Công thức baker campbell hausdorff trong lý thuyết lie luận văn thạc sỹ toán học

Luận văn, khóa luận, đề tài

Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh

Hoàng đức việt

Công thức Baker – Campbell – Hausdorff Campbell – Campbell – Hausdorff Hausdorff

Trong lý thuyết lie

Ch

ơng I Đại số Lie - Toán tử ad

Đ1 Nhóm Lie ma trận 5

Đ2 Đại số Lie ma trận.……….11

Đ3 Đại số Lie tổng quát Đồng cấu, đẳng cấu, toán tử ad 14

Ch ơng II Công thức BCH - Các trờng hợp đặc biệt Đ1 Công thức BCH - Chuỗi Hausdorff log( x y) e e 18

Đ2 Công thức BCH cho một số đại số Lie cụ thể 20

Đ3 Một số tính chất của chuỗi Hausdorff 25

Ch ơng III Công thức BCH tổng quát Đ1 Công thức BCH dạng tích phân 30

Đ2 Công thức BCH dạng chuỗi……… 32

Đ3 Công thức BCH ẩn trong phơng trình vi phân 34

Kết luận……… 39

Tài liệu tham khảo 40

Lời nói đầu

I Lí do chọn đề tài

Công thức Baker – 2011 Campbell – 2011 Hausdorff (BCH) là công thức rất quan trọng và cơ bản trong Đại số Lie và nhóm Lie trong hình học không giao hoán Công thức BCH cho mối quan hệ tự nhiên giữa nhóm Lie và đại số Lie, công thức do ba nhà toán học Baker, Campbell, Hausdorff tìm ra một cách đồng thời Công thức BCH còn có thể gọi tắt là chuỗi Hausdorff Về mặt lịch sử chuỗi Hausdorff H loge e X Y đợc sử dụng để xác định một quy tắc nhân trong nhóm Lie ứng với một đại số Lie cho trớc, công thức này thể hiện đặc trng của hình học không giao hoán, ai muốn nghiên cứu về nhóm Lie và Đại số Lie đều phải biết về công thức BCH Tất cả các sách về lý thuyết Lie đều viết về công thức BCH nhng rất ít chứng minh vì chứng minh công thức BCH rất phức tạp, ta

thờng chứng minh công thức cho một số trờng hợp cụ thể, sử dụng các tính chất của số Phức Điểm mới của luận văn là xem chuỗi này là nghiệm của một phơng trình vi phân.

Với bản thân em khi học học phần này ban đầu cũng cảm thấy khó khăn.Qua sự giúp đỡ của thầy cô, bạn bè và qua tài liệu, giáo trình em đã hiểu kĩ hơn

và thấy say mê khi tìm hiểu công thức BCH trong Đại số Lie Công thức BCH vàmột số tính chất của chuỗi Hausdorff đã đợc trình bày trong giáo trình tuy nhiêntrong quá trình học tập em vẫn cha đợc học sâu về phần này Vừa để thoả mãnniềm say mê của bản thân cũng nh giúp các bạn sinh viên ở các trờng Đại học cócái nhìn sâu sắc về Nhóm Lie và Đại số Lie, em đã chọn đề tài: “Công thứcBaker – 2011 Campbell – 2011 Hausdorff trong lý thuyết Lie” làm luận văn tốt nghiệpcủa mình, trong đó đa ra các dạng của công thức BCH, phát biểu một số tínhchất liên quan, và đặc biệt là xác định một phơng trình vi phân nhận chuỗi đólàm nghiệm

II Mục đích, yêu cầu:

Đề tài đi sâu nghiên cứu các vấn đề sau:

- Giới thiệu công thức BCH trong nhóm Lie và Đại số Lie, đa ra một cách chứng minh công thức BCH dựa vào số phức

- Phát biểu và chứng minh các tính chất của chuỗi Hausdorff loge e X Y

- Tìm công thức BCH ở các nhóm Lie đặc biệt

- Chứng minh công thức BCH ẩn trong phơng trình vi phân

Mục đích chính của đề tài là tạo ra một tài liệu tơng đối hoàn chỉnh về công thức BCH trong đại số Lie, phơng pháp chứng minhvà các tính chất của chuỗi Hausdorff giúp các bạn Sinh viên, Học viên chuyên ngành Toán làm tài liệu học tập và nghiên cứu

