Phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông tỉnh hà giang trong dạy học nội dung phương trình lượng giác​

Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển TDTG cho HS tỉnh Hà Giang thông qua dạy học nội dung PTLG...34 2.2.1.Biện pháp 1: Truyền thụ cho HS những tri thức phương pháp trong khi tổ c

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––

VIÊN THỊ LIỄU

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH HÀ GIANG TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––

VIÊN THỊ LIỄU

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH HÀ GIANG TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Đỗ Thị Trinh

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kếtquả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và chưa có ai công bố trong một côngtrình nào khác

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015

Tác giả

VIÊN THỊ LIỄU

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNi http://www.lrc.tnu.edu.vn

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, Banchủ nhiệm, quý thầy, cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên vàquý thầy cô trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng quý thầy, cô tổ Toán -Tintrường THPT Quản Bạ, đã tạo điều kiện trong thời gian thực nghiệm và hoàn thànhluận văn

Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hướng dẫn: TS Đỗ Thị Trinhngười đã tận tình hướng dẫn trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình

đã giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giả

VIÊN THỊ LIỄU

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các chữ viết tắt iv

Danh mục các bảng v

Danh mục các biểu đồ vi

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Giả thiết khoa học 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Dự kiến cấu trúc luận văn 4

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Tư duy 5

1.1.1 Khái niệm Tư duy 5

1.1.2 Đặc điểm của Tư duy 5

1.2 Tư duy thuật giải 8

1.2.1 Thuật toán 8

1.2.2 Thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải 12

1.2.3 Tư duy thuật giải 13

1.3 Dạy học giải bài tập toán 19

1.3.1 Bài tập toán 19

1.3.2 Chức năng của bài tập toán 20

1.4 Thực trạng rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh THPT tỉnh Hà Giang 23

1.4.1 Đặc điểm tư duy của học sinh THPT tỉnh Hà Giang 23

1.4.2 Thực trạng rèn luyện tư duy thuật giải trong dạy học môn Toán nói chung và dạy học nội dung phương trình lượng giác nói riêng cho học sinh THPT tỉnh Hà Giang 24

1.5 Tiềm năng phát triển tư duy thuật giải trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh THPT tỉnh Hà Giang 27

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNiii http://www.lrc.tnu.edu.vn

1.6 Tiểu kết chương 1 31

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH THPT TỈNH HÀ GIANG THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 32

2.1 Một số định hướng dạy học theo hướng phát triển TDTG cho HS THPT tỉnh Hà Giang 32

2.2 Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển TDTG cho HS tỉnh Hà Giang thông qua dạy học nội dung PTLG 34

2.2.1.Biện pháp 1: Truyền thụ cho HS những tri thức phương pháp trong khi tổ chức điều khiển luyện tập các hoạt động thông qua dạy học giải PTLG 34

2.2.2.Biện pháp 2: Rèn luyện các hoạt động của TDTG trong các khâu của dạy học giải bài tập 46

2.2.3 Biện pháp 3: Hướng dẫn tổ chức dạy học PTLG theo hướng phát triển TDTG cho HS 58

2.2.4 Biện pháp 4: Dạy học phân bậc hoạt động theo hướng phát triển TDTG 68

2.3 Tiểu kết chương 2 75

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 76

3.1 Mục đích thực nghiệm 76

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 76

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 76

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 77

3.2.3 Dụng ý sư phạm của đề kiểm tra 77

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 77

3.3.1.Kết quả định tính 77

3.3.2 Kết quả định lượng 78

3.4 Tiểu kết chương 3 81

KẾT LUẬN 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Kết qủa bài kiểm tra khảo sát chất lượng môn Toán đầu năm học 76

Bảng 3.2 Bảng phân bố tần số kết quả kiểm tra 45 phút của HS hai lớp 11A3 và

lớp 11A6 trường THPT Quản Bạ 78

Bảng 3.3 Bảng kết quả xử lý số liệu thống kê của HS hai lớp 11A3 và lớp 11A6

trường THPT Quản Bạ 79

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1: Phân bố tần số điểm của cặp lớp TN – ĐC 78

Biểu đồ 3.2: Giá trị trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn về điểm của lớp TN-ĐC 80

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNvi http://www.lrc.tnu.edu.vn

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Nước ta đang trong quá trình hội nhập quốc tế ngày càng sâu rộng Sự phát triểnnhanh chóng của khoa học và công nghệ, đặc biệt là sự cạnh tranh quyết liệt trênnhiều lĩnh vực giữa các quốc gia Từ đó đòi hỏi giáo dục phải đổi mới phương phápdạy học một cách mạnh mẽ, nhằm đào tạo ra những con người có đầy đủ phẩm chấtcủa người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ,

kỷ luật, có tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giảipháp tối ưu khi giải quyết công việc

Trước thực tế trên, Nghị quyết Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XI đã xác định

“Đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục theo hướng chuẩn hoá, hiện đại hoá, xã hộihoá, dân chủ hoá và hội nhập quốc tế” và “Phát triển nhanh nguồn nhân lực, nhất lànguồn nhân lực chất lượng cao, tập trung vào việc đổi mới căn bản và toàn diện nền

giáo dục quốc dân”.

Về phương pháp giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấphành Trung Ương Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra: “Phải đổi mớiphương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn luyện thành nếp tư duysáng tạo của người học Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiệnhiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu”

Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong quátrình dạy học là phát triển TDTG cho HS thông qua hầu hết các hình thức dạy học.1.2 Hiện nay ở trường phổ thông đã tiến hành giáo dục Tin học Tin học được dạytường minh như một nội dung và sử dụng máy tính điện tử như công cụ dạy học Do

đó vấn đề phát triển phát triển TDTG trong môn Toán giữ một vị trí quan trọng tronggiáo dục Tin học Khẳng định này được thể hiện rõ trong mục đích giáo dục Tin học:

“Góp phần hình thành ở HS những loại hình tư duy liên hệ mật thiết với việc sử dụngcông nghệ thông tin như TDTG, tư duy điều khiển,…”

1.3 Phát triển TDTG là một trong những mục đích quan trọng của việc dạy học Toán

ởtrường phổ thông vì:

* TDTG tạo điều kiện tốt để HS tiếp thu kiến thức, rèn luyện các kỹ năng

Toán học

* TDTG phát triển sẽ thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ (như: phân tíchtổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, ) cũng như những phẩm chất trítuệ (như: tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo).

