Rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤCMAI THỊ HẢO RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁNCHỦ ĐỀ XÁC ĐỊNH DÃY SỐ DẠNG SAI PHÂN BẬC HAI CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

MAI THỊ HẢO

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ XÁC ĐỊNH DÃY SỐ DẠNG SAI PHÂN BẬC HAI

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2021

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

MAI THỊ HẢO

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁNCHỦ ĐỀ XÁC ĐỊNH DÃY SỐ DẠNG SAI PHÂN BẬC HAI

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 814020901

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

LỜI CẢM ƠN

Thực tế luôn cho thấy, sự thành công nào cũng đều gắn liền với những sự

hỗ trợ, giúp đỡ của những người xung quanh dù cho sự giúp đỡ đó là ít haynhiều, trực tiếp hay gián tiếp Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu làm luậnvăn đến nay, tác giả đã nhận được sự quan tâm, chỉ bảo, giúp đỡ của thầy cô,gia đình và bạn bè xung quanh

Với tấm lòng biết ơn vô cùng sâu sắc, tác giả xin gửi lời cảm ơn chânthành nhất từ đáy lòng đến quý Thầy, Cô của trường Đại học Giáo dục đãdùng những tri thức và tâm huyết của mình để có thể truyền đạt cho tác giảtrong vốn kiến thức quý báu suốt thời gian học tập tại trường

Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu đãtận tâm chỉ bảo hướng dẫn tác giả qua từng buổi học, từng buổi nói chuyện,thảo luận về đề tài nghiên cứu Nhờ có những lời hướng dẫn, dạy bảo đó, bàiluận văn này của tác giả đã hoàn thành một cách suất sắc nhất Một lần nữa,tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy!

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2020

Tác giả

Mai Thị Hảo

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GV Giáo viên

HS Học sinhHSG Học sinh giỏiSGK Sách giáo khoaTHPT Trung học phổ thông

DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ

Bảng 1.1 Kết quả mức độ mắc sai lầm của học sinh trong các bài

thi và bài kiểm tra 17Bảng 1.2 Kết quả đánh giá những khó khăn mà thầy cô gặp phải

khi dạy học rèn luyện kỹ năng 18Bảng 1.3 Kết quả xin ý kiến của thầy cô về một số biện pháp khi

dạy học rèn luyện kỹ năng 19Bảng 3.1 Kết quả điểm kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối

chứng 61Biểu đồ 3.1 Điểm số của học sinh sau khi làm bài kiểm tra 62Bảng 3.2 Kết quả so sánh các tham số đặc trưng của lớp thực

Mục lục

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Câu hỏi nghiên cứu 2

5 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 3

6 Giả thuyết nghiên cứu 3

7 Phạm vi nghiên cứu 3

8 Phương pháp nghiên cứu 4

9 Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của luận văn 4

10 Cấu trúc luận văn 5

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 6 1.1 Các vấn đề chung về kỹ năng 6

1.1.1 Khái niệm kỹ năng 6

1.1.2 Sự hình thành kỹ năng 7

1.1.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng 7

1.1.4 Phân biệt kỹ năng, khả năng và kiến thức 9

1.2 Kỹ năng giải toán 9

1.2.1 Khái niệm kỹ năng giải toán 9

1.2.3 Phân loại kỹ năng trong môn Toán 12

1.2.4 Các mức độ kỹ năng giải toán 15

1.3 Thực trạng vận dụng dạy học rèn luyện kỹ năng trong môn toán ở trường trung học phổ thông 15

1.4 Những khó khăn của học sinh trung học phổ thông khi giải bài toán xác định dãy số dạng sai phân bậc hai 20

Chương 2 Rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai 22 2.1 Dãy số sai phân bậc nhất và nhị thức bậc nhất 22

2.2 Dãy số sai phân bậc hai 36

2.3 Rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai 38

2.3.1 Trường hợp tam thức bậc hai tương ứng có hai nghiệm phân biệt 38

2.3.2 Trường hợp tam thức bậc hai tương ứng có nghiệm kép 45 2.3.3 Trường hợp tam thức bậc hai tương ứng không có nghiệm thực 50

2.4 Một số dạng toán liên quan 52

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm 58 3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 58

3.1.1 Mục đích 58

3.1.2 Nhiệm vụ 58

3.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 58

3.2.1 Thời gian thực nghiệm 58

3.2.2 Địa điểm thực nghiệm 59

3.2.3 Đối tượng thực nghiệm 59

3.2.4 Công cụ thực nghiệm 59

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 60

3.3.1 Phân tích định tính 60

3.3.2 Phân tích định lượng 60

3.3.3 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 64

3.3.3 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 64

Kết luận chương 3 65

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Luật giáo dục (1998) đã chỉ rõ: " Phương pháp giáo dục phổ thông phảiphát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợpvới đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả nănglàm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tácđộng đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh"

Một trong những khâu then chốt của đổi mới giáo dục là đổi mới nội dung

và phương pháp dạy học Với mục tiêu đó thì việc đổi mới đang diễn ra sâurộng ở tất cả các bậc học, môn học trong đó có môn Toán Toán học cung cấpcho chúng ta những kiến thức cơ bản nhất, giúp chúng ta có những ứng dụngtrong cuộc sống hàng ngày Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành

và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học chohọc sinh; phát triển kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội cho học sinhđược trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn

Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông,việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học học sinh là hết sức quan trọng vì việcgiải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học giúp học sinh phát triển

tư duy và những kỹ năng cần thiết Dạy toán là dạy kiến thức, tư duy và tínhcách trong đó kỹ năng làm toán có vị trí đặc biệt vì không có kỹ năng làm toánthì không phát triển được tư duy Do đó việc rèn luyện kỹ năng giải toán là rấtcần thiết, đem lại niềm vui, hứng thú và yêu thích môn toán của học sinh.Việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh trong các trường THPT

đã và đang được quan tâm, cụ thể: các Sở giáo dục có tổ chức nhiều buổi tậphuấn, đổi mới cách thức sinh hoạt chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học,đổi mới phương pháp dạy học, dự giờ, thăm lớp Tuy nhiên do chương trìnhtoán học trải dài với nhiều mảng kiến thức và nội dung khác nhau, thời giantiết học thì ngắn nên việc dạy và học nhằm phát triển năng lực cho học sinhcòn chưa đáp ứng được yêu cầu học tập

Dãy số là một nội dung hay và khó trong chương trình toán phổ thông.Trong các kì thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia và quốc tế, có xuất hiện nhiều bài

toán dãy số nói chung và dãy số sai phân bậc hai nói riêng và luôn được đánhgiá là khó với học sinh, yêu cầu cao ở học sinh về tư duy, về kỹ năng Song nếukhai thác tốt nội dung này, có thể phát triển ở học sinh nhiều kỹ năng, kỹ xảogóp phần nâng cao chất lượng dạy học.

Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn đề tài "Rèn luyện kỹ năng giảitoán chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai cho học sinh trung học phổthông"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu và phát triển năng lực,

kỹ năng giải các bài toán xác định dãy số dạng sai phân bậc hai; góp phầnnâng cao chất lượng dạy học môn toán tại các trường THPT, đặc biệt trongcông tác bồi dưỡng HS giỏi, giúp HS rèn luyện và giải quyết được các bài toán

có nội dung hay và khó trong các kì thi học sinh giỏi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm sáng tỏ các vấn đề về dạy học rèn luyện kỹ năng cho học sinh baogồm khái niệm, vai trò, quy trình đánh giá

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển kỹ nănggiải toán cho học sinh thông qua dạy học chủ đề xác định dãy số dạng sai phânbậc hai cho học sinh THPT

- Xây dựng hệ thống các bài tập xác định dãy số dạng sai phân bậc haitrong các hoạt động học tập ở trường THPT

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu quả trongvận dụng dạy học môn toán theo chuyên đề bồi dưỡng ở trường THPT

4 Câu hỏi nghiên cứu

- Dãy số sai phân bậc hai là gì? Dạy học rèn luyện kỹ năng cho học sinh

- Thực trạng dạy học chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai ở cáctrường THPT hiện nay ra sao?

- Các biện pháp sư phạm nào có thể sử dụng để rèn luyện kỹ năng và pháttriển năng lực xác định dãy số dạng sai phân bậc hai cho HS?

5 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

5.1 Khách thể nghiên cứu

Học sinh có trình độ khá, giỏi tại các trường THPT

5.2 Đối tượng nghiên cứu

Quy trình dạy học rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề xác định dãy sốdạng sai phân bậc hai cho học sinh trung học phổ thông

6 Giả thuyết nghiên cứu

Trong dạy học xác định dãy số dạng sai phân bậc hai, nếu ta xây dựngđược hệ thống kiến thức trọng tâm, phân tích và đề xuất các hướng giải phùhợp cho từng loại bài tập thì sẽ phát triển được kỹ năng và năng lực giải toáncho học sinh, giúp học sinh khắc sâu được kiến thức đã học, linh hoạt, nhạybén hơn trong việc xác định dãy số, phát huy tính tích cực trong tiếp thu kiếnthức mới, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong trường THPT

7 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi về nội dung: Đề tài chỉ tìm hiểu về việc tổ chức dạy học rèn luyện

kỹ năng giải toán chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai cho học sinhtrung học phổ thông

Phạm vi về thời gian: chỉ nghiên cứu trong thời gian từ 01/ 2020 - 11/2020Phạm vi về không gian: trong chương trình toán THPT

8 Phương pháp nghiên cứu

a) Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu, phân tích, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu về giáodục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán

- Nghiên cứu nội dung chương trình SGK môn toán THPT và các tài liệutham khảo có liên quan

- Nghiên cứu chương trình toán học bậc THPT - phần dãy số lớp 11 nhằmphục vụ hoàn thành luận văn

b) Phương pháp điều tra, quan sát

- Điều tra giáo dục

- Theo dõi và tiến hành thực nghiệm

c) Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Dạy thực nghiệm, kiểm tra kết quả trước và sau khi thực nghiệm, đặc biệttrong các tiết học tự chọn và tăng cường Toán hoặc tiết bồi dưỡng HS giỏi ởtrường THPT

9 Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của luận văn

9.1 Về mặt lý luận

Luận văn hệ thống hóa những lý luận về dạy học rèn luyện kỹ năng chohọc sinh trong môn Toán nói riêng Đề xuất quy trình tổ chức dạy học rènluyện kỹ năng giải toán chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai cho họcsinh trung học phổ thông

9.2 Về mặt thực tiễn

Luận văn đưa ra được phương pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đềxác định dãy số dạng sai phân bậc hai cho học sinh trung học phổ thông

10 Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm: ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, luận vănđược trình bày trong nội dung 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn

Chương 2 Rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề xác định dãy số dạng saiphân bậc hai cho học sinh trung học phổ thông

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Các vấn đề chung về kỹ năng

1.1.1 Khái niệm kỹ năng

Trong cuộc sống, chắc hẳn mỗi chúng ta đã nghe rất nhiều về hai từ kỹnăng Những người có kỹ năng tốt thường xử lý, vượt qua trở ngại trong cuộcsống dễ dàng hơn Vậy cụ thể kỹ năng là gì?

Một số quan điểm về kỹ năng như sau:

Kỹ năng (Tiếng Anh: Skill; Tiếng Pháp: Capacité) (theo Wikipedia TiếngViệt) là khả năng vận dụng những kiến thức, hiểu biết của con người để thựchiện một việc gì đó, có thể là việc nghề nghiệp mang tính kỹ thuật, chuyênmôn hoặc việc liên quan đến cảm xúc, sinh tồn, giao tiếp,

Theo L Đ.Lêvitôv nhà tâm lý học Liên Xô cho rằng: "Kỹ năng là sự thựchiện có kết quả một động tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằngcách lựa chọn và áp dụng những cách thức đúng đắn, có tính đến những điềukiện nhất định" [13, tr.45] Theo ông, người có kỹ năng hành động là ngườiphải nắm được và vận dụng đúng đắn các cách thức hành động nhằm thực hiệnhành động có kết quả Ông còn cho biết những người có kỹ năng là không chỉhiểu được lý thuyết mà còn phải biết vận dụng thành thạo vào thực tế

