fx xác định trên khoảng a;b được gọi là liên tục trên khoảng a;b nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy... Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định củ[r]
Trang 1Trang 1
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC
0835.606162 YOUTUBE: ĐẮC TUẤN OFFICIAL
Bài 1 Tính các giới hạn sau (dạng vô định 0
0 mà tử số và mẫu số là các hàm đa thức) 1)
3 2 2 1
1 lim
x
x x x
→
x
4
3 2 1
1 lim
→
−
5 3 1
1 lim
1
x
x x
→−
+ +
4)
3 2
4 2 3
lim
x
→
5 6 2 1
lim
(1 )
x
x
→
4
3 2 2
16 lim
2
x
x
→−
− +
7)
4 2
x 1
x 1 lim
x 2x 3
→
−
2
x 3
x 4x 4x 3 lim
x 3x
→
3 2 1 x 2
8x 1 lim
6x 5x 1
→
−
− +
10)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x
→
11)
3
4
x 1
x 3x 2 lim
x 4x 3
→
− +
x 1
2x 5x 3x x 1 lim
3x 8x 6x 1
→
Bài 2 Tính các giới hạn sau (dạng vô định 0
0 ;
; − )
2.1 Nhân lượng liên hợp (có một căn bậc hai, căn bậc ba)
1)
x x
x x
3 3 6
1 lim
2
+
−
x
x x
x
1 1
lim
2
0
− + +
→
3)
25
3 4
− +
→ x
x x
2
3 5 lim
2
− +
x
x
5)
1 1
lim
x
→
− +
−
3 3 2 1
9 2 lim
1
x
x x x
7)
→
3 3
3 2 1
2 lim
x
3 2 2
lim
x
x
3
x 2
4x 2 lim
x 2
→
−
−
2.2 Nhân lượng liên hợp (có hai căn bậc hai, bậc ba)
1)
x
x x
x
−
− +
→
5 5
lim
x
x x
x
x
+
− +
−
→
1 3
1 lim
2
0
3)
2 3
2 4
2 3 lim
2
2
−
−
−
−
x x x
x
4)
x
x x x
x
1 1
lim
2
0
+ +
− +
→
0
1 2 1 3 lim
x
→
− + − +
−
3
2 1
2 1 lim
1
x
x
Trang 2Trang 2
7)
x 1
2x 1 x lim
x 1
→
− −
x 0
x 1 x 1 lim
2x 1 x 1
→
− + +
2 3
x 1
x x x 1 lim
x 1
→−
+ + + +
10)
3
x 8
9 2x 5 lim
x 2
→
+ −
3
3
x 1
x 1 lim
x 2 1
→
−
3
3
x 1
x 1 lim
x 7 2
→−
+
− +
2.3 Nhân lượng liên hợp (có cả căn bậc hai và căn bậc ba)
1)
x
x x
x
3
0
8 1
2
lim − − −
2 3
2 4
2 3
3 2
−
−
−
−
x x x
1
7 5
lim
2
3 2 3
+
−
−
x x
x
4)
1
5 7 lim
2 3
−
− +
x x
x
x x
x
3
0
5 8 4 3 lim + − +
x
x x
x
7 1 2 1 lim 3
0
+
− +
→
7)
3 0
lim
x
x
→
+ − +
8)
3 2 2
lim
3 2
x
→
3 2 0
1 4 1 6 lim
x
x
→
10)
→
+ − −
− − +
3 0
lim
x
1 lim
2 3
+
−
x
3 2
x 7
x 2 x 20 lim
x 8x 7
→
+ − +
− +
2.4 Nhân lượng liên hợp (giới hạn tại vô cực)
1)
2 2
2 3 4 1 lim
4 1 2
x
→
+ + + + + + −
2) lim 2
→+
2
→+
4) lim 2 1 3 3 1
→+
→− 3 3− + 2+
→−
3 3 2 2
7) xlim( x 1 x)
xlim 3x x 1 x 3
xlim x x x 4
xlim 2x 1 x
xlim x 3x x 2x
13)
→+
lim
x
→−
+
2 2
2
3 lim
x
x
→−
+ +
2
2
2 lim
x
→+
lim
3 1 10 9
x
17)
→−
+ + + − +
2
2
2 3 lim
x
18)
→−
+ −
−
2
2
lim
1
x
x x
Trang 3Trang 3
19)
→+
+ + + +
− + +
2
2
4 5 2 1 lim
x
20)
→−
2
2
lim
x
21)
→−
−
5 3 1 lim
1
x
x
22)
6 2 x
x 3x lim
2x 1
→−
−
6 2 x
x 3x lim
2x 1
→+
−
2
x
x 7x 12 lim
3 x 17
→−
− +
− 25)
2
x
lim
x 10
→−
3x 1 lim
1 x 4x x
→−
+
4
x
x 4 lim
x 4
→−
+ + 28) (3 3 )
xlim x 1 x
xlim x 3x 5 3x 2
x lim x x 2x x 2 x x
Bài 3 Một số dạng giới hạn khác và giới hạn một bên
x 2
x lim x 2
x 4 +
2
x 1
x lim x 1
x 1 +
− 3) x ( ) 3
x 1 lim x 2
x x
→+
− +
2x 1 lim x 1
x x 2
→−
+ +
+ + 5) x ( ) 3
3x 1 lim 1 2x
x 1
→+
+
−
3
5 2 x
2x x lim x
x x 3
→−
+
− +
7)
( )2
x 2
lim
4 x
x 2
→
+
−
x 2 x lim
x x +
→
+
− 9)
2
x 2
4 x lim
2 x
−
→
−
2
2
x 3
x 7x 12 lim
9 x
−
→
− +
−
11)
( )
2
5 4
x 1
x 3x 2 lim
x x +
→ −
+ +
2
2
x 2
x 4 lim
x 1 2 x
−
→
−
13)
2 3
x 1
1 x x 1 lim
x x
−
→
− + −
3
2
x 1
x 1 lim
x 1 +
→
−
−
x 2
lim
x 2 x 4
−
→
2x 3
x 1
→
−
−
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 5 Tính các giới hạn sau (sử dụng biểu thức liên hợp để tính các giới hạn)