* TDTG giúp HS hình dung được quá trình tự động hóa diễn ra trong nhữnglĩnh vực khác nhau của con người, trong đó có lĩnh vực xử lý thông tin Điều này làmcho HS thích nghi với xã hội tự động hóa, góp phần làm giảm ngăn cách giữa nhàtrường và xã hội

1.4 Phát triển TDTG trong môn Toán có ý nghĩa về nhiều mặt và môn Toán chứađựng khả năng to lớn về phát triển TDTG, thế nhưng, TDTG chưa được chú ý pháttriển đúng mức ở nhà trường phổ thông Đã có một số công trình nghiên cứu về vấn

đề này, trong số các công trình đó có thể kể tới luận án tiến sỹ của Vương DươngMinh: “Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ởtrường phổ thông” (1998) Luận án này đã xem xét việc phát triển TDTG cho HStrong khi dạy các hệ thống số nên chưa có dịp đi sâu vào việc phát triển TDTG cho

HS trong khi dạy học nội dung PTLG

1.5 Theo A.A.Stôliar “Dạy Toán là dạy hoạt động Toán học” Trong môn Toán ở trường

phổ thông có nhiều tình huống điển hình nhưng có thể xem giải Toán là hình thức chủyếu của hoạt động Toán học bởi vì các bài tập toán là một phương tiện rất hiệu quảkhông thể thay thế được thông qua đó HS thể hiện được những hoạt động như nhận dạng

và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động Toán học phứchợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung vànhững hoạt động ngôn ngữ giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy hình thành kỹnăng, kỹ xảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn cuộc sống

Nội dung PTLG được phân bố trong chương trình đại số lớp 11 trung học phổthông Nhưng kiến thức về lượng giác đã được đề cập sơ bộ ở chương trình THCS vàchương trình lớp 10 Kiến thức Lượng giác là phần kiến thức quan trọng không chỉtrong nhà trường THPT mà còn liên quan chặt chẽ với các vấn đề khác của Toán học,Vật lý Giải PTLG là vấn đề tương đối mới mẻ và khó với đa số HS cả về tư duy vàcách tìm ra lời giải của bài toán Nội dung PTLG với nhiều biến đổi, nhiều dạng toánnhiều quy trình vận dụng kỹ năng tính toán nhiều bài toán có tiềm năng có thể chuyển

về một thuật giải Đó là điều kiện thuận lợi nhằm phát triển TDTG cho HS

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN2 http://www.lrc.tnu.edu.vn

Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài “Phát triển tư duy thuật giải cho học sinh THPT tỉnh Hà Giang trong dạy học nội dung phương trình lượng giác”

làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là đề xuất một số biện pháp phát triểnTDTG cho HS trong quá trình dạy học nội dung PTLG nhằm góp phần nâng cao hiệuquả dạy học Toán ở trường phổ thông

3 Giả thiết khoa học

Nếu trong quá trình dạy học Toán trung học phổ thông nói chung, dạy học bàitập PTLG, GV thực hiện theo một quy trình dạy học theo hướng phát triển TDTG thì

sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ở trường phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoahọc sau:

4.1 Tư duy, thuật toán, thuật giải, TDTG là gì và vì sao nó cần được phát triển

ở HS trong môn Toán?

4.2 Bài tập Toán là gì, chức năng của bài tập Toán trong việc hướng tới thựchiện mục đích dạy học như thế nào?

4.3 Thực trạng rèn luyện TDTG cho HS THPT tỉnh Hà Giang ra sao?

4.4 Có những tiềm năng gì để phát triển TDTG trong dạy học nội dung PTLGcho HS THPT tỉnh Hà Giang?

4.5 Để phát triển TDTG cho HS cần có những định hướng sư phạm nào?4.6 Cần truyền thụ cho HS những tri thức phương pháp nào về TDTG?

4.7 Cách thức rèn luyện các hoạt động của TDTG trong dạy học giải bài tậpPTLG như thế nào?

4.8 Xây dựng quy trình dạy học giải bài tập PTLG theo hướng phát triểnTDTG như thế nào?

4.9 Phân bậc các hoạt động của TDTG dựa trên căn cứ nào?

4.10 Kết quả thực nghiệm như thế nào?

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn

đề liên quan đến đề tài của luận văn

5.2 Phương pháp điều tra - quan sát: Nghiên cứu thực trạng dạy và học nội

dung PTLG tại một số trường THPT thông qua các hình thức sử dụng phiếu điều tra,quan sát, phỏng vấn trực tiếp GV ở trường THPT

5.3 Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Dự giờ, quan sát giờ dạy của GV và

hoạt động học tập của HS trong quá trình dạy học giải bài tập nói chung và dạy họcgiải bài tập PTLG nói riêng

5.4 Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng việc phát triển

TDTG thông qua dạy học giải bài tập PTLG trên các lớp học thực nghiệm và đốichứng trong cùng một lớp đối tượng

6 Dự kiến cấu trúc luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dungluận văn gồm ba chương :

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển TDTG cho HS

trong khi dạy học bài tập PTLG

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN4 http://www.lrc.tnu.edu.vn

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tư duy

1.1.1 Khái niệm Tư duy

Từ điển tiếng Việt nêu rõ: “TD là giai đoạn cao nhất của quá trình nhận thức,

đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thứcnhư: Biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý” [7, tr 1070]

Nguyễn Quang Uẩn: “TD là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bảnchất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượngtrong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết” [13, tr 14]

Trong cuốn “ Rèn luyện TD trong dạy học Toán”, tác giả Trần Thúc Trình cóviết “TD là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất những mối quan

hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết” [12, tr 1]

TD có tác động to lớn trong đời sống xã hội Người ta dựa vào TD để nhậnthức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đótrong các hoạt động thực tiễn của mình

1.1.2 Đặc điểm của Tư duy

Trong cuốn “Tâm lí học đại cương”, tác giả Nguyễn Quang Uẩn [13, tr 16] đã

đề cập TD có các đặc điểm sau:

* TD có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

X.L.Rubinstein – nhà tâm lí học Xô viết đã viết: “nội dung cảm tính bao giờcũng có trong TD trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa của TD” điều đó chothấy TD bắt nguồn từ nhận thức cảm tính sử dụng những tài liệu cảm tính, nhữngkinh nghiệm thực tế TD dù trừu tượng đến đâu cũng có chỗ dựa sâu xa từ nhận thứccảm tính

Ngược lại, TD và những kết quả của nó ảnh hưởng mạnh mẽ, chi phối khảnăng phản ánh của nhận thức cảm tính: làm cho khả năng cảm giác của con ngườitinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con người mang tính lựa chọn, tính ýnghĩa Chính vì lẽ đó, Ph.Angghen đã viết: “nhập vào với mắt của chúng ta chẳngnhững có các cảm giác khác mà còn có cả hoạt động TD của ta nữa”

* Tính trừu tượng và tính khái quát của TD

TD phản ánh cái bản chất chung cho nhiều sự vật hiện tượng, đồng thời đãtrừu xuất khỏi những vật hiện tượng đó Nhờ tính chất trừu tượng và khái quát, TD cóthể cho phép ta đi sâu vào bản chất và mở rộng phạm vi nhận thức sang cả những sựvật, hiện tượng cụ thể mới mà trước đây ta chưa biết Nhờ có tính trừu tượng và kếtquả của TD mà khả năng nhận thức của con người được mở rộng không có giới hạn

Ví dụ 1.1:

+) Nói về khái niệm “cái cốc”, con người trừu xuất những thuộc tính khôngquan trọng như chất liệu, màu sắc, kiểu dáng mà chỉ giữ lại những thuộc tính cần thiếtnhư hình trụ, dùng để đựng nước uống Đó là trừu tượng

+) Khái quát gộp tất cả những đồ vật có những thuộc tính cơ bản nói trên dùlàm bằng nhôm, sứ, thủy tinh… có màu xanh hay vàng… tất cả điều xếp vào mộtnhóm “cái cốc”

