Thang thíi gian
ành nghắa 1.1 Thang thới gian (time scale) l têp con õng tũy ỵ khĂc rộng trong têp số thỹc R Thang thới gian thữớng ữủc kỵ hiằu l T.
1) CĂc têp R,Z,N,[0; 1]∪[2; 3] l cĂc thang thới gian vẳ chúng l nhỳng têp õng trong R.
2) CĂc têp Q,R\Q; [0,1) khổng phÊi l thang thới gian vẳ chúng khổng phÊi l têp õng trong R.
Têp cĂc số hỳu t¿ Q, têp cĂc số vổ t¿ R\Q khổng phÊi l thang thới gian vẳ chúng tuy nơm trong R những khổng õng trong R.
Thêt vêy, trản Q x²t dÂy số {xn}: 1; 1,4; 1,41; 1,414; Ta thĐy xn∈Q, nh÷ng lim n→∞x n = √
2 ∈/ Q nản Q khổng phÊi l têp con õng trản R Vẳ vêy Q khổng phÊi l thang thới gian.
Ta th§y xn ∈ R\Q nh÷ng lim x→∞xn = 0 ∈/ R\Q nản R\Q khổng phÊi l têp con õng trong R Suy ra R\Q khổng phÊi l thang thới gian.
Têp [0;1) l khoÊng mð trong R nản khổng phÊi l thang thới gian.
3) M°t ph¯ng phực C khổng phÊi l thang thới gian vẳ C khổng nơm trong R, m°c dũ nõ l têp õng.
Tổ pổ trản thang thới gian
Trữợc hát ta nhưc lÔi mởt v i kián thực cừa tổpổ GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian tổpổ, M ⊂ X l mởt têp con n o õ Tổpổ cÊm sinh τM trản
M tứ τ ữủc ành nghắa nhữ sau.
Têp mð trong τ M l tĐt cÊ cĂc têp cõ dÔng σ M = M ∩U trong õ σ ∈ τ. Khi Đy τM ={UM : UM = M ∩U, U ∈τ} l mởt tổpổ trản M.
1) Vẳ ∅ v X ãu thuởc τ nản dạ thĐy ∅ = ∅∩M, M = M ∩M suy ra
2) GiÊ sỷ V 1 , V 2 ∈ τ M l hai têp hủp bĐt kẳ, tực l tỗn tÔi U 1 , U 2 ∈ τ sao cho V1 = M∩U1 v V2 = M∩U2 Ta câ V1∩V2 = (M ∩U1)∩(M ∩U2) M ∩(U1∩U2) Vẳ U1 ∩U2 ∈ τ nản suy ra V1 ∩V2 ∈ τM (theo ành nghắa têp τ M ).
3) GiÊ sỷ{Vα} α∈I l mởt hồ bĐt kẳ cĂc têp thuởc τM Khi õ ta cõ S α∈I
Tứ 1), 2), 3) suy raτM l mởt tổpổ v gồi l tổpổ cÊm sinh tứ τ trản M. C°p (M, τ M ) ữủc gồi l khổng gian tổpổ cÊm sinh cừa khổng gian tổpổ (X, τ).
Trong lĩnh vực tài chính, việc hiểu rõ về các tổn thất và lợi nhuận trong giao dịch là rất quan trọng Tổn thất có thể được chia thành nhiều loại, và việc phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến tổn thất là cần thiết để đưa ra quyết định đầu tư chính xác Các khái niệm như rủi ro, lợi nhuận và sự biến động giá cả đều đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá hiệu suất của các khoản đầu tư Việc nắm bắt và áp dụng những kiến thức này sẽ giúp các nhà đầu tư tối ưu hóa lợi nhuận và giảm thiểu rủi ro trong các giao dịch tài chính.
CĂc ành nghắa cỡ bÊn
ành nghắa 1.2 Cho T l thang thới gian.
ToĂn tỷ nhÊy tián (forward jump) l toĂn tỷ σ : T →T ữủc xĂc ành bði cổng thực σ(t) := inf{s∈ T :s > t}.
To¡n tû nh£y lòi (backward jump) l to¡n tû ρ :T → T ữủc xĂc ành bði cổng thực ρ(t) := sup{s∈ T :s < t}.
Quy ữợc inf∅ = supT,sup∅ = infT.
Suy ra σ(M) =M náu M l phƯn tỷ lợn nhĐt (náu cõ) cừa T; ρ(m) = m náu m l phƯn tỷ nhọ nhĐt (náu cõ) cừa T.