Nói đến kỹ năng, A V.Petrovski viết: Năng lực sử dụng các dữ kiện, cáctri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện nhữngthuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ

lý luận hay thực hành xác định, được gọi là các kỹ năng

G.Polya đã khẳng định: "Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bàitoán, thực hiện các chứng minh cũng như các phân tích có phê phán các lờigiải và chứng minh được, kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều kiếnthức thuần túy, so với thông tin trơn"

Theo từ điển tiếng Việt: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức

là khả năng vận dụng kiến thức, khái niệm, cách thức, phương pháp ) để giảiquyết một nhiệm vụ mới".[5,tr131]

Không có khái niệm cụ thể, đồng nhất về kỹ năng Tùy mỗi người sẽ cónhững định nghĩa khác nhau Nhìn chung, kỹ năng là việc một người nào đóvận dụng khả năng hay năng lực để thực hiện hành động gì đó nhằm tạo ra kếtquả như mong muốn

1.1.2 Sự hình thành kỹ năng

- Bất kì một kỹ năng nào được hình thành nhanh hay chậm, bền vững haylỏng lẻo đều phụ thuộc vào khát khao, quyết tâm, năng lực tiếp nhận của chủthể, cách luyện tập, tính phức tạp của chính kỹ năng đó

- Kỹ năng là thứ mà mỗi chúng ta cần phải luyện tập rất lâu thì mới cóthể thuần thục được

- Kỹ năng được hình thành khi chúng ta biết đem kiến thức, hiểu biết củamình có được để áp dụng vào thực tế

- Cần hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thaotác nhằm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập,tìmhướng giải quyết để đạt được mục tiêu đã đặt ra

- Để hình thành kỹ năng học tập cho sinh thì giáo viên cần chú ý:

+ Hướng dẫn học sinh biết cách phát hiện ra những yếu tố đã cho (tạmgọi là giả thiết) để nhận ra các yếu tố cần tìm (gọi là kết luận) Từ đó tìm đượcmỗi liên hệ giữa các yếu tố đó

+ Hướng dẫn học sinh biết khái quát hóa bài toán đã cho để có thể giảiđược các bài toán tương tự

+ Tìm được mối quan hệ giữa các bài toán mô hình khái quát với các kiếnthức sử dụng tương ứng

1.1.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

a) Thứ nhất, nội dung của nhiệm vụ, nội dung của bài toán được đặt ratrừu tượng hóa, bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy ảnhhưởng đến sự hình thành kỹ năng

Ví dụ 1.1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số {un} cho như sau:

Theo giả thiết ta có un > 0, ∀n = 1, 2, và

kỹ năng cho học sinh, mới phát triển tư duy, sáng tạo trong học sinh

b) Thứ hai, khả năng khái quát, mở rộng cũng là yếu tố ảnh hưởng đến

sự hình thành kỹ năng

Ví dụ 1.2 Học sinh đã được làm quen rất nhiều đến khái niệm cấp số cộngcấp số nhân Khi nhìn vào dãy số xn+1 = xn + d học sinh nhận ra đó là mộtcấp số cộng với công sai là d Tuy nhiên khi giáo viên khái quát hóa dãy số trênthành dãy mới xn+1 = axn+ d thì đòi hỏi học sinh suy nghĩ tìm ra lời giải tổngquát và tên gọi cho dãy số đó Từ đó học sinh nhận ra rằng khi dãy số đó cho

a = 1 thì nó trở thành cấp số cộng đã biết

c) Thứ ba, tâm lý và thói quen tâm lý

thành kỹ năng Thói quen tâm lý là một trở ngại thường gặp trong học tập.Nguyên nhân chủ yếu hình thành thói quen tâm lý là luôn luôn theo một lối tưduy cũ, không thoát ra theo một hướng suy nghĩ mới, chỉ nhìn nhận bài toán

ở vẻ bề ngoài mà chưa dám đi sâu vào quan sát đặc điểm của từng bài toán

1.1.4 Phân biệt kỹ năng, khả năng và kiến thức

Kỹ năng (Skills)

Kỹ năng là sự thành thục, thông thạo một thứ gì đó nhờ vào quá trìnhđào tạo và rèn luyện Kỹ năng là những điều phải học thì mới biết và áp dụngvào thực tiễn được

Khả năng (Abilities)

Khả năng là điều mà một con người có thể làm được, khả năng của conngười là vô tận và nó có thể là thứ bẩm sinh đã có Khả năng và kỹ năng làhai khái niệm rất gần gũi, chúng luôn bổ trợ cho nhau để giúp chúng ta có thêđạt được mục tiêu mình muốn

Kiến thức (Knowledge)

Kiến thức chính là những hiểu biết, là sự am hiểu của một người về mộtvấn đề nào đó Kiến thức là cơ sở để tạo nên kỹ năng của một con người

1.2 Kỹ năng giải toán

1.2.1 Khái niệm kỹ năng giải toán

- Để giải một bài toán, người làm toán phải tiến hành một chuỗi các hànhđộng cụ thể, có mục đích, do đó yêu cầu phải nắm vững kiến thức của hànhđộng đó, biết những yếu tố nào ảnh hưởng đến tri thức đó và biết được hànhđộng có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giải toán, theo tôiquan niệm về kỹ năng giải toán của học sinh như sau: "Kỹ năng giải toán làkhả năng vận dụng các kiến thức của bộ môn Toán và kinh nghiệm đã có nhằmthực hiện các hành động học tập toán học để đi đến những lời giải một cáchchính xác và khoa học"

- Kỹ năng trong giải toán hiểu đơn thuần là việc biến những cái tưởng

chừng như rất phức tạp, chưa thể tìm ra hướng giải về những cái đơn giản đãbiết Để làm được điều đó không hề đơn giản, đòi hỏi học sinh có kỹ năng giảitoán tốt, có những suy luận, lập luận logic chặt chẽ, đặc biệt có kiến thức nềntảng tốt.