* Tính có vấn đề

Hoàn cảnh có vấn đề chính là cái kích thích con người TD, hoàn cảnh hay tìnhhuống có vấn đề nảy sinh khi gặp những tình huống mà vốn hiểu biết cũ, phươngpháp hành động đã biết của con người không đủ để giải quyết nó, để TD con ngườiphải nhận thức được hoàn cảnh có vấn đề, phải có nhu cầu giải quyết nó và phải cónhững tri thức cần thiết có liên quan tới vấn đề đó Kích thích quá trình TD phát triển

là tình huống có vấn đề, quá trình TD chỉ diễn ra khi gặp một cái mới mà ta muốnnhận biết, khi gặp mâu thuẫn và nảy sinh thắc mắc, khi phát hiện ra những mâuthuẫn Khi gặp tình huống có vấn đề mà ta có nhu cầu giải quyết thì nó có tác dụngkích thích thúc đẩy TD tiến lên nhằm vạch ra những quy luật bản chất của vấn đề đó

Ví dụ 1.2:

Nếu cho bài toán: 2(x+1) = ? thì với HS lớp 2 TD sẽ không xuất hiện

* Tính gián tiếp của TD

Trong quá trình TD, quá trình hoạt động nhận thức của con người nhanhchóng thoát khỏi những sự vật cụ thể cảm tính mà sử dụng những khái niệm để biểuđạt chúng, thay thế những sự vật cụ thể bằng những kí hiệu, bằng ngôn ngữ

Ví dụ 1.3: Để giải một bài toán thì trước hết HS phải biết được yêu cầu nhiệm

vụ của bài toán, nhớ lại các công thức, định lí… có liên quan để giải bài toán Ta thấy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN6 http://www.lrc.tnu.edu.vn

rõ rằng trong quá trình giải bài toán đó con người đã dùng ngôn ngữ mà thể hiện làcác quy tắc, định lí… ngoài ra còn có cả kinh nghiệm của bản thân chủ thể thông quanhiều lần giải Toán trước đó.

* Tính chất lý tính của TD

TD là giai đoạn phát triển cao nhất của nhận thức – giai đoạn nhận thức lýtính Chỉ có TD mới giúp con người vượt qua được những giới hạn trực quan nhậnthức cảm tính để phản ánh được bản chất của sự vật hiện tượng, những vấn đề thuộc

về trí tuệ và lý tính của con người

* TD có liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

Ngôn ngữ là phương tiện của TD, ngôn ngữ là cái vỏ của TD, nhờ có ngôn ngữ

mà con người tiến hành các thao tác TD và sản phẩm của TD là những phán đoán,suy lý được biểu đạt bằng ngôn ngữ, câu ngôn ngữ cố định các kết quả của tư duy,nhờ đó làm khách quan hóa chúng cho người khác và cho cả bản thân chủ thể TD.Không có ngôn ngữ thì bản thân quá trình TD không diễn ra được, đồng thời các sảnphẩm của TD cũng không thể sử dụng được

Ví dụ 1.4: Công thức tính diện tích hình vuông S = (a x a) là kết quả của quá

trình con người tìm hiểu tính toán Nếu không có TD thì rõ ràng công thức này vô nghĩa.

TD giúp con người cải biến tri thức đó dưới dạng các phương tiện của ngônngữ tự nhiên và bằng các kí hiệu của ngôn ngữ nhân tạo Ngôn ngữ này giữ một vaitrò quan trọng trong khoa học hiện đại

Từ những đặc điểm trên đây của TD, ta có thể thấy như sau:

- Phải coi trọng việc phát triển TD cho HS Bỡi lẽ, không có khả năng TD HS không học tập và rèn luyện được

- Muốn kích thích HS TD thì phải đưa HS vào những tình huống có vấn đề và

tổ chức cho HS độc lập, sáng tạo giải quyết tình huống có vấn đề

- Việc phát triển TD phải được tiến hành song song và thông qua truyền thụ trithức Mọi tri thức đều mang tính khái quát, nếu không TD thì không thực sự tiếp thulại không vận dụng được những tri thức đó

- Việc phát triển TD phải gắn với việc trau dồi ngôn ngữ Bởi lẽ có nắm vững ngôn ngữ thì mới có phương tiện để TD có hiệu quả

- Tăng cường khả năng trừu tượng và khái quát trong suy nghĩ

- Việc phát triển TD phải gắn liền với việc rèn luyện cảm giác, tri giác, năng lựcquan sát và trí nhớ Bỡi lẽ, thiếu những tài liệu cảm tính thì TD không thể diễn ra được.

- Để phát triển TD không còn con đường nào khác là thường xuyên tham giavào các hoạt động nhận thức và thực tiễn Qua đó TD của con người sẽ không ngừngđược nâng cao

1.2 Tƣ duy thuật giải

1.2.1 Thuật toán

Khái niệm TG liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán Do đó trước khi đưa

ra khái niệm TDTG ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật toán và tính chất của nó

Thuật toán là một khái niệm cơ sở của Toán học và Tin học Thuật toán, đượchiểu là một bản qui định chính xác mà mọi người đều hiểu như nhau về việc hoànthành những thao tác nguyên tố theo một trật tự xác định, nhằm giải quyết một loạtbài toán bất kì thuộc một loại hay một kiểu nào đó

Trong Tin học, thuật toán được định nghĩa là một dãy hữu hạn các bước khôngmập mờ và có thể thực thi được, quá trình hành động theo các bước này phải dừng vàcho được kết quả như mong muốn

Số bước hữu hạn của thuật toán và tính chất dừng của nó được gọi chung làtính hữu hạn Số bước hữu hạn của thuật toán là một tính chất khá hiển nhiên Ta cóthể tìm ở đâu một lời giải vấn đề - bài toán có vô số bước giải? Tính "không mập mờ"

và "có thể thực thi được" gọi chung là tính xác định

Ví dụ 1.5: Giả sử khi nhận một lớp học mới, Ban Giám hiệu yêu cầu GV chủ

nhiệm chọn lớp trưởng mới theo các bước sau :

Bước 1 Lập danh sách tất các HS trong lớp.

Bước 2 Sắp thứ tự danh sách HS.

Bước 3 Chọn HS đứng đầu danh sách để làm lớp trưởng.

Khi nhận được thông báo này, GV chắc chắn sẽ rất bối rối vì không hiểu làtrong danh sách HS cần có những thông tin gì? Danh sách chỉ cần họ tên, hay cầnthêm ngày tháng năm sinh? Có cần thêm điểm trung bình không? Yêu cầu bước 2 lạicàng gây nhiều thắc mắc Cần phải sắp xếp danh sách theo chiều tăng dần hoặc giảmdần? Sắp theo chỉ tiêu gì? Theo tên, theo ngày tháng năm sinh hay theo điểm trung

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN8 http://www.lrc.tnu.edu.vn

bình chung, giả sử sắp theo điểm trung bình thì nếu có hai HS cùng điểm trung bìnhthì HS nào sẽ sắp trước, HS nào sẽ sắp sau?

