Cực trị của hàm nhiều biến có ràng buộc điều kiện cân bằng là kiến thức trọng tâm trong học phần Toán cao cấp dành cho kinh tế, có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Bài viết dưới đây giới thiệu cách giải bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến có ràng buộc điều kiện cân bằng bằng phương pháp nhân tử Lagrang và bằng cách sử dụng các bất đẳng thức cổ điễn.
Trang 1GIẢI BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CÓ ĐIỀU KIỆN
Giới thiệu Cực trị của hàm nhiều biến có ràng buộc điều kiện cân bằng là kiến thức trọng
tâm trong học phần Toán cao cấp dành cho kinh tế, có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Bài viết dưới đây giới thiệu cách giải bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến có ràng buộc điều kiện cân bằng bằng phương pháp nhân tử Lagrang và bằng cách sử dụng các bất đẳng thức cổ điễn
Nội dung bài toán Tìm cực trị của hàm w = f (x1; x2; … ; xn) (1);
thỏa mãn điều kiện ràng buộc cân bằng g(x1; x2; … ; xn) = b (2)
(x1; x2; … ; xn): gọi là biến chọn (hay là biến quyết định);
w: là biến mục tiêu; f: hàm mục tiêu; g(x1; x2; … ; xn) = b là phương trình ràng buộc
I Kiến thức cơ sở:
1 Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm
Cho n số không âm a1 ≥ 0; a2 ≥ 0; …; an ≥ 0; Khi đó, ta có
1 2
1 2
n n
n
a a a n
; dấu = xảy ra khi a1 = a2 = … = an
2 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cauchy Schwartz (BCS)
Cho 2 bộ n số (a1; a2; … ; an) , (x1; x2; … ; xn), ta có:
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a x a x a x a a a x x x ; dấu = xảy ra khi 1 2
n
a
3 Phương pháp nhân tử Lagrange
Ở đây chúng tôi trình bày tóm tắt phương pháp nhân tử Lagrange đối với hàm 2 biến và hàm 3 biến
3.1 Đối với hàm 2biến Tìm cực trị của f(x; y), thỏa mãn điều kiện g(x; y) = b
Lập hàm Lagrange F = f (x; y) + .(g(x; y) b); : gọi là nhân tử Lagrange
Xét hệ phương trình:
/ / /
0 0 0
x y
F F
F
(*)
Trang 2Nếu hệ (*) vô nghiệm thì f (x; y) với điều kiện (2) là không có cực trị
Nếu hệ (*) có nghiệm (x0; y0; 0) ta gọi là các điểm dừng
Tính
Xét tại điểm dừng (x0; y0; 0)
Lập ma trận D như sau:
1 11 12
2 21 22
, với
1 g 0; 0; 0 ; 2 g 0; 0; 0 ; 11 F2 0; 0; 0 ; 12 F 0; 0; 0
21 F 0 ; 0 ; 0 ; 22 F2 0 ; 0 ; 0
Để ý rằng D là ma trận đối xứng
Nếu D > 0 thì điểm (x0; y0) là điểm cực đại
D < 0 thì điểm (x0; y0) là điểm cực tiểu
Và nếu D = 0 thì ta chưa có kết luận gì về điểm dừng (x0; y0; 0)
3.2 Đối với hàm 3biến Tìm cực trị của f(x; y; z), thỏa mãn điều kiện g(x; y; z) = b
Lập hàm Lagrange F = f (x; y; z) + .(g(x; y; z) b); : gọi là nhân tử Lagrange
Xét hệ phương trình:
/ / / /
0 0 0 0
x y z
F F F
F
(*)
