Trong các bảng phân bố tần suất, tần suất được tính ở dạng tỉ số phần trăm... Nếu bổ sung dòng cột thứ ba ghi tần suất tỉ số % giữa tần số và tổng số liệu thống kêthì ta được bảng phân b
Trang 1n được gọi là tần suất của lớp thứ i.
4! Trong các bảng phân bố tần suất, tần suất được tính ở dạng tỉ số phần trăm.
343
Trang 2II Các dạng toán
Dạng 1 Bảng phân bố tần số và tần suất
Bảng phân bố tần số gồm hai dòng (hoặc hai cột) Dòng (cột) đầu ghi các giá trị khác nhau của mẫu
số liệu Dòng (cột) thứ hai ghi tần số (số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong các số liệu thống kê)tương ứng Nếu bổ sung dòng (cột) thứ ba ghi tần suất (tỉ số % giữa tần số và tổng số liệu thống kê)thì ta được bảng phân bố tần số và tần suất
Để lập bảng phân bố tần số và tần suất từ bảng số liệu thống kê ban đầu, ta thực hiện các bước sau:
• Sắp thứ tự các giá trị trong các số liệu thống kê;
• Tính tần số nicủa các giá trị xibằng cách đếm số lần xixuất hiện;
• Tính tần suất ficủa xitheo công thức fi= ni
n;
• Đặt các số liệu xi, ni, fivào bảng ta thu được bảng phân bố tần số và tần suất
Ví dụ 1 Cho số liệu thống kê ghi trong bảng sau
Thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (đơn vị: phút)
a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất của bảng trên
b) Trong 50 công nhân được khảo sát, những công nhân có thời gian hoàn thành một sản phẩm từ
45phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm
b) Từ bảng phân bố tần số và tần suất ở trên, suy ra trong 50 công nhân được khảo sát, những công nhân
có thời gian hoàn thành một sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm 76%
Trang 3Ví dụ 2 Khi điều tra về năng suất của một giống lúa mới, điều tra viên ghi lại năng suất (tạ / ha) của
giống lúa đó trên 40 thửa ruộng có cùng diện tích 1 ha trong bảng sau:
a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất của bảng trên
b) Trong 40 thửa ruộng được khảo sát, hãy cho biết những thửa ruộng có năng suất cao nhất chiếmbao nhiêu phần trăm
Lời giải.
a) Bảng phân bố tần số và tần suất
Năng suất của giống lúa mới của 40 thửa ruộng
Tần suất (%) 17, 5 17, 5 15, 0 12, 5 20, 0 17, 5 100%
b) Từ bảng phân bố tần số và tần suất ở trên, suy ra trong 40 thửa ruộng được khảo sát, những thửa ruộng
có năng suất cao nhất chiếm 17, 5%
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Điều tra về tuổi nghề của 30 công nhân được chọn ra từ 150 công nhân của một nhà máy A Người
ta thu được bảng số liệu ban đầu như sau:
Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất của bảng trên
Lời giải. Bảng phân bố tần số và tần suất
Tuổi nghề của 30 công nhân của một nhà máy A
a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất của bảng trên
b) Nhận xét về xu hướng tập trung của các số liệu thống kê
Lời giải.
Trang 4a) Bảng phân bố tần số và tần suất
Năng suất lúa hè thu của 30 tỉnh
Năng suất (tạ / ha) Tần số Tần suất (%)
a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất của bảng trên
b) Nhận xét về xu hướng tập trung của các số liệu thống kê
• Tần số của giá trị xi(hay một lớp nào đó) là số lần xuất hiện nicủa xi
• Tần suất của giá trị xi(hay một lớp nào đó) là tỉ số xi
Σxi
Trang 5Ví dụ 3 Nhiệt độ trung bình (đơn vị:◦C) của tháng 10 ở địa phương D từ năm 1971 đến 2000 đượccho ở bảng sau
27,1 26,9 28,5 27,4 29,1 27,0 27,1 27,4 28,0 28,628,1 27,4 27,4 26,5 27,8 28,2 27,6 28,7 27,3 26,826,8 26,7 29,0 28,4 28,3 27,4 27,0 27,0 28,3 25,9Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp của bảng số liệu đã cho?
