Tài liệu Lý thuyết điều khiển hiện đại_ Chapter4 docx

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững Chương 4 ðIỀU KHIỂN BỀN VỮNG 4.1 Giới thiệu 4.1.1 Khái niệm ñiều khiển bền vững Hệ thống ñiều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm luôn ổn ñị

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

Chương 4

ðIỀU KHIỂN BỀN VỮNG

4.1 Giới thiệu

4.1.1 Khái niệm ñiều khiển bền vững

Hệ thống ñiều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm luôn ổn ñịnh, không phụ thuộc vào sự thay ñổi của ñối tượng cũng như của nhiễu tác ñộng lên hệ thống Mục ñích của ñiều khiển bền vững là thiết kế các bộ ñiều khiển K duy trì ổn ñịnh bền vững không chỉ với mô hình danh ñịnh của ñối tượng (P0) mà còn thỏa với một tập mô hình có sai số ∆ so với mô hình chuẩn (P∆)

P0 :Mô hình chuẩn (mô hình danh

ñịnh)

∆

P :Mô hình thực tế với sai lệch

∆ so với mô hình chuẩn

Hình 4.1 : Mô hình ñiều khiển bền vững

Cho tập mô hình có sai số P∆ và một tập các chỉ tiêu chất lượng, giả sử

P0∈P∆là mô hình danh ñịnh dùng ñể thiết kế bộ ñiều khiển K.Hệ thống hồi tiếp vòng kín ñược gọi là có tính :

- Ổn ñịnh danh ñịnh: nếu K ổn ñịnh nội với mô hình danh ñịnh P0

- Ổn ñịnh bền vững: nếu K ổn ñịnh nội với mọi mô hình thuộc P ∆

- Chất lượng danh ñịnh: nếu các mục tiêu chất lượng ñược thỏa ñối với mô

hình danh ñịnh P0

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

- Chất lượng bền vững: nếu các mục tiêu chất lượng ñược thỏa ñối với mọi

mô hình thuộc P∆

Mục tiêu bài toán ổn ñịnh bền vững là tìm bộ ñiều khiển không chỉ ổn ñịnh

mô hình danh ñịnh P0 mà còn ổn ñịnh một tập các mô hình có sai số P∆

4.1.2 Chuẩn của tín hiệu

4.1.2.1 Khái niệm chuẩn

Trong ñiều khiển nói riêng cũng như trong các công việc có liên quan ñến tín hiệu nói chung,thông thường ta không làm việc chỉ riêng với một tín hiệu hoặc một vài tín hiệu ñiển hình mà ngược lại phải làm việc với một tập gồm rất nhiều các tín hiệu khác nhau Khi phải làm việc với nhiều tín hiệu khác nhau như vậy chắc chắn ta sẽ gặp bài toán so sánh các tín hiệu ñể chọn lọc

ra ñược những tín hiệu phù hợp cho công việc

Các khái niệm như tín hiệu x1(t) tốt hơn tín hiệu x2(t) chỉ thực sự có nghĩa nếu như chúng cùng ñược chiếu theo một tiêu chuẩn so sánh nào ñó Cũng như vậy nếu ta khẳng ñịnh rằng x1(t) lớn hơn x2(t) thì phải chỉ rõ phép so sánh lớn hơn ñó ñược hiểu theo nghĩa nào, x1(t) có giá trị cực ñại lớn hơn ,

có năng lượng lớn hơn hay x1(t) chứa nhiều thông tin hơn x2(t)… Nói một cách khác ,trước khi so sánh x1(t) với x2(t) chúng ta phải gắn cho mỗi một tín hiệu một giá trị ñánh giá tín hiệu theo tiêu chuẩn so sánh ñược lựa chọn

ðịnh nghĩa: Cho một tín hiệu x(t) và một ánh xạ x(t) →||x(t)|| ∈R+ chuyển x(t) thành một số thực dương ||x(t)||.Số thực dương này sẽ ñược gọi là chuẩn của x(t) nếu nó thỏa mãn:

a ||x(t)|| ≥ 0 và ||x(t)|| = 0 khi và chỉ khi x(t) =0 (4.1)

b ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)|| ∀x(t), y(t) (4.2)

c ||ax(t)|| = |a|.||x(t)|| ∀x(t) và ∀a∈R (4.3) 4.1.2.2 Một số chuẩn thường dùng trong ñiều khiển cho một tín hiệu x(t):

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững Bình phương chuẩn bậc hai chính là giá trịño năng lượng của tín hiệu x(t)

p x t dt t

ñây là biên ñộ hay ñỉnh của tín hiệu

Khái niệm chuẩn trong ñịnh nghĩa trên không bị giới hạn là chỉ cho một tín

hiệu x(t) mà còn ñược áp dụng ñược cho cả vector tín hiệu gồm nhiều phần

)(

1

t x

t x

x x

x x

x x

, , 2 , 1

max

=

4.1.2.3 Quan hệ của chuẩn vớ ảnh Fourier và ảnh Laplace:

ðể phục vụ mục ñích sử dụng khái niệm chuẩn vào ñiều khiển ,ta cần quan tâm tới mối liên quan giữa chuẩn tín hiệu x(t) là ||x(t)|| với ảnh Fourier X(jω) cũng nhưảnh Laplace X(s) của nó

Chương 4 : ðiều khiển bền vững

ðịnh lí 4.1: (Parseval) Chuẩn bậc hai của một tín hiệu x(t) và ảnh Fourier

X(jω) của nó có quan hệ :

