Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh: a Trục Ox.[r]
Trang 1Chuyên đề
TÍCH PHÂN CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số hợp
∫dx=x +C
∫x αdx=x
α +1
α +1+C (α ≠ 1)
∫dxx =ln|x|+C ( x ≠ 0)
∫e x dx=e x
+C
∫a xdx= a x
ln a+C (0<a ≠ 1)
∫cos xdx=sin x+C
∫sin xdx=−cos x +C
cos2x dx=tan x +C
sin2x dx=−cot x +C
∫d (ax +b)=1
a (ax +b)+C
∫(ax +b ) αdx=1
a
(ax +b ) α +1
α +1 +C ( α ≠1 )
∫dxax +b=1
aln|ax+b|+C (x ≠ 0)
∫e ax+bdx=1
a e
ax+b
+C
∫cos (ax+b ) dx=1
a sin (ax+b)+C
∫sin (ax +b )dx=−1
a cos (ax +b )+C
∫cos2(ax +b1 ) dx=1
a tan(ax +b)+C
∫sin2(ax +b)1 dx=−
1
a cot (ax +b)+C
∫du=u+C
∫u αdu=u
α+1 α+1+C (α ≠ 1)
∫duu =ln|u|+C (u ≠ 0)
∫e u du=e u
+C
∫a udx= a u
ln a+C ( 0<a ≠ 1)
∫cos udu=sin u+C
∫sin udu=−cosu+C
cos2u du=tan u+C
sin2u du=− cotu+C
I ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1 Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân
b
/ a
f[u(x)]u (x)dx
ò
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1 Đặt t = u(x) và tính dt =u (x)dx/ .
Bước 2 Đổi cận: x= Þa t= u(a)= a, x =bÞ t =u(b)= b.
Bước 3
b
/ a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
Ví dụ 7 Tính tích phân
2
e
e
dx I
x ln x
=ò
Giải
Đặt
dx
t ln x dt
x
= Þ =
2
x= Þe t=1, x =e Þ t =2
2
2 1 1
dt
I ln t ln2
t
Þ = ò = =
Trang 2
Ví dụ 8 Tính tích phân
4
3 0
cosx
(sin x cosx)
p
=
+
ò
Hướng dẫn:
(sin x cosx) (tan x 1) cos x
ĐS:
3
I
8
=
Ví dụ 9 Tính tích phân
3
1 2
dx I
(1 x) 2x 3
=
ò
Hướng dẫn:
ĐS:
3
I ln
2
=
Ví dụ 10 Tính tích phân
1
0
3 x
1 x
-=
+
ò
Hướng dẫn:
Đặt
3 2
2 2 1
3 x t dt
1 x (t 1)
+ L ò +
3
p
= - +
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
1 x
-=
+
ò
2 Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1 Đặt x = u(t) và tính dx u t dt/( )
Bước 2 Đổi cận: x a t , x b t
Bước 3
/
( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
Ví dụ 1 Tính tích phân
1 2
2 0
1
1 x
=
-ò
Giải
Đặt x sin t, t ; dx costdt
2 2
p p
é ù
= Î -ê úÞ =
ë û
1
x 0 t 0, x t
p
= Þ = = Þ =
Trang 36 6
2
cost cost
cost
1 sin t
0
dt t 0
6 6
p
= ò = = - =
Vậy I
6
p
=
Ví dụ 2 Tính tích phân
2
2 0
I =ò 4- x dx
Hướng dẫn:
Đặt x=2sin t
ĐS: I = p.