Lời giải. Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp được tính như trong bảng sau:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 4 Trong một kì thi học sinh giỏi toán (thang điểm là 20), kết quả được cho ở bảng sau:
Trang 6Điều kiện để vào vòng trong là phải trên 16 điểm, nên thí sinh có số điểm là 17, 18, 19 sẽ được vào vòngtrong Vậy số phần trăm thí sinh được vào vòng trong là 14 + 10 + 2 = 26%
Bài 5 Trong sổ theo dõi bán hàng ở một cửa hàng bán xe máy có bảng sau:
2 · (2 + 13 + 15 + 12 + 7 + 3) = 104Vậy trong khoảng thời gian đó cửa hàng có lãi 610 − 104 = 506 triệu đồng
Bài 6 Điều tra về số tiền mua sách (đơn vị: nghìn đồng) trong một năm của 50 sinh viên, người ta thu được
bảng số liệu thống kê sau
Bài 7 Một học sinh ghi lại bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp của một mẫu số liệu như sau
Lớp [1; 9] [10; 19] [20; 29] [30; 39] [40; 49]
Trang 7Tuy nhiên, em đó quên ghi kích thước mẫu n Biết rằng n là số có 3 chữ số và chữ số tận cùng là 8 Tìm giátrị nhỏ nhất của n.
Lời giải. Hai lớp [1; 9] và [40; 49] có tần số là n.12, 5% =n
8.Lớp [20; 29] có tần số là n.50% = n
2.Lớp [30; 39] có tần số là n.25% = n
Kích thước mẫu là bao nhiêu?
Lời giải. Kích thước mẫu bằng 20
Bài 2 Điểm kiểm tra học kì môn Toán của các học sinh lớp 10A cho ở bảng dưới đây.
Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh?
Lời giải. Lớp 10A có 41 học sinh
Bài 3 Dưới đây là bảng phân bố tần số - tần suất của đại lượng X Trong bảng còn hai số chưa biết x và y.
Trang 8Bài 4.
Cho bảng phân bố tần số ghép lớp của một mẫu số liệu mà các số liệu được sắp xếp từ
nhỏ đến lớn như bên Hãy tính tần suất (%) của lớp chứa số liệu thứ 5 của mẫu số liệu
Lớp Tần số[0; 3] 3[4; 7] 1[7; 10] 2[8; 11] 4
Lời giải. Số liệu thứ 5 thuộc lớp [7; 10] Do đó, tần suất cần tìm là 2
10 = 20%
Bài 5 Cho bảng số liệu về khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch từ một thửa ruộng như dưới đây.
Lớp khối lượng (gam) Tần số
Tần suất của lớp [100; 110) là bao nhiêu?
Lời giải. Tần suất ghép lớp [100; 110) là 6
30· 100% = 20%
Bài 6 Kết quả khảo sát ở 43 tỉnh (đơn vị: %) ghi lại số phần trăm những trẻ em mới sinh có trọng lượng
dưới 2500 gam được cho ở bảng phân bố tần số ghép lớp bên dưới
Người ta thống kê số phần trăm trẻ em mới sinh có trọng lượng dưới 2, 5 kg
của 43 tỉnh thành ở bảng phân bố tần suất ghép lớp sau Có bao nhiêu tỉnh có
tỉ lệ phần trăm trẻ có trọng lượng dưới 2, 5 kg dưới 7, 5% ?
Lớp Tần suất (%)[4, 5; 5, 5) 9[5, 5; 6, 5) 6[6, 5; 7, 5) 17[7, 5; 8, 5) 8[8, 5; 9, 5) 3
Lời giải. Chưa đủ giả thiết đề kết luận
Bài 8 Một học sinh ghi lại bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp của một mẫu số liệu như sau
2.Lớp [30; 39] có tần số là n.25% = n
4.
Trang 9Lớp [40; 49] có tần số là n.12, 5% =
8.
Vì tần số là các số nguyên dương nên n phải chia hết cho 8; 4; 2 Do đó, số n nhỏ nhất thỏa có giá trị bằng8
Trang 10đường gấp khúc qua các bước sau:
- Trên mặt phẳng tọa độ ta xác định các điểm (ci; fi), i =
1, 2, 3, 4, 5trong đó cilà trung bình cộng của hai đầu nút
của lớp i (ta gọi cilà giá trị đại diện của lớp i)
- Nối các điểm (ci; fi) với (ci+1; fi+1), i = 1, 2, 3, 4, ta
thu được đường gấp khúc, gọi là đường gấp khúc tần
suất
x Tần suất
Trang 11f2
f3 f4
[x0; x1) [x1; x2) [x2; x3) [x3; x4]
4! Chúng ta cũng có thể dùng biểu đồ hình quạt để mô tả bảng phân bố tần số, tần số ghép lớp.