ωω

dt t x t

2

1

|)(

m m

s a s

a a

s b s

b b s A

s B s

X

+++

+++

)()

(

1 0

1

ðịnh lí 4.2: Xét tín hiệu nhân quả causal x(t) có X(s) dạng (4.12) ðể chuẩn

bậc 1 của x(t) là một số hữu hạn ||x(t)||1= K < ∞thì ñiều kiện cần và ñủ là tất

cả các ñiểm cực của X(s) phải nằm bên trái trục ảo (có phần thực âm)

4.1.3 ðại số ma trận

4.1.3.1 Một số ma trận thường gặp:

- Một ma trận A=(aij) có số hàng bằng số cột ñược gọi là ma trận vuông ðường chéo nối các phần tử aii trong ma trận vuông ñược gọi là ñường chéo chính ðường chéo còn lại ñược gọi là ñường chéo phụ

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

L

MMMM

LL

2 1

2 22

21

1 12

11

(4.13)

- Một ma trận vuông A=(aij) có aij = 0 khi i ≠ j ,tức là các phần tử không nằm trên ñường chéo chính ñều bằng 0, ñược gọi là ma trận ñường chéo Ma trận ñường chéo ñược ký hiệu bởi:

L

MMMM

LL

00

00

00

22 11

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

- Ma trận ñường chéo I = diag(1) =

0

01

0

00

1

L

MMMML

a

a a

a

L

MMMM

LL

2 1

22 21

11

0

00

a

a a

a a

a

L

MMMM

LL

00

1 12

cij = aij + bij i=1,2,… ,m và j=1,2,… ,n

- Phép nhân với số thực: Cho ma trận A=(aij) có m hàng và n cột và một số

vô hướng thực(phức) x tùy ý Tích B = xA = Ax = (bij) ñược hiểu là ma trận cũng có m hàng và n cột với các phần tử

Bij = x.aij i=1,2,….m và j=1,2,… ,n

- Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị của ma trận A=(aij) với m hàng và n cột

là ma trận AT = (aji) có n hàng và m cột ñược tạo từ ma trận A qua việc hoán chuyển hàng thành cột và ngược lại cột thành hàng

- Phép nhân ma trận: Cho ma trận A=(aik) có m hàng và p cột và ma trận B=(b ) có p hàng và n cột ,tức là :

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

+ A=(aik) i=1,2, ,m và k=1,2,….,p

+ B=(bkj) k=1,2,….,p và j=1,2,… ,n

Tích AB = C =(cij) của chúng là một ma trận có m hàng và n cột với các phần tử

Xét một ma trận A=(aij) bất kì có m hàng và n cột Nếu trong số m vector hàng có nhiều nhất p ≤ m vector ñộc lập tuyến tính và trong số n vector cột

có nhiều nhất q ≤ n vector ñộc lập tuyến tính thì hạng ma trận ñươc hiểu là:

Rank(A) = min{p,q}

Một ma trận vuông A kiểu (n×n) sẽ ñược gọi là không suy biến nếu Rank(A)=n Ngược lại nếu Rank(A) <n thì A ñược nói là ma trận suy biến Hạng ma trận có các tính chất sau:

- Nếu B không suy biến thì rank(AB) = rank(B) (4.20) 4.1.3.4 Ma trận nghịch ñảo:

Cho ma trận A=(aij),i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n,trong ñó aij là những số thực (hoặc phức),nói cách khác A ∈ Rm×n(hoặc A ∈ Cm×n ).Nếu tồn tại một ma trận B thỏa mãn :

Thì ma trận B ñược gọi là ma trận nghịch ñảo của A và ký hiệu là B = A-1

Chương 4 : ðiều khiển bền vững

Do phải tồn tại cả hai phép nhân AA-1 và A-1A cho ra kết quả có cùng kiểu nên ma trận A phải là một ma trận vuông,tức là phải có m = n.Hơn nữa do det(I) = 1 ≠ 0 nên:

det(A)det(A-1) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A-1) ≠ 0 (4.22) Vậy A phải là ma trận không suy biến

Ma trận nghịch ñảo A-1 của A có tính chất sau:

- Ma trận nghịch ñảo A-1 của A là duy nhất (4.23)

- Tập hợp tất cả các ma trận vuông cùng kiểu và không suy biến cùng với phép nhân ma trận tạo thành một nhóm (không giao hoán) (4.24)

b d A d

c

b a A

)det(

2 1

A A

A A

không suy biến,trong ñó A1,A2,A3,A4cũng là các ma trận

Nếu A1 không suy biến và B = A4 – A3A1-1A2 cũng không suy biến thì

1 3 1

1 2

1 1

1 1 3

1 2 1 1 1 1

4 3

2 1 1

B A

A B

B A A A

A B A A A A

A

A A

Chương 4 : ðiều khiển bền vững Nếu A4 không suy biến và C = A1 – A2A4-1A3 cũng không suy biến thì

1 3

1 4

1 4

1 3

1 4

1 4 2 1 1

1

4 3

2 1 1

A A C A A A AC A A

A A C C

A A

A A

4.1.3.5 Vết của ma trận:

Cho ma trận vuông A=(aij) ,i,j=1,2,……,n kiểu (nxn).Vết của A ñược hiểu

là tổng giá trị các phần tử trên ñường chéo chính của A và ñược ký hiệu bằng trace(A):

trace=∑

=

m

i ii

Giá trị riêng và vector riêng của ma trận A có những tính chất sau:

a Hai ma trận tương ñương A và S-1AS luôn cùng giá trị riêng, nói cách khác giá trị riêng của ma trận bất biến với phép biến ñổi tương ñương:

b Các giá trị riêng của ma trận bất biến với phép chuyển vị, tức là:

Chương 4 : ðiều khiển bền vững

x X F

A

1 1

- Chuẩn 2 của ma trận A

)(

1 1

- Chuẩn Euclide của ma trận A (chuẩn Frobenius)

)(

2

A A trace a

i j ij

A là ma trận chuyển vị và lấy liên hiệp ( * )

A A

i

λ là trị riêng của ma

trận A*A là một số thực không âm

4.1.4 Trị suy biến của ma trận – ñộ lợi chính(Principal gain)

Trị suy biến của ma trận A(m x l) ñược ký hiệu là σi (A) ñược ñịnh nghĩa như sau:

k i

A A

( ≤ω <∞ , thì trị suy biến của A(jω) là một hàm của ω và ñược gọi là

ñộ lợi chính của A(s) Ở ñây chúng ta giả sử rằng σi ñược sắp xếp theo thứ

tự sao cho σi ≥σi+1 Như vậy, σ1 là trị suy biến lớn nhất và σk là trị suy biến nhỏ nhất Ký hiệu σ là trị suy biến lớn nhất và σ là trị suy biến nhỏ nhất

Ta có:

)(max)(max)

A A A

ðộ lợi của hệ ña biến nằm giữa ñộ lợi chính lớn nhất và nhỏ nhất

Trong Matlab tìm trị suy biến của ma trận A dùng lệnh svd(A)

Ví dụ: Cho ma trận A:

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

98121

* A

A

06005

250

2

=+

λ

082.98125

)

σ

1883.5918

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

Re 0

1

PM

Xác ñịnh ñộ dữ trữ pha của hệ ña biến

Re Im

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

ðiều kiện ổn ñịnh nội chặt hơn ñiều kiện ổn ñịnh dựa trên hàm truyền

vào-ra thông thường, vì nó tránh việc khử các cực và zero không ổn ñịnh giữa các khâu liên tiếp nhau Khi thành lập hàm truyền vào-ra, có thể xảy ra hiện tượng khử cực và zero không ổn ñịnh của các khâu liên tiếp nhau Như vậy, ñiều kiện ổn ñịnh nội bảo ñảm các tín hiệu bên trong hệ thống ñều hữu hạn khi tín hiệu vào là hữu hạn

Ví dụ, ta khảo sát ñiều kiện ổn ñịnh nội của hệ thống hình 4.2:

2

1 1

1 2

2 1

2 1 2 2

2

1 1

1 1

1 2

1 2 1 1

)(

)(

)(

)(

w GK I Gw GK I e

GKe Gw

w Ge w

e

Kw KG I w KG I e

KGe Kw

w Ke w

−

=

⇒

++

=+

=

−+

−

=

⇒

++

=+

+ +

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

4.1.6 ðịnh lý ñộ lợi nhỏ (Small Gain Theorem)

Cho hệ thống ñược biểu diễn như hình 4.3:Gọi λi là trị riêng của G

Hình 4.3 : Hệ thống hồi tiếp vòng kín

ðịnh lý ñộ lợi nhỏ ñược phát biểu như sau:

Giả thiết rằng G(s) ổn ñịnh, ρ(G(jω)) là bán kính phổ của G(jω) Hệ thống vòng kín ổn ñịnh nếu ρ(G(jω))=max( )λi <1, hoặc G j( )ω ∞ < ∀ 1, ω

ðối với hệ SISO thì

1)())(

ðịnh lý ñộ lợi nhỏ chỉ là ñiều kiện ñủ ñể xét ổn ñịnh của hệ thống ðiểm mạnh của ñịnh lí này là nó không yêu cầu những thông tin chi tiết về hệ thống.Vì vậy nó không chỉ ứng dụng ñược cho hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian mà còn ứng dụng ñược cho hệ thống phi tuyến, thay ñổi theo thời gian

4.1.7 Ổn ñịnh bền vững

4.1.7.1 ðịnh lý ổn ñịnh bền vững

ðây là mô hình cơ bản dùng ñể phân tích tính ổn ñịnh bền vững của một hệ

thống Nếu hệ danh ñịnh ổn ñịnh thì M ổn ñịnh và ∆ là sai số có thể làm cho hệ thống mất ổn ñịnh ðịnh lý sau thiết lập ñiều kiện của M ñể cho hệ

thống vẫn ổn ñịnh dưới ảnh hưởng của ∆

G

-

u

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

K

v

-

G +

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

)()()

(

s G s K I

s s K s

)()(

<

I

s s

w

M

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

vậy

)()(

)()()(

s K s G I

s s K s G

)()()

z

t v t Cx t

y

t w t Bu t Ax t

=

)()

(

)()()

(

)()()()

&

Ngõ ra y là ngõ ra hồi tiếp và ño ñược Ngõ ra z là ñiều khiển ñược Tín

hiệu nhiễu w là nhiễu hệ thống và v là nhiễu ño

Tín hiệu v và w là những quá trình nhiễu trắng Trạng thái ban ñầu của x(0)

ñược giả sử là một vector ngẫu nhiên

Biến trạng thái x(t)∈Rn, ngõ ra ño ñược y(t)∈Rp và ngõ ra ñiều khiển ñược z(t)∈Rm là những quá trình ngẫu nhiên Biểu thức sai số toàn phương:

0)

()()()