Trang 4Trang 4
lim n+ −1 n +n
2)
2
3 2 3
lim n− 9n + +n 4n +2n
4) ( 3 2 3)
lim 3n− +1 n −27n
5)
8 lim
+ −
lim n −2n+2 n −8n +3 n +n
lim 1+n − n +3n+1
10)
1 lim
1
+ −
2
3 1
2
3 lim
5
Bài 6 Tính các giới hạn sau (biến đổi đơn giản u n để tính các giới hạn)
1) 1 2 2
lim
n
n
+ +
+
2)
2 3
2
4 2 lim 2
− +
+ + +
n n
n
2 3
2 1
2 2
2
+ +
+ + +
n n
n
4)
1 2
) 1 2 (
3 1
+ +
− + + +
n n
n n
1 2
lim
3
n
+ + +
1.2 2.3 n n( 1)
Bài 7 Tính các giới hạn sau (biến đổi đơn giản u n để tính các giới hạn)
2
n n
1 2.3 6 lim
2 (3 5)
n n
n n +
3
1 lim
1
+ − + + 4)
2
lim
+ +
5) lim(2 1)( 3)
2 2
4 1 2 1 lim
4 1
+ − − + + −
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x 0 (a;b)
x x f x f x Điểm x0 mà tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số
2 f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x 0 (a;b) → + ( )= → − ( )= → ( ) ( )=
0
x x
3 f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc
khoảng ấy
4 f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b)
và ( ) ( )
( ) ( )
lim
lim
x a
x b
f x f a
f x f b +
−
→
→
=
Trang 5Trang 5
5 Các hàm số f(x) và g(x) liên tục tại x 0 thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , f x ( ) ( ) ( 0)
g x cũng liên tục tại x 0
6 Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng
7 Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a;b) sao cho f(c) = 0 Tức là phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)
B BÀI TẬP
Bài 8 Xét tính liên tục của các hàm số tại điểm đã chỉ ra:
1) f(x) =
=
−
−
−
−
2 x khi 3 11
2 x khi 2 x x
6 x x
2 3
tại xo = 2 2) f(x) =
2 2
khi x 1
x khi x 1 2
tại xo = 1
= −
1 2 3 x 2 2
1 x 2
x
f x x tại x0 = 2
4) f(x) =
3
3
x khi x 0 2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
+ −
+ −
tại xo = 0
5)
3 2
2
x 1 2
khi x 3
f (x) x 4x 3
3 x khi x 3
− −
= − +
6)
khi x
1 khi x 2
= −
tại điểm xo = 2
Bài 9 Cho hàm số
khi x 4
Tìm a để hàm số liên tục tại 4
Bài 10 Cho hàm số
33x 2 2
khi x 2
Tìm a để hàm số liên tục tại 2
Bài 11 Tìm a để hàm số
3
3x 2 2
khi x 2
f (x)
1
4
=
liên tục trên R
Bài 12 Tìm a để hàm số
2 khi x 1 ( ) ax b khi 1 x 3
4 x khi x 3
x
f x
liên tục trên R
Bài 13 Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
Trang 6Trang 6
1) x3 – 2x – 7 = 0 2) x5 + x3 – 1 = 0
3) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 4) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
5) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 6) cosx – x + 1 = 0
Bài 14 Chứng minh rằng phương trình
1) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) 2) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) 3) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) 4) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) 5) x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong [0;5] 6) 4 2
4x +2x − − =x 3 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1;1)
Bài 15 Cho f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn 2a + 6b + 19c = 0 Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có
nghiệm trong [0;1]
Bài 16 Chứng minh rằng các PT sau luôn có nghiệm:
1) m x( −1) (7 x− +3 2) x− =5 0 2) (m m2+ +1)x4+2x− =2 0
3) a cos2 x b + sin x + cos x = 0 4) ( m2+1) x3−2m x2 2 −4x m+ 2+ =1 0luôn có 3 nghiệm Pb