II Các dạng toán
Dạng 1 Vẽ biểu đồ tần số và tần suất hình cột
Từ các số liệu trong bảng phân bố tần số và tần suất, ta tọa độ hóa để vẽ biểu đồ trên hệ trục tọa độ
Ví dụ 1 Kết quả điểm thi môn Toán của lớp 10A9 trường THPT Đông Thụy Anh được cho theo
bảng dưới đây
Hãy vẽ biểu đồ tần số và tần suất dạng cột để mô tả cho bảng số liệu trên
Lời giải. Biểu đồ tần số hình cột mô tả kết quả điểm thi của lớp 10A9
Điểm Tần số
1
9 12 14
Trang 12Điểm Tần suất
2,5
22,5 30 35
Trang 13Ví dụ 3 Cho biểu đồ tần suất ghép lớp hình cột mô tả thành tích bạn Bình tập chạy trong 20 lần như
hình dưới đây Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp mà biểu đồ đã mô tả
Thời gian(s) Tần suất(%)
1 11 11,5 12 12,5 13
15 20 25 40
O
Lời giải. Bảng phân bố tần suất thể hiện thành tích tập chạy của bạn Bình trong 20 lần:
Lớp thời gian chạy (s) [11; 11, 5) [11, 5; 12) [12; 12, 5) [12, 5; 13] Cộng
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 Một công ty sản xuất bóng đèn kiểm tra định kì bằng cách thắp thử nghiệm 30 bóng đèn để kiểm tra
tuổi thọ (tính theo giờ) Kết quả của cuộc thử nghiệm được thống kê theo bảng sau:
Hãy lập bảng phân bố tần số và vẽ biểu đồ tần số hình cột
Lời giải. Bảng phân bố tần số
Mô tả bảng phân bố tần số bằng biểu đồ tần số hình cột
Giờ Tần số
1 1150 1160 1170 1180 1190 3
6 12
O
Bài 2 Số cuộn phim mà 40 nhà nhiếp ảnh nghiệp dư sử dụng trong một tháng được thống kê bằng bảng số
liệu sau:
Trang 147,5 10
20 25 30
37,5 40
O
Bài 3 Cho biểu đồ tần suất ghép lớp hình cột mô tả thống kê tiền nước (nghìn đồng) phải trả hàng tháng
của gia đình anh Huy trong năm 2017 như hình vẽ:
Tiền nước Tần suất
10 80 100 120 140 160
10 16,67 23,33 26,67 33,33
O
Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp về tiền điện hàng tháng phải trong năm 2017 của gia đình anh Huy
Lời giải. Bảng phân bố tần suất ghép lớp tiền nước hàng tháng của gia đình anh Huy trong năm 2017 nhưsau:
Tiền nước(nghìn đồng) [80; 100) [100; 120) [120; 140) 140; 160 Cộng
Dạng 2 Biểu đồ đường gấp khúc
Trang 15b) Có bao nhiêu học sinh thuộc lớp điểm chiếm tỉ lệ cao nhất.
c) Biết điểm giỏi là từ 8 đến 10 Hỏi lớp 10D3 có bao nhiêu học sinh đạt điểm giỏi
1 3 5 7 9
7,5 10 12,5 20 30 40
O
b) Lớp điểm [4; 6) chiếm tỉ lệ cao nhất bằng 40 % Suy ra số học sinh thuộc lớp này bằng: 40 × 40
100 = 16.c) Lớp điểm [8; 10] chiếm tỉ lệ 10 % nên số học sinh đạt điểm giỏi là: 10 × 40
a) Hãy vẽ đường gấp khúc tần số về chiều cao của 40 học sinh lớp 10A1 và đường gấp khúc tần
số về chiều cao của 40 học sinh lớp 10D1 của trường THPT B trên cùng một biểu đồ
b) Nhận xét về chiều cao trung bình của học sinh lớp 10A1 so với lớp 10D1
Trang 160,025 1,525 1,575 1,625 1,675 1,725 1
2 4 5
12 15 18 23
O
b) Nhận xét: Sĩ số hai lớp bằng nhau Đường gấp khúc biểu diễn chiều cao từ 1,65 cm trở lên của lớp10A1 nằm trên lớp 10D1, đường gấp khúc biểu diễn chiều cao dưới 1,65 cm của lớp 10A1 nằm dướilớp 10D1 Vậy chiều cao trung bình lớp 10A1 lớn hơn lớp 10D1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 4 Cho bảng tần suất ghép lớp:
Cân nặng (kg) của 50 học sinh lớp 10A3 của trường THPT CLớp cân nặng [40; 42) [42; 44) [44; 46) [46; 48) [48; 50) [50; 52] Cộng
Trang 17Cân nặng (kg)
1 41 43 45 47 49 51 2
6 10
20 24 38
10 11 23 25
Trang 182 Nhận xét: Đường gấp khúc biểu diễn điểm phẩy từ 7,0 trở lên của môn Toán nằm trên môn Văn, đườnggấp khúc biểu diễn điểm phẩy dưới 7,0 của môn Toán nằm dưới môn Văn Vậy điểm phẩy trung bìnhmôn Toán cao hơn môn Văn.