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

ðây là vấn ñề ñiều khiển tuyến tính nhiễu loạn Khoảng thời gian [0 T] là xác ñịnh nhưng thật sự chúng ta xem xét trường hợp T→∞ Tại bất kỳ thời gian t toàn bộ tín hiệu ño ñược ở quá khứ ñược giả sử có giá trị cho hồi tiếp Hình (4.7) làm rõ trường hợp này :

Hình 4.7 : Hồi tiếp LQG 4.2.2 Bộ quan sát

R t t x C t y L t Bu t x A t

Tín hiệu x ˆ t( )là một ước lượng của trạng thái x(t) Nó thỏa mãn phương trình vi phân trạng thái của hệ thống (4.70) với thành phần thêm vào

L[y(t)−C x(t)] L là ma trận ñộ lợi quan sát cần ñược lựa chọn phù hợp Sai

số quan sát y(t)−C x ˆ t( ) là sự khác nhau giữa ngõ ra ño ñược thực tế y(t) và

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

ngõ ra y(t)=C x(t).Thành phần thêm vào L[y(t)−C x(t)]cung cấp một sự ñiều chỉnh chủ ñộng ngay khi sai số của sự quan sát là khác 0

Hình 4.8 : Cấu trúc của một bộ quan sát

Hình (4.8) cho thấy cấu trúc của bộ quan sát ðịnh nghĩa :

)()()

Trạng thái ước lượng hội tụ về trạng thái thực

Trong Matlab dùng hai lệnh acker và place ñể tính ma trận L của khâu

L

yˆ

y z

xˆ

u

+-

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

4.2.3 Bộ lọc Kalman

4.2.3.1 ðặt vấn ñề:

Bộ lọc Kalman là một bộ quan sát ñược sử dụng cho các ứng dụng yêu cầu xây dựng lại hệ phương trình trạng thái khi tính ñến ảnh hưởng của nhiễu ño ñược

Phương trình trạng thái của ñối tượng :

Hình 4.9 : Bộ quan sát trạng thái của Kalman

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

Gọi x ˆ t( ) là ước lượng của x

Phương trình trạng thái của khâu lọc Kalman :

Sai số ước lượng: ~x(t)=x(t)−x(t) (4.78)

ðộ lợi L sẽ ñược chọn sao cho giá trị trung bình của sai số ước lượng toàn phương là bé nhất

4.2.3.2 Cơ sở toán học:

Lý thuyết xác suất:

Từ phương trình (4.75) ñược thêm vào bởi nhiễu quá trình, trạng thái x(t) bây giờ cũng là một quá trình ngẫu nhiên như là y(t) ðể khảo sát những ñặc tính thông thường của quá trình ngẫu nhiên cần nhắc lại một số khái niệm lý thuyết xác suất (Papoulis 1984) Mặc dù w(t) và v(t) là những ñại lượng ngẫu nhiên không biết ñược, nhưng cần biết một vài ñặc ñiểm ñể hỗ trợ việc thiết kế các bộ ñiều khiển Chẳng hạn như có thể biết ñược giá trị trung bình hoặc tổng năng lượng của chúng

Cho vector ngẫu nhiên z∈Rn ,fz(ξ ) là hàm mật ñộ xác suất (PDF) của z ðại lượng PDF ñặc trưng cho xác suất mà z lấy giá trị bên trong vùng vi phân dξ ñặt giữa ξ

Giá trị mong muốn của hàm g(z) của vector ngẫu nhiên ñược xác ñịnh như sau :

E{g (z)} = ∫∞

∞

−)(ξ

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

Hiệp phương sai của z ñược cho bởi

z z z

1

z n

Π

ñược minh họa ở hình 4.10 Vì vậy những vector ngẫu nhiên lấy giá trị gần

với z có xác suất lớn nhất và xác suất sẽ giảm khi lấy giá trị xa z Nhiều

biến ngẫu nhiên là Gaussian

Nếu vector ngẫu nhiên là một hàm của thời gian ñược gọi là một quá trình

ngẫu nhiên ñược tượng trưng là z(t) Khi ñó PDF có thể thay ñổi theo thời

gian và chúng ta viết là ƒz(ξ ,t) ðiều ñó có thể tưởng tượng rằng PDF ở

hình 4.10 thay ñổi theo thời gian Trong tình huống này, giá trị mong ñợi và

ma trận hiệp phương sai là những hàm thời gian vì thế chúng có thể biểu

diễn z (t) và P z(t)

Hình 4.10 : Gaussian PDF

Z

f z(ξ)

Ch ương 4 : điều khiển bền vững

Nhiều quá trình ngẫu nhiên z(t) quan trọng có PDF bất biến theo thời gian

đó là những quá trình tĩnh, thậm chắ chúng là hàm thời gian ngẫu nhiên vẫn

có trị trung bình và hiệp phương sai là hằng số

đặc trưng cho liên hệ giữa hai quá trình ngẫu nhiên z(t) và x(t), có thể sử

dụng PDF kết hợp Ặzx(ς,ξ,t1,t2), tượng trưng cho xác xuất mà (z(t1), x(t2))

ở trong vùng vi phân dς ừ dξ ở giữa ( ξς, ) Giả sử rằng các quá trình z(t)

và x(t) là liên kết tĩnh , PDF kết hợp không là hàm của cả hai thời gian t1 và

t2nhưng nó chỉ dựa vào sai biệt (t1-t2)

Trong nhiều trường hợp tĩnh, giá trị mong muốn của hàm hai biến g(z,x)

z (4.86) Xem như z(t1) và z(t2) như là hai quá trình ngẫu nhiên của quá trình tĩnh,

hàm tự tương quan z(t) ựược xác ựịnh như sau:

Hàm tự tương quan ựem ựến cho ta vài thông tin quan trọng về quá trình

ngẫu nhiên z(t) Thắ dụ như :

trace[R z(0)]=trace[E{z(t)z T(t)} ]=E{z (t)} (4.88)

tương ựương với tổng năng lượng của quá trình z(t)

Nếu

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

z(t) và x(t) ñược gọi là trực giao với nhau

Nếu

Rz(τ )=Pδ(τ) (4.90) trong ñó P là ma trận hằng và δ (t) là xung Dirac, thì z(t) là trực giao với

z(t +τ ) với các giá trị τ ≠ 0 ðiều này có nghĩa là giá trị của quá trình z(t)

tại thời ñiểm t không có sự liên hệ với giá trị tại các thời ñiểm ≠τ t Vì vậy

z(t) ñược gọi là nhiễu trắng Ví dụ như nhiễu nhiệt ở mạch ñiện nguyên

nhân vì sự chuyển ñộng nhiệt ở các electron ở ñiện trở

Chú ý rằng Pδ(0) là hiệp phương sai của z(t) P ñược gọi là ma trận mật ñộ

phổ.Thỉnh thoảng nó cũng ñược xem như là ma trận hiệp phương sai

4.2.2.3 Thiết kế bộ lọc Kalman:

Giả sử x(0) có thể ñược thay thế bằng các ñại lượng biết trước x0 (giá trị

trung bình của x(0)) và hiệp phương sai P0 , có thể biểu diễn như sau :

Như vậy không thể giả sử w(t) và v(t) có trị trung bình bằng 0 ñược Giả sử

rằng nhiễu quá trình và nhiễu ño là nhiễu trắng, do vậy:

Rw(τ )=E{w(t+τ)w T(t)}=Wδ(τ) (4.92)

Rv (τ )=E{v(t+τ)v T(t)}=Vδ(τ) (4.93)

Ma trận mật ñộ phổ W và V sẽ ñược giả sử ñã biết trước.Theo tính chất của

hàm tự tương quan, W và V là bán xác ñịnh dương Giả sử thêm rằng V là

không suy biến.Tóm lại, có thể giả sử rằng :

v(t) ≈ (0,V), V>0 (4.95)

Việc giả sử w(t) và v(t) là nhiễu trắng trong một vài ứng dụng có thể là xấu

Thí dụ như nhiễu ở tần số thấp Tuy nhiên, giả sử rằng w(t) không là nhiễu

trắng, có thể xác ñịnh ñược một hệ thống:

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

.

0

x& =Awxw+Bwn (4.96)

w=Cw x w+Dw n (4.97)

có nhiễu trắng ngõ vào là n(t) và ngõ ra là w(t) Chúng ñược gọi là các bộ

lọc nắn nhiễu Những ñặc tính ñộng này có thể kết hợp với phương trình

của ñối tượng (4.75), (4.76) ñể có ñược ñặc tính ñộng ñược hiệu chỉnh là:

n B

D u B x

x A

C A x

x

w w w

w w w

Hệ thống ñiều chỉnh này có nhiễu quá trình n(t) là nhiễu trắng Một thủ tục

tương tự có thể làm theo các bước như thế nếu v(t) không phải là nhiễu

trắng Do ñó, có thể mô tả một hệ thống với nhiễu không phải nhiễu trắng

dưới dạng một hệ thống ñiều chỉnh với nhiễu quá trình và nhiễu ño lường là

nhiễu trắng

Xác ñịnh hệ thống (4.96), (4.97) miêu tả nhiễu không phải là nhiễu trắng

w(t) (hoặc v(t)) dựa trên phân tích mật ñộ phổ của nhiễu w(t) Chi tiết xem

Lewis (1986 )

Bây giờ thiết kế bộ ước lượng cho hệ thống (4.75), (4.76) dưới những giả sử

ñã ñược liệt kê Cho bộ quan sát có dạng như sau:

xˆ&= A xˆ+Bu+L(y− y) (4.100)

hoặc xˆ&=(A−LC xˆ+Bu+Ly (4.101)

Hàm thời gian xˆ (t) là ước lượng trạng thái và

là ước lượng của ngõ ra y(t)

ðộ lợi của bộ ước lượng L phải ñược chọn ñể cung cấp ước lượng tối ưu

trong sự hiện diện của nhiễu w(t) và v(t) ðể chọn L, chúng ta sẽ phải xác

ñịnh sai số ước lượng:

Chương 4 : ðiều khiển bền vững

Sử dụng( 4.75) và (4.100) sai số hệ thống là :

x&~ =(A-LC)x~+ γ w-Lv

chú ý rằng sai số hệ thống xảy ra khi có sự tham gia của nhiễu quá trình và

nhiễu ño lường Ngõ ra của sai số hệ thống có thể ñược cho bởi ỹ=y- yˆ ñể:

thay ñổi theo thời gian Do ñó, x~(t) là quá trình ngẫu nhiên không tĩnh

Hiệp phương sai của sai số là thước ño sự không chắc chắn trong ước lượng Những giá trị càng nhỏ cho P(t) ñồng nghĩa với việc ước luợng càng tốt hơn

vì những sai số ñược phân bố càng gần với trị trung bình bằng 0 nếu P(t) là nhỏ hơn

