Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân - TOANMATH.com

Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Tính rõ từng phép tính tích phân để tìm ra kết quả đúng chỉ tính đến khi nhận được kết quả đúng thì dừng lại: Trang 33/80... Phương pháp trắc nghiệm Nh[r]

chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [ ; ]a b thì tích phân

= +

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số u u x= ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ ; ]a b và α≤u x( ) ≤β. Giả sử có thể viết f x( ) =g u x u x x a b( ( )) '( ), ∈ [ ; ], với g liên tục trên đoạn

[ ; ].α β Khi đó, ta có

( ) ( )

dx I

x

=

+

∫ Đặt t= x+ 1

2) Đổi biến số dạng 2

Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số x=ϕ(t) có đạo hàm

và liên tục trên đoạn [ ; ]α β (*) sao cho ϕ α( ) =a, ( )ϕ β =b và a≤ϕ( )t ≤b với mọi t∈ [ ; ].α β Khi đó:

b a

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn Ví dụ, để tính

tích phân 3 2

2

x dx I

x

=

+

∫ thì nên đổi biến dạng 1

x

= +

IV Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí : Nếu u u x= ( ) và v v x= ( ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì

b a

( )

cos kx

P(x): Đa thức Q(x): e kx

P(x): Đa thức Q(x):ln(ax b+ )

P(x): Đa thức Q(x): 12

x x v

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 1 Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [ ; ] a b và số thực k tùy ý Trong các khẳng định sau,

x d

π π

Câu 15 Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?

A 3 ( )3

1 1

e dx= e

3 3

Câu 16 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ]a b có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [ ; ] a b Trong

các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

( )

( )

b b

a b a

Câu 21 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ]a b , sao cho ; b ( ) 0

2

1 1

( )( )

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III

∫ Thực hiện phép đổi biến t=cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây

0

21

1 2

21

t

t

= −+

1 2

21

t

t

=+

Câu 29 Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào

π π

=

1

2(1 )

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai từ Bước I B Sai ở Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải đúng

Câu 33 Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân Mỗi bài giải đúng được 2,5

điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

1 0

x

e xdx

1 1

0

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A 5,0 điểm B 2,5 điểm C 7,5 điểm D 10,0 điểm

Câu 34 Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [ ; ] a b Gọi F và G lần lượt là một nguyên

hàm của f và g trên đoạn [ ; ] a b Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

Câu 36 Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ ; ] a b và số thực k bất kỳ trong  Trong các phát

biểu sau, phát biểu nào sai?

Câu 42 Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn 1 2

x d

π π

Câu 51 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ]a b có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [ ; ]a b Trong

các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

A F x'( )= f x( ) với mọi x a b∈( ; )

Câu 54 Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ ; ] a b sao cho ( ) 0 g x ≠ với mọi x a b∈[ ; ] Một học

sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau:

b b

a b a

Câu 56 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3]− , luôn có 3

C Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ]a b , sao cho ; b ( ) 0

2

1 1

( )( )

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III

∫ Thực hiện phép đổi biến t=cosx, ta có thể đưa I về dạng

nào sau đây

A 1

1 2

21

t

t

=+

0

21

1 2

21

t

t

= −+

0

21

=

1

2(1 )

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai ở Bước III B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Bài giải đúng

Câu 68 Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân Mỗi bài giải đúng được 2,5

điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

1 0

x

e xdx

1 1

0

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A 7,5 điểm B 2,5 điểm C 5,0 điểm D 10,0 điểm

Câu 69 Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [ ; ] a b Đẳng

thức nào sau đây luôn đúng?

đó F và G là các nguyên hàm của f và g Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân

từng phần ở trên, biến đổi nào là sai?

D 1 1 1 1 1

0 0

1 0

x

=+

Câu 80 Cho tích phân 2

0

(2 x)cosx cosxdx

π π

0

(2 x) cosxdx

π π

t dt t

−

1

( 1)t dt t

−

1

1 ( 1)2

t dt t

−

1

3 ( 1)2

t dt t

−

Câu 82 Tích phân

4 3 4 1

1( 1)

3ke dx x

2 3 2 0

Câu 89 Cho hàm số f liên tục trên  Nếu 5

(x 5 )lnx x e e(x 5)dx

1 1

(x −5 )lnx x e+∫e(x−5)dx

C 2

1 1

(x −5 )lnx x e−∫e(x−5)dx D 2

1 1

( )