Nếu hệ (*) vô nghiệm thì f (x; y; z) với điều kiện (2) là không có cực trị
Nếu hệ (*) có nghiệm (x0; y0; z0; 0) ta gọi là các điểm dừng
Tính
Xét tại điểm dừng (x0; y0; z0; 0)
Trang 3Lập ma trận H như sau:
1 11 12 13
1 21 22 23
1 31 32 33
H
, với
1 g 0; 0; 0; 0 ; 2 g 0; 0; 0; 0 ; 3 g 0; 0; 0; 0
11 F2 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 12 F 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 13 F 0 ; 0 ; 0 ; 0
21 F 0; 0; 0; 0 ; 22 F2 0; 0; 0; 0 ; 23 F 0; 0; 0; 0
31 F 0; 0; 0; 0 ; 32 F 0; 0; 0; 0 ; 33 F2 0; 0; 0; 0
Xét Dk là các định thức con chính cấp k+1 của H
Nếu (1)kDk > 0 với mọi k = 1; 2; 3 (tức là nếu D1 < 0, D2 > 0, D3 = det(H) < 0) thì hàm số đạt cực đại tại (x0; y0; z0);
Nếu Dk < 0 với mọi k = 1; 2; 3 thì hàm số đạt cực tiểu tại (x0; y0; z0)
II Các bài toán minh họa
Trong phần lời giải, cách 1 là giải bằng cách dùng phương pháp nhân tử Lagrange, cách 2 là dùng công cụ toán sơ cấp
Bài 1 (Ví dụ 1, trang 35, [1]) Tìm cực trị của hàm số f(x; y) = x2 + y2 (1) với điều kiện ràng buộc cân bằng ax + by + c = 0 (2)
Lời giải
Cách 1 Lập hàm Lagrange F(x; y; ) = x2 + y2 + ( ax + by + c)
Xét hệ phương trình
0
2 2 /
/
0
2 2 /
0
2 2
0
2
x y
ac
a b
bc
a b
F ax by c
c
a b
Trang 4
Tính
Xét tại điểm dừng (x0; y0; 0)
0
a b
b
Kết luận.Hàm số đạt cực tiểu bằng
2
2 2
c
a b tại điểm 2 ac2 ; 2 bc2
Cách 2 Từ (2): ax + by = c c2 = (ax + by)2 ≤ (a2 + b2 ) (x2 + y2 )
2 2
c
x y
a b
hay
2
2 2
f x y
a b
; dấu = xảy ra khi
a b
x y (3)
Từ (2), (3) x 2 ac2; y 2 bc2
KL Hàm số đạt cực tiểu bằng
2
2 2
c
a b tại điểm 2 ac2 ; 2 bc2
Bài 2 (Ví dụ 2, trang 237 [3]) Tìm cực trị của hàm số f(x; y) = 8x + 15y + 28 (1) với điều
kiện ràng buộc cân bằng 2x2 + 3y2 = 107 (2)
Lời giải
Cách 1 Lập hàm Lagrange F(x; y; ) = 8x + 15y + 28 + (2x2 + 3y2 107)
Xét hệ phương trình
/
/
x y
Tính
Xét tại điểm dừng (x1; y1; 1)
Trang 5Định thức đối xứng
Hàm số đạt cực đại tại điểm (4; 5) và giá trị cực đại bằng 135
Xét tại điểm dừng (x2; y2; 2)
Định thức đối xứng
D
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (4; 5) và giá trị cực đại bằng 79
Cách 2 Ta có 2 8 15 2 2 2 2
79 ≤ 8x + 15y + 28 ≤ 135 hay 79 ≤ f(x; y) ≤ 135
dấu = xảy ra khi
x y (3)
Từ (2), (3) x = 4, y = 5 và x = 4; y = 5
KL Hàm số đạt cực tiểu bằng 79 tại điểm (4; 5); đạt cực đại bằng 135 tại điểm (4; 5)
Bài 3 (Ví dụ, trang 243 [3]) Tìm cực trị của hàm số f(x; y; z) = x + y + z (1) với điều kiện
ràng buộc cân bằng x.y.z = 8 (2)
Lời giải
Cách 1 Lập hàm Lagrange F(x; y; z; ) = x + y + z + (x.y.z 8)
Xét hệ phương trình
/
1
2
2
2
1
4
x y z
Tính
2
Trang 6 Xét tại điểm dừng (x1; y1; z1 ; 1)
Lập ma trận đối xứng
H
Xét các định thức con chính
1
2
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (2; 2; 2) và giá trị cực đại bằng 6
