Kết cấu của Luận văn này gồm có 3 chương: Chương 1 - Giới thiệu tổng quan về đề tài nghiên cứu tấm FGM và các phương pháp số; Chương 2 - Cơ sở lý thuyết của phương pháp số Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn (S-FSDT); Chương 3 - Kiểm chứng số; Chương 4 - Kết luận và kiến nghị. Mời các bạn cùng tham khảo!
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU BIẾN ĐỔI CHỨC NĂNG (FGM) VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ
Giới thiệu tổng quan về tấm FGM (Functionally Graded Material) 3 Khái niệm
Vật liệu biến đổi chức năng (Functionally Graded Material - FGM) được phát triển lần đầu vào năm 1984 bởi một nhóm nhà khoa học Nhật Bản, mang lại những tính năng vượt trội so với các loại vật liệu trước đây FGM thể hiện ưu việt qua khả năng chịu tải trọng cơ học, nhiệt độ và độ ẩm trong các cấu trúc như dầm, tấm và vỏ Sự quan tâm nghiên cứu về FGM ngày càng tăng trên toàn cầu, với nhiều phương pháp khác nhau được áp dụng, bao gồm thí nghiệm vật liệu để xác định đặc trưng, thí nghiệm cấu trúc để hiểu nguyên lý ứng xử, mô hình mô phỏng để rút ra nguyên tắc chung, và mô hình toán lý thuyết nhằm phân tích hoạt động của các kết cấu cụ thể, từ đó cung cấp cái nhìn tổng quát nhất về FGM.
FGM là một loại vật liệu hỗn hợp với nhiều tính năng vượt trội, bao gồm khả năng chịu nhiệt cao và loại bỏ hiện tượng tập trung ứng suất tại vị trí tiếp xúc giữa các lớp vật liệu khác nhau Thành phần chính của FGM thường là gốm và kim loại, trong đó gốm có đặc trưng chịu nhiệt cao, chống oxy hóa tốt và dẫn nhiệt thấp, trong khi kim loại như nhôm có tính năng chịu lực cao, dẫn nhiệt tốt và độ dẻo dai lớn Vật liệu gốm được sử dụng cho vùng tiếp xúc với nhiệt độ cao lên tới 2000K trong môi trường oxy hóa, trong khi kim loại được chọn cho vùng tiếp xúc lạnh với nhiệt độ 1000K nhờ vào tính năng dẫn nhiệt và độ bền FGM được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực hàng không, chế tạo máy, động cơ, thiết bị tiếp xúc với nguồn điện công suất lớn, cũng như trong ngành y tế để chế tạo xương nhân tạo và trong xây dựng.
Mục tiêu nghiên cứu của luận văn này là phân tích dao động tự do của tấm FGM tựa trên nền đàn hồi
Mô hình hóa các phương trình cơ bản của tấm trên nền đàn hồi được thực hiện bằng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (S-FSDT), kết hợp với phương pháp không lưới (MK) Phương pháp số, thông qua phần mềm Matlab, được sử dụng để kiểm chứng và đánh giá kết quả.
Nghiên cứu phân tích dao động của tấm FGM trên nền đàn hồi sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản (S-FSDT) kết hợp với phương pháp không lưới, với hàm chuyển vị chỉ gồm 04 ẩn số, nhằm giảm số lượng ẩn số so với các lý thuyết biến dạng khác Việc đề xuất các mô hình tính toán chính xác, hiệu quả và đáng tin cậy trong phân tích dao động của tấm trên nền đàn hồi luôn là thách thức trong tính toán cơ học Kết quả nghiên cứu này sẽ tạo cơ sở cho các nghiên cứu sâu hơn về phân tích dao động của tấm trên nền đàn hồi với các ẩn số đơn giản hơn nhưng vẫn đảm bảo kết quả chính xác.
