De thi HSG mon Toan vong huyen 20092010

[r]

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN BẬC THCS

NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN TOÁN LỚP 9

Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1 : ( 4 điểm)

Cho biểu thức :

A

a, Rút gọn A

b, Tính giá trị nhỏ nhất của A

c, Tìm x để biểu thức

2 x

B A



nhận giá trị nguyên

Bài 2 (4 điểm )

Giải phương trình và hệ phương trình sau :

a,

1

2

b,

2

2

x y

xy xy











Bài 3 : ( 4 điểm)

a, Chứng minh :

(x y z  ) 3(x y z ) x y z R, , 

b, Cho

1 ; , ,

x y z   x y z

Chứng minh : 4x 1 4y 1 4z 1 21 Dấu “=” xảy ra khi x , y , z bằng bao nhiêu ?

Bài 4 : ( 4 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C là trung điểm của OA , dây MN vuông góc với

OA tại C Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM , H là giao điểm của AK và MN

a, Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp

b, Tính tích AH.AK theo R

c, Xác định vị trí của điểm K để KM + KN + KB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó

Bài 5 : ( 4 điểm)

Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng 4 , diện tích tam giác COD bằng 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD ?

-Hết

-(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh : ……….Số báo danh : ……… Chữ kí của giám thị 1 : ………Chữ kí của giám thị 2: ………

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN TOÁN LỚP 9

Câu 1 a,

(1 điểm )

A

ĐK : x0;x1

A

= x( x1) (2 x1) 2( x1)

= x x 2 x 1 2 x2

= x x1

0,25 0,25 0,25 0,25

b,

(1 điểm ) A = x x1

=  

2

2

x  x   

2

x

Vì

2 1

2

2

0

Vậy AMin =

4 x  2 x4

0,5 0,25 0,25

c, (2 điểm ) 2 1 21 2

1

x B

M

x

( Với M =

1 1

x x

) Với x0;x1 thì

1 1

x x

>1 do đó : 0< B < 2 Nên B nguyên khi B = 1



2

1 1

1

x x



1

3 0

x x

7 3 5 2

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 2 a,

(2điểm)

1

2

2 2 2 2009 2 2010

( x 2 1) ( y 2009 1) ( z 2010 1) 0

2 1 0

2009 1 0

2010 1 0

x y z







2 1

2009 1

2010 1

x y z







3 2008 2011

x y z







  

 



0,25 0,25 0,25 0,25

0,5

0,5

b,

(2điểm) 1 1 92

2

x y

xy xy









9

2

2

x y

x y

xy xy

xy







 



2 2

2

x y

xy





 



2 ( 2)(2 1) 0(2)

x y

xy





 



Giải (2) được xy = 2 hoặc xy =

1 2

Vậy ta có :

2 3

xy

x y







  x = 2; y = 1 hoặc x = 1; y = 2

Hoặc

1 2 3 2

xy

x y









  

  x = 1; y =

1

2 hoặc x =

1

2; y = 1

0,25

0,5

0,25 0,5

0,5

Câu 3 a,

(2 điểm) Xét hiệu : 2 2 2 2

Vây 3(x2y2z2) ( x y z  ) 2 x y z R, , 

0,5 0,5 0,5

Hay (x y z  )2 3(x2y2z2) x y z R, ,  Dấu “= “ xẩy ra khi (x - y)2 +(y – z)2 + (z- x)2 = 0

 (x - y)2 = (y – z)2 = (z- x)2 =0

 x = y = z = 0

0,5

b,

(2 điểm) Lập luận tương tự ta có : 4x 1 4y 1 4z12 3 4 x4y4z3

 4x 1 4y 1 4z12 3 4 x y z  3 3.(4 3) 21 

 4x 1 4y 1 4z1  21

Dấu “= “ xẩy ra khi

1

x y z





  

1 3

x  y z

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu 4

a,

(1 điểm)

B A

O C M

N

K

I H

Ta có : AKB 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

  900 900 1800

AKB HCB

Vậy tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp

0,25 0,5 0,25

b,

(1 điểm) cos

KAB

 AH.AK=AB.AC =

2 2

2

R

R R

0,5 0,5

c, (2 điểm) Ta có :

AMB 900( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Trong AMB có MCAB nên MA2 = AC AB = R2

 MA = R nên Sin ABM =

1 2

AM

AB   ABM 300 Vậy MBN 2.ABM 600 (1) Mặt khác AB là đường trung trực của MN nên BM = BN (2) Từ (1) và (2) suy ra tam giác BMN đều

Lấy điểm I trên NK sao cho KI = MK Mà MKN MBN 600 (hai góc nội tiếp chắn cung MN) Suy ra MIK đều

Xét MNI và MKB có : MI = MK

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 5 4 điểm

MN= MB IMNKMB ( = 600 BMI )

Do đó MIN= MKB (c g c )  IN =KB Vậy KN = NI + IK = KB + IK = KB + MK  KM + KB +KN = KN + KN = 2.KN 2.2R4R

 KM + KB +KN 4R Dấu “=” xẩy ra khi K là điểm đối xứng với N qua O

B

D

Kẻ BH vuông góc với AC tại H

Ta có :

1 2 1 2

AOB BOC

BH OA



Tương tự ta có

AOD DOC

Do đó :

Mà SAOB = 4 ; SCOD = 9

 SAOD SBOC = SAOB .SCOD = 4.9=36 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :

Vậy S ABCD S AOD S BOCS AOBS COD 2 36 4 9 

25

ABCD

S

Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD là 25 Dấu “=” xảy ra  S AOD S BOC

 Tứ giác ABCD là hình thang ( AB//CD)

0,5

0,5

0,5

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Chú ý : Nếu thí sinh làm theo cách khác , lời giải đúng vẫn cho điểm tối đa