Hướng dẫn ở trên vi phạm tính chất “không mập mờ” của thuật toán Nghĩa là,

có quá nhiều thông tin còn thiếu để làm cho các bước 1, 2 được hiểu đúng và hiểu theo một nghĩa duy nhất Nếu sửa lại một chút ít thì hướng dẫn trên sẽ trở nên rõ

ràng hơn rất nhiều và có thể gọi là một thuật toán chọn lớp trưởng

Bước 1 Lập danh sách tất các HS trong lớp theo hai thông tin: Họ và Tên;

Ðiểm trung bình cuối năm

Bước 2 Sắp hạng HS theo điểm trung bình theo thứ tự giảm dần (từ điểm cao

đến điểm thấp) Hai HS có cùng điểm trung bình sẽ có cùng hạng

Bước 3 Nếu chỉ có một HS có hạng nhất thì chọn HS đó làm lớp trưởng.

Trường hợp có nhiều HS đồng hạng nhất thì chọn HS có điểm môn Toán cao nhất làmlớp trưởng

Nếu vẫn còn nhiều hơn một HS đồng hạng nhất và có cùng điểm môn Toáncao nhất thì tiến hành bốc thăm

Ở đây chúng ta cần phân biệt mập mờ và sự chọn lựa có quyết định Mập mờ

là thiếu thông tin hoặc có nhiều chọn lựa nhưng không đủ điều kiện để quyết định.Còn chọn lựa có quyết định là hoàn toàn xác định duy nhất trong điều kiện cụ thể củavấn đề Chẳng hạn trong vấn đề chọn lớp trưởng ở trên, bước 3 thể hiện một sự lựachọn có quyết định Tất nhiên, khi chưa lập danh sách, chưa xếp hạng theo điểmtrung bình thì GV không thể biết được sẽ chọn lớp trưởng theo cách nào Nhưng khi

đã sắp xong danh sách thì chỉ có một phương án chọn duy nhất

Tính “thực thi được” cũng là một tính chất khá hiển nhiên Rõ ràng nếu trong

“thuật toán” tồn tại một bước không thể thực thi được thì làm sao ta có được kết quảđúng như ý muốn? Tuy nhiên, cần phải hiểu là “thực thi được” xét trong điều kiệnhiện tại của bài toán Chẳng hạn, khi nói “lấy căn bậc hai của một số âm” là khôngthể thực thi được nếu miền xác định của bài toán là số thực, nhưng trong miền sốphức thì thao tác “lấy căn bậc hai của một số âm” là hoàn toàn thực thi được Tương

tự, nếu ta chỉ đường cho một người đi xe máy đến một bưu điện nhưng con đường tachỉ là đường cụt, đường cấm hoặc đường ngược chiều thì người đi không thể đi đếnbưu điện được

Tính “dừng” là tính chất dễ bị vi phạm nhất, thường là do sai sót khi trình bàythuật toán Dĩ nhiên, mọi thuật toán đều nhằm thực hiện một công việc nào đó nên saumột thời gian thi hành hữu hạn thì thuật toán phải cho chúng ta kết quả mong muốn Khikhông thỏa tính chất này, ta nói rằng: “thuật toán bị lặp vô tận hoặc bị quẩn”.

Ví dụ 1.6: Ðể tính tổng các số nguyên dương lẻ trong khoảng từ 1 đến n ta có

thuật toán sau :

B1 Hỏi giá trị của n

do i là số lẻ nên dù có qua bao nhiêu bước đi chăng nữa, i vẫn khác n+1 Trongtrường hợp đó thuật toán trên sẽ bị quẩn

Tính “đúng” là một tính chất khá hiển nhiên nhưng là tính chất khó đạt tớinhất Thực vậy, khi giải quyết một vấn đề - bài toán, ta luôn luôn mong muốn lời giảicủa mình sẽ cho kết quả đúng nhưng không phải lúc nào cũng đạt được Mọi HS khilàm bài kiểm tra đều muốn bài làm của mình có đáp số đúng nhưng trên thực tế, tronglớp học chỉ có một số HS nhất định là có khả năng đưa ra lời giải đúng

Trong Tin học, người ta quan niệm bài toán là một việc nào đó ta muốn máytính thực hiện Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đưa vàomáy thông tin gì (Input) và cần lấy ra thông tin gì (Output) Do đó để phát biểu một

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN10 http://www.lrc.tnu.edu.vn

bài toán, ta cần phải trình bày rõ Input và Output của bài toán và mối quan hệ giữa Input và Output (bài toán thông thường ta xem là giả thiết và kết luận).

Ví dụ 1.7: Tính tổng các số nguyên dương lẻ trong khoảng từ 1 đến n.

- Xác định bài toán:

+ Input: N là số nguyên dương lẻ

+ Output: Tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến n

Việc cho một bài toán là mô tả rõ Input cho trước và Output cần tìm Vấn đề làlàm thế nào để tìm ra Output Việc chỉ ra tường minh một cách tìm Output của bàitoán được gọi là một thuật toán (algorithm) giải bài toán đó

Còn có nhiều định nghĩa khác nhau về thuật toán nhưng dựa vào sự phân tíchtrên ta có thể định nghĩa thuật toán như sau:

Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếptheo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy, từ Input của bàitoán, ta nhận được Output cần tìm

Từ định nghĩa ta thấy các tính chất cơ bản của thuật toán là: Tính đơn trị, tính

dừng, tính đúng đắn, tính phổ dụng và tính hiệu quả.

Tính đơn trị: Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải

đơn trị, nghĩa là 2 phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác sơ cấptrên cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả

Từ tính đơn trị ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật toán Bất kể cơcấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng các thao tác sơ cấp một cách hình thức theo đúngtrình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những thaotác này Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho các thiết bị tựđộng thực hiện TG, làm một số công việc thay thế cho con người

Tính dừng: Tính dừng của thuật toán yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện

các thao tác sơ cấp đã chỉ ra thì TG phải đi đến kết thúc Tính dừng giúp ta luôn tìmđược kết quả mong muốn sau khi thực hiện thuật toán

Tính đúng đắn: Thuật toán phải đảm bảo tính đúng đắn, tức là phải giúp ta giải

quyết đúng đắn vấn đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn

Tính phổ dụng: Thuật toán thường được xây dựng để giải không phải chỉ một

bài toán riêng lẻ mà cho một lớp bài toán có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thểkhác nhau

Tính hiệu quả: Khía cạnh đầu tiên của tính hiệu quả là tính tối ưu Trong số

nhiều thuật toán cùng giải một bài toán, hãy chọn ra TG tối ưu Tiêu chuẩn tối ưu ởđây được hiểu là:

+ Thuật toán thực hiện nhanh, tốn ít thời gian,

+ Thuật toán dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian

1.2.2 Thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải

1.2.2.1 Khái niệm thuật giải

Trong quá trình nghiên cứu giải quyết các vấn đề - bài toán, người ta đã đưa ra nhận xét sau:

+ Có nhiều bài toán cho đến nay vẫn chưa tìm ra một cách giải theo kiểu thuật toán và cũng không biết có tồn tại thuật toán hay không

+ Có nhiều bài toán đã có thuật toán để giải nhưng không chấp nhận được vì thời gian giải theo thuật toán đó quá lớn hoặc các điều kiện cho thuật toán đó khó đáp ứng