III Bố cục, nội dung đề tài

Đề tài gồm 3 chơng, trong mỗi chơng lại đợc chia thành các phần nhỏ với

bố cục nh sau:

Chơng I Đại số Lie Toán tử ad

Đ1 Nhóm Lie ma trận

Đ2 Đại số Lie ma trận

Đ3 Đại số Lie tổng quát Đồng cấu, đẳng cấu, toán tử ad

Chơng II Công thức BCH Các trờng hợp đặc biệt

Đ1 Công thức BCH Chuỗi Hausdorff log(e e x y)

Đ2 Công thức BCH cho một số đại số Lie cụ thể

Đ3 Một số tính chất của chuỗi Hausdorff

vi phân và một số ứng dụng

Thực hiện đề tài này, tác giả luận văn đã nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp

và sự quan tâm giúp đỡ từ thầy cô, gia đình, bạn bè

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Khoa Toán-Tin trờng Đại họcVinh và Đại học Hải Phòng đã truyền đạt cho em những kiến thức quý báu, đặcbiệt xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với Thầy giáo, Phó giáo s, Tiến SĩNguyễn Việt Hải ngời đã tận tình hớng dẫn, chỉ bảo, dẫn dắt em trên con đờngnghiên cứu khoa học

Trong quá trình thực hiện đề tài của mình em đã cố gắng học tập vànghiên cứu song chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong đợc

sự chỉ bảo và giúp đỡ của thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Hoàng Đức Việt

Chơng I

đại số Lie - Toán tử ad

Đ1 Nhóm Lie ma trận1.1 Nhóm Lie

1.1.1 Định nghĩa: Nhóm Lie G là một đa tạp ( khả vi lớp C k ) đồng thời là một nhóm sao cho ánh xạ tích ( , )x y  x y và ánh xạ lấy phần tử ngịch đảo

Ta đã nhúng GL n( , )Ă vào Ă nghĩa là n2 GL n( , )Ă là một tập con của Ă n2

Xét hàm định thức det :GL n( , )Ă è Ă n2đĂ là hàm đa thức nhiều biến

khả vi vô hạn lần.

Suy ra GL n( , )Ă @det (-1 Ă *) với Ă *=Ă \ 0{ }

Vậy GL n( , )Ă là tập con mở của Ă nên n2 GL n( , )Ă là một đa tạp khả vi.

- Kiểm tra hai phép toán trên GL n( , )Ă

Phép lấy nghịch đảo: ( )a ij - 1=( )c ij với 1

( 1) detdet( )

Đây là trờng hợp riêng, đợc gọi là nhóm Lie ma trận

Định nghĩa này (thực ra là hệ quả của định nghĩa trên về nhóm Lie) cho ta cách kiểm tra nhóm Lie đơn giản hơn.

0 0 1

a b c

+ Có SL n( , )Ă è GL n( ,Ê do với mọi ) A SL nẻ ( ,Ă thì ) detA= ạ1 0

Giả sử A B SL n, ẻ ( ,Ă , khi đó ) detA=detB=1 và

đƠ = , ta chứng minh detA=1 Do hàm det là hàm liên tục, khả vi

nên det det lim( n) lim det n lim1 1 ( , )

1.2.2.2 Nhóm trực giao O n( ) và trực giao đặc biệt SO n( )

Một ma trận thực cấp n A đợc gọi là ma trận trực giao nếu các vectơ cộtcủa A là trực giao, nghĩa là

0 ,1,

n

k

ij ik j i

1.2.2.3 Nhóm Unita và nhóm Unita đặc biệt, U n và   SU n 

A là ma trận phức cấp n, A - Unita nếu các vectơ cột của A trực giaotheo nghĩa



 và A* là liên hợp của A,  *

ji ij

Tập hợp các ma trận A đợc bảo toàn qua B, nghĩa là:

B Ax Ay =B x y "x yẻ ĂTạo thành một nhóm, đó là nhóm symplectic (thực)

Gọi 0

0

I J

+ Lấy ( )

0 1

i i i

Vậy Aff ( )Ă là một nhóm Lie ma trận

1.2.2.6 Nhóm biến đổi Affin trên đờng thẳng phức:

2.1.1 Định nghĩa: Cho G là nhóm Lie ma trận Đại số Lie của G là tập tất cả các ma trận X sao cho e tXẻ G, " ẻ Ă t

