Hướng dẫn giải các dạng toán đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song - TOANMATH.com

Gọi H , K lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và AB và M là một điểm nằm trong hình thang ABCD sao cho đường thẳng K M cắt hai đường thẳng AD và CD.. Tìm thiết diện của hình chóp S.AB[r]

CHƯƠNG 7 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

PHẲNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Mở đầu về hình học không gian

Đối tượng cơ bản:

Điểm: kí hiệuA,B,C,

Đường thẳng: kí hiệua,b,c,d,

Mặt phẳng: kí hiệu(P),(Q),(α),(β), A

Bd

P

Quan hệ cơ bản:

Thuộc: kí hiệu∈ Ví dụA ∈ d,M ∈ (P)

Chứa, nằm trong: kí hiệu⊂ Ví dụ:d ⊂ (P),b ⊂ (α)

Hình biểu diễn của một hình trong không gian:

Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng Đoạn thẳng biểu diễn bởi đoạn thẳng

Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắtnhau)

Hai đoạn thẳng song song hoặc bằng nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng song song và bằngnhau

Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (- - - -) để biểu diễncho những đường bị che khuất

2 Các tính chất thừa nhận trong hình học không gian

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng

hàng cho trước

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng

thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có

một điểm chung khác nữa

Từ tính chất này suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm

chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung

ấy Đường thẳng chung là duy nhất chứa tất cả các điểm chung của

hai mặt phẳng đó Đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến

Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng

Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi quađiểm đó

Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau

Mặt phẳng hoàn toàn có thể mở rộng ra đến vô cực

311

4 Hình chóp và hình tứ diện.

Cho đa giác A1A2A3 An nằm trong mặt phẳng (α) và điểm S ∉ (α) Lần lượt nối điểm S với các đỉnh

A1A2A3 An ta đượcntam giácS A1A2,S A2A32, S AnA1 Hình gồm đa giácA1A2A3 Anvàntam giác

S A1A2,S A2A3, S AnA1được gọi là hình chóp, kí hiệu hình chóp này làS.A1A2A3 An Khi đó ta gọi: Slà đỉnh của hình chóp

A1A2A3 An là mặt đáy của hình chóp

Các tam giácS A1A2,S A2A3, S AnA1được gọi là các mặt bên

Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, , lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác,hình chóp ngũ giác,

Cho bốn điểmA,B,C,Dkhông đồng phẳng Hình gồm4tam giác ABC,ACD,BCD, ABDgọi là hình tứdiện (hay ngắn gọn gọi là tứ diện) và được kí hiệu làABCD

Các điểmA,B,C,Dlà bốn đỉnh của tứ diện

Các đoạn thẳngAB,BC,CD,D A,C A,BDgọi là các cạnh của tứ diện

Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện của tứ diện

Các tam giácABC,ACD,ABD,BCDgọi là các mặt của tứ diện

Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều

{ DẠNG 1.1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.

Đường thẳng nối hai điểm đó là giao tuyến của chúng.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳngSK.

2 Trong(ABC), gọiH = AN ∩ CM, ta có

(S ∈ (SAN) ∩ (SCM)

H ∈ (S AN) ∩ (SCM)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳngSH

BM

VÍ DỤ 2 Cho hình chópS.ABCD, trong đó mặt đáyABCDcó các cặp cạnh đối không song song Gọi điểm M

thuộc cạnhS A Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau

Vậy đường thẳng giao tuyến làSE

2 Trong(ABCD), gọiF = AB ∩ CD, ta có

(S ∈ (SAB) ∩ (SCD)

F ∈ (S AB) ∩ (SCD)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng làSF

3 Trong(ABCD), gọiK = AD ∩ CB, ta có

(M ∈ (MBC) ∩ (SAD)

K ∈ (MBC) ∩ (S AD)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng làMK

MS

CB

FE

EK

CN

BÀI 3 Cho tứ diệnS ABC GọiD, E, Flần lượt là trung điểm củaAB, BC, S A

Tìm giao tuyếnSHcủa hai mặt phẳng(SCD)và(S AE);

Lời giải.

Trong(ABC), gọiH = AE ∩ CD ≡ H

Ta có giao tuyến của(SCD)và(S AE)làSH

1

Trong(S AB), gọiI = SD ∩ BF

Ta có giao tuyến của hai mặt phẳng(SCD)và(BFC)làC I

2

Ta cóC IvàSHcùng nằm trong mặt phẳng(SCD)

Xét tam giácSCDcóI ∈ SD; H ∈ CDnênC I vàSHcắt nhau tạiO

Ta cóIlà trọng tâm tam giácS ABsuy ra I D

SD=13

Hlà trọng tâm tam giácABCsuy ra DH

CD=13.Suy ra I D

BÀI 6 Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCDlà hình thang với AB ∥ CD và AB > CD Lấy điểmM nằm trên đoạn