- Cái khó của người giáo viên không chỉ giúp học sinh giải ra được bàitoán mà là cung cấp cho học sinh cái kỹ năng giải toán như thế nào để họcsinh không chỉ giải theo cách mà thầy cô đã cung cấp mà còn biết phát hiện

ra những lời giải mới của chính mình Do đó, để học sinh có kỹ năng giải toántốt, giáo viên cần định hướng cho học sinh một cách thức chung khi bắt tayvào giải một bài toán bất kì

Theo tôi, để giải một bài toán học sinh cần thực hiện theo bốn bước:+ Bước 1: Khẳng định rằng là đã hiểu bài toán

Để giải một bài toán thì học sinh cần phải biết cái gì đã cho, cái gì cầnxác định, hệ thức gì đã cho, hệ thức gì cần xác định, và được sắp xếp trongmột lược đồ để lí luận

+ Bước 2: Lựa chọn cách giải

Khi đã hiểu bài toán cho cái gì, cái gì cần xác định, khi đó học sinh sửdụng các kiến thức và kinh nghiệm đã có để lựa chọn ra cách giải phù hợp nhấtvới đề bài, từ đó có thể đưa ra cho mình một phương pháp chung nhất để cóthể giải quyết các bài toán khác tương tự Đây có thể nói là bước quan trọngnhất, vì nếu đi sai lệch hướng thì coi như bài toán đi vào ngõ cụt, đồng thờikhông rút ra được phương pháp chung để giải một bài toán bất kì nào khác.+ Bước 3: Tiến hành giải

Khi đã lựa chọn được cách giải tốt nhất cho bài toán thì học sinh chỉ cầntiến hành giải một cách cẩn thận và chính xác để tìm ra kết quả của bài toán.+ Bước 4: Kiểm tra lại tính tối ưu

Kiểm tra lại kết quả tìm được ở bước 3, xem lại các bước lập luận, trìnhbày đã hợp lí chưa,đã tối ưu chưa từ đó đưa ra kết luận chính xác nhất cho bàitoán Trên kết quả thu được của bài toán đã làm, học sinh có thể mở rộng lờigiải cho nhiều bài toán khác

Ví dụ 1.3 Tìm dãy số {un} thỏa mãn điều kiện

un+1 = −5un = 8, u0 = 1.(1) (1.1)+ Bước 1: Khẳng định rằng là đã hiểu bài toán

Trong phần dãy số, học sinh được học hai dãy số quan trọng là cấp sốcộng và cấp số nhân Quan sát vào dãy số đã cho, học sinh thấy rằng nếu khửđược hằng số tự do 8 thì dãy số đã cho trở thành cấp số nhân, khi đó bài toánđược giải quyết

+ Bước 2: Lựa chọn cách giải

Biến đổi dãy số đã cho về cấp số nhân quen thuộc bằng cách sử dụng dãy

+ Bước 4: Kiểm tra lại tính tối ưu

Từ ví dụ này, ta có thể đưa ra phương pháp chung để giải các dãy số tươngtự

1.2.2 Vai trò của kỹ năng giải toán

Một câu hỏi cần đặt ra là kỹ năng giải toán có vai trò như thế nào mà nógóp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh Mục đích của dạy học mônToán ở trường phổ thông không chỉ đơn thuần là việc truyền thụ kiến thức chohọc sinh mà song hành là việc rèn luyện kỹ năng Khi tiến hành rèn luyện kỹnăng toán học cho học sinh thì cần đảm bảo mối liên hệ giữa kiến thức họcvới kiến thức áp dụng vào thực hành trong thực tế Bởi nếu hai yếu tố học vàhành không song hành cùng nhau thì học sinh chỉ biết học vẹt, học tủ những

lý thuyết suông trên lớp mà không biết vận dụng kiến thức đó hoặc vận dụngkhông đầy đủ vào trong việc giải bài tập cũng như khi áp dụng vào trong thựctế.Do đó để giúp học sinh hình thành được kỹ năng giải toán một cách thànhthạo thì giáo viên cần tăng cường các hoạt động giải toán Đây cũng chính làmục đích chính của mỗi giáo viên khi dạy toán cho học sinh

Hoạt động giải toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt động toánhọc đối với học sinh.Thông qua các hoạt động giải toán, học sinh biết cách tìm

ra yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm và mối quan hệ giữa chúng Biết hình thànhcác mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại Biếtnhìn nhận bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cáchgiải với nhau để lựa chọn ra được cách giải ngắn gọn khi giải toán Khi họcsinh làm được điều đó thì khả năng tư duy của các em sẽ nhanh nhẹn hơn, các

em không còn bị lệ thuộc vào những bài tập mẫu quá nhiều mà đứng trước mỗibài toán các em sẽ tìm ra được cách giải phù hợp Hay nói cách khác việc rènluyện kỹ năng giải toán đóng góp một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng

tư duy toán học, phát triển trí thông minh, óc sáng tạo và thói quen làm việcmột cách khoa học cho học sinh

1.2.3 Phân loại kỹ năng trong môn Toán

Có nhiều cách phân loại kỹ năng Theo tâm lý giáo dục, người ta thườngchia kỹ năng học tập cơ bản thành các nhóm: Kỹ năng nhận thức, kỹ năngthực hành, kỹ năng tổ chức các hoạt động nhận thức, kỹ năng hợp tác và hoạt

a Kỹ năng nhận thức

+ Kỹ năng nắm vững khái niệm: Học sinh phải chỉ ra được các yếu tốchính trong một khái niệm, từ đó các em nhận dạng khái niệm, phát hiện xemmột đối tượng nào đó có thuộc phạm vi khái niệm đã cho hay không, từ đó nêu

ra được khái niệm, đọc được khái niệm Khi các học sinh hiểu được khái niệmthì học sinh có thể tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi khái niệm đã cho, từ

đó có thể hiểu quan hệ giữa các khái niệm đã cho Điều này giúp các em nắmvững được khái niệm hơn

+ Kỹ năng nắm vững định lý: Học sinh phân biệt được giả thiết và phầnkết luận của định lý, từ đó học sinh có thể có cách phát biểu khác cho định lý.+ Kỹ năng vận dụng các quy tắc: Đây là một khía cạnh của kỹ năngnhận thức trong môn Toán, học sinh áp dụng linh hoạt, thành thạo các quytắc nhưng không máy móc Giáo viên cần chú ý lựa chọn, khai thác những ví

dụ, những bài tập có cách giải linh hoạt hơn là áp dụng các quy tắc tổng quátgiúp học sinh không ỷ lại trong nhận thức và tư duy, từ đó rèn luyện cho họcsinh tính linh hoạt khi vận dụng kiến thức