Kí hiệu G =LieG={X e| tXẻ G t," ẻ Ă }

2.2 §¹i sè Lie cña mét sè nhãm Lie ma trËn

2.2.1 §¹i sè Lie cña c¸c nhãm GL n( ,¡ vµ ) GL n( ,£)

+) GL n( ,¡ ) ={X detX ¹ 0}

A lµ ma trËn phøc th× e tA lµ kh¶ nghÞch " Ît ¡ Þ e tAÎ GL n( ,£)

Suy ra A LieGL nÎ ( ,£ VËy ) LieGL n( ,£)=Mat n( ,£ (Ma trËn phøc cÊp n))

+) GL n( ,¡ )={X detX ¹ 0}

A là ma trận thực thì e tA là khả nghịch " ẻt Ă ị e tAẻ GL n( ,Ă )

Suy ra A LieGL nẻ ( ,Ă Vậy ) LieGL n( ,Ă ) =Mat n( ,Ă (Ma trận thực cấp n))

2.2.2 Đại số Lie của các nhóm tuyến tính đặc biệt SL n  và  ,  SL n  , 

Tơng tự ta có Lie SU n( )={X ẻ Mat n( ,Ê) X*=- X traceX, =0}=su n( )

2.2.4 Đại số Lie của các nhóm Aff ( )Ă và Aff ( )Ê

- Nhóm biến đổi Affin trên đờng thẳng thực

Đ3 Đại số Lie tổng quát Đồng cấu, đẳng cấu, toán tử ad

3.1 Đại số Lie tổng quát

3.1.1 Định nghĩa: Một không gian vectơ L trên trờng K đợc gọi là một

đại số Lie trên K nếu trong L có phép toán thứ ba:

[ ]

, :( , ) ,

´ đa

Thoả mãn các điều kiện sau đây:

i) Song tuyến tính;

ii) Phản đối xứng: [x x, ]= " ẻ0; x L

iii) Đồng nhất thức Jacobi:

Khi đó A là một đại số Lie trên K

3.1.3 Định nghĩa: Giả sử A là một đại số trên trờng K Đạo hàm (hay vi

Ký hiệu Der A( ) là tập hợp các đạo hàm của A

3.1.4 Mệnh đề: Tập hợp Der(A) là đại số Lie với tích:

[D D, ']=DD'- D D' "D D Der A, 'ẻ ( )

Chứng minh:

Từ tính tuyến tính của D và D' ta suy ra [D D cũng là một tự đồng cấu , ']

tuyến tính của A Ngoài ra với mọi x y A, ẻ ta có:

H¬n n÷a tõ tÝnh tuyÕn tÝnh cña D vµ tõ tÝnh chÊt c¸c phÐp to¸n cña A, ta suy ra tÝnh song tuyÕn tÝnh cña phÐp to¸n  , ta suy ra

sở, dùng đến cho các chơng sau

Chơng II

Công thức BCH - Các trờng hợp đặc biệt

Đ1 Công thức BCH - Chuỗi Hausdorf log(e e x y)

Ta đều biết trong một đại số giao hoán thì e e a b=e a b+ =e e b a và

loge a b+ = + Nhng với đại số Lie vấn đề không phải nh vậy Phần này giới a b

thiệu một công thức rất đặc biệt của đại số Lie, một đại số không giao hoán

1.1 Công thức BCH (Baker – 2011 Campbell – 2011 Hausdorff)

Cho G là một đại số Lie; X, Y là hai phần tử sinh của G Khi đó ta có:

1.2.1 Định nghĩa Một đại số Lie tự do L có các phần tử sinh X1, ,X k,

đợc phân bậc bởi degX  với i 1 i1, , , degk   A B,   deg A deg B với

 , tức là đại số các chuỗi vô hạn các phần tử trong L.