1) Vợi thang thới gian T = Z (thang thới gian rới rÔc) thẳ σ(t) =t+ 1 v ρ(t) =t−1 vợi mồi t ∈ T Xem Hẳnh 1.1(b).
2) Vợi thang thới gian T =R (thang thới gian liản tửc) thẳ σ(t) =ρ(t) = t vợi mồi t ∈ T Xem Hẳnh 1.1(a).
In the context of a time interval \( T \), we define various types of time points A point \( t \in T \) is classified as right-scattered if \( \sigma(t) > t \) and left-scattered if \( \rho(t) < t \) Additionally, a point is considered insolated if it satisfies the condition \( \rho(t) < t < \sigma(t) \) Furthermore, for the same time interval \( T \), a point \( t \) is deemed right-dense if \( \sigma(t) = t \) and left-dense if \( \rho(t) = t \) A point is classified as dense if both conditions \( \rho(t) = t \) and \( \sigma(t) = t \) hold true.
B£ng 1.1BÊng 1.2 dữợi Ơy mổ tÊ hẳnh Ênh hẳnh hồc cừa cĂc iºm
B£ng 1.2 định nghĩa 1.5 cho T là khoảng thời gian Hàm hot (grainiess) được xác định bởi cổng thực à(t) := σ(t)−t Định nghĩa 1.6 cho T là khoảng thời gian và hàm f := T → R Ta hiểu hàm f σ :T → R xác định theo cổng thực f σ (t) = f(σ(t)) Định nghĩa 1.7 tiếp T được xác định như sau.
Náu T cõ phƯn tỷ lợn nhĐt M l iºm cổ lêp trĂi thẳ °t T k := T\{M} v T k := T trong trữớng hủp cỏn lÔi.
1) Vợi thang thới gian T = R thẳ σ(t) = ρ(t) = t, à(t) = 0 vợi mồi t ∈ T. Mồi iºm t ∈T ãu l iºm trũ mêt.
2) Vợi thang thới gian T = Z thẳ σ(t) = t+ 1, à(t) = 1 v ρ(t) = t−1 vợi mồi t ∈ T Mồi iºm t ∈ T ãu l iºm cổ lêp.
2 :n ∈ N0 vợi N0 l têp cĂc số tỹ nhiản v sè 0.
Ta cõ σ(t) =t+ 1 2 , ρ(t) = t− 1 2 v à(t) = 1 2 vợi mồi t > 0, t∈ T. iºm t = 0 l iºm cổ lêp phÊi v mồi t ∈T, t 6= 0 ãu l iºm cổ lêp.
4) Cho h > 0 l mởt số cố ành XĂc ành thang thới gian hZ nhữ sau
T = hZ = {hn : n ∈ Z} = { ,−3h,−2h,−h,0, h,2h,3h, } Ta câ σ(t) = t + h, ρ(t) = t − h, à(t) = h vợi mồi t ∈ T Xem Hẳnh 1.2(c) Vẳ h >0 nản mồi iºm t ∈ T ãu l iºm cổ lêp Chú ỵ rơng h >0 cõ thº l số vổ t¿, vẵ dử h = √
+) Náu t ∈ (k(a+b);k(a+b) +a) thẳ σ(t) =t, ρ(t) =t v à(t) = 0. Mồi t ∈(k(a+b);k(a+b) +a) ãu l iºm trũ mêt.
Dăn án σ(t) = t, ρ(t) < t nản t = k(a +b) l iºm trũ mêt phÊi, ỗng thới l iºm cổ lêp trĂi.
Dăn án σ(t) > t, ρ(t) =t nản t = k(a+b) +a l iºm trũ mêt trĂi, ỗng thới l iºm cổ lêp phÊi.
6) Cho q > 1 l mởt số thỹc cố ành, xĂc ành thang thới gian q Z nh÷ sau q Z ={q n : n ∈Z} ∪ {0} , q −3 , q −2 , q −1 ,0,1, q, q 2 , q 3 , Ta câ σ(t) =qt, ρ(t) = q t v à(t) = (q −1)t Xem Hẳnh 1.3(a)
7) Cho thang thíi gian T = N 2 0 n 2 : n ∈ N0 Vợi t ∈ T thẳ tỗn tÔi số n ∈ N0 sao cho t = n 2 hay √ t = n.