+ Kỹ năng dự đoán và suy đoán: Giúp học sinh có khả năng tìm tòi, dựđoán được những tính chất, tự mình có thể phát hiện và phát biểu được vấn

đề Thông qua quan sát, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, , giúphọc sinh phát triển được kỹ năng dự đoán và suy đoán

b Kỹ năng thực hành

- Kỹ năng thực hành bao gồm:

+ Kỹ năng vận dụng để giải quyết bài toán, sử dụng các kiến thức đã học

để tìm tòi lời giải của bài toán

+ Kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn được cho trong bài toánđược nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết liên hệtoán học vào trong cuộc sống, giúp học sinh hứng thú, say mê với toán học Đểtạo điều kiện vận dụng tri thức vào thực tế, học sinh cần phải có các kỹ năngthực hành cần thiết như kỹ năng tính toán, kỹ năng vẽ hình, đo đạc

c Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức

Để có được kỹ năng này, học sinh cần biết được năng lực của bản thânmình để có kế hoạch học tập và lựa chọn phù hợp với bản thân, từ đó mới thựchiện được các mục tiêu kế hoạch đặt ra Hay nói cách khác, học sinh phải có

kỹ năng tổ chức các hoạt động nhận thức, chủ động học tập, say mê kiến thức,chiếm lĩnh được kiến thức ở từng giai đoạn cụ thể, từ đó các em luôn chủ độngtrong học tập và sẽ yêu thích toán học hơn.

d Kỹ năng hợp tác và hoạt động nhóm

Hoạt động nhóm giúp phát huy tối đa ưu điểm của từng cá nhân trongnhóm, kết hợp các ưu điểm để hoàn thành nhiệm vụ một cách hiệu quả và chínhxác nhất Mỗi học sinh thì đều có thế mạnh riêng của mình, đều có hiểu biết

ở một mảng kiến thức nào đó Do đó, trong hoạt động nhóm cần lắng nghe ýkiến của người khác, từ đó có thể học hỏi và bổ sung phần kiến thức mà mìnhcòn thiếu đồng thời có thể sẻ chia những kiến thức mà mình biết cho ngườikhác Nhờ làm việc nhóm, các học sinh còn có thể đề ra thêm nhiều ý tưởng đểgiải bài toán theo nhiều hướng khác nhau Đồng thời làm việc nhóm giúp chomỗi cá nhân đề cao tinh thần tập thể, nâng cao hiệu quả của công việc và tạo

sự gắn bó, tôn trọng lẫn nhau

e Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá Đây có thể nói là kỹ năng quan trọngkhông thể thiếu ở mỗi học sinh, khi các em chủ động chiếm lĩnh kiến thức thìcác em sẽ đạt được mục tiêu mà mình đặt ra Để làm được điều đó, mỗi họcsinh cần có kỹ năng tự kiểm tra đánh giá

Mỗi học sinh, sau khi lập được kế hoạch học tập của mình thì ở mỗi giaiđoạn học tập các em xác định được kiến thức mà mình chiếm lĩnh được Từ

đó, sau mỗi giai đoạn, sau mỗi lần kiểm tra của giáo viên, sau mỗi phần kiếnthức mà các em học hỏi được, các em sẽ tự nhận ra được những phần kiến thứcmình còn bị hổng, những kiến thức mà mình chưa chắc, những bài kiếm trachưa đạt kết quả cao, hay những bài tập còn làm dài dòng chưa đi đúng hướng,các em có thể tự điều chỉnh được bản thân mình, nhận ra những thiếu sót, từ

đó tìm hướng giải quyết tốt hơn

Sau mỗi lần các em biết tự kiểm tra, biết tự phát hiện ra những thiếu sótcủa bản thân và tự điều chỉnh thì mỗi lần đó các em sẽ trưởng thành hơn vàkiến thức của các em ngày càng chắc chắn và tốt hơn lên

Tóm lại, mỗi học sinh trong cuộc sống cũng như trong học tập cần hìnhthành cho mình khả năng tự kiểm tra đánh giá để hướng tới một tương lai tốt

1.2.4 Các mức độ kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán bao gồm các mức độ:

+ Mức 1 (Nhận biết): Đọc được đề bài, chỉ ra được giả thiết, chỉ ra đượckết luận và nêu được quy trình giải bài toán giống bài tập mẫu

+ Mức 2 (Thông hiểu): Đưa ra được lời giải cho bài toán, trình bày giốngbài mẫu nhưng chưa đưa ra được cách giải tối ưu

+ Mức 3 (Vận dụng): Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo, khác lờigiải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức đã học để giải quyết vấn đề

+ Mức 4 (Vận dụng cao): Đưa ra được cách giải sáng tạo không chỉ vớicác bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới

1.3 Thực trạng vận dụng dạy học rèn luyện kỹ năng

trong môn toán ở trường trung học phổ thông

Chúng tôi tiến hành khảo sát thực trạng việc dạy học rèn luyện kỹ năngthông qua chủ đề xác định dãy số dạng sai phân bậc hai ở trường THPT VũVăn Hiếu - Hải Hậu - Nam Định Đây là trường công lập có uy tín, chất lượngcao trên địa bàn huyện Hải Hậu - Nam Định Tôi đã khảo sát dưới hình thứcphát phiếu hỏi(10 phiếu của GV và 60 phiếu của HS), dự giờ (4 tiết), nghiêncứu giáo án, vở ghi của học sinh và trao đổi trực tiếp với cán bộ quản lý, giáoviên và học sinh của trường

Sau khi thống kê các phiếu khảo sát, kết quả thu được như sau:

Đối với học sinh:

Sau khi nhận được các phiếu trả lời của học sinh, không có học sinh nào

để trống câu trả lời

I Trong quá trình làm bài thi và bài kiểm tra, các em thường mắc phải nhữngkhó khăn, sai lầm nào? (điền vào ô trống 1 trong 4 mức độ lựa chọn)

1 Rất thường xuyên 3 Thỉnh thoảng

2 Thường xuyên 4 Không bao giờ

Bảng 1.1 Kết quả mức độ mắc sai lầm của học sinh trong các bài thi vàbài kiểm tra