1.5 Tóm tắt chương trong luận văn
Chương 1: Giới thiệu tổng quan về đề tài nghiên cứu tấm FGM và các phương pháp số
Chương 2: Cơ sở lý thuyết của phương pháp số Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn (S-FSDT)
Chương 3: Kiểm chứng số
Chương 4: Kết luận và kiến nghị
Chương này tóm tắt các kết luận từ kết quả tính toán đạt được và đưa ra những kiến nghị cho các nghiên cứu tiếp theo.
Các phương pháp số
2.1 Lý thuyết tấm cổ điển (Classical Plate Theory - CTP)
Mô hình tính toán dựa trên giả thuyết của Love – Kirchhoff
Biến dạng cắt ngang có ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử của tấm mỏng, đặc biệt khi chiều dày của tấm tăng lên Điều này cho thấy rằng việc xem xét ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang là rất quan trọng trong phân tích ứng xử của tấm.
Trường chuyển vị của lý thuyết tấm cổ điển được thể hiện như sau:
𝑢 3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤(𝑥, 𝑦) Trong đó 𝑢, 𝑣, 𝑤 là các thành phần chuyển vị theo 𝑥, 𝑦, 𝑧 tại vị trí mặt trung hòa
2.2 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-orther Shear Deformation Theory - FSDT)
Lý thuyết cải tiến từ lý thuyết tấm cổ điển (CPT) xem xét ảnh hưởng biến dạng cắt bằng cách xây dựng trường chuyển vị tuyến tính bậc nhất trong mặt phẳng dọc theo chiều dày của tấm Tuy nhiên, các phương trình cân bằng dựa trên lý thuyết này không đáp ứng được điều kiện biên về sự triệt tiêu ứng suất ở mặt trên và mặt dưới của tấm Để khắc phục nhược điểm này, Mindlin R.D (1951) và Reissner E (1945) đã đề xuất một hệ số hiệu chỉnh biến dạng cắt, được sử dụng để điều chỉnh mối quan hệ giữa ứng suất cắt và biến dạng cắt ngang, với giá trị hệ số này phụ thuộc vào các thông số như hình học, tải trọng tác dụng và điều kiện biên của tấm.
Trường chuyển vị của tấm (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) được biểu diễn như sau:
𝑢 3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤(𝑥, 𝑦) Trong đó 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦), 𝑤(𝑥, 𝑦) là những ẩn số chuyển vị của mặt giữa của tấm theo phương 𝑥, 𝑦, 𝑧 tương ứng;
𝜑 𝑥 (𝑥, 𝑦), 𝜑 𝑦 (𝑥, 𝑦) là các góc xoay của pháp tuyến của mặt phẳng giữa tấm theo trục 𝑥, 𝑦
2.3 Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Higher-orther Shear Deformation Theory - HSDT)
Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) mở rộng từ lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, khắc phục nhược điểm của FSDT bằng cách không sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt để tính toán các thành phần ứng suất cắt trong tấm Điều này bởi vì thành phần biến dạng cắt không phải là hằng số theo chiều dày tấm và mặt biến dạng là mặt cong theo chiều dày Các phương trình cân bằng và ổn định dựa trên trường chuyển vị đã thỏa mãn tất cả các điều kiện biên Tuy nhiên, tính chính xác và hiệu quả của phương pháp này phụ thuộc vào việc lựa chọn hàm dạng biến dạng cắt, và việc phân tích ứng xử của tấm dựa trên lý thuyết HSDT rất phức tạp do số lượng biến số trong các phương trình tăng lên Ví dụ, hàm chuyển vị được xây dựng trên lý thuyết HSDT do Pradyumna và Bandyopadhyay đề xuất sử dụng 9 ẩn số, trong khi Reddy phát triển lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 (TSDT) với các thành phần chuyển vị màng biến thiên theo hàm bậc 3 Một số lý thuyết HSDT khác cũng sử dụng hàm chuyển vị gồm 5 ẩn số tương tự như lý thuyết FSDT, như lý thuyết biến dạng cắt hàm sin và lý thuyết biến dạng cắt hàm lượng giác.