I f x dx

π π

− ++

A 1 6ln4

46ln

2+ 3 C 1

4ln

4ln

2 0

11

Câu 107 Giá trị của tích phân 1 2

01

dx I

x

=+

230

101 0

Câu 124 Giá trị của tích phân

2 3 3

Câu 126 Giá trị của tích phân: 2

Câu 127 Giá trị tích phân 2( 4 )

−

=+

A 3 ln 2

2 B 1 ln3

2 C ln 2 D 1 ln 22

Câu 129 Giá trị tích phân 2

Câu 140 Giá trị của tích phân 1

01 x

dx I

e

=+

A ln 2

1

e e

e dx I

Câu 143 Giá trị của tích phân

dx I

Câu 149 Cho hàm số f(x) liên tục trên  và thỏa ( ) 2 ( ) cos f x− + f x = x Giá trị của tích phân

2 2

( )

I f x dx

π π

A B

A B

Câu 154 Cho 1 2

1

x

dt I

t

=+

∫ Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho

∫x dt t

Câu 155 Giá trị của tích phân 2 2

6

1 ln(sin )sin

x

π π

=+

−

− B.ln 2

1

a a

−

− C.ln 2( 21)

a a

−

a a

−+

+ bằng

C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Hướng dẫn giải

1 1

•

0 0

0 0

Dù giải bằng máy tính hay làm tay, ta không nên thử tính lần lượt từng đáp án từ A đến D, mà

nên chọn các tích phân đơn giản để thử trướC Ví dụ

22

x xdx = =

∫ với mọi số thực a Trong

các lựa chọn ở đây, chỉ có hàm số y f x( ) sin x là lẻ, nên đó là đáp án của bài toán

=∫ có giá trị bằng

A 3ln 3 B 1 ln 3

5ln

5 2

5ln2

dx

x −

5 2

1 ln33

d

x x −

5 2

2ln5

x d

π π

1 ln32

sin x dx

π π

−

3

12ln3

sin x dx

π π

−

2 3

2ln 3

sin x dx

π π

π π

Câu 13 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] Nếu 3

các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

b b

a b a

b b

a b a

2 2 0

3( 1)

A Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ]a b; , sao cho b ( ) 0

2

1 1

( )( )

Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể thay f bởi một hàm

số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán

Ví dụ f x( )= với x x ∈[0;1] Khi đó

1( )

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III Hướng dẫn giải

1 1

∫ Thực hiện phép đổi biến t=cosx, ta có thể đưa I về dạng

nào sau đây

0

21

1 2

21

t

t

= −+

1 2

21

t

t

=+

=

1

2(1 )

(1+x dx)x

1 2017 1

2(1 )

Với hàm số f bất kỳ và số thực dương a, ta luôn nằm lòng 2 tính chất sau đây:

• Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [- ; ] a a thì a ( ) 0

Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác

định trên [ 2;2]− và tính toán Ví dụ f x( )=x với x ∈ −[ 2;2] Khi đó



2 2

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai từ Bước I B Sai ở Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải đúng Hướng dẫn giải

Khi đặt t=(x+1)2 với − ≤ ≤2 x 1 thì không suy ra t x= +1 được, vì x + có thể bị âm khi 1

1

2 x

− ≤ ≤ −

điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

1 0

x

e xdx

1 1

0

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A 5,0 điểm B 2,5 điểm C 7,5 điểm D 10,0 điểm

Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng

hàm của f và g trên đoạn [ ; ] a b Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

biểu sau, phát biểu nào sai?

0 0

∫

•

0 0

∫

0 0

Câu 43 Tích phân 5

2

dx I x

=∫ có giá trị bằng

A 1 ln 3

5ln

5ln2

dx

x −

5 2

1 ln33

d

x x −

5 2

2ln5

x d

π π

1 ln32

sin x dx

π π

−

3

12ln3

sin x dx

π π

−

2 3

2ln 3

sin x dx

π π

π π

− D Không xác định Hướng dẫn giải

Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị

=

3 3

các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau:

b b

a b a

Các phát biểu

( )( )

b b

a b a

2 2 0

3( 1)

A Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3]− , luôn có 3

B Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có b ( ) a ( ) ( )

2

1 1

( )( )