S A Hãy tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(BD M)và(S AC)

1 2 (BCM)và(S AD)

(BCM)và(SCD)

3

BÀI 7 Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO Lấy điểmMtrên cạnhS A, trung điểmCD

làN Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

BÀI 12 Cho tứ diệnABCDcóMlà điểm trên cạnhAB,Nlà điểm trên cạnhADsao choMB = 2M A, AN = 2ND Gọi

Plà điểm nằm trong tam giácBCD Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

BÀI 16 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang có AB ∥ CD GọiI là giao điểm củaADvàBC LấyM

thuộc cạnhSC Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(S AC)và(SBD)

1 2 (S AD)và(SBC)

(AD M)và(SBC)

3

BÀI 17 Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành tâmO GọiM, N, Qlần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CD, S A Hãy tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(M N P)và(S AB)

1 2 (M N P)và(S AD)

(M N P)và(SBC)

3 4 (M N P)và(SCD)

BÀI 18 Cho hình chópS.ABC Gọi H, K lần lượt là trọng tâm tam giácS AB, SBC và M là trung điểm cạnh AC,

I ∈ SMsao choS I > SM Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

(I HK )và(ABC)

1 2 (I HK )và(SBC)

{ DẠNG 1.2 Tìm giao điểm của đường thẳngd và mặt phẳng(α)

d

u I

α β

I ∈ AO ⊂ (SOA)⇒ Ilà giao điểm củaBCvà(SO A).

2 Chọn mặt phẳng phụ chứaMOlà(SO A), ta có(SO A) ∩ (SBC) = SI

Trong(SO A) ≡ (SMI), gọiJlà giao điểm củaS IvàMO

Ta có( J ∈ MO

J ∈ SI ⊂ (SBC)⇒ Jlà giao điểm củaMOvà(SBC).

3 Trong mặt phẳng(ABC), kéo dàiCO cắtABtạiK

Ta có(K ∈ AB

K ∈ CO ⊂ (MOC)⇒ Klà giao điểm của ABvà(MOC).

4 Chọn mặt phẳng phụ chứaSBlà(S AB), ta có(S AB) ∩ (MOC) = MK

Trong(S AB) ≡ (M AB), gọiHlà giao điểm củaSBvàMK

3 Đường thẳngSOvà mặt phẳng(CM N).

Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(ABC), kéo dàiCOcắtABtạiI

Ta có( I ∈ AB

I ∈ CO ⊂ (SOC)⇒ Ilà giao điểm củaABvà(SOC).

2 Chọn mặt phẳng phụ chứaM Nlà(S AB), ta có(S AB) ∩ (SOC) = SI

Trong(S AB), gọiK là giao điểm củaS I vàM N

Ta có(K ∈ MN

K ∈ SI ⊂ (SOC)⇒ Klà giao điểm củaM Nvà(SOC).

3 Chọn mặt phẳng phụ chứaSOlà(S IC), ta có(S IC) ∩ (CMN) = KC

Trong(S IC), gọiHlà giao điểm củaK CvàSO

ä

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC Lấy điểm P trên cạnh BD sao cho

PB > PD Tìm giao điểm của

P C

B N M

1 Trong mặt phẳng(BCD), xét tam giácBCD có NB

NC= 1 6= PB

PC nênN P vàDC cắt nhau giả sử tạiQ Rõ ràng

Q ∈ CDtheo cách dựng Lại cóQ ∈ NP ⊂ (MNP)nênQ ∈ (MNP) VậyQ = CD ∩ (MNP)

2 Trong mặt phẳng(ACD)nốiQ vớiM cắt ADtạiE Dễ thấyE ∈ ADtheo cách dựng Lại có E ∈ MQ ⊂ (MNP)

nênE ∈ (MNP) VậyE = AD ∩ (MNP)

ä

BÀI 2 Cho tứ diệnABCD TrênACvà ADlần lượt lấy các điểm M,N sao choM Nkhông song song vớiCD GọiO

là điểm thuộc miền trong4BCD Tìm giao điểm của

BDvà(OM N)

1 2 BCvà(OM N) 3 M Nvà(ABO) 4 AOvà(BM N)

Lời giải.