Trường chuyển vị của tấm (𝑢, 𝑣, 𝑤) (theo Reddy [14]) được biểu diễn như sau:
Trong đó, ℎ là chiều dày của tấm 𝑢 0 , 𝑣 0 , 𝑤 0 là các chuyển vị tại điểm giữa của tấm; 𝜃 𝑥 , 𝜃 𝑦 là các góc xoay quanh trục 𝑥, 𝑦 tương ứng 𝜑 𝑥 = 𝜕𝑤 0
𝜕𝑦 là góc xoay ảo theo trục 𝑥, 𝑦.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP SỐ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT THU GỌN (S-FSDT)
Tính chất vật liệu của tấm FGM
1.1 Tấm phân loại chức năng (FGM)
Tấm FG nằm trên nền đàn hồi được mô tả bằng tọa độ Cartesian, với hai loại vật liệu khác nhau là kim loại và gốm có chiều dày ℎ Trong nghiên cứu này, tỷ số Poisson 𝑣 được giả định là không đổi, trong khi môđun Young 𝐸(𝑧) và mật độ khối lượng 𝜌(𝑧) được giả định là thay đổi liên tục theo chiều dày ℎ của tấm.
Có ba loại vật liệu phân loại chức năng (FGM) phổ biến: tấm đẳng hướng (tấm loại A), tấm Sandwich với lõi vật liệu phân loại chức năng (FG) và đa đẳng hướng (tấm loại B), cùng với tấm loại C.
Hình 2.1.1 Ký hiệu hình học và tọa độ của tấm FGM tựa trên nền đàn hồi
Tấm FG có bề mặt trên và dưới được giả định hoàn toàn bằng kim loại và gốm, tương ứng với các nghiên cứu trước đó Các tính chất của vật liệu được tính toán dựa trên luật phân phối công suất và quy tắc hỗn hợp Voigt Do đó, mô đun Young’s 𝐸(𝑧), mật độ khối lượng 𝜌(𝑧) và hệ số tỷ lệ Poisson 𝜈(𝑧) được xác định theo các phương pháp này.
Các chỉ số 𝑚 và 𝑐 đại diện cho các thành phần kim loại và gốm tương ứng Phần thể tích của gốm được xác định bởi công thức 𝑉 𝑐 = (0.5 + 𝑧/ℎ) 𝑛, trong đó 𝑛 là chỉ số của hàm mũ, thể hiện sự gia tăng tỷ lệ của thành phần thể tích Biến tọa độ 𝑧 nằm trong khoảng −0.5ℎ ≤ 𝑧 ≤.
0.5ℎ Sự thay đổi trong khối lượng gốm tương ứng với tỷ lệ độ dày cho các giá trị khác nhau của chỉ số 𝑛 [15] qua Hình 2.1.2
Hình 2.1.2 Mối quan hệ giữa 𝑉 𝑐 và tỷ lệ chiều dày z/h của tấm theo chỉ số 𝑛
Hình 2.1.2 biểu diễn sự thay đổi của thể tích thành phần gốm
Tỷ số chiều dày tấm FGM (Functionally Graded Material) phụ thuộc vào trị số 𝑛 Khi 𝑛 lớn hơn 100, giá trị 𝑉𝑐 rất nhỏ, cho phép xem tấm như chỉ gồm kim loại Ngược lại, khi 𝑛 nhỏ hơn 0.01, tấm có thể được coi là chỉ gồm gốm Sự kết hợp giữa kim loại và gốm là tuyến tính khi 𝑛 bằng 1.
