- Nếu có việc chi tiết hóa điểm các ý cần phải đảm bảo không sai lệch với tổng điểm và được thống nhất trong toàn hội đồng chấm thi.. - Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu hỏi trong đ[r]
Trang 1Website: tailieumontoan.com
UBND TỈNH THÁI NGUYÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2020
-2021 MÔN: TOÁN (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1 (1,5 điểm) Cho hai số thực , a b thỏa mãn ab Chứng minh2
a b a b a b a b
Câu 2 (1,5 điểm) Giải phương trình 16x2 1 2 4 x 1 4x 1 2
Câu 3 (1,0 điểm) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn a3b5c2020 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
Câu 4 (1,0 điểm) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2 n và 3 11 n là các số chính phương.
Chứng minh 15n là hợp số.8
Câu 5 (1,0 điểm) Bạn Chi được thưởng mỗi ngày ít nhất một chiếc kẹo, nhưng trong 7 ngày
liên tiếp, tổng số kẹo Chi nhận được không quá 10 chiếc Chứng minh trong một số ngày liên tiếp, tổng số kẹo Chi nhận được là 27 chiếc
Câu 6 (2,0 điểm) Cho đường tròn O , từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( ,, B C là các tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của
AO và BC. Vẽ đường kính CD của đường tròn O Đường thẳng AD cắt đường tròn
O
tại M khác D.
a) Chứng minh tam giác AMB và tam giác ABD đồng dạng.
b) Gọi N là giao điểm của BM và AO. Chứng minh NH2 NM NB. .
Câu 7 (2,0 điểm) Cho đường tròn I r,
nội tiếp tam giác ABC Điểm M thuộc cạnh BC.
với M B M, C. Đường tròn I r1, 1 nội tiếp tam giác AMC Đường thẳng song song.
với BC tiếp xúc với đường tròn , I r1, 1
cắt các cạnh AB AC lần lượt tại ', '., B C Gọi
N là giao điểm của AM với ' ' B C , đường tròn I r2, 2 nội tiếp tam giác AB N'
Chứng minh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2a) Bốn điểm A I I I cùng nằm trên một đường tròn., , ,1 2
b) r r 1 r2
HẾT
-Họ và tên thí sinh:……….………… Số báo danh………
UBND TỈNH THÁI NGUYÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2020- 2021
MÔN THI: TOÁN Dành cho chuyên Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM
( Bản hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
I Hướng dẫn chung
- Giám khảo cần nắm vững yêu cầu của hướng dẫn chấm để đánh giá đúng bài làm của thí sinh Thí sinh làm cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Khi vận dụng đáp án và thang điểm, giám khảo cần chủ động, linh hoạt với tinh thần trân trọng bài làm của học sinh
- Nếu có việc chi tiết hóa điểm các ý cần phải đảm bảo không sai lệch với tổng điểm và được thống nhất trong toàn hội đồng chấm thi
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu hỏi trong đề thi, chấm điểm lẻ đến 0,25 và không làm tròn
II Đáp án và thang điểm
Câu 1
Ta có
16 16 16
do
0,5 0,5
0,5
Câu 2
ĐK :
1 4
x
Ta có:
2
4 1 1 4 1 2 0 (*)
Do 4x với mọi 1 1 0
1 4
x
nên từ (*) suy ra
5
4
0,25
0,25
0,5
Trang 3Website: tailieumontoan.com
Vậy phương trình có một nghiệm
5 4
Câu 3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a và 3b ta có:
2
3
CMTT ta có:
;
Từ đó suy ra:
1010 4
Vậy giá trị lớn nhất của P là 1010 khi và chỉ khi
2020 3
404 3
a
c
0,5
0,25
0,25
Câu 4
2
* 2
2 1
3 1
a b
Khi đó ta có:
Vì a b suy ra 3, * a b Ta cần chứng minh 31 a b 1
Hay 3 2n 1 3n 1 1 3 2n 1 1 3n1
9 2n 1 3n 2 2 3n 1 15n 7 12n 4
Vậy 15n là hợp số.8
0,25
0,5
0,25
Câu 5
Xét 28 ngày liên tiếp từ ngày thứ nhất đến ngày thứ 28 mà Chi nhận được
kẹo
Gọi T n là tổng số kẹo Chi nhận được đến ngày thứ n Vì tổng số kẹo Chi
nhận được trong 7 ngày liên tiếp không vượt quá 10 chiếc nên ta có:
1T 1 T 2 T 28 40
Xét 28 số nguyên dương phân biệt T 1 , T 2 , ,T28 Theo nguyên lý
Đirichlet, tồn tại hai số T a T b mod 27 với 1 a b28 hay
27
Mặt khác ta có: 1T b T a 39 suy ra T b T a 27
0,5
0,25
0,25
Trang 4Vậy từ ngày thứ a đến ngày thứ b thì Chi nhận đúng 27 chiếc kẹo.1
Câu 6
a) Xét tam giác AMB và tam giác ABD có:
cïng b»ng s®1
2
A chung
Do đó tam giác AMB và tam giác ABD đồng dạng (g-g)
b) Xét tam giác ABO vuông tại B , đường cao BH có : AB2 AH AO. (1)
Mặt khác ta có hai tam giác ABM và ADB đồng dạng (g-g) suy ra
Từ (1) và (2) suy ra AH AO AM AD. . suy ra hai tam giác AMH và AOD
đồng dạng Do đó MHN MDC
Mặt khác MDC MBC (cùng chắn cung MC ) suy ra MHN MBH
Xét hai tam giác NHM và NBH có:
MHN MBH MNH chung, suy ra hai tam giác NHM và NBH đồng dạng
Do đó
1,0
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 7
a) Ta có:
Trang 5Website: tailieumontoan.com
Mà ' '/ /B C BC suy ra AB N' ABC suy ra
2
ABC
(1)
Tương tự ta có
2
ABC AIC AII
Từ (1) và (2) suy ra AI I2 1 AII1 do đó bốn điểm A I I I cùng nằm trên , , ,2 1
một đường tròn
Chú ý : Ra một trong hai nội dung ở (1) hoặc (2) cho 0,5 điểm.
b) Xét tam giác AI I và AIC có : 2 1
2
BAC
I AI IAC AI I AIC
do đó hai tam giác AI I và tam giác AIC 2 1
đồng dạng
Suy ra : I I2 1 AI1 *
IC AC
Xét tam giác ANI và 1 AI C có : 1
NAI CAI AI N ACI do đó hai tam giác ANI và tam giác 1 AI C đồng 1
dạng
Suy ra
1
**
I N AI
CI AC
Từ (*) và (**) suy ra
r r r
( Do
I N r suy ra
I I r r ) Vậy r r 1 r2
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25