Tập giá trị và GTLN - GTLN của hàm số lượng giác - TOANMATH.com

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y  B.. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có 178 nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ?.[r]

PHƯƠNG PHÁP

1 Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số y f x  xác định trên miền DR

a Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x  trên D nếu  

 

,,

2 Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này

a) Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn :

2 2

b) Bảng biến thiên của hàm số lượng giác

c) Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay

 MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đồ thị hàm số y 3 sinx

Ta có: y 4 khi sinx   và 1 y 2 khi sinx  1

Vậy miny 2 và maxy 4

Bài 2 Tìm tập giá trị T của hàm số y3cos 2x5

TẬP GIÁ TRỊ VÀ MAX - MIN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Lời giải

Tập xác định D  

Ta có:  1 cos 2x   1 3 3cos 2x    3 3 5 3cos 2x     5 3 5 8 y 2

Vậy tập giá trị của hàm số y3cos 2x5 là T    8; 2

Bài 3 Tìm tập giá trị T của hàm số ysin2x2 cos2x1 trên khoảng 

Lời giải

Với x   thì 0sin2x 1 0 sin2 x 1   3 3 sin2x  3 1 2

Lời giải Chọn B

Câu 2 Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y4 cos x là:

Lời giải Chọn B

Ta có y  4 khi cos x  1 và y 4 khi cos x 1

Câu 3 Cho hàm số sin

Chọn C

Ta có y 1 cos 2x 2 sin2x 2 sinx 2

Mặt khác 0 sinx    1 2 sinx    2 1   2 y 1

Ta có: y  2 khi sinx  và 0 y  1 khi sinx  1

Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là 2 và 1

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2017 cos 8 10 2016

Vậy miny  1; maxy4033

Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2

y x x

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y2 cos2xsin 2x5 là 6 2

Bài 3 Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ysinxcosx Tính PM m

Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 1

x y

Vậy miny 0min

Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2

y x x x

Lời giải

Cách 1:

2

Ta có  1 3 2 y 1 3 2 0y4

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số ysin2x2 cos2 x

A M 2, m  0 B M 2, m  1 C M  ,3 m  1 D.M  , 3 m 0

Lời giải Chọn B

Câu 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y3sinx4 cosx1

A maxy 8, miny  6 B maxy 4, miny  6

C maxy 6, miny  8 D maxy 6, miny  4

Lời giải Chọn B

Ta có y3sinx4 cosx 1 3sinx4 cosx y1  *

Ta coi  * như là phương trình cổ điển với a  , 3 b 4, c y1

C miny 1; maxy1 D min 1; max 2

2

y y

Lời giải Chọn A

 MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1 Tìm tập giá trị của các hàm số sau: 3cos 2

Vậy tập gái trị của hàm số là 1;5

Bài 2 Tìm tập giá trị của các hàm số sau: y 3 2 sin 2 x

Lời giải

Ta có:  1 sin 2x   1 2 2 sin 2x2  1 3 2 sin 2x  5 1 3 2 sin 2 x  5

Vậy tập giá trị của hàm số là 1; 5 

* y4sin2 x0xk

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , đạt được khi xk

giá trị nhỏ nhất bằng 1, đạt được khi

Vậy tập giá trị của hàm số là 2; 4

Câu 2 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 cos 3 3

3

y  x  

A miny 2,maxy 5 B. miny 1,maxy 4

C miny 1,maxy 5 D miny 1,maxy 3

Lời giải Chọn C

Câu 3 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 cos2x 1

A maxy 1,miny  1 3 B maxy 3, miny  1 3

C. maxy 2,miny  1 3 D maxy 0, miny  1 3

Lời giải Chọn D

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng miny  1 3, đạt được khi xk

Câu 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 1 3sin 2

4

A miny  2,maxy 4 B miny 2,maxy 4

C. miny  2,maxy 3 D miny  1,maxy 4

Lời giải Chọn A

A miny 1,maxy 2 B miny 1,maxy 3

C. min y 2,maxy 3 D miny  1,maxy 3

Lời giải Chọn C

 MỨC ĐỘ 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3sin2 4

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 7

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số   2

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y2 cos2xsin 2x là 5 6 2

Bài 4 Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y2 3 sin xcosx Tính

Vậy tập giá trị của hàm số là 4;0

Câu 2 Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số sin 2 cos 1

x y

 MỨC ĐỘ 3 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2020 cos 8 10 2021

Suy ra miny 0, đạt được khi cosx  1 x k2 k  

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: ycos 2x 3 sin 2x2

y x x x x 

A miny  2 B miny  4 C miny  5 D miny  1

Lời giải Chọn C

Ta có: ytanxcotx23 tan xcotx3

Vậy miny  5 đạt được khi

4



Câu 3 Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ysinx 2 sin 2x là M , m TínhM m.

Lời giải Chọn D

Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: sin 2 cos 3 2

định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là

 MỨC ĐỘ 4 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ysinx cosxcosx sinx

Lời giải

x x



Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm sinx cosx và cosx sinx ta có :

Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 2 2

tan tanx z tan tany z 1 tan tanx y

Ta thấy tan tan ; tan tan ; tan tanx z y z x y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề bài cho

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:

1 1 tan tan x y1 1 tan tan y z1 1 tan tan z x 

Ta có

2

1 tancot 2

2 tan

x x

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 2 2

Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số sin 1

Do m  m   2; 1;0; 2;1 Vậy có 5 giá trị của m thỏa ycbt

Câu 5: Số giờ có ánh sáng của một thành phốA trong ngày thứ t của năm 2020 được cho bởi một hàm số

178

nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ?

Lời giải Chọn A

Với k  0 t 149 tức rơi vào ngày 28 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4có

30 ngày, riêng đối với năm 2020 là năm nhuận nên tháng 2có 29 ngày hoặc dựa vào dữ kiện

0 t 366 thì ta biết năm này tháng 2 có 29 ngày)