1.2 Xây dựng S-FSDT dựa trên Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Đặt 𝛺 là miền trong ℝ 2 có được từ mặt phẳng giữa của tấm Các chuyển vị của tấm theo các hướng 𝑥, 𝑦 và 𝑧 được quy ước bởi các ký hiệu lần lượt là 𝑢, 𝑣 và 𝑤, tương ứng Theo Lý thuyết tấm tinh chế (RPT) được đề xuất bởi Shenthilnathan [16], trường chuyển vị của tấm có thể được biểu thị theo năm biến số chưa biết như sau:
Trong phương trình 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤 𝑏 (𝑥, 𝑦) + 𝑤 𝑠 (𝑥, 𝑦), 𝑢 0 (𝑥, 𝑦) và 𝑣 0 (𝑥, 𝑦) đại diện cho các chuyển vị tại mặt giữa của tấm theo hướng 𝑥 và 𝑦 Các thành phần 𝑤 𝑏 (𝑥, 𝑦) và 𝑤 𝑠 (𝑥, 𝑦) thể hiện uốn và cắt của chuyển vị ngang theo hướng 𝑧 Các trường chuyển vị có thể được biểu thị dưới dạng thu gọn, giúp tối ưu hóa quá trình phân tích và tính toán.
Giả định rằng biến dạng là nhỏ nên các mối quan hệ của chuyển vị có được có thể viết lại dưới dạng sau:
(7a,b,c) Đặt 𝑓 ′ (𝑧) là đạo hàm đối với trục 𝑧
Dạng dao động tự do của mô hình tấm FGM tựa trên nền đàn hồi được mô tả ở dạng phương trình sau:
𝛺Trong đó, 𝐾 𝑤 và 𝐾 𝑠 là các hệ số độ cứng của nền Với
𝛻 𝑇 = [𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦] 𝑇 là toán tử Gradient, và:
(10a,b) Và phương trình ma trận vật liệu có dạng sau:
2 Phân tích tấm FGM trên nền đàn hồi theo phương pháp không lưới
2.1 Hàm dạng Move Kriging (MK)
Bài luận văn này ngắn gọn giới thiệu các hàm dạng của phương pháp nội suy MK và các dẫn xuất của chúng Để hiểu rõ hơn về phương pháp và các thuộc tính toán học liên quan, độc giả có thể tham khảo tài liệu [21, 22] Hàm phân phối 𝑢(𝑥 𝑖 ) được nghiên cứu trong một miền phụ.
𝛺 𝑥 do đó 𝛺 𝑥 ⊆ 𝛺 Giả sử rằng các giá trị của nó có thể được nội suy dựa trên các giá trị nút 𝑥 𝑖 (𝑖 ∈ [1, 𝑛]), trong đó 𝑛 là tổng số nút trong 𝛺 𝑥
Hàm gần đúng 𝒖 ℎ (𝑥) có thể được biểu thị như sau:
Khi đó 𝜙 𝐼 (𝑥) là hàm dạng MK và được xác định như sau:
Trong đó 𝑨 và 𝑩 là các ma trận được tính bằng:
𝑨 = (𝑷 𝑇 𝑹 −1 𝑷) −1 𝑷 𝑇 𝑹 −1 𝑩 = 𝑹 −1 (𝑰 − 𝑷𝑨) (15 a,b) Khi 𝑰 là ma trận đơn vị và véctơ 𝑷(𝑥) trong biểu thức (13) là một đa thức với 𝑚 là hàm cơ sở
Ma trận 𝑷 (𝑛×𝑚) là kết quả tổng hợp các giá trị của các hàm cơ sở của đa thức sau:
Và 𝒓(𝑥) trong phương trình (15) được đề xuất bởi
𝒓 𝑇 (𝑥) = [𝑅(𝑥 1 , 𝑥), 𝑅(𝑥2, 𝑥), … , 𝑅(𝑥𝑛, 𝑥) ] (18) Trong đó 𝑅(𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑗 ) là hàm tương quan giữa các cặp nút 𝑥 𝑖 và
Trong bài viết này, phương sai của giá trị \( u(x) \) được xác định qua công thức \( R(x_i, x_j) = cov[u(x_i), u(x_j)] \) và \( R(x_i, x) = cov[u(x_i), u(x)] \) Hàm Gaussian được lựa chọn làm hàm tương quan, kèm theo tham số \( \theta > 0 \) để phù hợp với mô hình nghiên cứu [21,22].
