Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ Dạng 4.1 Hàm số tường minh Dạng 4.1.1 Hàm số chứa căn thức... CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 21.[r]
Trang 1CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
CHUYÊN
ĐỀ 19
TÍCH PHÂN, PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
MỤC LỤC
Phần A CÂU HỎI 1
Dạng 1 Tích phân cơ bản 1
Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải 1
Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản 3
Dạng 2 Tích phân HÀM HỮU TỶ 6
Dạng 3 Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN 9
Dạng 4 Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ 10
Dạng 4.1 Hàm số tường minh 10
Dạng 4.1.1 Hàm số chứa căn thức 10
Dạng 4.1.2 Hàm số chứa hàm lượng giác 13
Dạng 4.13 Hàm số chứa hàm số mũ, logarit 15
Dạng 4.1.4 Hàm số hữu tỷ, đa thức 16
Dạng 4.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 17
Dạng 5 Tích phân TỪNG PHẦN 21
Dạng 5.1 Hàm số tường minh 21
Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 24
Dạng 6 Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán 28
Dạng 7 Tích phân của một số hàm số khác 30
Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 30
Dạng 7.2 Tích phân nhiều công thức 31
Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ 31
Dạng 8 Một số bài toán tích phân khác 33
Phần B LỜI GIẢI THAM KHẢO 37
Dạng 1 Tích phân cơ bản 37
Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải 37
Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản 39
Dạng 2 Tích phân HÀM HỮU TỶ 42
Dạng 3 Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN 45
Dạng 4 Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ 47
Dạng 4.1 Hàm số tường minh 47
Dạng 4.1.1 Hàm số chứa căn thức 47
Dạng 4.1.2 Hàm số chứa hàm lượng giác 53
Dạng 4.1.3 Hàm số chứa hàm số mũ, logarit 55
Trang 2CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
Dạng 4.1.4 Hàm số hữu tỷ, đa thức 57
Dạng 4.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 59
Dạng 5 Tích phân TỪNG PHẦN 67
Dạng 5.1 Hàm số tường minh 67
Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 72
Dạng 6 Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán 87
Dạng 7 Tích phân của một số hàm số khác 90
Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 90
Dạng 7.2 Tích phân nhiều công thức 94
Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ 94
Dạng 8 Một số bài toán tích phân khác 99
Phần A CÂU HỎI
Dạng 1 Tích phân cơ bản
Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải
bằng
bằng
2
1
f x x
1
g x x
1
d
f x g x x
1
0
3
0
4
1
0
7
1
0 ( )d 2
0 ( )d 4
0 ( ) ( ) d
f x g x x
1
0
d 2
0
d 3
0
d
f x g x x
1
1
0
f x x
0
g x x
1
0
8
Trang 3CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
Trang 4CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
mọi hàm , liên tục trên và , là các số bất kỳ thuộc ?
bằng
bằng
Tính
( ) 2 ( ) d ( )d +2 ( )d
( )d ( )
d ( )
( )d
b
b
a b a
a
f x x
f x x
g x
g x x
( ) ( ) d ( )d ( )d
2
2( )d = ( )d
f x x f x x
2
2
f x x
2
f t t
4
2
d
f y y
5
2
0 f x dx3
0 g x dx7
2
0 f x 3g x dx
1
0
( )
f x
0
( )
f x
3
1
( )
f x
2
1
f x x
2
f x x
3
1
d
f x x
12
1
f ' x dx
( )d 9; ( )d 4
f x x f x x
0
( )d
I f x x
5
4
Trang 5CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
bằng
và thì giá trị của bằng
trên đoạn thoả:
f x dx f x dx
3
1
f x dx
f x
¡ 4
0
d 10
3
0
d
f x x
1
F x
x
1 1
2
( )
8
1
f x x
4
f x x
4
f x x
12
1
d
I f x x
17
f x
0;10 10
0
7
2
3
f x dx
10
f g
1;3
3
1
f x g x x
1
2f x g x dx6
1
d
f x g x x
f x
0;10 10
0
7
f x dx
2
3
f x dx
P f x dx f x dx
4
,
3
1
f x g x
1
2f x g x dx=6
1
dx
f x g x
Trang 6CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức cơ bản
bằng:
1;3 3
1
f x g x x
1
2f x g x dx6
3
1
d
I f x g x x
2
0
f x x
0
7
2
2
1
f x x
1
g x x
2
1
17 2
2
2
2
I
5
2
f x x
2
5
d 3
2
2
1
( ) 2
f x dx
1
g x dx
2
1
2 ( ) 3 ( )
5 2
7 2
17 2
11 2
2
0
d 3
0
d 1
2
0
5
0
f x x
5
2 0
4f x 3x dx
Trang 7CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
Khi đó bằng:
bằng
bằng?