Nếu bộ quan sát là ổn ñịnh tiệm cận và w(t) và v(t) là quá trình tĩnh khi ñó sai số x~(t) sẽ thực sự tiến ñến trạng thái ổn ñịnh với trị trung bình và hiệp

phương sai là hằng số ðộ lợi L sẽ ñược chọn lựa ñể làm tối thiểu hiệp phương sai cũa sai số P Vì vậy, ñộ lợi tối ưu L sẽ là ma trận hằng của ñộ lợi

E{ }~x =E{ }x −E{ }xˆ =E{ }x −xˆ (4.109) Theo trừơng hợp này ước lượng xˆ(t) tiến tới E{x(t)} Như vậy ước lượng này ñược cho là không lệch Cũng như theo (4.109), giá trị trung bình của

Chương 4 : ðiều khiển bền vững

sai số ban ñầu ~x(0) bằng với giá trị zero nếu như bộ quan sát (4.101) có giá

trị ñầu xˆ(0)=x0 với x0 là giá trị trung bình của x(0)

Nếu như nhiễu quá trình w(t) hoặc nhiễu ño ñược v(t) có giá trị trung bình

không phải là zero thì theo (4.107) giá trị E{ }x~ của trạng thái tĩnh cũng

không bằng zero Trong trường hợp này xˆ(t) không ñến ñược ổn ñịnh tiệm

cận ñể ñạt ñược trạng thái thật x(t), nhưng có ñược một khoảng offset bằng

giá trị hằng- E{ }x~ Khi ñó trạng thái ước lượng là bị lệch

ðể xác ñịnh P, chú ý rằng lời giải phương trình (4.104) ñược cho :

Chú ý rằng

Nhưng tích phân (4.111) có giá trị giới hạn trên là t Xung ñơn vị có thể

ñược biểu hiện như sau

t T

(

)()

R w~x(t,t)= T

Wγ2

1

(4.116)

Phương trình ñạo hàm cho P(t)=E{ }T

x x~

P LC A x

dt

x

d

γγ2

12

1)(

~

~

++

T

W LVL PA

P A

Cho bất kì L ñể (A-LC) là ổn ñịnh ,chúng ta giải (4.120) tìm P(t) sử dụng

ñiều kiện ñầu là P(0)=P0 với P0 là hiệp phương sai của trạng thái ñầu mà

nó tượng trưng cho tính không chắc chắn trong ước lượng ñầu x(0)=x0

Thực sự những ñộ lợi cho kết quả P(t) càng nhỏ thì càng tốt vì sai số x~ (t)

càng gần với trị trung bình bằng 0.Do ñó P(t) là thước ño chất lượng của bộ

quan sát và ma trận hiệp phương sai càng nhỏ thì bộ quan sát càng tốt hơn Chúng ta nói rằng P là thước ño sự không chắc chắn trong ước lượng P(t) tiến tới giá trị trạng thái bền vững P khi t→∞ ngay khi A0 là ổn ñịnh

tiệm cận.Tại trạng thái bền vững thì P&=0, (4.120) trở thành phương trình

ñại số

W LVL PA

P

Chương 4 : ðiều khiển bền vững

Hiệp phương sai của sai số trạng thái bền vững là ma trận bán xác ñịnh

dương ñược xác ñịnh từ (4.121) ðểñộ l i của bộ quan sát là hằng số, có thể

chọn lựa L ñể làm tối thiểu hoá hiệp phương sai của sai số P trạng thái bền

1

gS trace P

ðể làm tối thiểu hoá J và thoả mãn g=0, ñiều này có thể làm tương ñương là

tối thiểu H nhưng không cần ñiều kiện nào ðiều kiện cần thiết ñể tối thiểu

hóa ñược cho bởi

∂

W LVL PA

P A S

V PC A P P C V

PC

Chương 4 : ðiều khiển bền vững

hoặc AP+PAT+γ Wγ T-PCT V CP− 1 = 0 (4.130)

ðể xác ñịnh ñộ lợi bộ quan sát tối ưu L, chúng ta có thể giải phương trình (4.130) tìm hiệp phương sai của sai số P và sau ñó sử dụng (4.128) ñể tính toán L Phương trình ma trận toàn phương (4.130) ñược gọi là phương trình Riccati ñại số Có nhiều cách giải (4.130) ñể tìm P.ðộ lợi tố ưu L xác ñịnh

nhờ sử dụng (4.128) gọi là ñộ l i Kalman và bộ quan sát ñược xây dựng gọi

là bộ lọc Kalman Trạng thái bền vững ởñây chỉ ñến một sự thật rằng mặc

dù ñộ lợi tối uu làm tối thiểu hoá P(t) là biến ñổi theo thời gian, chúng ta ñã

chọn lựa ñộ lợi tối ưu mà nó làm tổi thiểu sai số tương quan trạng thái bền

vững ñểñạt ñược ñộ lợi quan sát là hằng số

Bộ lọc Kalman với trạng thái bền vững là bộ ước lượng tốt nhất với các ñộ

lợi là hằng số Nếu như nhiễu quá trình w(t) và nhiễu ño ñược v(t) là nhiễu Gaussian nó cũng là bộước luợng trạng thái bền vững tối ưu cho bất kì hình

thức nào

Ước lượng ngõ ra:

~y(t)= y(t)− y(t)= y(t)−C x(t) (4.131)