1 Do HS chưa biết cách trình bày

8 Nguyên nhân khác Không phân bố khoa học thời

gian làm bài: 20%

Nhận xét Như vậy qua câu hỏi này, trong quá trình làm bài kiểm tranhiều học sinh chưa biết cách trình bày một bài toán, không nắm vững bảnchất vấn đề đặt ra, đồng thời không nắm được, nhớ được các dạng bài tập cơbản, từ đó chưa biết vận dụng kiến thức đã học vào giải toán Điều đó cho thấy

kỹ năng làm bài của HS chưa tốt

II Sau khi học 2 tiết môn Toán về chủ đề này, HS nêu ý kiến cá nhân củamình:

1 Điều gì làm HS thấy thú vị nhất: Phạm vi kiến thức không chỉ dừnglại ở cấp số nhân, cấp số cộng mà là những bài toán mở rộng của cấp số nhâncộng,

2 Khó khăn HS gặp phải: Một số HS còn mơ hồ cách vận dụng lý thuyếtvào bài tập

3 Để nhớ được nội dung kiến thức bài học, HS thường: hiểu được nội dungcốt lõi của lý thuyết để bài tập nào cũng áp dụng được

4 Trong quá trình học toán, theo em có cần thiết trao đổi, thảo luận vớinhóm bạn (học nhóm) để tăng hiệu quả học tập không?

A Rất cần thiết: 100%

B Cần thiết: 0%

C Không cần thiết: 0%

5 Em đã bao giờ tìm hiểu về kỹ năng giải toán chưa?

A Biết rõ, quan tâm và tìm hiểu: 20%

B Biết rõ nhưng không quan tâm: 25%

C Có từng nghe nhưng chưa thực sự hiểu: 50%

D Chưa nghe nói đến và chưa tìm thấy bao giờ cả: 5%

Nhận xét chung Như vậy, qua bài khảo sát ý kiến từ HS, hầu hết HS

đã từng nghe nhưng chưa quan tâm lắm, chỉ có (20 %) học sinh biết rõ, quantâm và tìm hiểu vấn đề này

Đối với giáo viên:

Câu 1: Một trong những mục tiêu giáo dục môn Toán ở trường phổ thông hiệnnay là rèn luyện kỹ năng cho học sinh Các thầy/ cô có biết về dạy học rènluyện kỹ năng không?

A Biết rõ dạy học rèn luyện kỹ năng là gì và đã quan tâm, tìm hiểu: 75%

B Biết rõ dạy học rèn luyện kỹ năng là gì nhưng không quan tâm pháttriển cho HS: 0%

C Có nghe nhưng chưa thực sự hiểu: 25%

D Chưa được ai nhắc đến hay nghe thông tin từ mạng bao giờ: 0%

Nhận xét Kết quả khảo sát cho thấy phần lớn giáo viên biết rõ và quantâm rèn luyện kỹ năng cho học sinh

Câu 2: Theo thầy/ cô có nên dạy học rèn luyện kỹ năng cho học sinh THPTtrong bộ môn Toán hay không?

4 HS không chịu học, không muốn

hợp tác với giáo viên

40%

Nhận xét Khó khăn lớn nhất của GV khi dạy học rèn luyện kỹ năng là

HS chưa nắm vững kiến thức cơ bản, không có nền tảng để học kiến thức mới.Khó khăn tiếp theo là học sinh không hứng thú với kiến thức học Đây cũng làmột thách thức lớn đối với GV

Câu 4: Xin ý kiến thầy/cô về một số biện pháp khi dạy học rèn luyện kỹ năng.Bảng 1.3 Kết quả xin ý kiến của thầy cô về một số biện pháp khi dạy họcrèn luyện kỹ năng

1 Giúp HS hiểu rõ những kiến thức cơ bản 100%

2 Rèn cho HS các thao tác tư duy, thành thạo

các kỹ năng nhận thức, thực hành và kỹ

năng tự kiểm tra đánh giá

100 %

3 Cho HS làm quen với từng dạng bài tập từ

cơ bản đến nâng cao

Đánh giá chung thực trạng của HS và GV

Qua phân tích kết quả điều tra thực trạng, tôi cho rằng nhìn chung việcrèn luyện kỹ năng cho HS hiện nay ở trường THPT chưa được quan tâm đúngmực

- Nhận thức của GV, HS về dạy và học rèn luyện kỹ năng còn chung chung

- GV còn chưa chú ý nhiều đến rèn luyện kỹ năng cho HS trong quá trìnhdạy học

- Nhà trường hiện nay còn ảnh hưởng bởi cách dạy học truyền thống, chưa

áp dụng được nhiều phương pháp dạy học tích cực, hiện đại để giúp HS chủđộng, tìm tòi

Như vậy, kết quả nghiên cứu thực trạng cho thấy từ nhận thức đến rènluyện kỹ năng giải toán cho HS của GV THPT còn chung chung, đơn điệu.Thực tế này có nhiều nguyên nhân và lí do khác nhau mà nguyên nhân chính

là GV chưa thực sự đầu tư thời gian tìm hiểu, học hỏi, tìm phương pháp dạyhọc để phát huy tính tích cực chủ động của HS trong dạy học.

1.4 Những khó khăn của học sinh trung học phổ thông

khi giải bài toán xác định dãy số dạng sai phân bậc hai

Trước dãy số có thể nói là một dạng toán khó đối với học sinh THPT cũngnhư đối với các học sinh yêu thích môn toán sau này Trong chương trình SGK