140
2
1
4f x 2x dx1
1
f x dx
1
0
1
1
2 0
2f x 3x dx
0
1
0
2
I
f x f 0 4 f x' 2sin2 x ¡1, x
4
0
d
f x x
16
16
16
16
f x f 0 4 f x 2sin2x3 x R
4
0
d
f x x
2 2 8
8
8
8
( )
f x f(0) 4 f x( ) 2cos 2x ¡3, x
4
0
( )
f x dx
8
8
8
8
1
0
3x1 x3 dx
2
0
sin xdx
Trang 8CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Khi đó giá trị của là
Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
Dạng 2 Tích phân HÀM HỮU TỶ
2
2
0
(2 1)
I x dx
5
,
0
b
x ax x
b b a b b3b a b2 b3ba2b 3b22ab1
0
f x x
2
0
f x x
4
4
0
2 sin 3
2
1 6
6
10
5
f x
¡ 2 2
0
3 d 10
0
d
f x x
0
m
2
f x ax bx c
1
0
7 d 2
f x x
0
f x x
3
4
3
3
3 4
2
12 3
dx
x
Trang 9CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
nguyên Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Khi đó giá trị bằng
1
ln 35 2
7 ln 5
1 7 ln
2 5
7 2ln 5
2
13 2
dx
x
3
2
ln 2
2
dx
x
2 15
16 225
5 log 3
5 ln 3
1
0
2 0
2 1
1 1
e
1
I
e
e
3
0
d 2
x I
x
21 100
2
2
5000
I
2
1
d
x
x
1
ln 2 3
2
1
1 d
x
x
1 ln 2
4
2
1
d
ln 2 ln 3 ln 5
1 2 1
x
3
3
1
2
ln ,
x
dx a b c x
7
Trang 10CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
Khi đó giá trị của bằng
các số nguyên Tính
trong đó , là các số nguyên Tính giá trị của biểu thức
với , là các số nguyên Tính
Tính
, với a, b, c là các số nguyên Giá trị của bằng
với là các số hữu tỉ Giá trị của bằng
, Giá trị của bằng
1
ln , ,
x
2 1 0
ln 2 1
x
m n 1
2 1
2 0
1
1
x
x
5 2
3
1
x a x
2
2 2 1
10
1
,
1
3
2
1
3
ln 2 ln 3 ln 5
x
4 2 3
5 8
d ln 3 ln 2 ln 5
3 2
, ,
5 2
3
1
x a x
2
1 2 0
1 d 1
a x
a b, ¢,a10 a b
2 2
2
0
8
Trang 11CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
giá trị của là
Tính ?
với , , là các số nguyên dương và là phân số tối giản
với , , là các số hữu tỷ Biểu thức bằng
Dạng 3 Giải tích phân bằng phương pháp VI PHÂN
1
ln
x
2
2
0
ln 2 ln 3 ,
22 3
22 3
3
22 13
2 1
3
b
P a b c
5
2 0
d ln 2 ln 3
2
2
x
1
I F e F
1 2
e
1
3 1 0
d
x
e x
1
3 e e e4e
2
3 1 1
e d
x x
5 2
1
e e
e e
e e
6
0
0
(3 )
I f x dx
5
Trang 12CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
với , , và là các phân số tối giản Giá trị bằng
có giá trị bằng
các số nguyên dương Tính giá trị của biểu thức
, trong đó là các số nguyên dương và là phân số tối giản
Dạng 4 Giải tích phân bằng phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng 4.1 Hàm số tường minh
Dạng 4.1.1 Hàm số chứa căn thức
m p
1
0
1 d 1
x
3 2 2
d 1
x
x
ln 2
3
K
2
1 2 0
d 2
xe x e e
2 1
1
ln ln
e
x
T a ab b
2
1
1 2
1
p
x
x e dx me n
q
T m n p q
11
2
2 2
2 d 1
x
x
t t
f x
t
0 1 5
0
d
f x
10
Trang 13CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
hữu tỉ Mệnh đề nào sau đây đúng?
hữu tỉ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
, mệnh đề nào dưới đây đúng?
, là các số nguyên Tính
các số nguyên dương Tính
với là các số hữu tỷ Tính
Mệnh đề nào sau đây đúng?
21
5
ln 3 ln 5 ln 7 4
dx
2
55
16
d
ln 2 ln 5 ln11 9
x
3
2 2 1
I x x dx
2 1
3
0
1
1 2
0
2
1
I udu
ln 6
0
e
x
x x a b c
1
1
0
d
x
x
4
3
3 2
1 3
2 3
2
dx
P a b c
18
1
ln
2
1 ln
e
x
dx a b
,
1
2
4
3
S
2 2
2 0
16 d
4sin
4
0
8 1 cos 2 d
0
16 sin d
4
0
8 1 cos 2 d
0
16 cos d
Trang 14CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
Giá trị của bằng
là các số nguyên dương và tối giản Giá trị của bằng
số tối giản Tính
, với là các số hữu tỉ Giá trị của bằng
với là các số nguyên Giá trị bằng:
là các số nguyên và là phân số tối giản Giá trị của bằng
5
1
1
1 3x 1 a b c
7 3
5 3
8 3
4 3
1 3 1 2
1
1
, , ,
0
d
n x
m n
7
1
0
ln 2 ln 3 ln 5
dx
10 3
3
3
5 3
1
ln
2
1 ln
dx a b
1
2
4
3
S
3
0
ln 2 ln 3 3
3
0
d x
, , ,
2
3 2 0
d 1
a x x
x
2 1 2 1 1
3
I a a
2 2
1
3
I a a
Trang 15CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
nào dưới đây?