Giả sử (C,A) là có thể quan sát ñược và (A,γ W ) là có thể tìm ñược Khi

ñó ARE tìm ñược ma trận xác ñịnh dương duy nhất P Hơn nữa,sai số hệ

thống (4.104) sử dụng ñộ lợi kalman cho bởi (4.128) với P là ma trận xác

ñịnh dương duy nhất của ARE là ổn ñịnh tiệm cận

Một cách chắc rằng nhiễu hệ thống sẽ giảm.Tuy nhiên vị trí thực sự rất xa

tạp ñược biết ñến như bộ lọc Deyst ñược sử dụng ñể giải quyết vấn ñề này

Hơn nữa giả sử rằng (A, γ W)tìm ñược có nghĩa là nhiễu quá trình kích thích tất cả các trạng thái

Trong Matlab sử dụng lệnh Kalman tính khâu lọc Kalman liên tục từ mô hình sys của ñối tượng:

Kết quả tính kest :chính là mô hình trạng thái của khâu lọc Kalman

Ma trận L :ma trận bộ lọc Kalman phản hồi sai lệch quan sát

P :là ma trận hiệp phương sai của sai lệch tĩnh

4.2.4 Giải thuật thiết kế LQG

Bộ ñiều chỉnh toàn phương tuyến tính (LQR) và bộ lọc Kalman cùng ñược

sử dụng với nhau ñể thiết kế bộ ñiều chỉnh ñộng Thủ tục này ñược gọi là thiết kế bộ tuyến tính toàn phương Gaussian (LQG) ðiều thuận lợi quan trọng của việc thiết kế LQG là cấu trúc của bộ hiệu chỉnh ñược cho bởi thủ tục mà không cần phải biết trước ðiều này làm cho việc thiết kế các bộ LQG rất có ích trong ñiều khiển các hệ thống hiện ñại phức tạp (ví dụ như ñiều khiển không gian và hàng không ) khi cấu trúc bộ hiệu chỉnh không

biết trước ñược

Ch ương 4 : điều khiển bền vững

Giả sử phương trình ựo lường ngõ ra ựược cho bởi

với x(t)∈Rn , u(t) là bộ ựiều khiển ngõ vào, w(t) là nhiễu quá trình, và v(t) là

nhiễu ựo Giả sử phương trình hồi tiếp trạng thái ựầy ựủ

ựã ựược thiết kế, với r(t) là ngõ vào chuẩn độ lợi trạng thái hồi tiếp là K

ựược chọn bởi một số kỹ thuật chẳng hạn như kỹ thuật LQR Nếu phương

trình ựiều khiển (4.140) ựược thay vào (4.138) thì hệ thống ựiều khiển

vòng kắn ựược tìm thấy như sau:

w Br x BK A

x&=( − ) + +γ (4.141) Thiết kế hồi tiếp trạng thái ựầy ựủ rất ựược quan tâm nếu các ựiều kiện

ựược giữ ổn ựịnh thì hệ thống vòng kắn ựảm bảo sẽ ổn ựịnh.Hơn nữa,sử

dụng hồi tiếp trạng thái tất cả các nghiệm cực của phương trình (A-BK) có

thể ựặt tuỳ ý như mong muốn Kết quả các phương trình thiết kế của hồi tiếp

trạng thái ựơn giản hơn phương trình cho hồi tiếp ngõ ra Tuy nhiên luật

ựiều khiển (4.140) không thể thực hiện khi tất cả các trạng thái không thể ựo

ựược

Giả sử bộ quan sát hoặc bộ lọc Kalman

ựã ựược thiết kế đó là ựộ lợi L của bộ lọc ựược tìm ra bằng những kĩ thuật

ựã thảo luận nhằm cung cấp các ước lượng trạng thái Khi ựó tất cả các

trạng thái không thể ựo và ựiều khiển (4.140) không thể thực hiện trong thực

tế, giả sử rằng ước lượng hồi tiếp x Ẽ t( ) thay thế các trạng thái thực x(t), luật

ựiều khiển hồi tiếp là

Nếu K ựược chọn sử dụng phương trình Riccati LQR và L ựược chọn bởi

sử dụng bộ lọc Kalman Thủ tục này ựược gọi là thiết kế LQG

điều quan trọng của các kết quả này là trạng thái hồi tiếp của K và ựộ lợi

của bộ quan sát L có thể ựược thiết kế riêng biệt

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

4.2.5 Ví dụ:

Mô hình con lắc ngược (xem ví dụ 1.8 ở chương 1)

Chúng ta sẽ viết chương trình mô phỏng ñặc tính ñộng của ñối tượng

Chúng ta thấy rằng hệ con lắc ngược là hệ phi tuyến, ñể có thể ñiều khiển hệ con lắc ngược bằng phương pháp LQG chúng ta cần tuyến tính hóa mô hình

hệ thống Giả sử góc θ nhỏ ñể có thể xấp xỉ sinθ bằng 0,cosθ bằng 1 và cũng giả sử θ nhỏ ñể 0

2

≈

•θ

θ Với các ñiều kiện trên,chúng ta có thể tuyến tình hoá các phương trình phi tuyến:

θθ

θ

mg ml

x

m

u ml x m

M

=+

=++

x x x x

4 3 2

1θ

gx Ml

m x

x x

u Ml

gx Ml

m M x

x x

11

1 4

4 3

1 2

2 1

x x x

g M m

g Ml

m M

10

000

1000

000

0010

4 3 2 1

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

Phương trình ở ngõ ra,chúng ta giả sử hai trường hợp:

1000

0100

0010

0001

x x x x

0100

0001

x x x x

x x x

00098

0

1000

00078

10

0010

4 3 2 1

Nếu không có ñường phản hồi qua L thì x~ không tiệm cận về x ñược vì

vậy L ñược chọn sao cho ~x
x

Bộ quan sát ñược thiết kế theo giả thuyết

V E

T T

ωωνν

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

ˆ&

Hình 4.12 Bộ lọc Kalman

νγω

νγω

νγω

L x

LC

A

x

x C L x

A

x

x C Cx

L x

A x

x

x

x

−+

=

⇒

−+

−+

~

)

~(

~

~

)(

Bu x x

+ +

=

+ + Α

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

Bộ ñiều khiển LQG (Linear Quadratic Gaussian):

Trong bộ ñiều khiển LQ ta hồi tiếp trạng thái tuy nhiên trong thực tế nhiều khi ta phải quan sát ñể lấy ñược biến trạng thái ước lượng (do không ño ñược) và hồi tiếp trạng thái ước lượng => LQG

Hình 4.13: Bộ ñiều khiển LQG

ðiều khiển LQG là kết hợp ñiều khiển LQR với lọc Kalman

Bước 1:Thiết kế ñiều khiển LQR=>KC

Bước 2:Thiết kế bộ lọc Kalman =>L

4.3 ðiều khiển bền vững H∞

4.3.1 Biểu ðồ Bode ða Biến (Multivariable Bode Plot)

Biên ñộ của ma trận hàm truyền toàn phương H(jω) tại bất kỳ một tần số

++

-

B

K c

Cx y

Bu Ax x

=

+ +

=

•

γω

-Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

trận hàm truyền H( jω) ñược bao phía trên bởi giá trị suy biến cực ñại, kí hiệu σ(H(jω)), phía dưới bởi giá trị suy biến cực tiểu của nó, kí hiệu

Ví dụ: Biểu ðồ Bode Biên ðộ Hệ MIMO:

Giả sử hệ thống ña biến:

(4.155)

Cx x

0001

,

có hàm truyền hệ MIMO 2 ×2 là:

)()()

()

s D s N B A sI C s

++

++

07315

0

0795

0

071

0

01)

s s

s s

Hàm H(s) là ma trận 2 ×2, nó có hai giá trị suy biến Chú ý rằng giá trị suy biến là liên tục, ngọai trừ gía trị suy biến cực ñại và cực tiểu Những giá trị suy biến có thể giao nhau , ñược minh chứng bằng hình học

Bu Ax u x

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững Trong Malab dùng hàm sigma(H)

615.3)(

0163.0(

8.14)

(

11

++

+

=

s s

2.20)(

615.3)(

1)(

0163.0(

]49.2)55.0)[(

237.2(9.36)

2 2

12

++

++

++

++

+

−

=

s s

s s s

s s

s s

]063.3)4225.0)[(

2.20)(

615.3)(

0163.0(

)283.2)(

573.2(65.2)

21

++

++

+

−+

−

=

s s

s s

s

s s

s s

H

]063.3)4225.0)[(

2.20)(

615.3)(

1)(

0163.0(

]446.0)139.0[(

79.0)

2 2

22

++

++

++

++

−

=

s s

s s s

s s

Hình 4.15: Biểu ñồ Bode Biên ðộ hệ thống SISO

Mặc khác, hình 4.16 là các giá trị trị suy biến của hệ ña biến Chú ý rằng, theo ñồ thị này không thể dễ dàng bằng trực quan tức thời nhận thấy cách liên kết ñồ thị của hệ SISO ở hình 4.15 Những ñường bao bảo ñảm sự bền

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

hệ MIMO không có thể hòan tòan mô tả ñúng những biểu ñồ Bode của hệ SISO riêng biệt

Hình 4.16:Các giá trị trị suy biến của hệ thống

4.3.2 Hàm nhạy và hàm bù nhạy

Khảo sát ñặc tính của hệ thống hồi tiếp ñiển hình, từ ñó ñưa ra ý tưởng thiết

kế thỏa hiệp giữa mục tiêu chất lượng và ñiều khiển bền vững nhằm thỏa mãn các yêu cầu thiết kế

Xét hệ thống hồi tiếp âm như hình 4.17, trong ñó d i là nhiễu ñầu vào, d là nhiễu ñầu ra, n là nhiễu ño

Hình 4.17: Sơ ñồ hệ thống hồi tiếp âm

Ch ương 4 : ðiều khiển bền vững

Lưu ý: ðể liên hệ với phần lý thuyết ñiều khiển kinh ñiển, trong mục này ta phân tích sơ ñồ ñiều khiển hồi tiếp âm, với bộ ñiều khiển là Kˆ(Kˆ= -K ở mô hình hồi tiếp dương)

Các quan hệ truyền ñạt của hệ thống vòng kín ñược thể hiện qua các biểu thức sau:

K G

d K G

G n

K G

K G r K G

K G

i 1 ˆ

1ˆ

1ˆ1

ˆˆ

1

ˆ

+

++

++

−+

K G

K d

K G

K G n K G

K r

K G

K

i 1 ˆ

ˆˆ

1

ˆˆ

1

ˆˆ

1

ˆ

+

−+

−+

−+

G

K G

K d

K G

n K G

K r

K G

K

i 1 ˆ

ˆˆ

1

1ˆ

1

ˆˆ

1

ˆ

+

−+

++

−+

K G

d K G

G n K G

r K

1ˆ

1ˆ1

1ˆ

1

1

+

−+

−+

−+

ðịnh nghĩa các hàm nhạy, hàm bù nhạy và ñộ lợi vòng như sau:

- Hàm nhạy :

K G

S

ˆ1

1+

=

- Hàm bù nhạy :

K G

K G T

ˆ1

ˆ+