Các quy tắc tính đạo hàm

Kü n¨ng c¬ b¶n Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số.. Tính được đạo hàm hàm số hợp.[r]

Các quy tắc tính đạo hàm

I Kiến thức cơ bản

1 Đạo hàm của một số hàm số thường gặp (Ký hiệu U=U(x))

=0

 C  (C là hằng số)

=1

 x 

=n.x n-1

 x n  (n N, n 2)    U n =n.Un-1 U 

=-













x

1

2

1

x

(x 0) 

=-













U

1

2

U

U 

=

)

( x

x

2

1 (x>0)

=

 

U

U

U

2



2 Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).

=

U  V U V

=

 UV  UV U V

= (k là hằng số) )

(k U  k .U

=















V

U

2

.

V

V U V

U  

=

-













V

1

2

1

V

3 Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)].

'

g f ' u U  x

- Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

- Tính được đạo hàm hàm số hợp

III Một số ví dụ

A.Ví dụ tự luận

VD1 Tính đạo hàm của các hàm số

1/ y=2x5-3x4+x3- x2+1

2 1

2/ y= x4- x3+ x2+3x-2

2

1

3

4 4 1

3/ y=2x2 (x-3)

4/ y= với m là tham số khác -1

1

2





m

mx

Giải

1/ Ta có:

= 10x4-12x3+3x2 –x

'

y

2/ Ta có:

= 2x3- 4x2+ x+3

'

y

2 1

3/ Ta có:

y= 2x3- 6x2

= 6x2-12x

 'y

4/ Ta có:

y= x+ Do m là tham số khác (-1), nên

1



m

m

1

2



m

=

'

y

1



m

m

VD2 Tính đạo hàm các hàm số

1

1



1

3 2







x

x x

1

2





x

x

Giải:

1/ Ta có:

'

) 1 (

)' (





x

x

2

) 1 (

1



= = = x

'

) 1 (

)' ).(

2 ( ) 1 )'.(

2 (













x

x x

x x

2

) 1 (

) 2 ( ) 1 (









x

x x

2

) 1 (

3



-1

3/ Ta có:

=

'

) 1 4 (

)' 4 )(

1 3

( ) 1 4 ( )' 3

(

















x

x x

x x

x x

) 1 4 (

4 ).

1 3

( ) 1 4 )(

1 6

(













x

x x x

x

) 1 4 (

5 6 12







x

x

4 1

4/ Ta có:

= (x2+1) - (3x-2)

'

y ( 3x )' (x2  )'

= 3(x2+1)-(3x-2).2x

= 3x2+3- 6x2+4x

= -3x2+4x+3

VD3 Tính đạo hàm của các hàm số

1/ y= x 1 x 2

2/ y= x(x2- x+1)

3/ y=

x

x



 1

1

Giải:

1/ Ta có:

'

y ( x) 1 x 2  

 2

1 x

= 1 x 2 + =

2

2

1 x

x

2

1

2 1

x

x





2/ Ta có:

= (x2- +1) +

'

y ( x)  x x (x2  x 1 ) 

= + (2x- )

x

x

2

1

x 2  

x

x

2 1

= + 2x - x > 0

x

x x

2

1

2  

x

2

1



3/ Ta có:

=

'

x

x x

x x

















1

1 ) 1 ( 1 ) 1

(

=

x x

x x









 1

1 2

1 1

x x

x x









 1 ) 1 (

2

1 ) 1

(

2

x x

x







 1 ) 1 ( 2

3



VD4 Tính đạo hàm hàm số

1/ y= (2x+3)10

2/ y= (x2+3x-2)20

3/ y= (a là hằng số)

2 2

2

a x

x



Giải:

1/ Ta có:

= 10(2x+3)9

'

y ( 2x )'

= 20(2x+3)9

2/ Ta có:

= 20(x2+3x-2)19

'

y (x2  x3  2 ) 

= 20(x2+3x-2)19.(2x+3)

3/ Ta có:

=

'