Bài 6 Cho bảng tần suất:
Số con của 50 hộ gia đình ở địa phương A
1 2 3 4 2
14 20 60
O
Các gia đình có nhiều hơn 2 con chiếm 14 % +2 % = 16 % Suy ra số gia đình có nhiều hơn 2 con là
16 × 50
100 = 8.
Bài 7 Cho bảng tần suất ghép lớp:
Tốc độ (km/h) của 40 chiếc xe máy qua trạm kiểm soát giao thông BLớp tốc độ [40; 50) [50; 60) [60; 70) [70; 80] Cộng
Trang 19Các xe đi với vận tốc không dưới 70 km/h chiếm 20 % Suy ra số xe đi với vận tốc không dưới 70 km/h là
20 × 40
100 = 8.
Bài 8 Cho bảng tần suất:
Tiền lương (nghìn đồng) hàng tháng của 50 công nhân ở xưởng may C
Hãy vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần suất và đường gấp khúc tần số về tiền lương (nghìn đồng) hàng thángcủa 50 công nhân ở xưởng may C
Lời giải. Bảng phân bố tần số:
Tiền lương (nghìn đồng) hàng tháng của 50 công nhân ở xưởng may C
Biểu đồ đường gấp khúc tần suất về tiền lương (nghìn đồng) hàng tháng của 50 công nhân ở xưởng may C:
Tiền lương Tần suất
40 700 800 900 1000 1100 1200
10 12 16 18 20 24
O
Biểu đồ đường gấp khúc tần suất về tiền lương (nghìn đồng) hàng tháng của 50 công nhân ở xưởng mayC:
Tiền lương Tần số
40 700 800 900 1000 1100 1200
5 6 8 9 10 12
Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt cho bảng thống kê trên
Lời giải. Ta có bảng phân bố tần suất sau
Trang 20Ví dụ 7 Tiến hành một cuộc thăm dò về số cân nặng của một nhóm xã Kết quả thu được biểu diễn
qua biểu đồ tần suất hình quạt như sau:
Hỏi số người trong xã có cân nặng từ 40 kg đến dưới 50 kg là bao nhiêu người, biết rằng xã có 1000người
Lời giải. Dựa vào biểu đồ quạt ta có:
Tỉ lệ người có cân nặng từ 40 kg đến dưới 50 kg là 20 + 20 = 40 %
Số người có cân nặng từ 40 kg đến dưới 50 kg là 40 × 1000
100 = 400 người.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 9 Số lượng khách đến tham quan tại Đà Nẵng trong 12 tháng được cho bởi biểu đồ như sau:
16, 67%
33, 33%
25% 25%
[200; 300) [300; 400) [400; 500) [500; 600]
Tính số tháng mà số người tham quan không dưới 400 người
Lời giải. Dựa vào biểu đồ, ta có số người tham quan không dưới 400 người chiếm tỉ lệ phần trăm là:
25 + 25 = 50%
Vậy số tháng mà số người thăm quan trên 400 người là 50 × 12
100 = 6 tháng.
Trang 21Bài 10 Biểu đồ hình quạt sau mô tả tỉ lệ về giá trị đạt được của khoáng sản xuất khẩu nước ngoài của nước
Biết rằng giá trị xuất khẩu của nước ta về dầu là 450 triệu USA Hỏi giá trị xuất khẩu vàng là bao nhiêutriệu USA?
Lời giải. Tỉ lệ phần trăm của dầu là 100 % −25 % −10 % −5 % = 60 %
Suy ra giá trị xuất khẩu của vàng là 450
60 · 5 = 37, 5 triệu USA
Bài 11 Cho bảng phân bố tần số điểm thi môn Anh Văn của một trung tâm ở Hà Nội:
Vẽ biểu dồ hình quạt mô tả bảng dữ liệu thống kê trên
Lời giải. Ta có bảng phân bố tần suất sau
Tần suất (%) 20 30 40 10 100Khi đó ta có biểu đồ tần suất hình quạt:
20%
30%
40% 10%
6 7 8 9
Bài 12 Tuổi thọ (tính theo tháng) của 100 bóng đèn thắp thử được thể hiện qua biểu đồ tần suất hình quạt:
Trang 22Biết rằng x, y thỏa mãn x2+ y2= 500 Tìm số bóng đèn có tuổi thọ trong khoảng [2; 5) biết rằng x > 15.