Ví dụ 3 Tính tích phân
1
2 0
dx I
1 x
=
+
ò
Giải
Đặt
2
x tan t, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
æ p p÷ö ç
= Î -ççè ÷÷øÞ = +
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= Þ = = Þ =
2
tan t 1
4
1 tan t
+
Vậy I
4
p
=
Ví dụ 4 Tính tích phân
3 1 2 0
dx I
x 2x 2
-=
+ +
ò
Hướng dẫn:
I
x 2x 2 1 (x 1)
Đặt x+ =1 tan t
ĐS: I
12
p
=
Ví dụ 5 Tính tích phân
2
2 0
dx I
4 x
=
-ò
ĐS: I
2
p
=
Ví dụ 6 Tính tích phân
3 1 2 0
dx I
x 2x 2
-=
+ +
ò
ĐS: I
12
p
=
3 Các dạng đặc biệt
3.1 Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân
2
0
I cos x sin xdx
p
= ò
Trang 4
Hướng dẫn:
ĐS:
2
I
15
=
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân
2 5 0
I cos xdx
p
= ò
Hướng dẫn:
Đặt t =sin x
ĐS:
8
I
15
=
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn) Tính tích phân
2
0
I cos x sin xdx
p
= ò
Giải
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
1 (1 cos4x)dx 1 cos2x sin 2xdx
= ò - + ò
2
1 (1 cos4x)dx 1 sin 2xd(sin2x)
0
x 1 sin 2x
sin 4x
16 64 24 32
p
ç
=ççè - + ÷÷ø = .
Vậy I
32
p
=
Ví dụ 14 Tính tích phân
2 0
dx I
cosx sin x 1
p
=
+ +
ò
Hướng dẫn:
Đặt
x
t tan
2
=
Biểu diễn các hàm số LG theo tan2
a
t
:
2
3.2 Dạng liên kết
Ví dụ 15 Tính tích phân 0
xdx I
sin x 1
p
=
+
ò
Giải
Đặt x= p - tÞ dx= - dt
x= Þ0 t = p, x = p Þ t= 0
0
0
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
p
p
dt I I dt sin t 1 2 sin t 1
p
= p - Þ =
Trang 5( )2 ( )
2
t
t t
2 sin cos 4 cos
2 4
2 2
-+
t d
tan
2 cos t 2 2 4
2 4
æ p÷ö
ç - ÷
ç ÷
è ø
= = çç - ÷÷ = p
æ p÷ö è ø
ç - ÷
ç ÷
çè ø
ò
Vậy I = p.
Tổng quát:
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
p
=
Ví dụ 16 Tính tích phân
2 2007
2007 2007 0
sin x
sin x cos x
p
=
+
ò
Giải
2
p
= - Þ =
-x 0 t , x t 0
2 2
p p
= Þ = = Þ =
2007 0
2
sin t
2
sin t cos t
p
p
2007 2007 0
cos t dx J sin t cos t
p
+
ò
(1)
Mặt khác
2 0
I J dx
2
p
p + = ò =
(2) Từ (1) và (2) suy ra I
4
p
=
Tổng quát:
sin x dx cos x dx ,n sin x cos x sin x cos x 4
+
p
Ví dụ 17 Tính tích phân
0
sin x
sin x 3cosx
p
=
+
ò
và
0
cos x
sin x 3cosx
p
=
+
ò
Giải
2 sinx 3cosx sin x
3
3
p
= + Þ =
1
I J ln3
4
+ =
(2)
Từ (1) và (2)
I ln 3 , J ln3
-
Ví dụ 18 Tính tích phân
1
2 0
ln(1 x)
1 x
+
=
+
ò
Giải
Đặt x=tan t Þ dx=(1+tan t)dt2
Trang 6x 0 t 0, x 1 t
4
p
= Þ = = Þ =
2 2
ln(1 tan t)
I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt
1 tan t
+
+
4
p
= - Þ =
-t 0 u , t u 0
4 4
p p
= Þ = = Þ =
0 4
0
4
I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du
4
p
p
é ỉçp ứ÷
Þ = + = - ê + çç - ÷÷ú
è ø
ln 1 du ln du
1 tanu 1 tanu
ỉ - ư÷ ỉ ư÷
= çç + ÷÷÷ = çç ÷÷÷
ln2du ln 1 tanu du ln2 I
4
p
= ị - ị + =
-
8
p
=
Ví dụ 19 Tính tích phân
4
x 4
cosx
2007 1
p
p
-=
+
ị
Hướng dẫn:
ĐS:
2
I
2
=
Tổng quát:
Với a > 0, a >0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [- a a; ] thì
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
- a
= +
Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f( x)- +2f(x)= cosx.
Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
p
p
-= ị
Giải
Đặt
2
2
J f( x)dx
p
p
-= ị
-, x= - Þt dx= - dt
x t , x t
= - Þ = = Þ =
Trang 7-[ ]
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
-Þ = ò - = Þ = + =ò - +
0 2
cosxdx 2 cosxdx 2
p
-=ò = ò =
Vậy
2 I 3
=
3.3 Các kết quả cần nhớ
i/ Với a > 0, hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a
a
f(x)dx 0
-=
ò
ii/ Với a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
f(x)dx 2 f(x)dx
-=
iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
(n 1)!!
, n!!
cos xdx sin xdx
(n 1)!!
, n!! 2
-ïïï
= = íï - p
ïï ïïî
neáu n chaün
Trong đó
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn:
0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = = 6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = = .
Ví dụ 21
2
11 0
10!! 2.4.6.8.10 256 cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
p
ò
Ví dụ 22
2
10 0
9!! 1.3.5.7.9 63 sin xdx
10!! 2 2.4.6.8.10 2 512
p
ò
II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1 Công thức
(uv)/ =u v/ +uv/ Þ (uv dx)/ =u vdx/ +uv dx/
( )
d uv vdu udv d(uv) vdu udv
Þ = + Þ ò = ò +ò
uv vdu udv udv uv vdu
Þ = ò +ò Þ ò = - ò
Công thức:
b a
udv= uv - vdu
(1)
Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
Trang 8b b
b
a
f(x)g (x)dx =f(x)g(x) - f (x)g(x)dx
(2)
2 Phương pháp giải toán
Giả sử cần tính tích phân
b
a
f(x)g(x)dx
ò
ta thực hiện
Cách 1.
Bước 1 Đặt u =f(x), dv=g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân
/
du =u (x)dx không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân
b
a
vdu
ò
phải tính được
Bước 2 Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
i/ Nếu gặp
ax
P(x) sinaxdx, P(x) cosaxdx, e P(x)dx
ii/ Nếu gặp
b
a
P(x) ln xdx
ò
thì đặt u=ln x.
Cách 2.
Viết lại tích phân
/
f(x)g(x)dx= f(x)G (x)dx
và sử dụng trực tiếp công thức (2)
Ví dụ 1 Tính tích phân
1 x 0
I =òxe dx
Giải
Đặt
u x du dx
dv e dx v e
ïï Þ ï
í = í
1 1
xe dx xe e dx (x 1)e 1
Þ ò = - ò = - =
Ví dụ 2 Tính tích phân
e
1
I =òx ln xdx
Giải
Đặt
2
dx du
u ln x x
dv xdx v x
2
ìï = ï
=
ï Þ ï
ï = ï
î ïïî =
1
x ln xdx ln x xdx
+
Ví dụ 3 Tính tích phân
2 x 0
I e sin xdx
p
=ò
Giải
Trang 9Đặt
u sin x du cosxdx
dv e dx v e
ïï Þ ï
ï = ï =
0
I e sin xdx e sin x e cosxdx e J
- Đặt
u cosx du sin xdx
dv e dx v e
= ì =
ïï Þ ï
í = í
J e cosxdx e cosx e sin xdx 1 I
p
Þ = ò = +ò = - +
2
I e ( 1 I) I
2
p
Þ = - - + Þ =
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần
Ví dụ 7 Tính tích phân
2
4 0
I cos xdx
p
=ò
Hướng dẫn:
2
0
I 2 t costdt 2
p
Þ = ò = = p
Ví dụ 8 Tính tích phân
e
1
I = òsin(ln x)dx
ĐS:
(sin1 cos1)e 1
I
2
=
III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1 Dạng 1
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I = ò f(x) dx
, ta thực hiện các bước sau
Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x a x1 x2 b f(x) + 0 - 0 +
Bước 2 Tính
I =ò f(x) dx=òf(x)dx- òf(x)dx+òf(x)dx
Ví dụ 9 Tính tích phân
2 2 3
I x 3x 2 dx
-=ò - +
Giải
B ng xét d uả ấ
x - 3 1 2
Trang 10x - 3x+2 + 0 - 0
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
-= ò - + - ò - + =
Vậy
59 I 2
=
Ví dụ 10 Tính tích phân
2
2 0
I 5 4cos x 4sin xdx
p
=ò -
- ĐS: I 2 3 2
6
p
= -
-
2 Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I = ò f(x) ± g(x) dx
, ta thực hiện
Cách 1.