2 2 2 2 2

(

a x

a x x a x x











= 2 2 2 2 =

3 2

2

2

a x

a x

x a

x x









3 2 2

2 3

) (

2

a x

xa x





VD5 Viết phương trình tiếp tuyến của (C ): y=x3-3x+7 1/ Tại điểm A(1;5)

2/ Song song với đường y=6x+1

Giải:

Ta có: = 3xy' 2-3

1/ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là

k = (1) = 0y'

Phương trình tiếp tuyến cần viết là:



y = 5

2/ Gọi tiếp điểm là M(x0;y0)

y0= x03-3x0+7

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6

(x0) = 6

 'y

3x02-3 = 6



x0 =

Với x0 = 3 y 0=7

Phương trình tiếp tuyến là: y=6x+7- 6

Với x0 =- 3 y 0=7

Phương trình tiếp tuyến là: y=6x+7+6

VD6 Cho hàm số y=

1

1

2







x

x x

Giải bất phương trình khi y' 0

Giải:

Ta có:

+ y'=

2 ) 1 (

)' )(

1 (

) 1 ( )'

















x

x x x x

x x

= 2 2

) 1 (

) 1 (

) 1 )(

1 2 (













x

x x x

x

= 2 2 x -1

) 1 (

2





x

x x

Do đó: y' 0  2 2 0

) 1 (

2





x

x

















0 2

1

x

x













 0

2

x x

B Ví dụ trắc nghiệm

Chọn những phương án đúng trong ví dụ sau:

VD7 Cho hàm số y= , khi đó bằng

1 2

1



x y'(2)

5

1

5

1



25

1

25

1



VD8: Cho hàm số y= 2x, khi đó y' ( 4 ) bằng

2 2

1

2

2

4 2

VD9 Cho hàm số y=(x+1)5, khi đó y' (  2 ) bằng

VD10 Cho hàm số y=2x- x, khi đó y'(1) bằng

2

1

2 3

tại

VD11 Cho hàm số y= , khi đó bằng

2

1





x

x

) 1 ( ' 

y

D.-2

1

3 1

VD12 Cho hàm số y=2x3-3x2+3, khi đó phương trình =0 có nghiệmy'

A x=0 và x=1 B x=0 và x=-1 C x=1 và x=3 D x=-1 và x=3

VD13 Cho hàm số y= Đạo hàm bằng

3 2

1



3 2

4





3 2

1





3 2

2





3 2

4





x

VD14 Cho hàm số y= , đạo hàm bằng

1 2

4





x

x

'

y

 2

1 2

7



1 2

7





1 2

5



1 2

5





x

VD15 Cho hàm số y= , khi đó tập nghiệm của phương trình

x

>0 là

A S =(-;1] [1;+ )  C S =(-;1)(1;)

B S =(-;0)) [1;+ )  D S = (;1)(0;)

VD16 Cho hàm số y= , khi đó bất phương trình có tập

1 4

3





x

x

0 '

y

nghiệm là:

A S =( ;) B S =[ ) C S =[3;+ ) D S

4

1



 ; 4

1

Đáp án:

VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15 VD16

IV Bài tập.

A Bài tập tự luận

Bài1 Tính đạo hàm của các hàm số:

1/ y=x3 -2x2+x- x+1 7/ y= x3 4x

3 2

1





x

3



x

2

2 2

2







x

x x

1

2 

x

x

x



 1

5/ y= 2x2  x3 4 11/ y=x1 x2  x1

2

9 x

x

3

2







x

x x

Hướng dẫn:

với-x x

x y

2

1 1 4 3 ' 2    x0

x x

y









4

1 3

2

1 '

3<x<4

3 2

5 '







x

y

2

3



x y'14x(x2 3)6

 2

2

2

2 4 '









x

x x

1

1 2 2

'

2

2









x

x x

y

4/ Ta có: y=1- , x 10/

x

 1

2

0



4 )

2 (

4 '

2

2









x

x x

x y

12/

 2

1

1 '

x x

y







3 )

1 2 ( 2

11 '

2







x x x

y

5/

4 3 2

2

3 4 '

2  





x x

x y

6/ với -3< x <3

 23

2

9

2 9 '

x

x y







Bài 2 Cho hàm số: y= 3 2 1 tìm m để

3





x

1/ là bình phương của một nhị thứcy'

2/ y'0 xR

3/ <0 y' x(0;1)

4/ >0 y' x>0

Hướng dẫn:

Ta có: yx2 6x2mg(x)

1/ Ta phải có:

=0

 92m0

m=



2 9

2/ Ta phải có:

9-2m

m



2

9



3/ Ta phải có:

m<0









 0 ) 1 (

0 ) 0 (

g

g

















0 2 5

0 2

m

m

 4/ Ta phải có:

+ Hoặc <0 m >

2 9

+ Hoặc Hệ vô nghiệm























0 2

0 ) 0 ( 0

S g

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của (c ) y=x3-3x2 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= x

3 1

Hướng dẫn:

+ Ta có = 3xy 2-6x + Gọi (x0;y0) là tiếp điểm, y0=x03 -3x0

Ta phải có:

3x02-6x0=-3 x0=1 =>y0=-2

=> phương trình tiếp tuyến là: y=-3x+1

Bài 4 Cho đường cong (c)): y= Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến

3

1





x x

của (c) với trục ox Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y =-x+1

Hướng dẫn:

+ Ta có =y 2

) 3 (

4





x

+ Hệ số góc của tiếp tuyến k = -1

+ Gọi (x0; y0) là tiếp điểm, y0=

3

1

0

0





x x

Ta phải có:





















5

1 1

) 3 (

4

0

0 2

x x

+ Ta có 2 tiếp tuyến là

y = -x và y = -x+8

+ Từ đó suy ra kết quả

B Bài tập trắc nghiệm

Chọn phương án đúng trong các bài tập sau:

Bài 4 Cho hàm số y = , bằng

x

2

1

) 1 (

y

A

2

1

B

2

1



Bài 5 Cho biết hàm số y = , bằng

1

1 2





x

x

) 1 (



y

A

4

3



B

4

3

C

2

1

D

2

1



Bài 6 Cho hàm số y = x1, y(2) bằng

Bài 7 Cho hàm số y =(1-3x)6, y(0)bằng

Bài 8 Cho hàm số y = 2x2 1, Khi đó tập nghiệm của bất phương trình y  0

là:

A S =IR B S =[0;) C S = (0 ;) D S = 

Bài 9 Cho hàm số f(x)= x2+3x-1 và g(x) = 2x-3 Bất phương trình f(x)g(x)

có tập nghiệm là:

A S =  B S = ; )

2

1 (  C S = ; )

2

1 [  D –S = 

Bài 10 Hàm số y= có

4

3 2





x x

) 4 (

11







x

) 4 (

11









x

) 4 (

5







x

) 4 (

5









x y

Bài 11 Hàm số y = x x có

A

x

y

2

1



 B y 1  x C

x

y

2

3



2

3 x

y Bài 12 Hàm số y = x3+2x2-mx+1 có y  0 xIR, khi đó tập các giá trị của m là:

3

4

; ( 

B T= ( )

3

4

;



 C T = (;1] D T= (;1)

3 2

1

D

-3 2 1

Bài 13 Hàm số y = có Khi đó tập các giá trị của m là:

2



x

mx

} 2 {

\

0 x IR

y  

A T= ; )

2

1

2

1

;



 C T = (;0) D T= (;0]

Bài 14 Hàm số y = (2x+3)10 có

A y10(2x3)9 B y10(2x3)10 C y20(2x3)9 D y20(2x3)10 Bài 15 Hàm số y = x2  x3 5có

A

5 3

2

2  





x x

x y

B

5 3 2

3 2

2  







x x

x y

C

5 3

2  







x x

x y

D

5 3

3 2

2  







x x

x y

Đáp án:

B4 B B5.A B6.C B7.D B8.B B9.C B10.A B11.D B12.B B13.A B14.C B15.B