Trong mặt phẳng(ACD), vìM Nkhông song song vớiCDnên ta giả

sửM N cắtCDtạiE Trong mặt phẳng(BCD), nốiE vớiOkéo dài

cắtBDvàBClần lượt tạiF vàG

1 Ta cóF ∈ OE ⊂ (OMN)vàF ∈ BD Suy raF = BD ∩ (OMN)

2 Theo cách dựng thìG ∈ BCvàG ∈ OE ⊂ (OMN) VậyG = BC ∩

(OM N)

3 Trong mặt phẳng(BCD)kéo dàiBOcắtDCtạiH Trong mặt

phẳng(ADC)nốiHvớiAcắtM NtạiI VìH ∈ BO ⊂ (ABO)nên

AH ⊂ (ABO) Suy raI ∈ (ABO) VậyI = MN ∩ (ABO)

F N

A

M

I G

O

H D

J B

E

C

4 Trong mặt phẳng (ABH)nối B với I cắt AO tại J Rõ ràng J ∈ AO theo cách dựng và J ∈ BI ⊂ (BMN) Vậy

J = AO ∩ (BMN)

Gọi Ivà J lần lượt là trung điểm của các cạnhSD và DC Trọng

tâm của tam giácSCDlàN = SJ ∩ CI

1 Trong mặt phẳng(ABCD)nốiBvới J cắtACvàADlần lượt

tạiEvàK VìDK ∥ BCnên theo Hệ quả của Định lý Talet ta

có

JB

JK = JC

JD = 1 ⇒ JC = JD

Vậy 4SCD và4SBK có chung đường trung tuyến làS J Vì

thế trọng tâm N của 4SCD cũng là trọng tâm của 4SBK

Suy raK ∈ MN Lúc đóK = MN ∩ (ABCD)

2 Trong mặt phẳng(SBJ)nốiS vớiEcắtM N tạiF Ta cóF =

M N ∩ (S AC)

H G S

K I

A

F

J E C

D

B

3 Trong mặt phẳng (SCD) nối N với D kéo dài cắtSC tại H VìD ∈ AK ⊂ (AMN) nên N D ⊂ (AMN) Suy ra

H ∈ (AMN) VậyH = SC ∩ (AMN)

4 Theo cách dựng ta thấy I K = (CMN) ∩ (S AD) Trong mặt phẳng(S AD)kéo dài I K cắtS A tạiG Lúc đó G =

S A ∩ (CMN)

ä

BÀI 4 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành tâmO TrênS A,SBlần lượt lấy hai điểmMvàN

Tìm giao điểm củaSOvà(CM N)

Tìm giao điểmQcủaSCvà(M N P)

2 Trong mặt phẳng (S AC) gọi G là giao điểm của M I và AC Lúc đó G ∈

(M N P) ∩ (ABCD) Trong mặt phẳng(S AB), vì

1 = MS

M A6=PBP S= 3

nên MP và AB cắt nhau Gọi H là giao điểm của MP và AB Ta có H ∈

(M N P) ∩ (ABCD) VậyGH = (MNP) ∩ (ABCD)

S

P

H M

I

O A

D

N

G B

Q C

ä

BÀI 6 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành,Mlà trung điểm củaSC,N là trung điểm củaOB

vớiOlà giao điểm của ACvàBD

Tìm giao điểmIcủaSDvới(AM N).

1 Trong mặt phẳng(ABCD)nối AvớiN kéo dài cắtDCtạiJ và cắtBCtạiL Trong mặt phẳng(SDC)nối Jvới

M kéo dài cắtSDtạiI VìJ ∈ AN ⊂ (AMN)nênM J ⊂ (AMN) Suy raI ∈ (AMN) VậyI = SD ∩ (AMN)

2 Trong mặt phẳng(ABCD), vìAB ∥ D J nên4N ABđồng dạng với4N JD Suy ra

BÀI 7 Cho hình chópS.ABCcóGlà trọng tâm tam giácABC GọiM là điểm trên cạnhS Asao choM A = 2MS,K

là trung điểmBCvàDlà điểm đối xứng củaGquaA

Tìm giao điểmHcủaSK với(MCD)

SK

2

Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(SDK )kéo dàiD M cắtSK tạiH Lúc đóH = SK ∩ (MCD)

2 Trong mặt phẳng(SDK )vẽ đường thẳng quaAvà song song với

SK cắtDHtạiE Vì AE ∥ SHnên theo Hệ quả của Định lý Talet ta

S

E M

J

H

Q K

1 Trong mặt phẳng(BCD)kéo dàiJKcắtCDtạiE Lúc đó, dễ thấyE ∈ CDtheo cách dựng Lại cóE ∈ K J ⊂ (I JK).Suy raE = CD ∩ (I JK)

Trong mặt phẳng(BCD)lấy điểm E0 thuộc đường thẳngDCsao choD là trung điểm củaE0C Xét4E0BCcó

BDvàE0Jlà các đường trung tuyến VìBK = 2K DnênKlà trọng tâm4E0BC Suy raE0,K,Jthẳng hàng Từđây cóE0= DC ∩ K J VậyE0≡ E Suy raDE = DC

2 Trong mặt phẳng(ACD), nối IvớiEcắt ADtạiF Lúc đó rõ ràngF ∈ ADvà vì F ∈ EI ⊂ (I JK)nênF ∈ (I JK).VậyF = AD ∩ (I JK)

Trong4AEC, vì các điểmD, Ilần lượt là trung điểm củaECvàACnênF = AD ∩ EI chính là trọng tâm của

