điểm x được xác định bởi 1≤k≤m{fk(.)−fk(x)} Bên cạnh đó, hàm δ(., C) cũng là nửa liên tục dưới tại điểm này Áp dụng quy tắc tổng (1.10) vào (1.18) và sử dụng mối quan hệ trong (1.7), ta có thể suy ra rằng νB R n ⊂ ∂.
(x) +N(x, C) (1.19) Đặt Ω :=e {x ∈ R n |gi(x) ≤ 0, i ∈ I, hi = 0, j ∈ J} Ta có C = Ωe ∩Ω. Điều kiện (CQ) thỏa món tại x kộo theo khụng tồn tại à i ≥ 0, i ∈ I(x) và γj ≥ 0, j ∈J(x) = J sao cho P i∈I (x) ài + P j∈J(x) γj 6= 0 và
Do đó, từ Mordukhovich [7, Hệ quả 4.36] ta có
⊂ X i∈I(x) ài∂gj(x)+ X j∈J (x) γj(∂hj(x)∪∂(−hj)(x))|ài ≥ 0, i ∈ I(x), γ j ≥ 0, j ∈ J(x)
Vì điều kiện (CQ) được thỏa mãn tại x, từ [7, Hệ quả 3.37] ta có
N(x, C) ⊂ X i∈I (x) ài∂gj(x)+ X j∈J (x) γj(∂hj(x)∪∂(−hj)(x))|ài ≥ 0, i ∈ I(x), γ j ≥ 0, j ∈ J(x) +N(x,Ω).
Bên cạnh đó, sử dụng công thức cho dưới vi phân cơ bản của hàm max (xem [7], Định lý 3.46(ii)) và quy tắc tổng (1.10) ta thu được
Đặt ài = 0 với i /∈ I(x), từ đó suy ra (1.13) dựa trên (1.20) - (1.21) Định lý đã được chứng minh Tuy nhiên, Định lý 1.1 có thể không đúng nếu điều kiện (CQ) không được thỏa mãn tại điểm đang xem xét, như minh họa trong ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1.3 cho hàm f: R → R² được định nghĩa bởi f(x) := (f₁(x), f₂(x)) với f₁(x) = f₂(x) = x, và các hàm g, h: R → R với g(x) := x², h(x) := 0, ∀x ∈ R Xét bài toán (1.11) với m = 2 và Ω = R, lưu ý rằng C = {0} và x := 0 ∈ S iv (P) với ν > 0 bất kỳ Điều kiện (CQ) không thỏa mãn tại x, dẫn đến (1.13) cũng không thỏa mãn Để xây dựng điều kiện đủ cho cực tiểu cô lập địa phương của bài toán (1.11), trong định lý tiếp theo, ta nhắc lại một hàm ϕ: Ω ⊂ Rⁿ → R là hàm lồi địa phương (affine địa phương) tại x ∈ Ω nếu tồn tại một lân cận.
U của x cần được xác định sao cho Ω∩U là tập lồi và ϕ là hàm lồi (affine) trên Ω∩U Theo Định lý 1.2, nếu x thuộc C và fk (k ∈ K), gi (i ∈ I) là các hàm lồi địa phương tại x, cùng với h j (j ∈ J) là các hàm affine địa phương tại x, thì nếu x thỏa mãn điều kiện (1.13), ta có thể kết luận rằng x thuộc vào locS iv (P).
Theo giả thiết của định lý, tồn tại một lân cận U của x sao cho U ∩ Ω là một tập lồi Các hàm fk (với k ∈ K) và gi (với i ∈ I) đều là hàm lồi trên U ∩ Ω, trong khi các hàm hj (với j ∈ J) là hàm affine trên cùng tập này Đặc biệt, với mọi z ∈ R^n, ta có kzk = max z∈B R^n (z ∗ , z) Do đó, tồn tại một z ∗ ∈ B R^n sao cho kzk = hz ∗ , zi.
Lấy bất kì x ∈U ∩C, tồn tại z ∗ ∈ B R n sao cho kx−xk =hx ∗ , x−xi (1.22)
Vì x∈ C thỏa mãn (1.13) nên tồn tại λ k ≥ 0, k ∈ K với P k∈K λ k = 1, z k ∗ ∈
∂fk(x), k ∈ K, ài ≥ 0, x ∗ i ∈ ∂gi(x) với àigi(x) = 0, i ∈ I, γj ≥ 0, y i ∗ ∈
∂hj(x)∪∂(−hj)(x), j ∈ J sao cho vx ∗ − X k∈K λ k z k ∗ +X i∈I à i x ∗ i +X i∈J γ j y j ∗
Từ (1.4) suy ra νhx ∗ , x−xi − X k∈K λkhz k ∗ , x−xi+X i∈I àihx ∗ i , x−xi
Từ tính chất lồi địa phương của f k , g i và tính chất affine địa phương của hj ta có
X k∈K λ k hz k ∗ , x−xi+X i∈I à i hx ∗ i , x−xi+X i∈J γ j hy j ∗ , x−xi
≤ X k∈K λk[fk(x)−fk(x)] +X i∈I ài[gi(x)−gi(x)]
(1.24) trong đó ω j ∈ {−1,1} và bất đẳng thức sau đúng vì àigi(x) = 0, àigi(x)≤ 0, i ∈ I và hj(x) = 0, hj(x) = 0, j ∈ J.
Kết hợp (1.22) với (1.23) và (1.24) ta nhận được νkx−xk ≤ X k∈K λk[fk(x)−fk(x)].
Suy ra x ∈ locS iv (P) vì x bất kì trong U ∩C
Tính lồi địa phương của hàm mục tiêu f tại điểm x là yếu tố quan trọng trong Định lý 1.2 Một điểm khả thi x thỏa mãn điều kiện (1.13) không nhất thiết phải là cực tiểu cô lập của bài toán (1.11) nếu hàm f không có tính lồi tại x.
