Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm: f x có đạo hàm tại xo thì f x liên tục tại xo.Chiều ngược lại không đúng 3.. Các công thức tính đạo hàm: Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản.[r]
Trang 1
I GIỚI HẠN DÃY
1/Định nghĩa 1 : dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý kể từ một số dương nào đó trở đi ký hiệu : xlimu n 0
hay u n 0khi n
2/Định nghĩa 2 : dãy số (vn) có giới hạn là a ( hay vn dần tới a khi n dần tới nếu lim(x v n a) 0
Ký hiệu : xlimv n a
hay v n a khi n
3/Một vài giới hạn đắc biệt :
n k
4/Một số tính chất
a)Nếu xlimu n a, limx v n b
thì
n
n n
n
b)Nếu u n 0 với mọi n và limx u n a
thì a 0, limx u n a
Chú ý : lim n
thì ta có thể viết limu n =a 5/Giới hạn vô cực
a/Định nghĩa ;
Ta nói dãy số un có giới hạn khi n nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đó trở đi ký hiệu : xlimu n
.Ta nói dãy số un có giới hạn khi n nếu xlim ( u n)
b/Các tính chất :
a Nếu limun=a và limvn= thì
0
n n
u Lim
v
b Nếu limun=a>0 và limvn=0 và vn>0 với mọi n thì
n
u
c Nếu limun= và limvn=a >0 thì limun.vn=
II>GIỚI HẠN HÀM SỐ :
1>Định nghĩa 1 : Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}
Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu vớidãy số (xn) bất kỳ ,xnK\{x0} và
0
n
x x ta có : f x( )n L Ta ký hiệu : 0
lim ( )
x x f x L
2>Các tính chât ( về giới hạn hữu hạn )
a/Giả sử 0
lim ( )
x x f x L
và 0
lim ( )
x x g x M
khi đó ta có :
( )
( )
GIỚI HẠN
Trang 2b/Nếu f x ( ) 0 và 0
lim ( )
x x f x L
thì 0
x x
(Chú ý dấu của F(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn với x khác x0 )
NHẬN XÉT : lim0 0
x x x x
từ đó ta có lim0 k 0k
x x x x
, 0
lim
x x c c
với c là hằng số
3>Giới hạn một bên
Định nghĩa 2 :
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b)
Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số xn bất kỳ với
x0<xn<b và x n x0 thì f x( )n L khi đó ta ký hiệu : 0
lim ( )
x x f x L
Cho hàm số y=f(x) xác định trrn khoảng (a;x0)
Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số xn bất kỳ với a<xn<x0
và x n x0 thì f x( )n L khi đó ta ký hiệu : 0
lim ( )
x x f x L
4>Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa 3 :
a/Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng a ;
Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy (xn) bất kỳ , xn >a và x n ta có
( )n
f x L khi đó ta ký hiệu : xlim ( )f x L
b/ Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng ;b
Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy (xn) bất kỳ , xn <b và x n ta có
( )n
f x L khi đó ta ký hiệu : xlim ( )f x L
Chú ý :
a/Với c và k là hằng số và k là nguyên dương ta luôn có :
xlim ; limx k
c
x
b/Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x x0vẫn còn đúng với khi x (x )
5>Giới hạn vô cực của hàm số
a/Định nghĩa 4 :
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng a ;
Ta nói hàm số y=f(x) có gới hạn là khi x nếu với dãy số (xn) bất kỳ xn>a và x n ta có
n
f x
khi đó ta ký hiệu là : xlim ( )f x
NHẬN XÉT : xlim ( )f x xlim ( f x( ))
b/Một vài giới hạn đặc biệt
(1) lim
k
x x
với k là nguyên dương (2) lim
k
x x
nếu k là lẻ (3) lim
k
x x
nếu k là chẵn c/ một vài qui tắc về giới hạn vô cực
*Giới hạn của tích f(x).g(x)
x x f x L x x g x
thì 0
lim ( ) ( )
x x f x g x
0
lim ( )
x x f x
x x g x
x x f x g x
Trang 3L>0
*Giới hạn của thương 0
( ) lim ( )
x x
f x
g x
0
lim ( )
x x f x
x x g x
0
( ) lim ( )
x x
f x
g x
L>0
0
A- KIẾN THỨC CẦN NHỞ:
1 Hàm số liên tục tại một điểm:
Giả sử hàm số f(x) xác định trên (a;b), x oa b;
* ĐN1: f x
liên tục tại xo
lim
x x f x f x
* ĐN2: f x liên tục tại x
o
x x f x x x f x f x
* Hàm số không liên tục tại xo được gọi là gián đoạn tại xo
2 Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn:
a, f x
liên tục trên (a;b) f x
liên tục tại mọi x oa b;
b, f x liên tục trên [a;b] f x liên tục trên (a;b) và lim
x a f x f a
,lim
x b f x f b
3 Các định lí:
a, Định lí 1: - Hàm số đa thức liên tục trên
- Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên tuèng khoảng xác định của nó
b, Định lí 2: Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số khác 0) các hàm số liên tục tại xo là hàm số liên tục tại xo
c, Định lí 3:
;
f a f b
A- KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Bước 1: Với ∆x là số gia của đối số tại xo, tính ∆y = f (xo + ∆x) - f (xo)
Bước 2: Lập tỉ số
y x
V V
HÀM SỐ LIÊN TỤC
liên tục trên
ĐẠO HÀM
Trang 4Bước 3: Tính lim0
x
y x
® V
V V
Chú ý: Khi thay xo bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm
( ; )
xÎ a b
2 Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm:
3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
k = f / (x o ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại Mo(xo;yo)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại Mo(xo;yo) là
/
* Cho hai đường thẳng d1: y k x a 1 1, d2: y k x a 2 2
+ d1//d2 k1k2
+ d1 d2 k k1 2 1
4 Các công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp
h»ng sè ) (x n)′ =n.xn-1
(n N, n 2) (U n)
′
=n.Un-1 U '
2
(x 0)
2
√x¿′
2 U
(U 0)
(sin x)❑=cos x
(cos x )❑=−sin x
(tan x )❑= 1
cos2x =1+tan
2x
(cot x )❑
sin2x=−(1+cot
2x)
(sinU )❑=cos U U❑
( cos U )❑=− sinU U❑
(tan U )❑
cos2U U
❑
(cot U )❑
sin2U U
❑
- Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x))
U V U V UV U V UV
(k.U) k.U (k là hằng số)
2
2
- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g ' x = f ' u U ' x
- Đạo hàm cấp cao của hàm số
Trang 5Đạo hàm cấp 2 : f "(x) = f(x)' /
Đạo hàm cấp n :
/
n(x) = (x)n-1