8) Cho thang thíi gian T= {√ n : n ∈N0}. Náu t ∈T thẳ tỗn tÔi số n ∈ N0 sao cho t =√ n hay n =t 2 ,
Ta câ σ(t) =√ t 2 + 1, ρ(t) =√ t 2 −1, v à(t) =√ t 2 + 1−t vợi mồi t 6= 0, t ∈ T. iºm t = 0 l iºm cổ lêp phÊi Mồi iºm t ∈ T, t 6= 0 ãu l iºm cổ lêp.
Ta câ b£ng tâm t t c¡c thang thíi gian th÷íng g°p
Ph²p tẵnh vi phƠn trản thang thới gian
Tẵnh chĐt cừa Ôo h m Hilger
ành lỵ 1.1 Cho h m f : T→ R l h m xĂc ành vợi mồi t ∈ T k Khi Đy
1) Náu f khÊ vi tÔi t thẳ f liản tửc tÔi t.
2) Náu f liản tửc tÔi t v t l iºm cổ lêp phÊi thẳ f khÊ vi tÔi t v f ∆ (t) = f(σ(t))−f(t) à(t)
3) Náu t l iºm trũ mêt phÊi thẳ f khÊ vi tÔi t khi v ch¿ khi giợi hÔn s→t,s∈limT f (t)−f (s) t−s tỗn tÔi v hỳu hÔn Khi õ ta cõ f ∆ (t) = lim s→t f (σ(t))−f (s) σ(t)−s
4) Náu f khÊ vi tÔi t thẳ f(σ(t)) = f(t) +à(t)f ∆ (t).
Chựng minh 1) GiÊ sỷ f khÊ vi tÔi t LĐy ε ∈ (0; 1) bĐt kẳ v kẵ hiằu ε ∗ = ε
Theo ành nghắa ta cõ
Vợi mồi ε ∗ >0, cõ mởt lƠn cên U(t, δ) cừa t sao cho
Do â lim s→t[f(t)−f(s)] = 0 ⇔ lim s→tf(s) =f(t) vợi mồi s ∈ U ∗ Vêy f liản tửc tÔi t.
2) GiÊ f liản tửc tÔi t ∈ T k v t l iºm cổ lêp phÊi Tứ tẵnh liản tửc cõa h m f t¤i t ∈ T k Ta câ lims→t f(σ(t))−f(s) σ(t)−s = f(σ(t))−f(t) σ(t)−t = f(σ(t))−f(t) à(t) Vợi ε > 0, trong lên cên U cừa s ta cõ f(σ(t))−f(s) σ(t)−s − f(σ(t))−f(t) σ(t)−t
3) GiÊ sỷ f khÊ vi tÔi t ∈ T k v t l iºm trũ mêt phÊi.
Cho ε > 0 Vẳ f khÊ vi tÔi t ∈ T k nản trong lƠn cên cừa t ta cõ
4) GiÊ thiát ta cõ f khÊ vi tÔi t.
Trữớng hủp 2 Náuσ(t) > t Dof khÊ vi tÔit f ∆ (t) = lim s→t f(σ(t))−f(s) σ(t)−s f(σ(t))−f(t) σ(t)−t
Vẵ dử 1.6 Náu f : T → R v f(t) = t 2 Khi Đy f ∆ (t) = t+σ(t) vợi mồi t ∈ T k
Thêt vêy, vợi mồi ε > 0, s ∈ U thẳ |s−t|< ε Do õ ta cõ
Vêy vợi mồi t ∈ T k ta cõ f ∆ (t) = t+σ(t).
Vợi thang thới gian T= R thẳ σ(t) ≡ t Do õ f ∆ (t) = 2t = f 0 (t).
Vợi thang thới gian T = Z thẳ σ(t) ≡ t + 1 Do õ f ∆ (t) = 2t + 1 ∆f(t) =f(t+ 1)−f(t).
Vẵ dử 1.7 X²t f(t) =√ t thẳ ta cõ f ∆ (t) = 1 pσ(t) +√ t. Vợi thang thới gian T= R thẳ σ(t) =t nản f ∆ (t) = 1
Vợi thang thới gian T= N thẳ σ(t) =t+ 1 nản f ∆ (t) = 1
Với định nghĩa về hàm số delta-Ôo, ta có thể hiểu rằng hàm này phụ thuộc vào hàm nhảy σ(t) trong khoảng thời gian T Cụ thể, cho hai hàm f: T → R và g: T → R, chúng ta có thể xác định các hàm ∆-khả vi tại một điểm t ∈ T.