4AEC Theo tính chất trọng tâm tam giác ta cóF A = 2FD

Vì I Jlà đường trung bình của tam giácABCnênI J ∥ AB Mặt khác, vì DK

DB=DFD A=13 nên theo Định lý Talet

ta cóF K ∥ AB Từ đó suy raF K ∥ I J

3 Trong mặt phẳng(BCD)nốiBvớiNcắtK JtạiQ Ta cóQ ∈ (I JK) Trong mặt phẳng(ADC)nối AvớiNcắtE I

tạiP Vì(I JK ) ≡ (IEJ)nênP ∈ EI ⊂ (IEJ) ⇒ P ∈ (I JK) Trong mặt phẳng(ABN)nốiPvớiQcắtM NtạiH Lúc

đó, vìH ∈ PQ ⊂ (I JK)nênH ∈ (I JK) VậyH = MN ∩ (I JK)

ä

BÀI 9 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vớiAD ∥ BCvàAD = 2BC,Elà trung điểm củaS A Gọi

N là điểm thuộc đoạnABsao choNB = 2N AvàMlà điểm thuộc đoạnCDsao choMD = 2MC

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(EM N)và(S AD)

3 Trong mặt phẳng (S AB) kéo dài N E và SB cắt nhau tại K Lúc đó K ∈ (EMN) ∩ (SBC) Trong mặt phẳng

(ABCD)kéo dài M NvàBCcắt nhau tạiH Ta cóH ∈ (EMN) ∩ (SBC) Suy raGH = (EMN) ∩ (SBC) Trong mặtphẳng(EM N)kéo dàiK HvàEMcắt nhau tạiL VìK H ⊂ (SBC)nênL ∈ (SBC) VậyL = EM ∩ (SBC)

4 Trong mặt phẳng(ABCD)kéo dàiCDvàABcắt nhau tại

Trong mặt phẳng(S AB)xét4SI A cóB vàE lần lượt là

trung điểm các cạnhI AvàS A Lúc đóP = IE∩SBlà trọng

tâm4SI A Theo tính chất trọng tâm thì

I

S

A N

H D

C

L

B P E

M

ä

BÀI 10 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình thang, ABđáy lớn và AB = 3CD Gọi N là trung điểm của

CD,Mlà điểm trên cạnhSBthỏaSM = 3MB, điểmItrên cạnhS Avà thỏa A I = 3IS

Tìm giao điểm của đường thẳngM Nvới(S AD)

1 Theo cách dựng, dễ thấyK ∈ MN VìK ∈ IP ⊂ (S AD)nênK ∈ (S AD) VậyK = MN ∩ (S AD)

2 VìHlà giao điểm củaCBvới(I M N)nênH = CB ∩ N J

Trong mặt phẳng(S AB)vẽ đường thẳng quaB

và song song vớiS AcắtI JtạiO

Vì BO ∥ SI nên áp dụng Hệ quả Định lý Talet

J A

P

M I

I J M

J I

K I

G E

F

B M

J N

S

E

A F

N D

B

C M

BÀI 20 Cho tứ diệnABCD GọiI,Mlần lượt là trung điểm củaABvàBC,Glà trọng tâm tam giác ACD

Tìm giao điểmP củaCDvà(I MG)

B M

F

{ DẠNG 1.3 Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng(α).

đến khi khép kín thành một đa giác phẳng Đa giác đó là thiết diện cần tìm và các đoạn giao tuyến chính là các cạnh của thiết diện.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1 Cho tứ diện ABCD, trên các đoạnC A, CB,BD lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho M N khôngsong song vớiAB Gọi(α)là mặt phẳng xác định bởi ba điểmM, N,P Xác định thiết diện tạo bởi(α)và tứdiệnABCD?

Lời giải.

Trong mặt phẳng(ABC), doM N và ABkhông song

song nên chúng cắt nhau giả sử tạiE Khi đó điểmE

Vậy thiết diện cắt tứ diện ABCD bởi mặt phẳng

(M N P)là tứ giác M NQP Hay hiết diện cắt tứ diện

ABCDbởi mặt phẳng(α)là tứ giácM NQP

E

C M

P

A

B N

D Q

D Q

ä

VÍ DỤ 2 Cho tứ diệnS ABCvàOlà một điểm thuộc miền trong tam giácABC GọiM,N lần lượt là hai điểmnằm trên cạnhS AvàSCsao choM Nkhông song song vớiAC Xác định thiết diện cắt tứ diệnS ABCbởi mặtphẳng(M NO)?