Câu 59 Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực a b< Nếu b ( )

Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể thay f bởi một hàm

số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán

Ví dụ f x( )=x với x ∈[0;1] Khi đó 1 1

1( )

Câu 62 Bài toán tính tích phân

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai ở Bước III

Hướng dẫn giải

1 1

∫ Thực hiện phép đổi biến t=cosx, ta có thể đưa I về dạng

nào sau đây

A 1

1 2

21

t

t

=+

0

21

1 2

21

t

t

= −+

0

21

π π

=

1

2(1 )

1 2017 1

2(1 )

Với hàm số f bất kỳ và số thực dương a , ta luôn nằm lòng 2 tính chất sau đây:

• Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [- ; ] a a thì a ( ) 0

Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác

định trên [ 2;2]− và tính toán Ví dụ f x( )=x với x ∈ −[ 2;2] Khi đó



2 2

Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai ở Bước III B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Bài giải đúng Hướng dẫn giải

Khi đặt t=(x+1)2 với − ≤ ≤2 x 1 thì không suy ra t x= +1 được, vì x + có thể bị âm khi 1

1

2 x

− ≤ ≤ −

điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

1 0

x

e xdx

1 1

0

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A 7,5 điểm B 2,5 điểm C 5,0 điểm D 10,0 điểm

Hướng dẫn giải

Bài toán 2 giải sai Cách giải đúng là

Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng

thức nào sau đây luôn đúng?

đó F và G là các nguyên hàm của f và g Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân

từng phần ở trên, biến đổi nào là sai?

xe dx= xe − e dx

∫ ∫ , trong đó ( )F x =x, g x( )=e x

1 0

Câu 75 Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b< và b sin

a

x xdx π=

∫ , đồng thời cosa a = và 0cos

e

x dx x

=+

0

(2 x)cosx cosxdx

π π

0

(2 x) cosxdx

π π

t dt t

−

1

( 1)t dt t

−

1

1 ( 1)2

t dt t

−

1

3 ( 1)2

t dt t

1( 1)

Câu 84 Cho số thực a thỏa mãn 1 4 2

1

a x

3ke dx x

2 3 2 0

Câu 89 Cho hàm số f liên tục trên  Nếu 5

(x 5 )lnx x e e(x 5)dx

1 1

(x −5 )lnx x e+∫e(x−5)dx

C. 2

1 1

(x −5 )lnx x e−∫e(x−5)dx D 2

1 1

(x−5)lnx e−∫e(x −5 )x dx Hướng dẫn giải

− =+

3 0

( )

I f x dx

π π

xdx

π π

1 1

1

3 1

− ++

A 1 6ln4

46ln

4ln

4ln

x

− ++

2 0

11

x

=+

∫ , rồi đặt t= 1+x sẽ tính nhanh hơn

A ln 2 B ln 3 C 2ln 2 D 2ln 3

Câu 122 Giá trị của tích phân: ( )

99 1

101 0

=+

Ta có: (sin4x+cos )(sin4x 6x+cos )6x 33 7 cos 4 3 cos8

Hướng dẫn giải

4

2 0

sin 43

1 sin 24

t t

10!! 2.4.6.8.10 256cos

Câu 139 Giá trị của tích phân 2 10

Hướng dẫn giải

2

10 0

n n

e

=+

A ln 2

1

e e

e dx I

A 2 2 1− B 2 1− C 2 2− D 2 2 2−

Hướng dẫn giải

3 2

dx I

Đặt x=tant⇒dx= +(1 tan )2t dt Đổi biến: 0 0, 1

( )

I f x dx

π π

A B

ππ

Câu 154 Cho 1 2

1

x

dt I

t

=+

∫ Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho

x

π π

2

6

2 2 6 6

1 ln(sin ) cot ln(sin ) cotsin

π π π π

3 2

14cos 3sin 1

Hướng dẫn casio: Thay m =1 và m = −6 vào thấy thỏa mãn

2 2 2

41

cos cos cos cos (2 sin ) sin 2

2(2 sin ) 2 sin (2 sin ) (2 sin ) 2 0

x

=+

2 ?

Hướng dẫn giải

1 1

0 0

−

1

a a

−

− C.ln 2( 21)

a a

−

a a

−+

xe dx a=

∫ Khi đó biểu thức b a2+ 3+3a2+2a có giá trị bằng