3) Náu f(t)f(σ(t)) 6= 0 thẳ f 1 l ∆ - khÊ vi tÔi t ∈T k v
4) Náu g(t)g(σ(t))6= 0 thẳ f g l ∆ - khÊ vi tÔi t ∈ T k v f g
Chựng minh GiÊ sỷ f, g liản tửc tÔi t ∈ T k
1) Cho ε > 0, U1, U2 l lƠn cên cừa t ta cõ: f(σ(t))−f(s)−f ∆ (t)(σ(t)−s)
LĐy U = U1 ∩U2 thẳ vợi mồi s ∈ U ta cõ
Vẳ vêy f +g khÊ vi tÔi t v (f +g) ∆ =f ∆ +g ∆ tÔi t ∈ T k
. Khi Đy ε ∗ ∈ (0,1), vẳ vêy trong lƠn cên U 1 , U 2 , U 3 cừa t thọa mÂn: f(σ(t))−f(s)−f ∆ (t)(σ(t)−s)
Theo ành lỵ 1.1 phƯn 1) ta cõ |f(t)−f(s)| ≤ε ∗ vợi s∈ U 3 °t U = U1 ∩U2 ∩U3 thẳ vợi s ∈U ta cõ:
Tẵnh chĐt 2) ữủc chựng minh.
Tứ Tẵnh chĐt 2) ta suy ra Tẵnh chĐt 3) v Tẵnh chĐt 4).
Nhên x²t cĂc tẵnh chĐt trản tữỡng tỹ nhữ cĂc tẵnh chĐt cừa Ôo h m thổng thữớng, những  thảm yáu tố h m nhÊy tián σ(t) tham gia trong cĂc cổng thùc.
Ta câ b£ng so s¡nh
= ∆f.g−f.∆g g.g(t+1) Ôo h m cừa vectỡ h m v ma trên h m
Giá sỉ f: T → R^n là hàm vectơ n chiều, trong đó A: T → R là hàm mà trên đó tồn tại một hàm vectơ v, và hàm này có thể được hiểu là vectơ mà trên đó tồn tại một hàm vectơ của các hàm thành phần.
Ph²p tẵnh tẵch phƠn trản thang thới gian
H m tiãn khÊ vi
Hàm số f: T → R được gọi là hàm chính quy (regulated) nếu giới hạn bên phải của nó tồn tại tại mọi điểm trong T và giới hạn bên trái của nó cũng tồn tại tại mọi điểm trong T Hàm f: T → R được gọi là liên tục phải dày (right-dense continuous) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong T và giới hạn bên trái của nó tồn tại tại mọi điểm trong T Mở một miền mà trên đó xác định trật tự thời gian.
T ữủc gồi l rd-liản tửc náu mội phƯn tỷ cừa Ặ) l rd-liản tửc. ành nghắa 1.13 ChoX l mởt khổng gian Banach, Ănh xÔ:f :TìX →
X; (t, x) 7→ f(t, x) ữủc gồi l rd-liản tửc náu thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau a) H m f liản tửc tÔi mội iºm (t, x) vợi t l trũ mêt phÊi ho°c t max T b) CĂc giợi hÔn lim
(s,y)→(t,x),s≤tf (s, y) v lim y→xf (t, y) tỗn tÔi tÔi mội iºm (t, x) vợi t l iºm trũ mêt trĂi. ành lþ 1.3 [5, Theorem 1.60] X²t h m f : T →R , ta câ
1) Náu f liản tửc thẳ f l rd-liản tửc;
2) Náu f l rd-liản tửc thẳ f l chẵnh quy;
3) Náu f l chẵnh quy (rd-liản tửc) thẳ f σ := f ◦ σ cụng l chẵnh quy (rd-liản tửc);
4) Cho f liản tửc Náu g : T → R l chẵnh quy (rd-liản tửc) thẳ f ◦ g cụng l chẵnh quy (rd-liản tửc). ành nghắa 1.14 Mởt h m liản tửc f : T → R ữủc gồi l tiãn khÊ vi (pre-differentiable) vợi miãn khÊ vi D náu cĂc iãu kiằn sau Ơy ỗng thới ữủc thọa mÂn
2) T k \D l khổng quĂ ám ữủc v khổng chựa iºm cổ lêp phÊi n o cõa T;
3) f kh£ vi t¤i méi iºm t ∈D. ành lỵ 1.4 (ành lỵ giĂ trà trung bẳnh) [6, Theorem 1.9] Cho f v g l cĂc h m nhên giĂ trà thỹc, xĂc ành trản T v l tiãn khÊ vi vợi miãn khÊ vi D Khi õ, náu
|f ∆ (t)| ≤ g ∆ (t) vợi mồi t ∈D thẳ |f(s)−f(r)| ≤ g(s)−g(r) vợi mồi r, s ∈T v r ≤ s. ành lỵ 1.5 [6, Theorem 1.25] Cho f l mởt h m chẵnh quy Khi õ tỗn tÔi mởt h m tiãn khÊ vi F vợi miãn khÊ vi D sao cho F ∆ (t) = f(t) vợi mồi t ∈ D.