+ Có những bài toán được giải theo những cách giải vi phạm thuật toán nhưng vẫn chấp nhận được

Từ những nhận định trên, người ta thấy rằng cần phải có những đổi mới chokhái niệm thuật toán Người ta đã mở rộng hai tiêu chuẩn của thuật toán: tính xácđịnh và tính đúng đắn Việc mở rộng tính xác định đối với thuật toán được thể hiệnqua các TG đệ quy và ngẫu nhiên Tính đúng của thuật toán không còn bắt buộc đốivới một số cách giải bài toán, nhất là cách giải gần đúng Trong thực tế, có nhiềutrường hợp người ta chấp nhận các cách giải thường cho kết quả tốt (nhưng khôngphải lúc nào cũng tốt) nhưng ít phức tạp và hiệu quả Chẳng hạn, nếu giải một bàitoán bằng thuật toán tối ưu đòi hỏi máy tính thực hiện trong vòng nhiều năm thìchúng ta có thể chấp nhận một giải pháp gần tối ưu mà chỉ cần máy tính chạy trongvài ngày hoặc vài giờ Từ đó ta đi đến khái niệm sau:

Các cách giải chấp nhận được nhưng không hoàn toàn đáp ứng đầy đủ các tiêuchuẩn của thuật toán thường được gọi là các TG

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN12 http://www.lrc.tnu.edu.vn

Khái niệm mở rộng này của thuật toán đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìmkiếm phương pháp để giải quyết các bài toán được đặt ra Như vậy ngoài việc mởrộng tính đúng của thuật toán, TG có tất cả các tính chất khác của thuật toán Nó cũng

có các hình thức biểu diễn phong phú như thuật toán Tuy nhiên, đối với một cơ cấunhất định chỉ tương ứng với một hình thức biểu diễn nhất định Đặc biệt trong dạyhọc cần chú ý lựa chọn phương tiện biểu diễn phù hợp với trình độ và kiến thức hiện

có của HS Sự hiểu biết về TG, các tính chất và phương tiện biểu diễn nó phản ánhtrình độ văn hóa TG Ngôn ngữ lập trình là bước phát triển cao của văn hóa TG

1.2.2.2 Quy tắc tựa thuật giải

Trong quá trình dạy học, ta thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang đủ cácđặc điểm đặc trưng cho TG, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ ra cóhiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải Toán, đó là những quy tắc tựa TG đượchiểu như một dãy hữu hạn chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằmbiến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớpbài toán đó

Để phân biệt, ta dựa vào các quy tắc tựa TG phân biệt với TG như sau:

- Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định

- Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể không đơn trị

- Quy tắc không bảo đảm chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại kết quả là lời giải của lớp các bài toán

Tuy có một số hạn chế nói trên so với TG, quy tắc tựa TG cũng vẫn là nhữngtri thức phương pháp có ích cho quá trình hoạt động và giải Toán

1.2.3 Tư duy thuật giải

1.2.3.1 Khái niệm tư duy thuật giải

TD Toán học là hình thức biểu lộ của TD biện chứng trong quá trình con ngườinhận thức khoa học Toán học hay thông qua hình thức áp dụng Toán học vào cáckhoa học khác Như vậy, TD Toán học là TD biện chứng

TDTG là một loại hình thức TD Toán học Nó là phương thức TD biểu thị khảnăng tiến hành các hoạt động sau:

T1: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một TG.

T2: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo trình tựxác định

T3: Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thànhmột quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng

T4: Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

T5: Phát hiện TG tối ưu để giải quyết bài toán

Trong đó, (T1) thể hiện năng lực thực hiện TG, (T2 - T5 ) thể hiện năng lực xâydựng TG

Khái niệm TDTG được xác định như trên là hoàn toàn phù hợp với những kếtquả nghiên cứu về hình thành văn hóa TG Trong [6, tr 12] tác giả Monakhôp đã nêulên những thành phần của văn hóa TG bao gồm:

- Hiểu bản chất của TG và những tính chất của nó; hiểu bản chất ngôn ngữ là phương tiện biểu diễn TG

- Nắm vững các phương pháp và các phương tiện biểu diễn TG

- Hiểu tính chất TG của các phương pháp Toán học và các ứng dụng của chúng; nắm vững các TG của Toán phổ thông

Như vậy, phát triển TDTG là một điều kiện cần thiết góp phần hình thành và phát triển văn hóa TG cho HS

1.2.3.2 Một số ví dụ thể hiện các hoạt động của Tư duy thuật giải

Từ khái niệm về TDTG ta thấy rằng để phát triển TDTG cho HS trong dạy họcToán, GV phải tổ chức, điều khiển các hoạt động TDTG Thông qua hoạt động đógiúp HS nắm vững, củng cố các quy tắc đồng thời phát triển TDTG cho HS Sau đây

là một số ví dụ về phát triển TDTG trong môn Toán khi dạy giải bài tập PTLG ởtrường phổ thông

Ví dụ 1.8: Sau khi dạy xong quy tắc giải các phương trình sin x  m GV có thể

cho HS nêu các bước giải phương trình trên như sau:

Bước 1: Kiểm tra

+ Nếu m > 1 chuyển sang bước 3

+ Nếu m 1 chuyển sang bước 2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN14 http://www.lrc.tnu.edu.vn

Bước 2: Giải phương trình

Sau đó GV yêu cầu HS làm bài tập sau

Bài tập: Áp dụng quy tắc giải phương trình giải phương trình bậc nhất đối vớimột hàm số lượng giác, hãy giải các phương trình sau:

a sin 4 x  sin

Mục đích của bài tập này là yêu cầu HS thực hiện hoạt động (T1) Do đó cầnhướng dẫn các em thực hiện đúng theo trình tự các bước đã nêu trong quy tắc Có thểdùng một phần bảng trình bày quy tắc giải phương trình sin x  m phần bảng còn lạitrình bày lời giải phù hợp với từng quy tắc Tiến hành nhất quán như vậy trong mộtthời gian nhất định sẽ hình thành ở HS quy tắc giải phương trình sin x  m , đồng thờiphát triển ở các em năng lực thực hiện TG

Ví dụ 1.9: Thực hiện hoạt động T2.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:

P  x  2 y  5 biết x,y thỏa mãn 36 x2  16 y2  9

Với bài toán này, HS phải nắm được sơ lược khái niệm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất của hàm số và cách tìm điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx,cosx có nghiệm

GV cần lưu ý cho HS rằng nếu gặp biểu thức dạng: x2 y2 1 thì liên tưởngđến việc đặt x  sin t, y=cos t

Ta có thể hướng dẫn HS giải bài toán trên theo các bước sau:

Bước 1 Biến đổi: 36x 2  16 y2  9 về dạng x2 y2 1

Ta có :36x 2 16 y 2  9  4x 2  16 y 2 1

9

Bước 2 Đặt 2xsin t, 4

3 y = cos t sau đó thực hiện phép biến đổi đưa biểu

thức P về dạng a sin t  b cos t  c

Bước 3 Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2  c2

Bước 4 Đưa ra bất đẳng thức: m  p  M Từ đó kết luận MaxP, MinP

Một điều cần lưu ý là khi phân tích bài toán để HS định hướng phương phápgiải, chúng ta cần cố gắng phân tích làm nổi lên những tri thức phương pháp tiếnhành hoạt động này Sự phân tích trên đây có ý làm nổi bật tri thức phương pháp: quy

cos 2 4 x  cos8 8 x  sin 2 12 x  sin 2 16 x  2

 1  sin2 4x  1  sin2 8x  sin2 12x  sin2 16x  2

 sin2 4x  sin2 8x  sin2 12x  sin2 16x  0

Vậy phương trình có một họ nghiệm

b) cos 2 x  cos 6 x  4(3sin x  4sin 3 x  1)  0

Giải

cos 2 x  cos 6 x  4(3sin x  4sin 3 x  1)  0

 cos 2x  1  1  cos 6x  4sin 3x  2  0

 2 cos 2 x  2sin 2 3 x  4sin 3 x  2  0

 2 cos 2 x  2(sin 3 x  1) 2  0

 cos x  0



Vậy phương trình có một họ nghiệm.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Biến đổi phương trình ban đầu về dạng:

Bước 1: Kiểm tra

+ Nếu a2  b2  c2 thì kết luận phương trình vô nghiệm

+ Nếu a2  b2  c2 chuyển qua bước 2

Bước 2: Chia hai vế của phương trình (1) cho a2 b2 , ta được:

Đặt : cos

Khi đó phương trình (1) có dạng:

cos  sin x  sin .cos x 

 sin(x   ) 

Bước 3: Giải phương trình (2) và kết luận

Như vậy với cách giải dạng phương trình bậc nhất với sin và cos này HS đã

biết, GV cần theo sát và hướng dẫn cho HS thực hiện tốt, đầy đủ và chính xác các

hoạt động diễn ra trên lớp đối tượng này Đây là vấn đề để kiểm tra HS nhìn nhận vấn

đề một cách chính xác và đầy đủ hay không, bên cạnh đó nó cũng nói lên được khả

năng thực hiện công việc theo một trình tự, một kế hoạch cụ thể của HS không những

trong Toán học mà cả trong cuộc sống hằng ngày

Nhận xét: Thoạt đầu khi nhìn vào phương trình trên một cách tự nhiên HS có

thể nghĩ ngay đến việc dùng công thức biến đổi sin của một tổng Nhưng với cách

biến đổi trên sẽ làm cho việc giải phương trình trên trở nên khó khăn và phức tạp

hơn Trong trường hợp HS gặp khó khăn đó GV đưa ra định hướng cho HS bằng các

câu hỏi gợi ý như sau :

? Xem xét mối quan hệ giữa hai cung 3

10  2x và 10

 3

2x như thếnào

? Ta có các biến t, 3t thực hiện biến đổi như thế nào để đưa về cùng một biến t

(Sử dụng công thức góc nhân ba với sin)

? Giải phương trình bậc ba với một hàm số lượng giác

Những hoạt động trên đây có tác dụng gợi động cơ và hình thành tri thức

phương pháp cho hoạt động (T5) trong trường hợp này bài toán trên giải như sau:

Bước 1: Nhận xét và biến đổi:

Ta có:

sin( 

10

Vậy phương trình có ba họ nghiệm.

Với ví dụ này cho ta thấy việc đi đến một TG tối ưu cho lớp bài toán cụ thểnào đó là cần thiết bởi lẽ: Không phải lúc nào ta cũng quan tâm bài toán đặt ra có giảiđược hay không mà quan tâm cách giải tối ưu của nó (ví như những bài toán về kinh

tế, giao thông, ) thì mới đáp ứng yêu cầu của một lĩnh vực nào đó

Năm ví dụ trên đã minh họa cho năm hoạt động của TDTG Trong thực tế, việctập luyện các hoạt động này sẽ không được tách ra một cách rành mạch, khi tập luyệnhoạt động này có sự tham gia của các hoạt động khác Nói tới tập luyện hoạt động TDTGnào đó trong khi giải một bài toán là để nhấn mạnh đến hoạt động đó mà thôi

1.3 Dạy học giải bài tập toán

1.3.1 Bài tập toán

Theo định nghĩa chung nhất thuật ngữ “bài tập” dùng để chỉ một hoạt độngnhằm rèn luyện thể chất và tinh thần (trí tuệ): bài tập thể dục, bài tập xướng âm khidùng trong lĩnh vực giáo dục (dạy học), theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sựcần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đíchtrông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay Giải toán tức là tìm ra phương tiệnđó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN19 http://www.lrc.tnu.edu.vn

Nhưng định nghĩa trên mới chỉ dừng lại ở việc giải thích về mặt ngữ nghĩa chứchưa làm rõ khái niệm “bài tập” Theo Nguyễn Ngọc Quang [11], khi xem xét kháiniệm “bài tập” ta không thể tách rời nó với những người làm bài tập Bài tập chỉ cóthể là bài tập khi nó trở thành đối tượng hoạt động của một chủ thể, nghĩa là có mộtngười nào đó có nhu cầu chọn nó làm đối tượng hoạt động, mong muốn giải bài tậptức là có một “người giải”.

Bài tập là một hệ thống thông tin xác định bao gồm hai tập hợp gắn bó chặtchẽ và tác động qua lại với nhau Đó là:

Những điều kiện: tức là tập hợp những dữ kiện xuất phát diễn tả trạng thái banđầu của bài tập, từ đó tìm ra phép giải, theo ngôn ngữ thông dụng thì đó là “cái cho”

Những yêu cầu: là trạng thái mong muốn đạt tới, đó là cái đích mà chủ thểphải hướng tới để thỏa mãn nhu cầu của mình, theo ngôn ngữ thông dụng thì đây là

“cái phải tìm”

Hai tập hợp này tạo thành bài tập, nhưng chúng lại không phù hợp với nhauthậm chí mâu thuẫn với nhau, từ đó xuất hiện nhu cầu phải biến đổi chúng để khắcphục sự không phù hợp hay mâu thuần giữa chúng

Còn người giải, với tư cách là chủ thể của bài tập, cần có hai thành tố: cáchgiải hay còn gọi là phép giải và phương tiện giải hay còn gọi là các thao tác trí tuệ

Như vậy bài tập và người giải trở thành một hệ thống toàn vẹn, thống nhất liên

hệ chặt chẽ và tác động qua lại lẫn nhau

Bài toán: thường đặt ra dưới dạng một yêu cầu, nhiệm vụ đòi hỏi HS phải thựchiện nó dựa trên những tri thức kĩ năng có sẵn Người ta phân biệt bài toán và bài tậpnhư sau:

- Bài toán thường là một vấn đề (chưa có quy tắc, thuật toán để giải)

- Bài tập thường để luyện tập theo những quy tắc, thuật toán đã biết

1.3.2 Chức năng của bài tập toán

Theo Nguyễn Bá Kim [3] ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy các hoạt độngToán học Đối với HS có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt độngToán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện hiệu quả và không thểthay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển TD, hình thành kỹnăng, kỹ xảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn

Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài tập, HSphải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện địnhnghĩa, định lý, quy tắc phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp những hoạtđộng trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt độngngôn ngữ.