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AC), doM N vàACkhông song song nên chúng cắt nhau

giả sử tạiE Khi đó điểmEnằm ngoài đoạn AC

Trong mặt phẳng(ABC), gọiP,Qlần lượt là giao điểm củaEOvớiBCvàAB

M

N

C E

ä

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1 Cho hình chópS.ABC Trên các cạnhS A,SBlần lượt lấy các điểm M,N sao cho M N không song song với

AB GọiP là điểm thuộc miền trong tam giácABC Xác định giao tuyến của(M N P)và(ABC)từ đó suy ra thiết diệnkhi cắt hình chópS.ABCbởi mặt phẳng(M N P)

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AB), doM Nkhông song song với ABnên chúng cắt nhau giả sử

tạiE Khi đóEnằm ngoài đoạnAB

Trong mặt phẳng(ABC), gọiK,Hlần lượt là giao điểm củaEPvới các đoạnBC, AC

(VìPthuộc miền trong tam giác(ABC)) Khi đó ta có

M

N

C P

E K H

ä

BÀI 2 Cho tứ diện S ABC Gọi K, N lần lượt là trung điểm của S A, BC và M là điểm thuộc đoạn SC sao cho

Vậy thiết diện cắt tứ diệnS ABCbởi mặt phẳng(K M N)là tứ giácM N I K

2 TrênSClấy điểmPsao choMlà trung điểm củaSP Khi đó ta có

• AP ∥ K Mtheo tính chất đường trung bình của tam giácS APnênAP ∥ EM ⇒AC

1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng(S AD)và(SBC)

2 Tìm giao điểm của đường thẳngSDvới(A I J)

3 Xác định thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(A I J)

Lời giải.

d S

1 Hai mặt phẳng(S AD)và(SBC)cóSlà một điểm chung.

Lại có AD ∥ BCtheo giả thiết vàS ∉ (ABCD)nên giao tuyến của(S AD)và(SBC)là đường thẳngdđi quaSvàsong song với AD,BC

2 DoI Jlà đường trung bình của tam giácSBCnênI J ∥ BCmàI ∉ (ABCD) ⇒ I J ∥ AD Vì vậyA,D,I,Jxác địnhmặt phẳng(AD J I)hayD ∈ (AI J)

Mặt khácD ∈ SDnênDlà giao điểm củaSDvới(A I J)

1 Tìm giao điểm củaM Nvà mặt phẳng(S AC)

2 Tìm giao điểm củaSCvà mặt phẳng(AM N)

3 Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(AM N)

Lời giải.

S

B

C E

D

F N

1 Trong mặt phẳng(ABCD), gọiOlà giao điểm củaACvàEF Khi đóSO = (S AC) ∩ (SEF)

Trong mặt phẳng(SEF), gọi{I} = MN ∩ SO Ta cóI ∈ SO ⇒ I ∈ (S AC) MàI ∈ MNnên{I} = MN ∩ (S AC)

2 Theo chứng minh trên ta suy ra A I = (AMN) ∩ (S AC)

Trong mặt phẳng (S AC) gọi P là giao điểm của A I và SC Khi đó do P ∈ AI ⇒ P ∈ (AMN) Mà P ∈ SC nên

1 Tìm giao điểmIcủaG Mvới(ABCD) Chứng minhIthuộc đường thẳngCDvàIC = 2ID.

2 Tìm giao điểmJ củaADvà(OMG) Tính tỉ số J A

I

G H

A M

D

N K

1 GọiE,Nlần lượt là trung điểm củaAD,S A Ta cóMlà trung điểm củaSB,Glà trọng tâm của tam giácS AD.Trong mặt phẳng(SBE)có SM

SB =126=23=SGSE suy raMGvàBEkhông song song Do đóMGvàBEcắt nhau.Lại doBE ⊂ (ABCD),{I} = MG ∩ (ABCD)nênI ∈ BE

Vậy giao điểmIcủaMGvà(ABCD)là giao điểmIcủaMGvàBE

DoM Nlà đường trung bình của tam giácS ABnênM N ∥ AB ⇒ MN ∥ CD Suy raM N,CDxác định mặt phẳng

(M N DC)

Lại doGlà trọng tâm tam giácS AD nênG ∈ ND ⇒ G ∈ (MNDC),I ∈ MG ⇒ I ∈ (MNDC)

Mặt khác(M N DC) ∩ (ABCD) = CD,I ∈ (MNDC),I ∈ (ABCD)nênI ∈ CD

MàJ là giao điểm củaADvà(OMG)(gt) nênJ0≡ J VậyJ là giao điểm củaIOvàAD

Dễ thấyJlà trọng tâm4I ACnên J A

JD = 2

3 Trong mặt phẳng(ABCD), gọiF là giao điểm củaBIvàACsuy ra(SBI) ∩ (S AC) = SF

Trong mặt phẳng(SBI), gọiHlà giao điểm củaM IvàSF Ta cóH ∈ MG ⇒

OH ⊂ (OMG)vàHthuộc(S AC)

Trong mặt phẳng(S AC), gọi K0 là giao điểm củaOH và S A Khi đó do

K0∈ OH ⇒ K0∈ (OMG) ⇒ S A ∩ (OMG) = {K0}hayK0≡ K VậyK là giao điểm

BÀI 6 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO GọiM,N,P lần lượt là trung điểm củaSB,