Tách
I =ò f(x) ± g(x) dx= ò f(x) dx ±ò g(x) dx
rồi sử dụng dạng 1 ở trên
Cách 2.
Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 11 Tính tích phân
2
1
I x x 1 dx
-=ò -
-
Giải Cách 1.
I x x 1 dx x dx x 1 dx
-= ò - - = ò - ò
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
-= - ò +ò +ò - - ò
2 - 2 2 - 2
æ ö÷ æ ö÷
= - + +çç - ÷÷ - çç - ÷÷ =
Cách 2.
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x – 0 + +
x – 1 – – 0 +
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
-= ò - + - +ò + - +ò - +
( 2 ) 1
3 Dạng 3
Để tính các tích phân
b
a
I =òmax f(x), g(x) dx
và
b
a
J = òmin f(x), g(x) dx
, ta thực hiện các bước sau:
Trang 11Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x)=f(x)- g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2
+ Nếu h(x)>0 thì max f(x), g(x){ } =f(x) và min f(x), g(x){ } =g(x).
+ Nếu h(x)<0 thì max f(x), g(x){ } =g(x) và min f(x), g(x){ } =f(x).
Ví dụ 12 Tính tích phân
4
2 0
I =òmax x +1, 4x- 2 dx
Giải
Bảng xét dấu
x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 +
80
I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3
= ò + +ò - +ò + =
Vậy
80 I 3
=
Ví dụ 13 Tính tích phân
2
x 0
I =òmin 3 , 4- x dx
Giải
Bảng xét dấu
x 0 1 2 h(x) – 0 +
x
I 3 dx 4 x dx 4x
ln3 2 ln3 2
æ ö÷ ç
= ò +ò - = +ççè - ÷÷ø = +
Vậy
2 5 I
ln3 2
= +
IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải toán
1 Dạng 1
Để chứng minh
b
a
f(x)dx³ 0
ò
(hoặc
b
a
f(x)dx£ 0
ò
x a; b
" Î .
Ví dụ 14 Chứng minh
1
0
1 x dx- ³ 0
ò
Giải
Với
1
0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0
" Î £ Þ - ³ Þ ò - ³
2 Dạng 2
Để chứng minh
f(x)dx³ g(x)dx
ta chứng minh f(x)³ g(x) với " Îx [a; b].
Trang 12Ví dụ 15 Chứng minh
1 sin x 1 sin x
£
Giải
Với
x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x
2
p
é ù
" Î ê ú £ £ Þ £ £
ë û
1 sin x 1 sin x 0
1 sin x 1 sin x
Þ + ³ + > Þ £
Vậy
1 sin x 1 sin x
£
3 Dạng 3
Để chứng minh
b
a
A £ òf(x)dx£ B
ta thực hiện các bước sau
Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m£ f(x)£ M.