𝑅 (𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑗 ) = 𝑒 −𝜃𝑟 𝑖𝑗 2 (19) Trong đó, 𝑟 𝑖𝑗 = ‖𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ‖ Tuy nhiên, kết quả có được của các hàm dạng MK lại phụ thuộc rất nhiều vào tham số tương quan 𝜃
Sự ổn định trong mô hình số và giá trị tối ưu của nó vẫn còn nhiều nghi vấn Giá trị hợp lý có thể được xác định thông qua các kiểm tra số để đảm bảo tính chính xác và nhất quán của giải pháp dựa trên thuộc tính của từng loại vấn đề Để khắc phục nhược điểm này, luận văn trình bày hàm tương quan đa biến mới, phụ thuộc vào khoảng cách giữa điểm nguồn và điểm đích, dẫn đến chức năng hàm dạng MKI ổn định và không thay đổi với nút lưới và tham số tương quan 𝜃.
Hệ số chiều dài bên trong của mô hình, ký hiệu là 𝐼 𝑐, có thể được xác định là khoảng cách trung bình giữa các nút trong mô hình Các hàm tương quan mới không còn phụ thuộc vào tham số tương quan, mà thay vào đó, ma trận tương quan được biểu diễn dưới dạng 𝑹[𝑅(𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑗)].
Đối với các vấn đề liên quan đến tấm mỏng, cần tính toán không chỉ các đạo hàm bậc nhất của các hàm dạng mà còn cả các đạo hàm bậc hai Các đạo hàm này có thể được xác định bằng cách phân loại trực tiếp phương trình.
Trong các phương pháp không lưới, miền ảnh hưởng thường có hình dạng tròn hoặc hình cầu, được xác định bởi bán kính và tập trung tại điểm quan tâm Miền này được sử dụng để xác định các nút phân tán phục vụ cho việc nội suy Biểu thức sau đây được thực hiện để tính kích thước của miền hỗ trợ.
Xác định độ dài đặc trưng liên quan đến khoảng cách nút gần điểm quan tâm và 𝛼 là yếu tố tỷ lệ quan trọng Cần lưu ý rằng hàm dạng tại nút cho nút nội suy sở hữu thuộc tính hàm delta.
2.2 Các phương trình rời rạc
Trong miền tham số theo phương pháp không lưới, các chuyển vị tổng quát ở bề mặt giữa của tấm được tính gần đúng bằng phương trình (15)
Mối quan hệ giữa các yếu tố trong mặt phẳng/cắt và chuyển vị được thiết lập bằng cách thay thế phương trình (12) vào phương trình (6), với các biến 𝐮 ℎ và 𝐮𝐼 được định nghĩa như sau: 𝐮 ℎ = [𝑢 ℎ 𝑣 ℎ 𝑤 𝑏 ℎ 𝑤 𝑠 ℎ ] 𝑇 và 𝐮𝐼 = [𝑢1 𝑣1 𝑤𝑏𝐼 𝑤𝑠𝐼] 𝑇.
0 0 0 𝜙 𝐼,𝑦 ] Tương tự, thay thế phương trình (12) vào phương trình (5), các trường chuyển vị có thể được thể hiện như sau:
Và các dẫn xuất của các chuyển vị được đề xuất bởi
KIỂM CHỨNG SỐ
Ví dụ 3.1 Khảo sát tần số dao động riêng của tấm có điều kiện biên khác nhau:
Xét một tấm FGM có kích thước a×b có chiều dày h được làm từ vật liệu Al Al 2 O 3 tựa trên nền đàn hồi có các thông số gồm:
𝑚 (𝑣ớ𝑖 𝐷 𝑚 = 12 ( 1−𝑣 𝐸 𝑚 ℎ 3 2 ) là độ cứng uốn của tấm)
Thuộc tính vật liệu của Nhôm (Al) gồm môđun đàn hồi
𝐸 𝑚 = 70 𝐺𝑃𝑎, mật độ khối lượng 𝜌 𝑚 = 2707 𝐾𝑔/ Kg/m 3 Thuộc tính vật liệu của Nhôm ô-xít ( Al 2 O 3 ) gồm môđun đàn hồi E c = 380 GPa, mật độ khối lượng ρ c = 3800 Kg/m 3
Hệ số Poisson của tấm được giả định là không đổi 𝑣 = 0.3 Tấm sử dụng số điểm nút là 17x17, thông số α = 2.1
Tần số dao động riêng của tấm FGM được chuẩn hóa theo công thức sau: 𝜔̅ = 𝜔ℎ √ 𝜌 𝐸 𝑚
Kết quả tính toán tần số dao động riêng thứ nhất của tấm được trình bày trong Hình 3.1 và Bảng 3.1, cho thấy sự thay đổi của chỉ số độ suy giảm n và tỷ số h/a.