1.2.2 Định nghĩa Cho L là đại số Lie, ta định nghĩa logarit và mũ là các

!

n n

X

Y X

là H loge e X Y Với các phần tử L^ A1, ,A của đại số Lie L, kí hiệu hoán m

điều quan trọng ở đây là các số hạng trong (1) gồm các hạng tử X, Y, móc của X,

Y và móc của móc X và Y Nó cũng có thể đợc biểu diễn dới dạng

,

W

H X Y c W trong đó W biểu diễn theo các chữ X, Y

Sau đây ta xét chuỗi log(e e X Y) đối với một số Đại số Lie cụ thể

Đ2 Công thức BCH cho một số đại số Lie cụ thể2.1 Chuỗi Hausdorff đối với nhóm Aff ( )Ă

Nhóm Lie Aff ( )Ă các phép biến đổi affin trên đờng thẳng dạng

 

1,2

2

, 2

Đặt vế trái của (3) là A t và vế phải là   B t Mục đích của chúng ta là  

chứng minh A t và   B t cùng thoả mãn phơng trình vi phân nh nhau, với điều  

kiện đầu nh nhau Vế phải sau khi lấy vi phân trở thành:

Các hạng tử cao hơn đều bằng không Sử dụng các kết quả đó ta đợc

Nh vậyA t và   B t thoả mãn cùng một phơng trình vi phân Hơn nữa  

điều kiện đầu: A 0 B 0  Theo kết quả về tính duy nhất nghiệm của ph-I

ơng trình vi phân thờng ta suy ra:

2.2.3.Định lý Giả sử H là nhóm Heisenberg và 3 h3=Lie H( )3 là đại số

Lie của nó G là một nhóm Lie ma trận và g LieG Giả sử ta có ':h g là một đồng cấu đại số Lie Khi đó, tồn tại và duy nhất đồng cấu nhóm Lie

3

:H G

  sao cho  e X e' X 

  với mọi X h 3 Chứng minh

Nhắc lại rằng nhóm Heisenberg có tính chất rất đặc biệt là ánh xạ mũ của

nó (ánh xạ exponential) là một song ánh, giả sử “log” là ký hiệu ánh xạ ngợc củasong ánh đó Xác định : H3  G theo công thức

giao hoán đợc với cả X và Y Tức là , X và Y giao hoán đợc với hoán tử củachúng Vì  là một đồng cấu đại số Lie nên ' ' X  và ' Y  cũng sẽ giao hoánvới hoán tử của chúng:

Ta muốn chứng minh  là một đồng cấu, tức là  AB    A  B Thật vậy,

có thể viết A thành e X với duy nhất X h 3 và B thành e Y với duy nhất Y h 3

nhóm Lie Hơn nữa, theo định nghĩa  có quan hệ phải với  Vì ánh xạ mũ là '

song ánh nên chỉ có nhiều nhất một ánh xạ  thoả mãn  X ' X 

e e

tính duy nhất của  cũng đợc chứng minh

2.2.4 Nhận xét Kết quả trong định lý 2.2.3 là quan trọng vì nó kéo theo

rằng nếu G là liên thông và đơn liên thì tồn tại tơng ứng 1-1 tự nhiên giữa biểu diễn của nhóm G và biểu diễn của đại số Lie g LieG Trong thực hành đặc

biệt dễ xác định biểu diễn của đại số Lie hơn là xác định trực tiếp biểu diễn của nhóm Lie tơng ứng.

2.3 Công thức BCH và chuỗi Hausdorff đối với nhóm Tuyến tính đặc biệt

Với chuỗi Hausdorff tổng quát ta xét các tính chất sau

Đ3 Một số tính chất của chuỗi Hausdorff 3.1 Định nghĩa.

Đạo hàm của một đại số Lie L là hàm tuyến tính D L: ^  L^ thoả mãn quy

tắc Leibnitz D A B  ,   D A B ,  A D B,   , với mọi A B L,  ^

Với A L , toán tử phụ hợp ad L A:  L ad B, A   A B,  là một đạo hàm.Quy tắc Leibnitz của đạo hàm ad trùng với đồng nhât thức Jacobi: A

Chú ý rằng   thoả mãn quy tắc Leibnitz và có thể xét nh đạo hàm của r, s

đại số Lie tự do sinh bởi X Y, trên trờng ộ[ ]r s, ự

ở ỷ

3.4 Tính chất 3 Giả sử H loge e X Y là chuỗi Hausdorff trong đại số Lie tự

do L sinh bởi X Y, Với mọi đạo hàm D L:^  L^ ta đều có

§iÒu ph¶i chøng minh

3.5 TÝnh chÊt 4 Chuçi Hausdorff H tX tY ,  loge e tX tY tho¶ m·n ph¬ng

t H

0 1

MÆt kh¸c

/ /

2 2

2

1lim

1lim

lim

2!

n adX n

adX n n

adX

n

Y adX

Đ1 Công thức BCH dạng tích phân

Định lý Giả sử X và Y là các ma trận phức n n với X , Y đủ nhỏ, khi đó ta có

 

1 1

111

3.1.1 Định nghĩa Cho đại số Lie L ta xét đại số con các hoán tử của nó

 

1

,

L  L L , sinh bởi các hoán tử  A B trên mọi ,  A B L,  Một dãy dẫn xuất

gồm các đại số con đợc xác định theo quy nạp: Lk1 L k ,L k , k 1

chữ X Y, và biểu diễn các hoán tử dài theo các phần tử X Y XY k l  với k l , 0.