Bước 2 Lấy tích phân
b
a
A =m(b- a)£ òf(x)dx£ M(b- a) =B
Ví dụ 16 Chứng minh
1
2 0
2£ ò 4+x dx£ 5
Giải
Với " Îx [0; 1 : 4] £ 4+x2 £ 5Þ 2£ 4+x2 £ 5.
Vậy
1
2 0
2£ ò 4+x dx£ 5
Ví dụ 17 Chứng minh
3 4
2 4
dx
4 3 2sin x 2
p
p
p £ £ p
-ò
Giải
Với
2
x ; : sin x 1 sin x 1
p p
é ù
" Î ê ú £ £ Þ £ £
ë û
2
2
1 3 2sin x 2 1
2 3 2sin x
Þ £ - £ Þ £ £
3 4
2 4
2 4 4 3 2sin x 4 4
p
p
-ò
Vậy
3 4
2 4
dx
4 3 2sin x 2
p
p
p £ £ p
-ò
Ví dụ 18 Chứng minh
3
4
3 cotxdx 1
12 x 3
p
p
£ ò £
Giải
Trang 13Xét hàm số
cotx f(x) , x ;
x 4 3
ép pù
ê ú
ê ú
2 /
2
x cotx sin x
f (x) 0 x ;
4 3 x
ép pù
ê ú
= < " Î ê ú
ë û
ff (x) f x ;
p p ép pù
Þ £ £ " Î êë úû
3 cotx 4
x ;
ép pù
ê ú
Þ £ £ " Î ê ú
3
4
3 cotxdx 4
p
p
æp pö÷ æp pö÷
Þ çç - ÷÷÷£ £ çç - ÷÷÷
Vậy
3
4
3 cotx 1
dx
12 x 3
p
p
£ ò £
4 Dạng 4 (tham khảo)
Để chứng minh
b
a
A £ òf(x)dx£ B
(mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện
Bước 1 Tìm hàm số g(x) sao cho
[ ]
b b
a a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B g(x)dx B
ì £ " Î ïï
íï = ïï
ïî
ò ò
Bước 2 Tìm hàm số h(x) sao cho
[ ]
b b
a a
h(x) f(x) x a; b
A f(x)dx h(x)dx A
ì £ " Î ïï
íï = ïï
ïî
ò ò
Ví dụ 19 Chứng minh
2 2
2007 0
2 dx
2 1 x 4
p
-ò
Giải
Với
2007 2
x 0; : 0 x x
é ù
" Î ê ú £ £ £
ê ú
ë û
2 2007
1 1 x 1 x 1 1 1 1
Þ £ - £ - £ Þ £ £
dx
1 x 1 x
Đặt x= sin tÞ dx= costdt
2
x 0 t 0, x t
p
= Þ = = Þ =
Trang 142
dx costdt
cost 4
1 x
p
p
Vậy
2 2
2007 0
2 dx
2 1 x 4
p
-ò
Ví dụ 20 Chứng minh
1 2 0
3 1 xdx 2 1
+
-ò
Giải
Với " Îx [0; 1 : 2 1] - £ x2 + -2 1£ 3 1
-2
3 1 x 2 1 2 1
2
xdx xdx xdx
3 1 x 2 1 2 1
Vậy
1 2 0
3 1 xdx 2 1
+
-ò
V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1 Diện tích hình thang cong
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
y=f(x), x =a, x=b và trục hoành là
b
a
S= ò f(x) dx
Phương pháp giải toán
Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) dx
ò
Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=lnx, x =1, x =e và Ox.
Giải
Do ln x ³ 0 x" Î [1; e] nên
e 1
S=ò ln x dx=òln xdx =x ln x- 1 =1
Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= - x2 +4x- 3, x =0, x=3 và Ox.