Cách 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z, ta có:
3
x y x x y z hay f(x; y; z) ≥ 6;
dấu = xảy ra khi x = y = z (3)
Từ (2), (3) x = y = z = 2
KL Hàm số đạt cực tiểu bằng 6 tại điểm (2; 2; 2)
Bài 4 (Bài tập số 13, trang 256 [3]) Tìm cực trị của hàm số f(x; y; z) = 5x + 4y + 3z (1) với
điều kiện ràng buộc cân bằng x2
+ 2y2 + 3z2 = 36 (2)
Lời giải
Cách 1 Lập hàm Lagrange F(x; y; z; ) = 5x + 4y + 3z + (x2 + 2y2 + 3z2 36)
Xét hệ phương trình
x y z
Trang 7
Tính
2
Xét tại điểm dừng (x1; y1; z1 ; 1)
Lập ma trận đối xứng
H
Xét các định thức con chính, có D1 < 0, D2 > 0, D3 = det(H) < 0
Hàm số đạt cực đại tại điểm (5; 2; 1) và giá trị cực đại bằng 36
Xét tại điểm dừng (x2; y2; z2 ; 2)
Lập ma trận đối xứng
H
Xét các định thức con chính, có D1 < 0, D2 < 0, D3 = det(H) < 0
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (5; 2; 1) và giá trị cực đại bằng 36
2
x y z x y z x y z
36 ≤ 5x + 4y + 3z ≤ 36 hay 36 ≤ f(x; y; z) ≤ 36
dấu = xảy ra khi
x y
z
(3)
Từ (2), (3) x = 5; y = 2; z = 1 và x = 5; y = 2; z = 1
KL Hàm số đạt cực tiểu bằng 36 tại điểm (5; 2; 1);
đạt cực đại bằng 36 tại điểm (5; 2; 1)
Bài 5 (Bài tập số 14, trang 256 [3]) Tìm cực trị của hàm số f(x; y; z) = x.y2.z3 (1) với điều kiện ràng buộc cân bằng x + 2y + 3z = 18 (2)
Trang 8Lời giải
Cách 1 Lập hàm Lagrange F(x; y; z; ) = x.y2.z3 + (x + 2y + 3z 18)
Xét hệ phương trình
/ 2 3
/
3 0
3
3
243
x y z
x
F y z
y
F xyz
z
F xy z
F x y z
Tính
2
Xét tại điểm dừng (3; 3; 3; 243)
Lập ma trận đối xứng
H
Xét các định thức con chính, có D1 < 0, D2 > 0, D3 = det(H) < 0
Hàm số đạt cực đại tại điểm (3; 3; 3) và giá trị cực đại bằng 729
Cách 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
6
18 x 2y3z x y y z z z 6 x y z 729x y z
hay f(x; y; z) ≤ 729; dấu = xảy ra khi x = y = z = 3
KL Hàm số đạt cực đại bằng 729 tại điểm (3; 3; 3)
Bài 6 Tìm cực trị của hàm f = x4 + y4 + z4 (1) với điều kiện ràng buộc cân bằng
xy + yz + zx = 4 (2)
Lời giải
Cách 1 Lập hàm Lagrange F(x; y; z; ) = x4 + y4 + z4 + (xy + yz + zx 4)
Trang 9Xét hệ phương trình
/
x y z
F xy yz zx
Tính
2 2
Xét tại điểm dừng (x1; y1; z1;1)
Lập ma trận đối xứng
0
16
3
16
3
16
3
H
Xét các định thức con chính, có D1 < 0, D2 < 0, D3 = det(H) < 0
Hàm số đạt cực tiểu bằng 16
3
x y z
Cách 2 Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có
x y z x y z x y z
suy ra 4 4 4 16
3
3
3
x y z
Kết luận Hàm số đạt cực tiểu bằng 16
3
x y z
Trang 10Tài liệu tham khảo
[1] Trần Lưu Cường; Bài tập toán cao cấp phần II Các ví dụ và bài tập; Trường ĐKBK
tp Hồ Chí Minh; 1992
[2] Lê Đình Thúy; Toán cao cấp dành cho các nhà kinh tế; NXB ĐH kinh tế quốc dân; 2017
………