Ví dụ 1.4 Cho f :R → R 2 được xác định bởi f(x) := (f 1 (x), f 2 (x)) với f 1 (x) = f 2 (x) :
0, nếu x= 0, và gọi g, h : R → R được xác định bởi g(x) := x− 1 và h(x) := 0 với x∈ R Xét bài toán (1.11) vớim = 2,Ω = RthìC = (−∞,1] Chú ý rằng f 1 , f 2 là Lipschitz địa phương tại x= 0 ∈ C và∂f 1 (x) = ∂f 2 (x) = [−1,1].
Ta thấy rằng điều kiện (1.13) thỏa mãn cho mọi ν ∈ (0,1] Tuy nhiên, điểm x không thuộc tập hợp lồi địa phương S iv (P), và các hàm f 1, f 2 không lồi tại x Định lý 1.3 nêu rõ điều kiện cần thiết để có nghiệm hữu hiệu chính tại x ∈ Ω cho bài toán (1.11) với điều kiện (CQ) như đã định nghĩa trong Định nghĩa 1.2 Nếu điều kiện (CQ) thỏa mãn tại x và x thuộc tập lồi địa phương S p (P), thì tồn tại các giá trị λk > 0, k ∈ K, ai ≥ 0, i ∈ I và γj ≥ 0, j ∈ J.
Giả sử x ∈ locS p (P) Khi đó tồn tại một lân cận U của x và λ :(λ 1 , λ m )∈ intR m + sao cho
X k∈K λk[fk(x)−fk(x)]≥ 0, ∀x∈ U ∩C. Điều đó có nghĩa là x là một cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu không có ràng buộc sau: minx∈C θ(x), trong đó θ(x) = X k∈K λkfk(x) (1.26)
X là cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu không ràng buộc, được xác định bởi x∈Rmin n θ(x) + δ(x, C) Áp dụng quy tắc Fermat không trơn cho bài toán này, ta có thể tìm ra các điểm tối ưu.
Vì θ là Lipschitz địa phương tại x và δ(., C)) là nửa liên tục dưới quanh x, từ (1.10) và (1.7), ta có
0 ∈ ∂θ(x) +∂δ(x, C)) =∂θ(x) +N(x, C) (1.29) Tương tự chứng minh của Định lý 1.3 ta nhận được
N(x, C) ⊂ X i∈I(x) ài∂gi(x)+ X j∈J (x) γj(∂hj(x)∪∂(−hj)(x))|ài ≥ 0, i ∈I(x), γi ≥ 0, j ∈J(x) +N(x,Ω).
(1.30) Áp dụng quy tắc tổng (1.10), từ (1.30) ta nhận được
0 ∈ X k∈K λk∂fk(x) +X i∈I ài∂gi(x) +X j∈J γj(∂hj(x)∪∂(−hj(x)) +N(x, Ω), ài ≥ 0, i ∈I(x), γi ≥ 0, j ∈J(x).
Lấy ài = 0, i ∈ I(x) trong (1.31) ta nhận được (1.25) Định lý được chứng minh
Kết quả của Định lý 1.3 có thể không chính xác nếu điều kiện (CQ) không được thỏa mãn Để trình bày điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (1.11) trong định lý tiếp theo, cần khái niệm lồi bất biến vô hạn cho hàm Lipschitz địa phương Theo đó, (f, g, h) được xem là L - lồi bất biến trên Ω tại x ∈ Ω nếu với mọi x ∈ Ω, z k ∗ thuộc ∂fk(x), k thuộc K, x ∗ i thuộc ∂gi(x), i thuộc I và y j ∗ thuộc (∂hj(x) ∪
∂(−hj)(x)), j ∈J thì tồn tại v ∈ N(x,Ω) o sao cho f k (x)−f k (x) ≥ hz ∗ k , vi, k ∈ K, gi(x)−gi(x) ≥ hx ∗ i , vi, i ∈ I, h j (x)−h j (x) =ω j hy ∗ j , vi, j ∈ J. trong đó ωj = 1 (tương ứng ωj = −1) với y ∗ j ∈ ∂hj(x) (tương ứng y j ∗ ∈ ∂(−hj)(x).)
Nếu Ω lồi, f k, k ∈ K, g i, i ∈ I lồi và h j, j ∈ J là affine, thì (f, g, h) là L-lồi bất biến trên Ω tại mọi x ∈ Ω với v = x - x, x ∈ Ω Định lý 1.4 cho biết rằng, nếu x ∈ C và (f, g, h) là L-lồi bất biến trên Ω tại x, thì nếu x thỏa mãn điều kiện (1.25), thì x thuộc S p (P).
Giả sử tồn tại λ k > 0, k ∈ K, à i ≥ 0, i ∈ I và γ j ≥ 0, j ∈ Ω thỏa món (1.25) Khi đú, tồn tại z k ∗ ∈ ∂fk(x), k ∈ K, x ∗ i ∈ ∂gi(x) với àigi(x) 0, i ∈ I và y j ∗ ∈ (∂hj(x)∪∂(−hj)(x)), j ∈ J sao cho
Do tính chất L - lồi bất biến của (f, g, h) trên Ω tại x, với mỗi x ∈Ω ta có v ∈ N(x,Ω) o sao cho
P k∈K λkhz k ∗ , vi+P i∈I àihx ∗ i , vi+ P j∈J γjhy j ∗ , vi
≤ X k∈K λk[fk(x)−fk(x)] +X i∈I ài[gi(x)−gi(x)] +X j∈J
1 ωj γj[hj(x)−hj(x)], trong đó ω j ∈ {−1,1} Từ định nghĩa của nón cực (1.1), từ (1.32) và v ∈ N(x,Ω) o ta suy ra
0 ≤ X k∈K λ k hz k ∗ , vi+X i∈I à i hx ∗ i , vi+X j∈J γ j hy j ∗ , vi
X k∈K λkfk(x)+X i∈I àigi(x)+X j∈J σjhj(x) ≤ X k∈K λkfk(x)+X i∈I àigi(x)+X j∈J σjhj(x), trong đó σj = γj ω j ∈ R, j ∈ J Chỳ ý rằng àigi(x) = 0, i ∈ I và hj(x) 0, j ∈ J Do đó, khi x∈ C,
Từ đó suy ra x ∈ S p (P) Định lý được chứng minh
Đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu chính thường
Với z ∈ R n và λ := (λ k ) với λ k > 0, k ∈ K, cũng như à := (à i ) với à i ≥ 0, i ∈ I, ta định nghĩa hàm fe(z, λ, à, γ) = f(z) + hà, g(z)ie + hγ, h(z)ie, trong đó e là vector (1,1, ,1) thuộc R m Đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc (P) theo công thức (1.11), chúng ta sẽ xem xét bài toán đối ngẫu đa mục tiêu Dw theo nghĩa Wolfe maxR m +.