Hình 3.1 Dạng dao động riêng của tấm có điều kiện biên: (a) SCSC, (b) SFSF, (c) SSSS ứng với tỷ số a/b=1,; a/h = 0.1, chỉ số 𝑛 = 1, thông số nền 𝐾 𝑤 = 100, 𝐾 𝑠 = 10
Bảng 3.1 Tần số dao động đầu tiên không thứ nguyên của tấm FGM
Baferani et al [23] Luận văn n = 0 n = 0.5 n = 1 n = 2 n = 5 n = 0 n = 0.5 n = 1 n = 2 n = 5
Ghi chú: Giá trị trong ngoặc đơn là sai số tương đối của lời giải luận văn với lời giải của Baferani et al [23]
Ví dụ 3.2: Phân tích sự ảnh hưởng của thông số nền 𝑲 𝒘 và 𝑲 𝒔 lên tần số dao động riêng của tấm
Xét một tấm FGM có kích thước a×b (với 𝑎 = 𝑏) và chiều dày h được làm từ vật liệu Al Al 2 O 3 tựa trên nền đàn hồi có các thông số như ( 𝐾̅̅̅̅ = 𝑤 𝐾 𝐷 𝑤 𝑏 4
𝑣 = 0.3 Tấm sử dụng số điểm nút là 17 × 17, thông số 𝛼 =2.1, điều kiện biên là SSSS)
Tần số dao động riêng của tấm FGM được chuẩn hóa theo công thức sau: 𝜔̅ = 𝜔ℎ √ 𝜌 𝐸 𝑚
𝑚 Kết quả tính toán, phân tích sự ảnh hưởng của thông số nền
𝐾 𝑤 và 𝐾 𝑠 lên tần số dao động riêng đầu tiên của tấm được thể hiện ở Bảng 3.2 và Hình 3.2
Bảng 3.2 Tần số dao động riêng không thứ nguyên đầu tiên của tấm FGM với điều kiện biên có 4 cạnh gối tựa đơn (SSSS)
Hình 3.2 Mối quan hệ giữa 𝐾̅ 𝑤 và 𝐾̅ 𝑠 ảnh hưởng đến tần số dao động riêng của tấm
Tầ n số dao độ ng 𝜔
Ví dụ 3.3: Phân tích sự ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước tấm lên tần số dao động riêng của tấm
Xét một tấm FGM có kích thước a×b và chiều dày h được làm từ vật liệu Al₂O₃, đặt trên nền đàn hồi với các thông số tương tự như trong Ví dụ 1 (điều kiện biên là SSSS) Tần số dao động riêng của tấm FGM được chuẩn hóa theo công thức: 𝜔̅ = 𝜔ℎ √(𝜌/𝐸𝑚).