Ph²p tẵnh tẵch phƠn
1) H m F trong ành lỵ 1.5 ữủc gồi l mởt tiãn nguyản h m (pre- antiderivative) cừa h m chẵnh quy f.
2) Tẵch phƠn bĐt ành cừa mởt h m chẵnh quy f l R f(t).∆t :F(t) +C trong õ C l mởt hơng số tũy ỵ v F l mởt tiãn nguyản h m cõa h m f.
3) Tẵch phƠn xĂc ành cừa mởt h m chẵnh quy f l
Z s r f(t)∆t :=F(s)−F(r) vợi r, s ∈ T, vợi F l mởt tiãn nguyản h m cừa h m f
4) Mởt h m F :T → R ữủc gồi l mởt nguyản h m (antiderivative) cừa f :T → R náu F ∆ (t) =f(t) vợi mồi t ∈T k ành lỵ 1.6 [6, Theorem 1.27] Mồi h m f l h m rd-liản tửc ãu cõ nguyản h m Nguyản h m F cừa h m f ữủc ành nghắa bði
Tứ nay vã sau ta sỷ dửng kẵ hiằu
C rd ho°c C rd (T) ho°c C rd (T,R) l têp hủp cĂc h m rd-liản tửc. ành lỵ 1.7 [6, Theorem 1.29] Náuf ∈ C rd v t ∈T k thẳRσ(t) t f(τ)∆(τ) à(t)f(t).
Chựng minh Vẳ f l rd-liản tửc nản tỗn tÔi mởt nguyản h m F cừa f.
Theo ành lỵ 1.1 ta cõ F(σ(t))−F(t) = à(t)F ∆ (t) =à(t)f(t).
Vêy Z σ(t) t f(s)∆s = à(t)f(t). ành lỵ 1.8 [6, Theorem 1.28] Náu a, b, c ∈ T, α ∈ R v f, g ∈ Crd thẳ
1) Vợi thang thới gian T =R thẳ Rb a f(t)∆t = Rb a f(t)dt, ð ¥y f l h m liản tửc.
2)Vợi thang thới gian T = Z thẳ ta cõ à(t) = σ(t)−t = t+ 1−t = 1. Kẵ hiằu [a;b] = {a;a+ 1;a+ 2; ;b−1;b} Ta cõ
P t=b f(t) náu a > b vợi f :Z → R l mởt h m tũy ỵ. ành nghắa 1.16 Náu a ∈ T, supT = ∞ v f l rd-liản tửc trản [a,∞) thẳ ta ành nghắa tẵch phƠn suy rởng
Náu giợi hÔn l tỗn tÔi ta nõi tẵch phƠn hởi tử Ngữủc lÔi, ta nõi tẵch ph¥n ph¥n ký Ảnh lỵ 1.9 (ời bián dữợi dĐu tẵch phƠn) [5, Theorem 1.97] GiÊ sỷ v.
T → R l mởt h m tông ch°t v Te = v(T) cụng l mởt thang thới gian. Náu f : T →R l h m rd - liản tửc v v l h m khÊ vi vợi v ∆ l rd - liản tửc thẳ vợi a, b∈ T, ta cõ
Tẵnh hỗi quy trản thang thới gian
Nhưc lÔi ành nghắa nhõm v nhõm Abel nhữ sau
Têp hủpA cũng ph²p toĂn∗ ữủc gồi l nhõm náu thọa mÂn iãu kiằn sau
3) Cõ phƯn tỷ ỡn và, nghắa l mồi x thuởc A, tỗn tÔi e thuởc A sao cho x∗e =e∗ x= x;
4) Mồi phân tỷ trong A ãu cõ phƯn tỷ khÊ nghich, nghắa l mồi x thuởc
A, luổn tỗn tÔi −x thuởc A sao cho x∗(−x) =e.
Têp hủp A cho phép toán tử giao hoán, nghĩa là với x, y thuộc A, ta có x*y = y*x Cho K là trường số thực hay phức Hệ số H m p: T → K được gọi là hồi quy (regressive) nếu
1 +à(t)p(t)6= 0 vợi mồi t ∈ T k ành lỵ 1.10 Têp hủp < =