{fe(z, λ, à, γ)|(z, λ, à, γ) ∈ C w } (1.33) Tập chấp nhận được Cw được xác định bởi
(1.34) trong đú z ∈ Ω, λ := (λk), λk > 0, k ∈ K, à := (ài), ài ≥ 0, i ∈ I, γ : (γ j ), γ j ≥ 0, j ∈ J và S(0,kγk) := {σ := (σ j ), σ j ∈ R, j ∈ J| kσk kγk}.
Một nghiệm hữu hiệu địa phương của bài toán đối ngẫu (1.33) được định nghĩa tương tự như trong định nghĩa (1.11) nhưng thay thế −R m + bằng R m + Tập các nghiệm hữu hiệu của bài toán (1.33) được kí hiệu bởi.
Để thuận tiện, ta sử dụng kí hiệu S(Dw) tương ứng với S p(Dw), trong đó u v biểu thị u−v ∈ −R m + \ {0} và u v là phủ định của u v Định lý 1.5 mô tả quan hệ đối ngẫu yếu giữa bài toán cơ sở (P) và bài toán đối ngẫu D w Cụ thể, nếu x thuộc C và (z, λ, à, γ) thuộc C w, thì với (f, g, h) là L-lồi bất biến trên Ω tại z, ta có f(x) ≤ f(z, λ, à, γ).
Vỡ (z, λ, à, γ) ∈ Cw, tồn tại λ := (λk), λk > 0, z k ∗ ∈ ∂fk(z), k ∈
K, à = ài, ài ≥ 0, x ∗ i ∈ ∂gi(z), i ∈ I và γ := (γj), γj ≥ 0, y j ∗ ∈ ∂hj(z)∪
Giả sử ngược lại, f(x) fe(z, λ, à, γ) (1.37)
Do λ∈ int R m + , ta cú hλ, f(x)−fe(z, λ, à, γ)i < 0 Điều này tương đương với bất đẳng thức sau hλ, f(x)−f(z)i − hà, g(z)i − hγ, h(z)i < 0 (1.38)
Do tính chất L - lồi bất biến của (f, g, h) trên Ω tại z, với mỗi x như vậy tồn tại v ∈ N(z,Ω) o sao cho
P k∈K λkhz k ∗ , vi+P i∈I àihx ∗ i , vi+ P j∈J γjhy j ∗ , vi
≤ X k∈K λk[fk(x)−fk(z)] +X i∈I ài[gi(x)−gi(z)] +X j∈J
1 ω j γj[hj(x)−hj(z)], trong đó ω j ∈ {−1,1} Từ định nghĩa của nón cực (1.1), từ (1.34) và v ∈ N(z,Ω), ta suy ra
0 ≤ X k∈K λ k hz k ∗ , vi+X i∈I à i hx ∗ i , vi+X j∈J γ j hy j ∗ , vi.
Như vậy, bằng cách đặt σj := γ j ωj
0 ≤ hλ, f(x)−f(z)i+hà, g(x)−g(z)i+hσ, h(x)−h(z)i (1.39) trong đúσ = (σj), j ∈ J Do x∈ C, ta suy ra hà, g(x)i ≤ 0 và hσ, h(x)i 0 Vì vậy, (1.39) trở thành
Chú ý rằng kσk = kγk, do kσjk = kγjk, với mọi j ∈ J Kết hợp (1.36), (1.38), (1.40) ta đi đến mâu thuẫn Định lý được chứng minh
Ví dụ sau chỉ ra rằng tính chất L - lồi bất biến của (f, g, h) trên Ω ở định lý trên không thể bỏ được.
Ví dụ 1.6 Cho f : R → R 2 được xác định bởi f(x) := (f 1 (x), f 2 (x)) với f 1 (x) = f 2 (x) := x 5 và gọi g, h : R → R được xác định bởi g(x) := −|x| và h(x) := x 2 +x với x ∈ R Xét bài toán (1.11) với m = 2, Ω = R Khi đó, C = {−1,0} và ta lấy x =−1 ∈C.
Xét bài toán đối ngẫu Dw trong (1.33) Chọn z = 0 ∈ Ω, λ 1
, à = 1 và γ = 1 ta cú (z, λ, à, γ) ∈ Cw Ta thấy (f, g, h) khụng là L - lồi bất biến trên Ω tại x Khi đó, f(x) = (−1,−1) (0,0) = fe(z, λ, à, γ)i.
Trong bài viết này, chúng tôi phân tích mối quan hệ h(z)∈ (γ−S(0, kγk)) o (1.41) trong bài toán đối ngẫu đa mục tiêu, điều này khác với các kết quả trước đây mà không có ràng buộc đẳng thức, tức là J = ∅ Đối với các bài toán có điều kiện ràng buộc đẳng thức, quan hệ (1.41) được tự động thỏa mãn khi h = 0, nhưng điều kiện này trở nên quan trọng khi h khác 0 Định lý 1.6 chỉ ra một mối quan hệ đối ngẫu mạnh giữa bài toán xuất phát (P) và bài toán đối ngẫu (Dw), với giả thiết rằng x ∈ locS p (P) và điều kiện (CQ) trong Định nghĩa 2.1 được thỏa mãn tại điểm này, từ đó tồn tại các tham số λ = (λ k ), λ k > 0 và à = (à i ), à i ≥ 0.