𝑚 Kết quả phân tích sự ảnh hưởng tỷ lệ b/a lên tần số dao động riêng thứ nhất của tấm ở Bảng 3.3.1; 3.3.2 và Hình 3.3.1; 3.3.2
Bảng 3.3.1 Sự ảnh hưởng tỷ lệ b⁄a của tấm (vừa) lên tần số dao động riêng 𝜔̅
Bảng 3.3.2 Sự ảnh hưởng tỷ lệ b⁄a của tấm (mỏng) lên tần số dao động riêng
Hình 3.3.1 Sự ảnh hưởng của tỷ lệ b⁄a lên tần số dao động đầu tiên của tấm (với a⁄h = 10)
Hình 3.3.2 Sự ảnh hưởng của b⁄a lên tần số doa động đầu tiên của tấm (với a⁄h = 5)
Kw,Ks=0 Kw0,Ks=0 Kw0,Ks Kw0,Ks0
Kw,Ks=0 Kw0,Ks=0Kw0,Ks Kw0,Ks0
Ví dụ 3.4 So sánh sự ảnh hưởng của cấu trúc vật liệu tấm FGM lên tần dao động riêng của tấm
Tấm FGM 1 có kích thước a×b và chiều dày h được chế tạo từ vật liệu Al2O3 Nhôm (Al) có các thuộc tính vật liệu với mô-đun đàn hồi E m = 70 GPa và mật độ khối lượng ρ m = 2707 Kg/m³ Trong khi đó, nhôm oxit (Al2O3) cũng có những đặc điểm riêng về mô-đun đàn hồi E c.
= 380 GPa, mật độ khối lượng ρ c = 3800 Kg/m 3
Tấm FGM 2 có kích thước a×b và chiều dày h được chế tạo từ vật liệu Al ZrO2 Zirconi dioxide (ZrO2) có các thuộc tính vật liệu nổi bật như môđun đàn hồi E c = 200 GPa và mật độ khối lượng ρ c = 5700 Kg/m3 Các thông số đàn hồi được xác định bởi công thức 𝐾̅̅̅̅ = 𝑤 𝐾 𝑤 𝑏^4.
12 ( 1−𝑣 2 ) là độ cứng uốn của tấm)
Hệ số Poisson của tấm được giả định là không đổi với giá trị v = 0.3 Tấm sử dụng 17x17 điểm nút và thông số α = 2.1 Tần số dao động riêng của tấm FGM 1 và FGM 2 được chuẩn hóa theo công thức 𝜔̅ = 𝜔ℎ √ 𝜌 𝐸 𝑐.
Kết quả từ Bảng 3.4 và Hình 3.4 cho thấy tần số dao động riêng đầu tiên của mỗi tấm tăng dần theo chỉ số suy biến n Tuy nhiên, tần số dao động riêng tương ứng với chỉ số n của tấm FGM 2 làm bằng vật liệu Al/ZrO2 lại cao hơn tấm FGM 1 làm bằng vật liệu Al/Al2O3 Điều này cho thấy rằng tính chất và đặc tính của vật liệu có ảnh hưởng đến tần số dao động riêng của tấm.
Bảng 3.4 Bảng so sánh tần số dao động riêng của tấm FGM 1 và tấm FGM 2
Hình 3.4 Tần số dao động đầu tiên của tấm FGM 1 (AL/Al 2 O 3 ) và tấm FGM 2 (Al/ZrO 2 )
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận
Phương pháp phân tích dao động tự do của tấm FGM bằng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn (S-FSDT) mang lại kết quả chính xác trong việc giải quyết các vấn đề liên quan đến dao động tự do của tấm trên nền đàn hồi.
Kết quả tính toán ở chương 3 cho thấy phương pháp lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đã mang lại kết quả khả quan trong nhiều trường hợp khác nhau Cụ thể, các điều kiện biên đa dạng như tấm có 4 cạnh gối tựa đơn, tấm có 2 cạnh gối tựa đơn và 2 cạnh tự do, cùng với tấm có 2 cạnh gối tựa đơn và 2 cạnh ngàm đều được phân tích Bên cạnh đó, sự thay đổi các tham số nền và biến thiên của chỉ số hàm mũ n cũng được xem xét, cho thấy sự phù hợp với các nghiên cứu đã công bố trước đây.
Tỷ lệ kích thước hình học và chiều dày của tấm càng tăng sẽ làm giảm tần số dao động riêng của tấm.
Sự thay đổi cấu trúc của vật liệu sẽ ảnh hưởng lên tần số dao động của tấm
Phương pháp lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn đã giảm thiểu số lượng ẩn số, sử dụng hàm chuyển vị với 4 ẩn số để phân tích dao động của tấm FGM trên nền đàn hồi.
Kiến nghị
Luận văn tuy đã đưa ra được một số kết luận quan trọng nhưng vẫn còn một số hạn chế cần được nghiên cứu thêm như:
Nên xem xét, khảo sát tỷ lệ kích thước b/a của tấm theo hướng tăng dần để kiểm tra tính ổn định của tấm
Các điều kiện biên (SCSF, SSSC, SFFF, SSSC) trên chu vi tấm chưa được nghiên cứu trong luận văn
[1] Koizumi M FGM activities in Japan Composites, 28 (1997)
[2] Kirchhoff G (1850), “ĩber das Gleichgewicht und die
Bewegung einer elastischen Scheibe", J Reine und Angewante Mathematik (Crelle), 40:51-88
[3] Mindlin R D (1951), “Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates”, J Appl Mech., 18:31–38
[4] Reissner E (1945), “The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates”, J Applied Mechanics, 12:68-77
[5] Pradyumna S., Bandyopadhyay J.N (2008), “Free vibration analysis of functionally graded curved panels using a higher- order finite element formulation”, J.Sound Vib.; 318(1– 2):176–192
Roque C.M.C., Jorge R M N (2013), “Static, free vibration and buckling analysis of isotropic and sandwich functionally graded plates using a quasi-3D higher-order shear deformation theory and a meshless technique” Compos PartB: Eng ;44(1):657–674
C., Cinefra M., Jorge R M N (2012), “A quasi-3D sinusoidal shear deformation theory for the static and free vibration analysis of functionally graded plates” Compos PartB:Eng; 43(2):711–725
Roque C M C., Jorge R M N (2012) “A quasi-3D hyperbolic shear deformation theory for the static and free vibration analysis of functionally graded plates” Compos Struct ;94(5):1814–1825
[9] Reddy J.N (2011), “A general nonlinear third-order theory of functionally graded plates”, Int J Aerosp Lightweight Struct 1(1):1–21
[10] Zenkour A M (2006), “Generalized shear deformation theory for bending analysis of functionally graded plates” Appl Math Model 30(1):67–84
[11] Mantari J L ,Oktem A S ,Guedes Soares C ,(2012) “A new higher order shear deformation theory for sandwich and composite laminated plates” Compos PartB: Eng; 43(3):1489–1499
[12] Mantari J L , Oktem A S , GuedesSoares C.(2012), “A new trigonometric shear deformation theory for isotropic,laminated composite and sandwich plates” Int J Solids Struct.; 49(1):43–53
“Bending response of functionally graded plates by using a new higher order shear deformation theory” Compos Struct.; 94(2):714–723
[14] N D Phan & J N Reddy (1985), “Analysis of laminated composite plates using a higher-order shear deformation theory,” International journal for numerical methods in engineering, Vol 21,2201-2219
[15] Bui QT, Do VT, Ton THL, Doan HD, Tanaka S, Pham TD,
In their 2016 study, Nguyen-Van T.-A, Yu TT, and Hirose S analyzed the high-temperature mechanical behaviors of heated functionally graded plates utilizing Finite Element Method (FEM) and a novel third-order shear deformation plate theory Their findings, published in Composites Part B: Engineering, provide valuable insights into the structural performance of these advanced materials under thermal stress, highlighting the significance of accurate modeling in engineering applications.
[16] Senthilnathan N.R.,Lim S.P.,Lee K.H.,Chow S.T.,Buckling of Shear-Deformable Plates ,AIAA J., 1987;25 (9) 1268–
[17] Reddy JN Analysis of functionally graded plates
[18] Castellazzi G, Gentilini C,Krysl P, Elishakoff I Static analysis of functionally graded plates using a nodal integrated finite element approach Compos Struct.,2013;103:197–200
[19] Singha MK, Prakash T, Ganapathi M Finite element analysis of functionally graded plates under transverse load Finite Elem Anal Des., 2011;47(4):453–60.