với là các số nguyên và phân số là tối giản Tính
với là các số hữu tỉ Tính tổng
thì ta được
với là số nguyên Khi đó giá trị là
với , , là các số hữu tỷ, tính
1 2
0
d 1
x x x
4 2 0
2sin ydy
1 2 2
0
sin d cos
x x x
0
sin dy cosy
y
0
2sin ydy
2 2
3
a
, ,
b P3a2b c
1
5 6 12
x
x
a b c d
1 3
25
2
20
1
2 0
d 4
x I
x
2sin , ;
2 2
3
0
d
π
0
d
π
0
d
π
0
d
π
t I t
2
dx
0
3
0
I x x x n
1
I
n
1 2
I n
I n
1
I n
64
3 1
ln 3
x
17
2
x
x a b c
Trang 16CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
, , là các số nguyên dương Tính
Dạng 4.1.2 Hàm số chứa hàm lượng giác
thì kết quả nào sau đây đúng?
mệnh đề nào dưới đây đúng?
1 9
27
2
1
d
x
44
4
0
ln 2 ln , ,
3
2 3 2 1 3
2
T a b c
4
3 0
cos sin d
1
4
4
2 2 0
x
S a b c
1
2
0
2 cos sin d
2 cos
2
3
d
2
d
3
0
d
2 4 4 0
sin d cos
x
x
4 2 0
d
0
1 d
u
0
d
0
d
I u u
π 3 3 0
sin d cos
x
x
5
2
2
3 20
4
I
Trang 17CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
của tổng bằng
là các số hữu tỉ, Tính tổng
Dạng 4.13 Hàm số chứa hàm số mũ, logarit
2
3
sin
d ln 5 ln 2
x
x
a b¢
2a b 0 a2b0 2a b 0 a2b0
0;20
a
5 0
2 sin sin 2 d
7
a
( )
1 sin
f x
x
(0) 2
2
F
2 2 8
F
2 2 8
F
4 2 8
F
4 2 8
F
6
0
1 sin
a b c
2
3
sin
d ln 5 ln 2
x
x
2a b 0 a2b0 2a b 0 a2b0
2
2 0
x
c
3
1
0
ln
x
a b e
2
e
1
3ln 1
d
x
x
1
0
3 1 d
et
t
I t
1
3 1 d
t
t
1
3 1 d
0
3 1 d
I t t
Trang 18CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
, với Khẳng định nào sau đâu đúng
trong đó là các số thực Giá trị của biểu thức là:
đúng?
, , là các số nguyên dương, biết là các phân số tối giản Tính giá trị ?
, , là các số nguyên dương Tính tổng
với là các số nguyên và Tính
với , , là các số nguyên dương
1
ln
ln 3 ln 2
3
ln 2
e
4
2 0
I x x x a b c
, ,
11
e
2 1
ln
d
ln 2
x
b
a
b
a
e
2 1
2ln 1
d ln
ln 2
x
b d
0
x
6
3 1
x x
P a b c
9
ln 2 0
4
ex 3e x
x
c
2
P a b c 3
2 2 1
1
d ln ln ln
x
P a b ab
1
0
e
e
x x
¢
Trang 19CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
Dạng 4.1.4 Hàm số hữu tỷ, đa thức
các số hữu tỷ Giá trị của bằng
Tìm mệnh đề đúng
các số hữu tỷ Giá trị của bằng
với Tính giá trị của biểu thức
Dạng 4.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn)
1
1
2 0
ln 2 ln 3 2
xdx
3a b c
3 2 2
d 1
x
x
ln 2
3
K
5 2 0
d 1
x
x
3 2
5 1
1 1
d 2
t
t
3 3 5 1
1 d
t
t
3 2
4 1
1 1
d 2
t
t
3 4
4 1
1 3
d 2
t
t
a
1 2 0
1
x dx
a x
1
2 0
ln 2 ln 3 2
xdx
3a b c 2
6
2 3x x2 dx
23 252
241 252
52 9
7 9
2 0
2 1
Trang 20CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG
, tính
5
1
d 15
f x x
2
0
5 3 7 d
Pf x x
15
4
0
20 8
2
0
I f x f x x
0
1
f x x
1
f x x
6
1
d
5
2
0
d 2018
f x x
0
d
1008
2
1
4
1
d
f x
x x
d
f x x x
2 2 1
1 2 I 5 f x x d
2
,
3
1
f x g x
1
2f x g x dx=6
1
f x
2
1
2 1 dx
g x
1
0
0
3 1 d 6
0
d
16