0, j ∈ J sao cho (x, λ, à, γ) ∈ Cw và f(x) := f(x, λ, à, γ) Hơn nữa, nếu (f, g, h) là L - lồi bất biến trờn Ω tại mọi z ∈ Ω, thỡ (x, λ, à, γ) ∈ S(D w ).
Theo Định lý 1.3, x thỏa mãn (1.25) nghĩa là tồn tại λk > 0, k ∈
Giả sử j ∈ J và ta có λ = (λ k), với λ k > 0, k ∈ K, hλ, ei = 1, à := (à i), à i ≥ 0, i ∈ I và γ = (γ j), γ j > 0, j ∈ J Khẳng định (1.42) cũng đúng khi thay λk, ài, γj bằng λk, à i , γ j tương ứng Với x ∈ C, ta có hj(x) = 0 cho mọi j ∈ J, dẫn đến hγ j − σ, h(x)i = 0 cho mọi σ (σj), σj ∈ R, j ∈ J với kσk = kγk, nghĩa là h(x) thuộc (γ −S(0, kγk)) o Do đó, (x, λ, à, γ) ∈ C w Với hà, g(x)i = hγ, h(x)i = 0, từ đó f(x) = f(x) + hà, g(x)ie + hγ, h(x)ie = fe(x, λ, à, γ)i Giả sử (f, g, h) là L-lồi bất biến trên Ω với mọi z ∈ Ω, ta có thể khẳng định f(x) f(z, λ, à, γ) cho mọi (z, λ, à, γ) ∈.
Cw Từ đú và (1.43) ta suy ra (x, λ, à, γ) ∈ S(Dw)
Điều kiện (CQ) trong định lý đóng vai trò quan trọng, vì nếu x là nghiệm hữu hiệu chính của bài toán mà không thỏa mãn (CQ), chúng ta có thể không tìm được bộ ba (λ, à, γ) như mô tả trong Định lý 1.6, dẫn đến việc (x, λ, à, γ) không thuộc tập chấp nhận được của bài toán đối ngẫu Trong trường hợp này, mối quan hệ đối ngẫu mạnh sẽ không tồn tại.
Kết quả đối ngẫu mạnh trong Định lý 1.6 không xuất hiện theo cách thông thường, vì nghiệm của bài toán đối ngẫu chỉ là nghiệm hữu hiệu mà không phải là nghiệm hữu hiệu chính thường, mặc dù bài toán xuất phát có nghiệm hữu hiệu chính thường Một ví dụ cho thấy rằng, nói chung, chúng ta không thể đạt được nghiệm hữu hiệu chính thường cho bài toán đối ngẫu, ngay cả trong trường hợp lồi Tuy nhiên, với một số giả thiết bổ sung, việc thu được nghiệm hữu hiệu chính thường cho bài toán đối ngẫu là khả thi.
Ví dụ 1.7 Cho f : R → R 2 được xác định bởi f(x) := (f 1 (x), f 2 (x)), trong đó f 1 (x) := x, f 2 (x) := −x và g : R → R được xác định bởi g(x) = x − 1 với x ∈ R Xét bài toán (1.11) với m = 2, Ω = R, I {1}, J = ∅ thì C = (−∞,1] và chọn x= 0 ∈ C Suy ra x := 0 ∈ S p (P), vì 1
Xét bài toán đối ngẫu (Dw) trong (1.33) Tập ràng buộc
Cw được định nghĩa là tập hợp các bộ ba (z, λ, à) thỏa mãn điều kiện λ1 − λ2 + à = 0 và λ1 + λ2 = 1, với z thuộc R, λ = (λ1, λ2) và các điều kiện λ1 > 0, λ2 > 0, à ≥ 0 Hàm mục tiêu được xác định là fe(z, λ, à) = (fe1(z, λ, à), fe2(z, λ, à)), trong đó fe1(z, λ, à) = z + à(z − 1) và fe2(z, λ, à) = −z + à(z − 1) Điều kiện (CQ) được thỏa mãn tại điểm x Với fk (k = 1,2) và g là hàm lồi, cặp (f, g) sẽ là L-lồi bất biến trên miền Ω cho mọi z thuộc Ω Theo Định lý 1.6, tồn tại λ = (λ1, λ2) với λ1 > 0, λ2 > 0 và à ≥ 0 sao cho (x, λ, à) thuộc tập S(Dw).
Ta sẽ chỉ ra rằng (x, λ, à) ∈ S/ p (Dw) Thật vậy, giả sử ngược lại, (x, λ, à)∈ S p (D w ), nghĩa là tồn tại (β 1 , β 2 )∈ intR 2 + sao cho β 1 fe 1 (z, λ, à) +β 2 fe 2 (z, λ, à) ≤ β 1 fe 1 (x, λ, à)
Với bất kỡ à ∈ (0,1), lấy λ = (λ 1 , λ 2 ) với λ 1 = 1−à
2 ta có (z, λ, à) ∈ Cw, ∀z ∈ R Hơn nữa, với mọi z ∈R đủ lớn, fe 1 (z, λ, à)−fe 1 (x, λ, à) =z(1 +à)−à+à > 0, fe 2 (x, λ, à)−fe 2 (z, λ, à) = z(1−à) +à−à > 0,
Do đó và từ (1.44) ta thu được β1 β 2 ≥ fe1(z, λ, à)−fe1(x, λ, à) fe 2 (x, λ, à)−fe 2 (z, λ, à) = z(1 +à)−à+à z(1−à) +à−à (1.45)
Vỡ phõn số cuối trong (1.45) tiến đến vụ cựng khi à → 1 và z → ∞ nờn ta thu được mâu thuẫn.