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ở thời điểm nào đó trong quá trình dạy họcđều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng các chức năng khác nhau Các chứcnăng đó là: Chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển chức năngkiểm tra

Những chức năng trên hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học

- Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho HS những trithức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năngứng dụng Toán học vào thực tiễn Trong nhiều trường hợp giải toán là một hình thứcrất tốt để dẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức mới Có khi bài tập lại là một định lý

mà vì một lí do nào đó không đưa vào lý thuyết Cho nên qua việc giải bài tập mà HS

mở rộng được tầm hiểu biết của mình

- Với chức năng giáo dục, bài tập hình thành cho HS thế giới quan duy vậtbiện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất người lao động mới qua hoạtđộng toán mà rèn luyện được: Đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc có kếhoạch, kỷ luật, năng suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm, trung thựckhiêm tốn, tiết kiệm, biết được đúng sai trong Toán học và trong thực tiễn

- Với chức năng phát triển, bài tập phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động TD, hình thành những phẩm chất trí tuệ

- Với chức năng kiểm tra, bài tập đánh giá mức độ, kết quả dạy học khả năng độc lập học toán, trình độ phát triển của HS và vận dụng kiến thức đã học

Trong việc lựa chọn bài toán và hướng dẫn HS giải Toán, GV cần phải chú ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mặt của bài toán

Thực tiễn sư phạm cho thấy, GV thường chưa chú ý đến phát huy tác dụnggiáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho HS làm nhiều bài toán Trong quátrình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài tập toán là chưa đủ mà GV

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN21 http://www.lrc.tnu.edu.vn

cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:

+ Lời giải không có sai lầm

HS phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyên nhân sau:

- Sai sót về kiến thức Toán học, tức là hiểu sai định nghĩa, khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,

- Sai sót về phương pháp suy luận

- Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai

+ Lời giải phải có cơ sở lý luận

+ Lời giải phải đầy đủ

+Lời giải đơn giản, tối ưu nhất

Trên thực tế, các chức năng trên không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách biệtnhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức làhàm ý nói đến việc thực hiện chức năng ấy một cách tường minh và công khai

Ví dụ 1.13: Chẳng hạn bài tập:

Giải phương trình sau: sin8 x  cos8 x 2(sin10 x  cos10 x) 54 cos 2x

Ta có:

sin 8 x  cos 8 x  2(sin10 x  cos10 x )  54 cos 2x

 sin 8 x (1  2 sin 2 x )  cos 8 x (2 cos 2 x  1)  54 cos 2x

 sin8 x cos 2x  cos8 x cos 2x  54 cos 2x

 cos 2x(cos8 x  sin8

(Vì ta có :

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Chức năng dạy học: bài tập trên đây nhằm hình thành và củng cố cho HS những kỹ năng sau:

sau: sin16x  2sin14x  2cos18x  cos16x

+ Khả năng khái quát hóa: Có thể đưa ra cách giải bài toán trên trong trường hợp tổng quát: sin n x  cos n x  2(sin n 2x  cos n2x)  0

1.4 Thực trạng rèn luyện tƣ duy thuật giải cho học sinh THPT tỉnh Hà Giang

1.4.1 Đặc điểm tư duy của học sinh THPT tỉnh Hà Giang

Hà Giang là một tỉnh miền núi phía đông bắc Việt Nam có đường biên giớigiáp Trung Quốc, là tỉnh miền núi cao, có địa hình phức tạp gồm 10 huyện, 13 thịtrấn Là một tỉnh miền núi nghèo, khí hậu khắc nghiệt, giao thông chưa phát triển nềnkinh tế tuy đã khởi sắc ít nhiều song mới chỉ tập trung ở những vàng đất mầu mỡ, cácthị trấn, thị xã, ven đường quốc lộ Hà Giang là nơi cư chú của các đồng bào dân tộcthiểu số như: H‟Mông, Tày, Nùng, Dao, Cao Lan, Lô Lô, La Chí, Cờ Lao, Pả Thẻn Nguồn ngân sách chủ yếu do Trung Ương cung cấp và hỗ trợ Do cách xa các trungtâm văn hóa và đô thị nên điều kiện phát triển kinh tế, văn hóa, giáo dục và y tế cònhạn chế Vì vậy để tuyên truyền vận động nhân dân địa phương cho con em đếntrường là rất khó khăn Hiện nay 2/3 số huyện, thị trong tỉnh còn nằm trong diện vùng

3, vùng đặc biệt khó khăn đang được Đảng và Nhà nước hỗ trợ Các cơ sở hạ tầng ởđây chưa được xây dựng, đặc biệt là các cơ sở y tế và giáo dục còn tạm bợ

Cuộc sống gắn bó với thiên nhiên, lao động thủ công là chủ yếu làm nảy sinh

TD cụ thể, cho nên một số dân tộc chưa có nhu cầu, truyền thông khoa học, kỹ thuật

Tâm lý “không có lúa ngô thì đói, không có cái chữ đã chết ai đâu” vẫn tồn tại, ảnh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN23 http://www.lrc.tnu.edu.vn

hưởng xấu đến công tác giáo dục ở Hà Giang Tình trạng HS mù chữ và tái mù chữ làkhá phổ biến Trong chiến lược phát triển giáo dục ở Hà Giang đã cho thấy: Hìnhthức vận động để HS đến trường và duy trì sĩ số HS là một chỉ tiêu, nhiệm vụ quantrọng phải phấn đấu, đã nói lên mức độ khó khăn của công tác giáo dục ở Hà Giang.

Về đặc điểm TD:

TD của HS miền núi nói chung và tỉnh Hà giang nói riêng thường phát triểnchậm hơn rất nhiều so với HS miền xuôi và thành thị Đặc điểm nổi bật trong TD củamột số HS là thói quen lao động trí óc chưa bền, ngại suy nghĩ, ngại động não Tronghọc tập, nhiều em không biết lật đi lật lại vấn đề Nhiều em không hiểu bài nhưngkhông biết mình không hiểu chỗ nào Các em thường có thói quen suy nghĩ một chiều

dễ thừa nhận những điều người khác nói Có thể nói TD của HS miền núi Hà Giangcòn kém nhanh nhậy và linh hoạt, khả năng thay đổi giải pháp chậm, nhiều khi máymóc dập khuôn Các em thường thỏa mãn với những cái sẵn có ít động não đổi mới.Khả năng độc lập TD và óc phê phán còn hạn chế, khả năng TD trực quan - hình ảnhcủa HS tốt hơn khả năng TD trừu tượng - lôgíc

Do sống từ nhỏ trong không gian rộng, tiếp xúc nhiều với nhiên nhiên, nênnhận thức cảm tính của HS miền núi phát triển khá tốt Cảm giác và tri giác của các

em có những nét độc đáo, tuy nhiên còn thiếu toàn diện, cảm tính, mơ hồ, không thấyđược bản chất của sự vật hiện tượng [10, tr 26]

Khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa còn phát triển chậm, thườngquen theo lối TD cụ thể, trong các mối quan hệ đơn lẻ Vốn từ nghèo nàn, hạn chếkhả năng sử dụng tiếng Việt còn thấp, một phần là do các em chưa có điều kiện tốt vàmôi trường học tập thuận lợi Điều này tuyệt nhiên không phái do khả năng trí tuệ củacác em còn thấp