SDvàOC

1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng(M N P)với các mặt phẳng(S AC)và(ABCD)

2 Tìm giao điểm củaS Avới mặt phẳng(M NP)

3 Xác định thiết diện của hình chópS.ABCDvới mặt phẳng(M NP) Tính tỉ số mà mặt phẳng(M NP)chia các

G

F

N I

D E

A M

1 DoM,Nlần lượt là trung điểm củaSB,SDnênM Nlà đường trung bình của tam giácSBD, suy raM N ∥ BD

Ta có(P M N) ∩ (SBD) = MN

Trong mặt phẳng(SBD), gọiI là giao điểm củaM N vàSO Khi đó vìI ∈ SO ⇒ I ∈ (S AC),P ∈ AC ⇒ P ∈ (S AC)

suy ra(P M N) ∩ (S AC) = P I

Hai mặt phẳng(P M N)và(ABCD)cóP là một điểm chung MàM N ∥ BD,P ∉ MN,P ∉ BDnên giao tuyến của

(P M N)và(ABCD)là đường thẳng quaP, song song vớiM Nvà song song vớiBD, cắt các cạnhBC,CDlần lượttạiHvàK

2 Trong mặt phẳng(S AC), gọiElà giao điểm củaP IvàS A Ta có

• E ∈ P I, P I ⊂ (P MN) ⇒ E ∈ (P MN)

• MàE ∈ S AnênElà giao điểm củaS Avới(P M N)

3 Ta có(P M N)lần lượt giao với các cạnhS A,SB,BC,CD,SDtại các điểmE,M,H,K,Nnên

Trong tam giácSOC cóI Plà đường trung bình nênI P ∥ SC

Do đó trong tam giácS ACcóP E ∥ SCsuy ra ES

E A=PC

P A=1

3.Lại cóPlà trung điểm củaOC,HKquaP vàHK ∥ BDnênHKlà đường trung bình của tam giácBCD

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(AM N)và(SCD).

2 Tìm giao điểmIcủaSCvà mặt phẳng(AM N) Suy ra thiết diện của mặt phẳng(AM N)và hình chópS.ABCD

3 GọiK là giao điểm củaI NvàCD Tính tỉ số K C

I

A M

D

1 Trong mặt phẳng(SBD) Theo bài ra ta có SM

SB =13, SN

SD =23⇒SMSB 6=SNSD Do đóM NcắtBDgiả sử tạiE.Hai mặt phẳng(AM N)và(ABCD)có hai điểm chungAvàEnên(AM N) ∩ (ABCD) = AE

Trong mặt phẳng(ABCD), gọiK là giao điểm củaAEvàCD Khi đó

• K ∈ AE ⇒ K ∈ (AMN)

• K ∈ CD ⇒ K ∈ (SCD) Suy raK là một điểm chung của(AM N)và(SCD)

• Mặt khác(AM N)và(SCD)có điểmNchung (vìN ∈ SD)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng(AM N)và(SCD)là đường thẳngK N

2 Trong mặt phẳng(SCD), gọi Ilà giao điểm củaK NvàSC Khi đóI ∈ K N ⇒ I ∈ (AMN) VậyIlà giao điểm của

EB =MP

MB=1

4.Xét tam giácABE, cóK D ∥ ABnên K D

AB=EDEB=14.Suy ra K D

ä

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BÀI 8 Cho tứ diện ABCD Trên ABlấy điểm M Trên cạnh BClấy điểm N thỏa mãnBN = 2NC Gọi P là trungđiểm củaCD Xác định thiết diện của tứ diệnABCDkhi cắt bởi mặt phẳng(M N P) ĐS:

Thiết diện là tứ giácM N PQ A

P C

E D

M

B

Q

N

BÀI 9 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang đáy lớnAD Lấy điểmMtrên cạnhSB Tìm thiết diện

C M

B E

G

H P

BÀI 11 Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD là hình thang đáy lớnAD GọiH,K lần lượt là trung điểm của cáccạnhSBvàABvàM là một điểm nằm trong hình thang ABCDsao cho đường thẳngK M cắt hai đường thẳngAD

vàCD Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDkhi cắt bởi mặt phẳng(HK M) ĐS:

K I

P M

BÀI 12 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang đáy lớnAB Lấy các điểmM,Nlần lượt trên các cạnh

SCvàSD Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDvới các mặt phẳng(ABM)và(AM N) ĐS:

C D

O A

N

B M

Q

I

J P

Hình 1

S

C D

SD thì thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi(AM N)là tứ giácAN MQ(Hình2)

BÀI 13 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành GọiH,K lần lượt là trung điểm củaBCvàCD.Lấy điểmMbất kỳ trên cạnhS A Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDvới mặt phẳng(MHK ) ĐS:

D

K

C H

BÀI 14 Cho tứ diện đềuABCDcó cạnh bằnga Gọi Ilà trung điểm của AD,J là điểm đối xứng vớiDquaC,K làđiểm đối xứng vớiD quaB Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng(I JK )và tính diện tích

Thiết diện là tam giácI EF cân tạiI

BÀI 15 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành GọiK là trọng tâm của tam giác S AC GọiI, J

lần lượt là trung điểm củaCDvàSD

1 Tìm giao điểmHcủa đường thẳngI K với mặt phẳng(S AB)

2 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(I JK ).