Chương 2 Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn
Chương 2 giới thiệu các điều kiện cần thiết cho nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu trong bài toán tối ưu đa mục tiêu, theo phương pháp giải tích biến phân của T.D Chuong và D.S Kim Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu được nêu rõ, dựa trên giả thiết về tính lồi suy rộng trong ngôn ngữ dưới vi phân giới hạn Ngoài ra, chương này cũng trình bày các định lý đối ngẫu yếu và mạnh, bao gồm kiểu Wolfe và Mond-Weir.
2.1 Các kết quả bổ trợ
Ta kí hiệu chuẩn trong không gian tuyến tính định chuẩn là k.k Trong không gianX×Y thì chuẩn được xác định bởik(x, y)k =kxk+kyk, ∀x∈
Trong không gian X, với y thuộc Y, cặp chính tắc giữa X và đối ngẫu X∗ được ký hiệu là h., i Ký hiệu BX(x, r) đại diện cho hình cầu đóng trong X với tâm x và bán kính r > 0, trong khi hình cầu đơn vị đóng thường được ký hiệu là BX Bao đóng tôpô của tập hợp Ω ⊂ X được ký hiệu là clΩ và phần trong tôpô là intΩ Nón cực của Ω ⊂ X là một tập hợp đặc biệt trong không gian này.
Trong chương này, không gian X được giả thiết là không gian Ausplund, tức là một không gian Banach trong đó mọi không gian con tách được của X đều có đối ngẫu tách được.
Nhắc lại: Không gian định chuẩn X (vô hạn chiều) được gọi là tách được nếu X có một tập con đếm được trù mật trong X.
Kí hiệu R m + là orthant không âm của R m với m ∈N, m :={1,2, }. Cho hàm đa trị F :X ⇒X ∗ từ X vào X ∗ Ta kí hiệu
Limx→x supF(x) := {x ∗ ∈ X ∗ | ∃xn →x, x ∗ n −→ w ∗ x ∗ , x ∗ n ∈F(xn), ∀n ∈ N} là giới hạn trên/ ngoài Painlevé - Kuratowski dãy củaF khi x→ x, trong đó kí hiệu −→ w ′ chỉ sự hội tụ theo tôpô yếu của X ∗
Tập hợp Ω ⊂ X được coi là tập đóng quanh một điểm x ∈ Ω nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho giao của Ω với phần đóng của U là tập đóng Ngoài ra, Ω được định nghĩa là đóng địa phương nếu nó bị đóng quanh mọi điểm x thuộc Ω.
Các nón pháp tuyến Fréchet của Ω quanh x∈ Ω được xác định bởi
Nb(x,Ω) :( x ∗ ∈ X ∗ | Lim sup x −→x Ω hx ∗ , x−xi kx−xk ≤ 0
, (2.1) trong đó x−→ Ω x nghĩa là x→ x với x ∈ Ω.
Nón pháp tuyến Mordukhovich Nb(x,Ω) của Ω tại x ∈ Ω nhận được từ nón pháp tuyến Fréchet bằng cách lấy giới hạn trên Painlevé - Kuratowski dãy như sau
Điểm x ∈ Ω 1 ∩ Ω 2 được coi là một điểm cực trị địa phương trong không gian X nếu tồn tại một lân cận U của x, sao cho với mọi ε > 0, tồn tại a ∈ εBX.
Chú ý rằng điều kiện Ω 1 ∩ Ω 2 = {x} không nhất thiết kéo theo x là một điểm cực trị địa phương của {Ω 1 ,Ω 2 } Để minh họa điều này, ta xét
Giả sử X là không gian Asplund, nguyên lý cực trị xấp xỉ đúng trong X cho biết rằng nếu x ∈ Ω 1 ∩ Ω 2 là một điểm cực trị địa phương của Ω 1 và Ω 2, thì với mọi ε > 0, tồn tại x 1 ∈ Ω 1 ∩ BX(x, ε) và x 2 ∈ Ω 2 ∩ BX(x, ε).
Cho hàm thực mở rộng ϕ :X →R := [−∞,∞] Ta đặt domϕ :={x∈ X |ϕ(x) < ∞}, epiϕ :={(x, à) ∈X ìR|à ≥ ϕ(x)}.
Dưới vi phân Mordukhovich và dưới vi phân Fréchet của ϕ tại x∈ X với
Cho f : X → R m và y ∗ ∈ R m , ta định nghĩa hy ∗ , fi(x) := hy ∗ , f(x)i, x ∈
Các kết quả tiếp theo là các công thức vô hướng hóa của đối đạo hàm.
Bổ đề 2.1 [7, 8] Cho y ∗ ∈R m và f : X → R m là hàm liên tục Lipschitz quanh x∈ X Ta có
Quy tắc tổng dưới vi phân giới hạn sau là cần thiết có các chứng minh tiếp theo.
Bổ đề 2.2 chỉ ra rằng cho các hàm nửa liên tục dưới ϕi : X → R, với i = 1, 2, , n (n ≥ 2), nếu tất cả các hàm này, ngoại trừ một hàm, là liên tục Lipschitz quanh x ∈ X, thì có thể rút ra kết luận quan trọng.
Điều kiện tối ưu
Phần này trình bày các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu.
ChoΩlà tập con khác rỗng, đóng địa phương của X vàK :={1,2, , m};
Xét các tập chỉ số I := {1,2, , p} ∪ ∅ và J := {1,2, , q} ∪ ∅ Giả sử f := (f 1 , f 2 , , fm); g := (g 1 , g 2 , , gp) và h := (h 1 , h 2 , , hq) là các hàm vectơ có thành phần Lipschitz địa phương trên không gian X Để tiếp tục, Ω được giả định là (SNC) tại điểm đang xem xét, và giả định này sẽ tự động được thỏa mãn khi X là không gian hữu hạn chiều.
Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc (P) sau: minR m +
{f(x)|x∈ C}. Ở đây, tập C được xác định bởi
C := {x ∈ Ω|gi(x) ≤ 0, i ∈ I, hj(x) = 0, j ∈J} (2.7) Định nghĩa 2.1 (i) Ta nói rằng x ∈C được gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (P) và viết x ∈ S(P), nếu
(ii) Điểmx ∈ C được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (P) và viết x∈ S w (P), nếu
I(x) := {i ∈ I |gi(x) = 0}, J(x) := {j ∈ J |hj(x) = 0}. Định nghĩa 2.2 Ta nói điều kiện (CQ) thỏa mãn tại x ∈ Ω nếu không tồn tại βi ≥ 0, i ∈I(x) và γj ≥ 0, j ∈J(x) sao cho
Khi xét x ∈ C trong (2.7) với Ω = X, điều kiện (CQ) thỏa mãn do điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz trong bài toán trơn.
Bây giờ ta phát biểu điều kiện Karush - Kuhn - Tucker (KKT) Điểmx∈ C thỏa mãn điều kiện (KKT) nếu tồn tại λ := (λ 1 , λ 2 , , λm) ∈
Nếu hàm f, g, h là hàm trơn, điều kiện (2.8) trở thành điều kiện Karush - Kuhn - Tucker cổ điển Định lý 2.1 nêu rõ một điều kiện cần để có nghiệm hữu hiệu (yếu) cho bài toán (P) với điều kiện (CQ) Cụ thể, nếu điều kiện (CQ) được thỏa mãn tại x ∈Ω và x thuộc tập S w (P), thì x sẽ thỏa mãn điều kiện (KKT).
Chứng minh Đặt y := f(x) và giả sử f là hàm Lipschitz quanh x với hằng số
ℓ > 0 Trước hết, ta chứng minh rằng với mỗi k ∈ N, tồn tại x 1k ∈
Nb(x 1k ;C) với kx ∗k k ≤ℓ+ 1 và λ k ∈ Nb(y k ;y −R m + ) với kλ k k = 1 sao cho
Ta thấy rằng, (x, y) là một diểm cực trị địa phương của {Ω 1 ,Ω 2 } Nếu không, đối với bất kì lân cận U nào của (x, y) tồn tại εU >0 sao cho với mỗi a∈ ε U B X ×R m ,
Do đó, ta chọn a := (a 1 , a 2 ) ∈ ε U B X ×R m với a 1 := 0 ∈ X, a 2 ∈ − intR m +
Do (2.10), tồn tại (x, f(x)) ∈ U thỏa mãn
(x, f(x))∈ C ×(y−R m + ) + (0, a 2 ). Điều này kéo theo x ∈C và f(x)−y ∈a 2 −R m + Mối quan hệ thứ hai cho ta f(x)−f(x) ∈ −intR m + , mâu thuẫn vớix ∈ S w (P) Vậy, (x, y) là một điểm cực trị địa phương của
Ta chọn ε k > 0 thỏa mãn εk 0, chúng ta chia (2.16) cho ky k 1∗ k Đặt x ∗k := x 1∗ k ky 1∗ k với k ∈ Nb(x 1k ;C) và λ k := y k 1∗ ky k 1∗ k với k ∈ Nb(y k ;y − R m + ) Ta có kλ k k = 1 và kx ∗k k ≤ℓ + 1, điều này đúng nhờ vào (2.17) và (2.11) Sử dụng (2.11) một lần nữa, ta rút ra (2.9) từ (2.16).
Tiếp theo, ta chỉ ra sự tồn tại của λ ∈ N(y, y −R m + ) với kλk = 1 sao cho
Theo khẳng định trong (2.9), chuỗi {x ∗k} và {λk} bị chặn, và do X là không gian Asplund, ta giả sử rằng x ∗k hội tụ về w ∗ x ∗ ∈ X ∗ và λk hội tụ về λ ∈ R m khi k → ∞ với kλk = 1 Từ định nghĩa nón pháp tuyến Mordukhovich trong (2.2), ta kết luận rằng x ∗ ∈ N(x, C) và λ ∈ N(y; y − R m +) Ngoài ra, từ (2.9), với mỗi k ∈ N, ta có x ∗k ∈ ∂hλb k, fi(x 2k) và b ∗k ∈ B X ∗ sao cho e x ∗k := −x ∗k − 1 kb ∗k Không mất tính chất tổng quát, giả sử rằng b ∗k hội tụ về w ∗ b ∗ ∈ B X khi k → ∞, do đó xe ∗k hội tụ về −x w ∗ ∗ khi k → ∞ Theo Bổ đề 2.1, x ∗k ∈ ∂hλb k, fi(x 2k) tương đương với.
, k ∈ N (2.20) Cho k → ∞ trong (2.20) và lưu ý (2.2) ta nhận được
(−x ∗ ,−λ) ∈ N((x, f(x)); gphf). Điều này tương đương với
−x ∗ ∈ ∂hλ, fi(x) do Bổ đề 2.1 Vì thế, (2.19) được chứng minh. Đặt
Khi đó, ta cóC = Ω∩Ω Điều kiện (CQ) thỏa mãn tạie x, cho nên không tồn tạiβ i ≥ 0, i ∈ I(x)và γ j ≥ 0, j ∈ J(x) =J sao cho P i∈I(x) β i + P j∈J (x) γ j 6= 0 và
(2.21) bởi vì điều kiện (CQ) thỏa mãn tại x vàΩ được giả thiết là SNC tại điểm này, áp dụng Bổ đề 2.4 ta có
N(x;C) = N(x;Ωe ∩Ω) ⊂ N(x;Ω) +e N(x; Ω). Điều này cùng với (2.19) và (2.21) dẫn đến
Do λ∈ N(y;y−R m + ) = R m + , ta có thể giả định rằng λ := (λ 1 , λ 2 , , λ m ) ∈
R m + Sử dụng quy tắc tổng (2.6), do (2.22) ta nhận được
Cuối cùng, lấy βi := 0 với i /∈ I(x), từ (2.23) ta suy ra x thỏa mãn điều kiện (KKT) Định lý được chứng minh
Một ví dụ đơn giản dưới đây minh chứng rằng kết luận của Định lý 2.1 có thể không chính xác nếu điều kiện (CQ) không được thỏa mãn tại điểm đang xem xét.