Giải
Bảng xét dấu
x 0 1 3
y – 0 + 0
S= - ò - x +4x- 3 dx+ò - x +4x- 3 dx
Trang 151 3
x 2x 3x x 2x 3x 8
= - -çç + + ÷÷ + -çç + + ÷÷ =
Vậy
8 S 3
=
(đvdt)
2 Diện tích hình phẳng
2.1 Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y=f(x), y=g(x), x =a, x=b là
b
a
S= ò f(x)- g(x) dx
Phương pháp giải toán
Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x)- g(x) dx
ò
2.2 Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y=f(x), y=g(x) là S f(x) g(x) dx
b
a
=ò
Phương pháp giải toán
Bước 1 Giải phương trình f(x)=g(x).
Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) trên đoạn [a b; ].
Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) g(x) dx
b
a
-ò
Ví dụ 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x3 +11x- 6, y =6x2,
x= 0, x=2.
Giải
h(x)= Û0 x= Ú = Ú =1 x 2 x 3 (loại).
Bảng xét dấu
x 0 1 2 h(x) – 0 + 0
S= - ò x - 6x +11x- 6 dx+ò x - 6x +11x- 6 dx
x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x 5
= - çç - + - ÷÷ +çç - + - ÷÷ =
Vậy
5 S 2
=
(đvdt)
Ví dụ 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x3 +11x- 6, y =6x2.
Giải
Trang 16h(x)= Û0 x = Ú = Ú =1 x 2 x 3.
Bảng xét dấu
x 1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0
S= ò x - 6x +11x- 6 dx- ò x - 6x +11x- 6 dx
x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x 1
=çç - + - ÷÷ - çç - + - ÷÷ =
Vậy
1 S 2
=
(đvdt)
Chú ý:
thức
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
Ví dụ 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x , y3 =4x.
Giải
S x 4x dx x 4x dx
-Þ = ò - + ò
x 2x x 2x 8
æ ö÷ æ ö÷
= çç - ÷÷ + çç - ÷÷ =
Ví dụ 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2- 4 x +3 và trục hoành.
Giải
t 1 x 1 x 1
t 3 x 3 x 3
Û ê Û ê Û ê
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx
-Þ = ò - + = ò - +
2éê x 4x 3 dx x 4x 3 dx ùú
= ê - + + - + ú
2 2x 3x 2x 3x
éæ ö÷ æ ö÷ ù
= êçç - + ÷÷ + çç - + ÷÷ ú=
Vậy
16 S 3
=
(đvdt)
Ví dụ 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2- 4x+3 và y= +x 3.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm 2
x - 4x+3 = +x 3
Trang 172 2
x 3 0
x 0
x 4x 3 x 3
x 5
x 4x 3 x 3
+ ³
ïï é - + = + ê
Û í êïïï ê - + = - - Û ê =ë ê
Bảng xét dấu
x 0 1 3 5 2
x - 4x+3 + 0 – 0 +
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx
Þ = ò - +ò - + - +ò
x 5x x 3x x 5x 109
6x
æ ö÷ æ- ö÷ æ ö÷
= çç - ÷÷ +çç + - ÷÷ +çç - ÷÷ =
Vậy
109 S
6
=
(đvdt)
Ví dụ 8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2 - 1 , y= x +5.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm
x - 1 = x + Û5 t - 1 = +t 5, t = x ³ 0
2 2
t x 0
t x 0
t 3
t 1 t 5
= ³
ï é - = + ï
Û í ê Û í Û = ±
=
ï ê - =
-ïî ë
S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx
-Þ = ò - - + = ò - - +
Bảng xét dấu
x 0 1 3 2
x - 1 – 0 +
S 2 x x 4 dx x x 6 dx
Þ = ò - - - +ò -
æ- ö÷ æ ö÷
= çç - - ÷÷ +çç - - ÷÷ =
Vậy
73 S 3
=
(đvdt)
Chú ý:
Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có)
B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1 Trường hợp 1.
b 2 a
V = pòf (x)dx
Ví dụ 9 Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x2 +y2 =R2 quay quanh Ox.
Giải