E

B K

H

A J

M G

BÀI 16 Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDkhông là hình thang, điểm P nằm trong tam giácS AB và điểm M

thuộc cạnhSDsao choMD = 2MS

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(S AB)và(PCD)

2 Tìm giao điểm củaSCvới mặt phẳng(ABM)

3 GọiNlà trung điểm củaAD Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng(M N P)và hình chópS.ABCD

ĐS:

S

E C

D A

B P

Hình 1.

S

B

C O

I

D

M

F A

G H P R

Hình 3.

1 Giao tuyến của hai mặt phẳng(S AB)và(PCD)là đường thẳngP E

2 Giao điểm củaSCvới mặt phẳng(ABM)là điểmF

3 Thiết diện tạo bởi mặt phẳng(M N P)và hình chópS.ABCDlà ngũ giácM N HQR

{ DẠNG 1.4 Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1 Cho tứ diệnS ABC Trên các cạnhS A,SB,SC lần lượt lấy M,N, P sao choM N cắtABtạiI,N P

cắtBCtạiJvàMP cắtACtạiK Chứng minh rằng ba điểmI,J,K thẳng hàng

Lời giải.

A M

1 Tìm giao điểmIcủaSOvới mặt phẳng(M N P)

2 Tìm giao điểmQcủaS Avới mặt phẳng(M NP)

3 GọiF,G,Hlần lượt là giao điểm củaQ Mvà AB,QP và AC,Q N và AD Chứng minh ba điểmF,G,H

Từ(1),(2),(3)suy raF,G,Hcùng thuộc đường thẳng giao

tuyến của(ABCD)và(M N PQ)

Vậy ba điểmF,G,Hthẳng hàng

S

A M

Q F

C B

O G

D

N I

H P

G P

D I

ä

BÀI 2 Cho tứ diệnABCDcóK là trung điểm củaAB LấyI,Jlần lượt thuộcAC,BDsao choI A = 2ICvàJB = 3JD

Tìm giao điểmEcủaADvà(I JK )

Trong(ABD), gọiAD ∩ K J = E Ta có(E ∈ AD

Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác sau

Tam giácABCcóK,I,F thẳng hàng

⇒ Clà trung điểm củaBF

C O

E

C B

O

F

D N

K

ä

BÀI 5 Cho hình chópS.ABCD GọiIvàJ là hai điểm trên hai cạnhAD,SB.

Tìm giao tuyến của(SBI)và(S AC) Tìm giao điểmK củaI J và(S AC)

Suy ra(SBI) ∩ (S AC) = SE

Trong(SBI), gọiI J ∩ SE = K

D

C

I

F E

O

L M

Trong(ABC), gọiEF ∩ BC = M ⇒ (EFG) ∩ (BCD) = MG.

1

Trong(BCD), gọiMG ∩ CD = H ⇒ H = CD ∩ (EFG)

Áp dụng định lí Menenalus với các tam giác sau

Tam giácABCcóE,F,Mthẳng hàng

⇒MCMB·EBE A·F AFC= 1 ⇔ MCMB· 2 · 1 = 1 ⇔MCMB=12

Tam giácBCDcóM,H,Gthẳng hàng

⇒HCHD·GDGB·MBMC= 1 ⇔HDHC·13· 2 = 1 ⇔HDHC=32

2

Trong(ABD), goijAD ∩ EG = I ⇒ I = AD ∩ (EFG)

Tam giacsABDcosE,G,Ithẳng hàng

E

F K

C J

I M

E

N I

ä

BÀI 8 Cho hình chópS.ABCD GọiE,F,Hlần lượt là các điểm thuộc cạnhS A,SB,SC

Tìm giao điểmK = SD ∩ (EFH)

1

H

M N

BÀI 10 Cho tứ giác ABCDcó các cạnh đối đôi một không song song và điểmS ∉ (ABCD) Lấy điểm I thuộc cạnh

AD, lấy điểmJthuộc cạnhSB

BÀI 11 Cho hình chópS.ABCD GọiM,Nlà2điểm lần lượt nằm trên2cạnhBCvàSD

Tìm giao điểmIcủaBN và(S AC)

J

D

C M

E O

C B

O

F

D N

I

F

N M

ä

{ DẠNG 1.5 Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp: Tìm giao của hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1 Cho tứ diện ABCD LấyM, N, P lần lượt trên các cạnh AB, AC,BD sao choM N cắtBCtại I, MP

cắtADtạiJ Chứng minhP I,N J,CDđồng quy

M

N

D

J K

ä

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1 Cho hình chóp S.ABCDcóABkhông song songCD GọiM là trung điểmSCvàOlà giao điểm của ACvà

BD

1 Tìm giao điểmN củaSDvà(M AB)

2 Chứng minh ba đường thẳngSO, AM,BNđồng quy

Lời giải.