ở phổ thông chỉ đề cập đến những kiến thức hết sức cơ bản từ định nghĩa, định

lý rồi đến các ví dụ, chưa thực sự đi sâu vào từng nội dung cụ thể

Học sinh được tìm hiểu về cấp số cộng, cấp số nhân nhưng học sinh cũngkhông hề nghe đến khái niệm "dãy số sai phân bậc nhất" bởi lí do một phầncác thầy cô giáo dạy cũng chưa thực sự tìm hiểu và cũng do thời lượng mộttiết học là ngắn nên các em cũng chưa được tìm hiểu sâu tên gọi của các dãy

số đặc biệt đó

Một ví dụ điển hình cho dãy số sai phân bậc hai đó chính là dãy sốFibonacci, SGK chỉ giới thiệu đây là hệ thức truy hồi biểu thị số hạng thứ n

qua số hạng (hay một vài số hạng) đứng trước đó, học sinh cũng không biết đó

là dãy số sai phân bậc hai Hoặc trong sách bài tập cũng chỉ đưa ra một số các

ví dụ và yêu cầu học sinh chứng minh

Các nội dung kiến thức để xác định dãy số sai phân bậc hai học sinh chưathực sự được học một cách bài bản từ dãy số sai phân bậc nhất, từ những bàitoán cơ bản nhất là cấp số cộng, cấp số nhân, nên mỗi khi gặp dạng toán nàyhọc sinh lúng túng chưa có định hướng cách làm cụ thể Mặt khác các dạngtoán về dãy số sai phân bậc hai không chỉ đơn giản như một số bài tập trongSGK mà nó biến tấu thành các bài khác nên điều này cũng gây khó khăn chohọc sinh khi làm bài

Kết luận chương 1

Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT có ý nghĩa hết sức quantrọng, vừa phát huy được những kiến thức nền tảng của học sinh từ THPT,vừa là nền móng để học sinh tiếp thu những kiến thức rộng hơn ở chương trìnhbậc đại học, cao đẳng, từ đó giúp các em có những kiến thức cơ bản về Toánhọc để phát triển các kỹ năng cần thiết trong cuộc sống

Trong chương 1, luận văn đã trình bày rõ các vấn đề về lý luận có liênquan trực tiếp đến kỹ năng nói chung và kỹ năng giải toán nói riêng

Ngoài ra trong chương này cũng đã trình bày một số vấn đề thực tiễn vềviệc dạy bài toán xác định dãy số dạng sai phân bậc hai hiện nay ở trườngTHPT Thực tiễn cho thấy giáo viên chưa đầu tư thời gian, công sức để tìmhiểu, rèn luyện và phát triển kỹ năng giải toán xác định dãy số dạng sai phânbậc hai cho học sinh Vì thế cần có những giải pháp tích cực hơn nhằm tháo

gỡ những khó khăn trong học tập của học sinh cũng như trong quá trình giảngdạy của giáo viên

Dựa trên những căn cứ trên, tác giả xin mạnh dạn đưa ra giải pháp rènluyện kỹ năng xác định dãy số dạng sai phân bậc hai cho học sinh THPT sẽđược trình bày cụ thể ở chương 2

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ

XÁC ĐỊNH DÃY SỐ DẠNG SAI PHÂN BẬC HAI

Một trong những dạng toán hay và khó trong chương trình phổ thông làbài toán về dãy số, trong đó dãy số sai phân bậc hai và ứng dụng là phần rấtquan trọng Sai phân được hiểu là mỗi số hạng của dãy số được tách thành hiệuhay tổng quát hơn là tổng đại số của hai hay ba số hạng liên tiếp của dãy sốkhác Chọn đề tài về dãy số sai phân bậc hai, tác giả tự nhận thấy đây là mộtnhiệm vụ khó khăn Hơn nữa, trước đó đã có rất nhiều cuốn sách tham khảo

về vấn đề này Dù vậy, bản thân tác giả vẫn muốn cố gắng đóng góp một sốkinh nghiệm của bản thân khi dạy phần dãy số sai phân bậc hai cho học sinh.Làm thế nào để học sinh không còn gặp khó khăn khi gặp dãy số sai phân đó?Những vấn đề về phương trình đặc trưng của sai phân học sinh chưa học thìdùng như thế nào để giải quyết bài toán? Trong luận văn này, không phải tất

cả các vấn đề của dãy số đều được đề cập tới mà ở đây chú ý đến nhất là bàitoán tìm số hạng tổng quát của một dãy số sai phân bậc nhất và bậc hai, đồngthời tác giả đưa ra một số bài toán có áp dụng phương pháp sai phân

Để có cái nhìn sâu hơn về dãy số sai phân, tác giả có tham khảo các tàiliệu khác nhau nhưng chỉ có một số bài có nguồn gốc, còn một số bài tác giảsáng tác thêm Tác giả cũng đã sử dụng các bài giảng của các thầy Nguyễn VănMậu, Lê Đình Thịnh, Phan Huy Khải, trong bài viết của mình

2.1 Dãy số sai phân bậc nhất và nhị thức bậc nhất

Định nghĩa 2.1 (Nhị thức bậc nhất) Nhị thức bậc nhất (đối với x) là biểuthức dạng f (x) = ax + b, trong đó a và b là hai số thực cho trước với a 6= 0

Định nghĩa 2.2 (Dãy số) Dãy số là một hàm số từ N vào một tập hợp số

(R,C,Q,N) hay một tập con nào đó của các tập hợp trên

Các số hạng của dãy số thường được kí hiệu là un, vn, xn, yn thay vì

u (n) , v (n) , x (n) , v (n) Bản thân dãy số được kí hiệu là {xn}

d được gọi là công sai của cấp số cộng, x0 là số hạng đầu, xn là số hạng thứ n.Định nghĩa 2.4 (Cấp số nhân) Dãy số {xn} được gọi là một cấp số nhân khi

và chỉ khi tồn tại q sao cho ∀n ∈N, xn+1 = qxn

q được gọi là công bội của cấp số nhân, x0 là số hạng đầu, xn là số hạng thứ n.Định nghĩa 2.5 (Dãy số sai phân bậc nhất) Dãy số sai phân bậc nhất là dãy

Khi đó dãy số {vn} trở thành cấp số nhân với công bội q = a

Suy ra dãy số {vn} có dạng vn = C.an (với C là hằng số)

Vậy dãy số {vn} có dạng xn = C.an + b

1 − a.

Ta xét các bài toán sau

Bài toán 2.1 Tìm dãy số {un} thỏa mãn điều kiện

− 2

Nhận xét 2.2 Trên đây ta đã xét một số bài toán tìm dãy số {un} thỏa mãn

un+1 = aun+ b trong đó a, b là các hằng

Để có thể giải quyết được các bài toán phức tạp hơn như:Tìm dãy số {un}

thỏa mãn un+1 = aun+ f (n) trong đó f (n) là đa thức của n, an, sinn, cosn ,

Bài toán 2.3 Xét dãy số {un} thỏa mãn điều kiện

về dãy số cơ bản đã xét ở trên

Lời giải Xét một dãy số {un} có dạng un = αn + β thay vào dãy số đã cho

Phân tích: Dãy số vẫn có vế phải là đa thức bậc nhất, tuy nhiên hệ số của

un+1 và un bằng nhau nên ta đi tìm một đa thức bậc hai hơn đa thức đã chomột đơn vị

Lời giải Xét một dãy số {un} có dạng un = an2 + bn thay vào dãy số đãcho ta được

b = 12

Bài toán 2.5 (HSG- Thái nguyên - năm 2019 - 2020) Cho dãy số {un}

được xác định như sau:

Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số.