3.1.2 Hệ quả Giả sử L là đại số Lie tự do sinh bởi X Y, Thơng

(i) Biểu diễn H X Y h x y XY   ,    đối với chuỗi giao hoán h x y  , 

đợc suy từ hệ quả 3.1.2 vì x y X Y k l ,  X Y XY k l  trong L .

(ii) Thay H tX tY  ,  vào phơng trình  ,     

các hoán tử dài nên các hoán tử 1 1

3.2.2 Định lý 2 Giả sử L là đại số Lie tự do sinh bởi X Y, Ký hiệu

Suy ra

0

12

Trong đại số bao phổ dụng của L , nghiệm của phơng trình

 

2 2

ln Y X X Y ln C n

n n n

   trong L nh yêu cầu đặt ra.

Ví dụ: Ta khai triển vế phải của (*):

Nh vậy, chơng III đã đa ra công thức BCH ở các dạng tích phân, dạng chuỗi và đặc biệt là xem chuỗi này là nghiệm của một phơng trình vi phân cùng các ứng dụng của nó

Kết luận

“Công thức Baker – 2011 Campbell – 2011 Hausdorff trong lý thuyết Lie” nh mộtcẩm nang giúp cho sinh viên có điều kiện để nghiên cứu, mở rộng trong quátrình học tập bộ môn Đại Số Lie

Trong quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp em đã cố gắng nghiên cứu,tìm tòi, vận dụng những kiến thức đã học vào việc tổng kết cũng nh nêu ra một

số tính chất của công thức BCH, các cách chứng minh công thức và ứng dụng.Qua đó em rút ra đợc những kinh nghiệm quý báu cho việc nghiên cứu của mìnhsau này

Luận văn đã thu đợc các kết quả sau:

1 Mô tả công thức BCH cụ thể trong một số Đại số Lie hữu hạn hoặc vôhạn chiều

2 Chứng minh các tính chất của chuỗi Hausdorff, giới thiệu công thứcdạng tích phân và dạng chuỗi

3 Chuỗi Hausdorff đợc coi là nghiệm của một phơng trình vi phân cấp một Đây là một kết quả mới của luận văn khi kết hợp đại số Lie với giải tích.Tuy nhiên do thời gian có hạn nên em chỉ nghiên cứu một vài vấn đề cơ bảncũng nh một số ứng dụng Em sẽ tiếp tục nghiên cứu và mở rộng đề tài trong thờigian tới, tìm hiểu thêm các ứng dụng khác từ các tính chất của chuỗi Hausdorff,

tính các hệ số của chuỗi Hausdorff nhờ thuật toán nào đó, đặc biệt có thể sửdụng máy tính để đạt đợc kết quả nhanh nhất Em rất mong sự giúp đỡ của thầycô và các bạn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Hoàng Đức Việt

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Việt Hải Nhóm Lie và Đại số Lie ma trận Giáo trình sau Đại

học 2010

2 Nguyễn Việt Hải Các tính chất của chuỗi Hausdorff Tạp chí Đại học

Thái Nguyên, trang 18 – 2011 trang 25, 2007

3 Nguyễn Việt Hải Compressed BCH formula from a differential

equation Tạp chí ĐHSP Hà Nội, trang 8 – 2011 trang16, 2010.

4 A.A.Kirillov Elements of Theory of Represertation Springer Verlag,

Berlin, NewYork-Heidelberg, 1976

5 Robert N Cahn Semi-Simple Lie Algebras and Their Representations.

Berkely, California, 1984

6 Roger Carter Lie Algebras of Finite and Affine Type.

7 Karin Erdmann and Mark J Wildon Introduction to Lie Agebras.

University of Oxford, 2006

8 N.Buorbaki Lie group and Lie algebra MIP, 1976.