1 Trong(S AC): GọiK = AM ∩ SO

Trong(SBD) :GọiN = BK ∩ SD ⇒ (N ∈ BK, BK ⊂ (M AB)

C

K

M N

ä

BÀI 2 Cho hình chópS.ABCD Trên cạnhSClấy một điểmEkhông trùng vớiSvàC

1 Tìm giao điểmFcủa đường thẳngSDvà(ABE)

2 Giả sửABkhông song songCD Chứng minh ba đường thẳngAB,CD,EF đồng quy

Lời giải.

1 Trong(ABCD): GọiI = AC ∩ BD.

Trong(S AC): GọiJ = AE ∩ SI

Trong(SBD) :GọiF = BJ ∩ SD ⇒ (F ∈ BJ, BJ ⊂ (ABE)

F ∈ SD

⇒ F = SD ∩ (ABE)

2 Ta có

(E ∈ (ABE) ∩ (SCD)

F ∈ (ABE) ∩ (SCD)⇒ (ABE) ∩ (SCD) = EF.

Trong(ABCD) :GọiK = AB ∩ CD ⇒ (K ∈ AB, AB ⊂ (ABE)

C

D E

F

ä

BÀI 3 Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD là tứ giác lồi Lấy điểmMtrên cạnhSC GọiN là giao điểm củaSB

và(AD M) GọiOlà giao điểm của ACvàBD Chứng minhSO,AM,D N đồng quy

Trong(S ID): GọiJ = DM ∩ SI

Trong(S A I) :GọiN = AJ ∩ SB ⇒ (N ∈ AJ, AJ ⊂ (ADM)

N ∈ SB

⇒ N = SB ∩ (ADM)

Ta có:(S ∈ (SAC) ∩ (SBD)

O ∈ (S AC) ∩ (SBD)⇒ (S AC) ∩ (SBD) = SO.

Trong(A JD) :GọiK = AM ∩ DN ⇒ (K ∈ AM, AM ⊂ (SAC)

I

K

A

B N

C

D

ä

BÀI 4 Cho hình chópS.ABCDcó AB ∩ CD = EvàAD ∩ BC = K GọiM, N, Plần lượt là trung điểm củaS A, SB, SC

1 Tìm giao tuyến của(S AC)và(SBD)

2 Tìm giao tuyến của(M N P)và(SBD)

3 Tìm giao điểmQcủaSDvà(M N P)

4 GọiH = MN ∩ PQ Chứng minhS, H, Ethẳng hàng

5 Chứng minhSK,Q M,N Pđồng quy

Lời giải.

I J

E

C B

N F

Q

H P

ä

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 5 Cho tứ diệnS.ABCvới Ilà trung điểm củaS A,J là trung điểm củaBC GọiM là điểm di động trênI Jvà

N là điểm di động trênSC

1 Xác định giao điểmPcủaMCvà(S AB)

2 Tìm giao tuyến của(SMP)và(ABC)

3 Tìm giao điểmEcủaM Nvà(ABC)

4 GọiF = I N ∩ AC Chứng minh đường thẳngEF luôn đi qua một điểm cố định khiM, N di động

BÀI 6 Cho tứ diện ABCD Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB, CD Gọi J là một điểm trên đoạn ADsao cho

AD = 3JD

1 Tìm giao điểmF củaI Jvà(BCD)

2 Tìm giao điểmEcủa(I JK )và đường thẳngBC Tính tỉ số EB

4 Chứng minhE J ∥ HFvà đường thẳngI K đi qua trung điểm của đoạnHF

5 GọiOlà trung điểmI K vàGlà trọng tâm của tam giácBCD Chứng minh ba điểm A, O, Gthẳng hàng Tính

tỉ số O A

OG= 3

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt

Cho hai đường thẳng phân biệta,b

a

b

I ab

a

b

Định nghĩa 1

•Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng

•Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng

•Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung

2 Tính chất hai đường thẳng song song

Định lí 1 Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Định lí 2 (Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả 1 Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến củachúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{ DẠNG 1.1 Chứng minh hai đường thẳng song song.

Phương pháp giải:

BE

Cä

VÍ DỤ 2 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.Chứng minhMP NQlà hình bình hành Từ đó suy ra ba đoạn thẳngM N,PQ,RScắt nhau tại trung điểmG

của mỗi đoạn

Lời giải.