Ví dụ 2.1 xem xét hàm f: R → R² được định nghĩa bởi f(x) = (f₁(x), f₂(x)) với f₁(x) = f₂(x) = x, x ∈ R, cùng với các hàm g, h: R → R xác định bởi g(x) = x² và h(x) = 0, x ∈ R Trong bài toán (P) với m = 2 và Ω = R, ta có C = {0}, từ đó suy ra x = 0 thuộc S w (P) (= S(P)) Tuy nhiên, điều kiện (CQ) không được thỏa mãn tại x, và x cũng không thỏa mãn điều kiện (KKT).
Một điểm thỏa mãn (KKT) trong (2.8) không đảm bảo là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (P), ngay cả khi điều kiện trơn được thỏa mãn Ví dụ sau đây sẽ minh họa cho điều này.
Trong bài toán tối ưu (P) với m = 2 và Ω = R, hàm f: R → R² được xác định bởi f(x) = (f₁(x), f₂(x)) với f₁(x) = f₂(x) = x³, trong khi g(x) = -x² và h(x) = 0 Trong trường hợp này, tập C = R và x = 0 thuộc C, do đó x thỏa mãn điều kiện KKT, nhưng x không thuộc S w (P) Để trình bày các điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu (yếu) của bài toán (P), chúng ta cần các khái niệm lồi affine mở rộng cho hàm Lipschitz địa phương, theo định nghĩa rằng (f, g, h) là L-lồi bất biến trên Ω tại x ∈ Ω nếu với mọi x ∈ Ω, z k ∗ thuộc ∂f k (x), k ∈ K, x ∗ i thuộc ∂g i (x), i ∈ I, và y j ∗ thuộc ∂h j (x).
∂(−hj)(x)j ∈J, tồn tại v ∈ N(x; Ω) o sao cho f k (x)−f k (x) ≥ hz ∗ k , vi, k ∈ K, gi(x)−gi(x) ≥ hx ∗ i , vi, i ∈ I, hj(x)−hj(x) =ωjhy ∗ j , vi, j ∈ J, trong đó ωj = 1 (tương ứng ωj = −1) khi y j ∗ ∈ ∂hj(x) (tương ứng y j ∗ ∈ ∂(−hj)(x)).
(ii) Ta nói (f, g, h) là L - lồi bất biến chặt trên Ω tại x ∈ Ω nếu với mọi x ∈ Ω\ {x}, z k ∗ ∈ ∂fk(x), k ∈ K, x ∗ i ∈ ∂gi(x)i ∈ I, y ∗ j ∈ ∂hj(x)∪
∂(−hj)(x)j ∈J, tồn tại v ∈ N(x; Ω) o sao cho f k (x)−f k (x) > hz k ∗ , vi, k ∈ K, gi(x)−gi(x) ≥ hx ∗ i , vi, i ∈ I, h j (x)−h j (x) =ω j hy ∗ j , vi, j ∈ J, trong đó ωj = 1 (tương ứng ωj = −1) khi y j ∗ ∈ ∂hj(x) (tương ứng y j ∗ ∈ ∂(−h j )(x)).
Nếu Ω là tập lồi và fk, k ∈ K, gi, i ∈ I là các hàm lồi, trong khi hj, j ∈ J là hàm affine, thì bộ ba (f, g, h) sẽ là L-lồi bất biến trên Ω tại x ∈ Ω với v := x−x cho mỗi x ∈ Ω Theo Định lý 2.2, nếu x∈ C thỏa mãn điều kiện KKT, thì các điều kiện này sẽ được đảm bảo.
(i) Nếu (f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại x thì x ∈S w (P).
(ii) Nếu (f, g, h) là L - lồi bất biến chặt trên Ω tại x thì x∈ S(P). Chứng minh
Do x∈ C thỏa mãn điều kiện (KKT) nên tồn tại λ := (λ 1 , λ 2 , , λ m ) ∈
Trước hết ta chứng minh (i) Giả sử ngược lại x /∈ S w (P) Điều này có nghĩa là tồn tại xb∈ C sao cho f(x)b −f(x) ∈ −intR m + (2.25)
Theo định nghĩa của nón cực và do (f, g, h) là L - lồi bất biến, từ (2.24) ta suy ra với xbnhư vậy thì tồn tại v ∈ N(x; Ω) o sao cho
0 ≤ P k∈K λkhz k ∗ , vi+P i∈I àihx ∗ i , vi+ P j∈J γjhy j ∗ , vi
≤ P k∈K λk[fk(x)b −fk(x)]+P i∈I ài[gi(x)b −gi(x)]+P j∈J
∈ R, j ∈ J Để ý rằng àigi(x) = 0, àigi(bx) ≤ 0i ∈ I và hj(x) = 0, hj(x) = 0, jb ∈ J Vì vậy, ta có
Do đó, tồn tại k 0 ∈ K sao cho fk 0(x) ≤ fk 0(x),b (2.26) bởi vì λ ∈ R m + \ {0} Kết hợp (2.26) với (2.25) dẫn đến một mâu thuẫn. Điều đó chứng tỏ (i) đúng.