1.4.2 Thực trạng rèn luyện tư duy thuật giải trong dạy học môn Toán nói chung

và dạy học nội dung phương trình lượng giác nói riêng cho học sinh THPT tỉnh

Hà Giang

Phát triển trí tuệ cho HS là một trong những mục tiêu cơ bản của dạy họcToán Trong các hoạt động trí tuệ, việc rèn TDTG cho HS có một ý nghĩa rất quantrọng Với tính phổ dụng và tính hiệu quả của TG, việc rèn luyện năng lực TD này sẽ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN24 http://www.lrc.tnu.edu.vn

giúp cho HS luôn có khát vọng tìm ra một công thức hay một quy trình để có thể giảiđược một lớp bài toán cùng dạng hoặc sẽ thấy tự tin khi đứng trước một bài toán bất

kỳ cùng dạng mà HS đã nắm được “chìa khóa TG” để giải dạng toán đó Điều này sẽgiúp cho các em yêu thích, say mê, hứng thú trong học tập môn toán từ đó đạt kết quảcao trong học tập môn học này

Nhưng thực tế dạy học Toán nói chung và dạy học nội dung PTLG nói riênglâu nay cho thấy, chúng ta chỉ coi trọng đến mục đích truyền thụ tri thức, thường thì

GV đưa ra các định lý, tính chất, công thức rồi giải thích cho HS thông hiểu chứngminh, vận dụng định lý, tính chất, công thức Phương pháp dạy học được sử dụng phổbiến trong nhà trường là phương pháp thuyết trình tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức

áp đặt, dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, trò tiếp thu thụ động Đa số GVchỉ nghĩ đến việc dạy đúng, dạy đủ, dạy nội dung gì chứ chưa nghĩ đến cách dạy nhưthế nào? Phần lớn khi giảng dạy họ coi mọi đối tượng HS là như nhau nên giảng cùngmột nội dung, cùng một phương pháp và tự cho là hoàn thành nhiệm vụ

Với kiểu dạy học như vậy tạo thói quen “Thầy giảng - Trò ghi”, thầy truyền

thụ kiến thức còn trò thụ động tiếp thu kiến thức, điều thầy nói được coi là tuyệt đốiđúng, những gì thầy giảng thường không có sự tranh luận giữa thầy và trò, không có

sự phản hồi, thông tin ngược từ phía HS trong bài giảng Kiểu giảng dạy “một chiều”

như vậy làm giảm hiệu suất tiếp thu kiến thức cũng như hoạt động tự giác, tích cựcsáng tạo của HS, không kiểm soát được việc học

Để điều tra thực trạng dạy học chủ đề PTLG ở trường THPT của tỉnh HàGiang, chúng tôi đã thiết kế và sử dụng các phiếu điều tra theo mẫu (phụ lục 1, 2) đốivới một số GV và HS các lớp 11 thuộc các huyện Quản Bạ và huyện Yên Minh củatỉnh Hà Giang vào tháng 09 năm 2014 Cụ thể:

Cô: Nguyễn Thị Ngọc, Nguyễn Thị Minh Thúy là GV trường THPT Quản Bạhuyện Quản Bạ

Thầy: Hoàng Công Biên, Cô Lưu An Thuyên là GV trường THPT Mậu Duệhuyện Yên Minh

HS lớp 11B3 tổng số 37 HS, HS lớp 11B6 tổng số 37 HS trường THPT Quản

Bạ, huyện Quản Bạ

HS lớp 11B1 tổng số 33 HS, HS lớp 11B2 tổng số 34 HS trường THPT MậuDuệ, huyện Yên Minh.

Qua kết quả điều tra, chúng tôi rút ra một số kết luận ban đầu sau:

Về phía GV:

Nội dung PTLG là một nội dung quan trọng trong chương trình môn ToánTHPT Cấu trúc đề thi Đại học - Cao đẳng đều có nội dung này nên hầu như GV đềuđầu tư nhiều thời gian và tâm huyết khi giảng dạy chủ đề này PTLG là một dạng toánkhá khó đối với HS THPT đặc biệt là với HS vì nó rất đa dạng và không thể cóphương pháp chung nào để giải mọi PTLG Bài tập của phần PTLG rất rộng, phongphú và nằm trong nhiều phần khác nhau của chương trình đại số cũng như hình họccủa chương trình Toán phổ thông nên GV cần đầu tư nhiều thời gian tìm ra các mốiquan hệ giữa các bài tập và tạo ra các lớp bài tập một cách hệ thống, phong phú phùhợp với từng nhóm đối tượng HS

Tuy nhiên do bước đầu tiếp cận với việc giải PTLG nên HS còn chưa hiểu cặn

kẽ về nó, phương pháp giải cũng như cách trình bày nghiệm của PTLG còn là mới

mẻ GV truyền đạt kiến thức còn gặp nhiều khó khăn Các em chỉ quan tâm đếnnhững dạng cơ bản, đơn giản, những bài toán cần biến đổi thì HS ít quan tâm, các emkhông định hướng được cách biến đổi để đưa về phương trình giải được

Bước đầu khi biến đổi được một số PTLG đơn giản HS rất có hứng thú vớimôn học, tuy nhiên GV với cách dạy theo lối truyền thống chưa chú trọng nhiều đếnviệc phát triển TDTG cho HS khi giảng dạy những nội dung phương trình khó hơnphức tạp hơn cho HS với lối TD thụ động đã ăn sâu khá nhiều vào các thế hệ HS nênchưa khơi dậy được tính hiếu kỳ của các em để các em có thể mạnh dạn thử sức vớinhững bài toán khó, kỹ năng biến đổi phức tạp

Công thức lượng giác rất nhiều, khó nhớ các dạng bài tập với nhiều cách giảikhác nhau HS gặp nhiều lúng túng khi nhận dạng phương trình để đưa về dạng cơ bản

đã học Nên GV mất nhiều thời gian cho việc nhắc lại công thức

Thời gian trên lớp là không nhiều, trong quá trình giảng dạy GV cũng đãhướng dẫn thêm cho HS cách tự học, tự nghiên cứu tài liệu Tuy nhiên ý thức tự giáchọc tập của HS chưa cao nên việc tự học, tự nghiên cứu tài liệu còn hạn chế Chủ yếuvẫn là thụ động tiếp thu những kiến thức GV truyền đạt trên lớp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN26 http://www.lrc.tnu.edu.vn

Chương trình học lượng giác được cấu tạo cả trong chương trình cuối lớp 10 vàđầu lớp 11 nên gây nhiều khó khăn cho cả người học và người dạy vì qua một thờigian nghỉ dài làm cho HS đã bị quên đi rất nhiều kiến thức và kĩ năng.

- Thông qua chủ đề PTLG, cần củng cố đào sâu một số kiến thức về tập hợp và

lôgic Toán

- HS có kỹ năng và thành thạo với việc giải PTLG theo TG, theo công thứcđồng thời biết vận dụng linh hoạt những kiến thức về đại số, các phép biến đổiphương trình để giải các loại phương trình không mẫu mực

- Biết nhìn các khái niệm phương trình về cả mặt ngữ nghĩa và cú pháp trong khi giải PTLG