Phân tích: Bài toán này tương tự như bài trước, tìm một dãy số dạng đa

Sau đây ta xét các bài toán mà trường hợp f (n) là một lũy thừa: hệ số

của {un} bằng 1, khác 1 nhưng bằng hoặc không bằng cơ số hàm mũ, khi đó

cách giải của chúng có sự khác nhau

Bài toán 2.6 (Olympic 11 - trường Trần Hưng Đạo- năm 2019 - 2020)

Cho dãy số {un} được xác định bởi

(

un+1 = 2un + 3n

u1 = 1 ∀n ∈N

Tìm công thức số hạng tổng quát của un theo n.

Phân tích: Dãy số sai phân bậc nhất có về phải là lũy thừa với cơ số 3, hệ

số của un khác cơ số của lũy thừa, ta tìm một dãy số cũng có dạng lũy thừavới cơ số 3 để đưa về dãy số sai phân bậc nhất thuần nhất

Lời giải Xét một dãy số {un} có dạng un = a.3n thay vào dãy số đã cho tađược

nthay vào dãy số đã cho

ta được

⇔ a = −2.

Suy ra un = −2



12

n

+ yn thay vào dãy số đã cho ta được yn+1 = yn

Khi đó dãy số {yn} trở thành cấp số nhân với công bội q = 1

Hay {yn} có dạng yn = C

Khi đó dãy {un} có dạng un = −2



12

n.Bài toán 2.8 Tìm dãy số {un} thỏa mãn điều kiện

un+1 = 7un + 7n+1, u0 = 1

Phân tích: Dãy có hệ số của un bằng cơ số của lũy thừa đã cho ở vế phải,

do đó tìm một dãy số có dạng lũy thừa nhân với đa thức bậc nhất của n.Lời giải Xét dãy số {un} có dạng un = a.n.7n thay vào dãy số đã cho tađược

Bài toán 2.9 Tìm dãy số {un} thỏa mãn điều kiện

un+1 = un + cos n, u1 = 1

Phân tích: Vế phải của dãy số dạng hàm số lượng giác, tìm một dãy số códạng lượng giác nhưng đầy đủ cả sin n và cos n và sử dụng công thức cộnglượng giác để đưa dãy số đã cho về dạng thuần nhất

Lời giải Xét dãy số {un} có dạng un = a cos n + b sin n thay vào dãy số đãcho ta được

a cos(n + 1) + b sin(n + 1) = a cos n + b sin n + cos n

Hay

(

a(cos 1 − 1) + b sin 1 = 1

−a sin 1 + b(cos 1 − 1) = 0

Vì định thức D = 2 − 2 cos 1 > 0 nên hệ có nghiệm duy nhất là (a; b).Đặt un = a cos n + b sin n + yn thay vào dãy số đã cho ta đượcyn+1 = yn

Khi đó dãy số {yn} trở thành cấp số nhân với công bội q = 1

Hay {yn} có dạng yn = C

Khi đó dãy {un} có dạng un = C + a cos n + b sin n + yn

Chọn n = 1 ta được C = 1 − a cos 1 + b sin 1

Vậy un = a cos n + b sin n + 1 − a cos 1 + b sin 1, với a, b xác định theo hệthức trên

Bài toán 2.10 Tìm dãy số {un} thỏa mãn điều kiện

Vì định thức D = 5 − 4 cos 1 > 0 nên hệ có nghiệm duy nhất là (a; b).Đặt un = a cos n + b sin n + yn thay vào dãy số đã cho ta đượcyn+1 = 2yn.

Khi đó dãy số {yn} trở thành cấp số nhân với công bội q = 2

Hay {yn} có dạng yn = C.2n

Khi đó dãy {un} có dạng un = C.2n+ a cos n + b sin n + yn

Chọn n = 1 ta được 2C = 1 − a cos 1 + b sin 1

Vậy un = a cos n + b sin n + (1 − a cos 1 + b sin 1).2n−1, với a, b xác địnhtheo hệ thức trên

Nhận xét 2.4 Đến đây ta thấy rõ ràng lợi ích của phép sai phân: Tìm dãy số

{yn} để đưa về bài toán đã biết (vớif (n) = 0)

Bây giờ ta sẽ giải quyết bài toán phức tạp hơn: f (n) là tổng của hai hàmtrong ba hàm đã nêu là hàm đa thức, hàm mũ, hàm lượng giác Để nắm đượcphương pháp chung ta chỉ cần xét bài toán sau:

Bài toán 2.11 Tìm dãy số {un} thỏa mãn điều kiện

− 2n+1− n − 1

Nhận xét 2.5 Qua bài toán 2.11 ta thấy khi dãy số sai phân bậc nhất khôngthuần nhất có b là một biểu thức chứa cả đa thức và lũy thừa thì ta thực hiện

đi tìm một dãy số {xn} có dạng là một đa thức cộng với một lũy thừa với cơ

số của lũy thừa giống với cơ số của lũy thừa đã cho

Một lần nữa ta thấy lợi ích của phương pháp sai phân có thể giải được bàitoán khi f (n) phức tạp hơn:có dạng tổ hợp của các f (n) đã cho

Bài toán 2.12 Tìm số hạng tổng quát của dãy số {un} cho như sau:

Phân tích: Thoạt nhìn thấy dãy số đã cho khá là cồng kềnh và phức tạp, chả

có gì liên quan đến dãy số sai phân, nhưng khi thực hiện biến đổi bình phươnghai vế và đặt ẩn phụ thì dãy số đã cho trở thành dãy số sai phân bậc nhất quenthuộc

Lời giải Theo giả thiết ta có un > 0, ∀n = 1, 2, và