Chúng ta sẽ chứng minh (ii) bằng cách giả sử ngược lại rằng x không thuộc S(P) Điều này có nghĩa là tồn tại một bx thuộc C sao cho f(bx) - f(x) thuộc -R m + \ {0} Theo định nghĩa của nón cực và vì (f, g, h) là L-lồi bất biến chặt, ta có thể suy ra rằng với xb như vậy, tồn tại v thuộc N(x; Ω) sao cho
0 ≤ P k∈K λkhz k ∗ , vi+P i∈I àihx ∗ i , vi+ P j∈J γjhy j ∗ , vi
< P k∈K λk[fk(bx)−fk(x)]+P i∈I ài[gi(bx)−gi(x)]+P j∈J
X k∈K λkfk(x)+X i∈I àigi(x)+X j∈J σjhj(x) < X k∈K λkfk(bx)+X i∈I àigi(bx)+X j∈J σjhj(bx), trong đó, σ j = γ j ωj
∈ R, j ∈ J Ta cú à i g i (x) = 0, à i g i (x)b ≤ 0i ∈ I và hj(x) = 0, hj(x) = 0b j ∈J Vì vậy, ta có
≤ P k∈K λkfk(x).b Điều này kéo theo tồn tại k0 ∈K sao cho fk 0(x) < fk 0(x).b
Cùng với (2.27) ta đẫn đến mâu thuẫn Do đó (ii) đúng Định lý được chứng minh.
Các định lý đối ngẫu
Đối ngẫu kiểu Wolfe
Cho z ∈ X, λ := (λ 1 , , λm) ∈ R m + , à := (à 1 , à 2 , , àp) ∈ R p + , γ : (γ 1 , γ 2 , , γ q ) ∈ R q + và e := (1, ,1) ∈ R m Trong bài toán (P), ta xem xét bài toán tối ưu đa mục tiêu đối ngẫu kiểu Wolfe của bài toán (P): maxR m +
{fe(z, λ, à, γ) := f(z)+hà, g(z)ie+hγ, h(z)ie|(z, λ, à, γ) ∈C w } (D w ) Ở đây, tập ràng buộc C w được xác định bởi
+X i∈I ài∂gi(z) +X j∈J γj(∂hj(z)∪∂(−hj)(z)) +N(z,Ω), hλ, ei = 1, h(z) ∈ (γ−S(0,kγk)) o
Một nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán "max" như đối ngẫu (Dw) được định nghĩa bằng cách thay thế −R m + (-intR m + ) bởi R m + (intR m + ) Tập nghiệm hữu hiệu của bài toán (D w ) được kí hiệu là S(D w ) (S w (D w )) Để thuận tiện, ta sử dụng kí hiệu u ≺ v ⇔ u−v ∈ -intR m + và u ⊀ v là phủ định của u≺ v; u v ⇔ u−v ∈ −R m + \ {0} và u v là phủ định của u v Định lý 2.3 mô tả mối quan hệ tính đối ngẫu yếu giữa bài toán xuất phát (P) và bài toán (D w ) Cụ thể, nếu (f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại z thì f(x) ⊀ fe(z, λ, à, γ).
(ii) Nếu (f, g, h) là L - lồi bất biến chặt trên Ω tại z thì f(x) fe(z, λ, à, γ).
Do (z, λ, à, γ) ∈ Cw, tồn tại λ := (λ1, , λm) ∈R m + , à := (à1, à2, , àp)
∈ R p + , γ := (γ 1 , γ 2 , , γq) ∈ R q + , z k ∗ ∈ ∂fk(z), k ∈ K, x ∗ i ∈ ∂gi(z), i ∈ I và y j ∗ ∈ ∂hj(z)∪∂(−hj)(z), j ∈ j, sao cho
∈ N(z; Ω) (2.29) hλ, ei, hγ −σ, h(z)i ≤ 0, ∀σ ∈ R q , kσk = kγk (2.30) Đầu tiên ta chứng minh (i) Giả sử ngược lại, f(x) ≺ fe(z, λ, à, γ).
Vỡ thế,hλ, f(x)− fe(z, λ, à, γ)i < 0 Điều này tương đương với bất đẳng thức sau: hλ, f(x)−f(z)i − hà, g(z)i − hγ, h(z)i < 0 (2.31)
Theo định nghĩa của nón cực và tính chất L - lồi bất biến của (f, g, h) trên Ω tại z, từ (2.29) ta suy ra với mỗi x, tồn tại v ∈ N(z,Ω) o sao cho
0 ≤ P k∈K λkhz k ∗ , vi+P i∈I àihx ∗ i , vi+ P j∈J γjhy j ∗ , vi
0 ≤ hλ, f(x)−f(z)i+ hà, g(x)−g(z)i+ hσ, h(x)−h(z)i, (2.32) trong đú, σ := (σ 1 , , σq) ∈ R q Do x ∈ C nờn ta cú hà, g(x)i ≤ 0, hσ, h(x)i = 0 Vì vậy, (2.32) dẫn đến
Vì kσk =kγk, kết hợp (2.30), (2.31) và (2.33) ta dẫn đến mâu thuẫn Vì vậy (i) đã được chứng minh.
Giờ ta chứng minh (ii) Giả sử ngược lại, f(x) fe(z, λ, à, γ) (2.34)
Vỡ thế, hλ, f(x)−fe(z, λ, à, γ)i ≤ 0 tương đương với bất đẳng thức sau hλ, f(x)−f(z)i − hà, g(z)i − hγ, h(z)i ≤ 0 (2.35)
Từ (2.34) ta có x 6=z Thật vậy, nếu x =z thì f(x)−fe(z, λ, à, γ) =−hà, g(x)ie− hγ, h(x)ie.
Do x ∈ C,hà, g(x)i ≤ 0 và hγ, h(x)i = 0 Vỡ vậy, (2.34) kộo theo
Trong không gian R m + \ {0}, nếu hàm g(x) không thể đạt giá trị âm, thì điều này dẫn đến việc x không bằng z Dựa vào định nghĩa của nón cực và tính chất L - lồi bất biến chặt của các hàm f, g, h trên miền Ω tại điểm z, có thể khẳng định rằng với mỗi x, tồn tại một v thuộc N(z,Ω) sao cho điều kiện này được thỏa mãn.
0 ≤ P k∈K λ k hz k ∗ , vi+P i∈I à i hx ∗ i , vi+ P j∈J γ j hy j ∗ , vi
0