Tỉ lệ của số bóng đèn có tuổi thọ trong khoảng [2; 5) là 20 % +25 % +45 % = 90 % Khi đó, số bóng đèn
có tuổi thọ trong khoảng [2; 5) là 90 × 100
100 = 90 bóng.
Trang 23§3 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG SỐ TRUNG VỊ MỐT
I Tóm tắt lí thuyết
kí hiệu là x và được tính theo công thức: x =x1+ x2+ · · · + xn
n
• Trường hợp bảng phân bố tần số và tần suất
Giá trị x1 x2 · · · xm CộngTần số n1 n2 · · · nm NTần số f1 f2 · · · fm 100%
Số trung bình cộng được tính theo công thức:
x= n1x1+ n2x2+ · · · + nkxk
n = f1x1+ f2x2+ · · · + fkxk trong đó ni, fi lần lượt là tần số, tần suất củagiá trị xi(i = 1, 2, , k) và n là số các số liệu thống kê (n = n1+ n2+ · · · + nk)
• Trường hợp bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp
Lớp Giá trị đại diện Tần số
Định nghĩa 2 (Số trung vị) Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm (hoặc không tăng) Số
trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu Me là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ và là trungbình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử là chẵn
4! Số trung vị được xác định như sau:
Trang 24• Nếu các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch quá lớn thì dùng số trung vị làm đại diện cho các số liệu
của mẫu.
• Nếu quan tâm đến giá trị có tần số lớn nhất thì dùng mốt làm đại diện Một bảng phân bố tần số có
thể có hai hay nhiều mốt.
II Các dạng toán
Dạng 1 Số trung bình
Áp dụng công thức số trung bình cho bảng số tần số, tần suất và tần số, tần suất ghép lớp
Ví dụ 1 Khối lượng 30 chi tiết máy được cho bởi bảng sau
Tính số trung bình ¯x(làm tròn đến chữ số thứ hai sau dấu phẩy) của bảng nói trên
Lời giải. Áp dụng công thức tính số trung bình cho bảng tần số ta có
Lời giải. Bảng tần số ghép lớp của bảng nói trên là
Trang 25Dạng 2 Số trung vị
Áp dụng định nghĩa của số trung vị Lưu ý có hai trường hợp khác nhau là mẫu số liệu có kích thước
lẻ và mẫu số liệu có kích thước chẵn
Ví dụ 3 Điều tra số học sinh của 30 lớp học, ta được bảng số liệu như sau:
Tính số trung vị của bảng nói trên
Lời giải. Ta có N = 30 là số chẵn Số liệu thứ 15 và 16 lần lượt là 46, 48 Vậy số trung vị là Me=46 + 48
47(Học sinh)
Ví dụ 4 Điểm học kì một của một học sinh được cho bởi bảng số liệu sau (Đơn vị: điểm)
Tính số trung vị của bảng nói trên
Lời giải. Ta có N = 9 là số lẻ Số liệu thứ N+ 1
2 = 5 là số trung vị Do đó số trung vị là Me= 7 (Điểm).
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Bảng số liệu sau đây thống kê thời gian nảy mầm một loại hạt mới trong các điều kiện khác nhau
Thời gian(phút) 420 440 450 480 500 540
Tính giá trị trung bình ¯x(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) về thời gian nảy mầm loại hạt mới nói trên
Lời giải. Áp dụng công thức tính số trung bình cho bảng tần số ta có
Tính số trung vị của bảng nói trên
Lời giải. Ta có N = 15 là số lẻ Số liệu thứ15 + 1
2 = 8 Vậy số trung vị là Me= 8 (Học sinh).
Bài 3 Tốc độ phát triển của một loại Vi-rút trong 10 ngày với các điểu kiện khác nhau (đơn vị nghìn con)
được thống kê như sau
Trong trường hợp này ta chọn số nào dưới đây làm giá trị đại diện là tốt nhất? Tính giá trị đại diện đó
Lời giải. Ta chọn số trung vị làm đại diện là tốt nhất vì có sự chênh lệch lớn giữa các số liệu trong mẫu.Sắp xếp lại số liệu mẫu: